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几何概型高二11班


3.3.1

知识回顾:
1.古典概型的特点: 1.古典概型的特点: 古典概型的特点
(1) 有限性 有限性:
试验中所有可能出现的基本事件为有 试验中所有可能出现的基本事件为有限个 基本事件为 每个基本事件出现的可能性相等。 每个基本事件出现的可能性相等。

(2)等可能性 等可能性: 等可能性

2.古典概型的概率计算公式: 2.古典概型的概率计算公式: 古典概型的概率计算公式
A包含的基本事件的个数 P(A)= 基本事件的总数

知识探究( ):几何概型的概念 知识探究(一):几何概型的概念
思考1 一个人到单位的时间可能是8 00~ 思考1:一个人到单位的时间可能是8:00~ 00之间的任何一个时刻 之间的任何一个时刻; 9:00之间的任何一个时刻;往一个方格中 投一个石子, 投一个石子,石子可能落在方格中的任何一 点上.这两个试验可能出现的结果是有限个, 点上.这两个试验可能出现的结果是有限个, 还是无限个?若没有人为因素, 还是无限个?若没有人为因素,每个试验结 果出现的可能性是否相等? 果出现的可能性是否相等?

思考2 下图中有两个转盘, 思考2:下图中有两个转盘,甲乙两人玩 转盘游戏,规定当指针指向B区域时, 转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲 获胜,否则乙获胜. 获胜,否则乙获胜.你认为甲获胜的概率 分别是多少? 分别是多少?
B N B N N B N B N B B

思考3 思考3:上述每个扇形区域对应的圆弧 的长度(或扇形的面积) 的长度(或扇形的面积)和它所在位 置都是可以变化的,从结论来看, 置都是可以变化的,从结论来看,甲 获胜的概率与字母B 获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪 个因素有关?哪个因素无关? 个因素有关?哪个因素无关?

思考4 从区间(0,5)上任取一个实数x 思考4:从区间(0,5)上任取一个实数x, x∈(2,3)的概率是多少? 则x∈(2,3)的概率是多少?

如果每个事件发生的概率只与构 成该事件区域的长度(面积或体积 成该事件区域的长度( 长度 )成比例,则称这样的概率模型为 成比例, 几何概率模型,简称为几何概型. 几何概型 几何概率模型,简称为几何概型
事件A的概率的计算公式: 事件A的概率的计算公式:

构成事件A 的区域长度(面积或体积) P( A) = 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

某人午觉醒来,发现表停了, 例1: 某人午觉醒来,发现表停了,他 打开收音机,想听电台整点报时, 打开收音机,想听电台整点报时,求他 等待的时间不多于10分钟的概率. 等待的时间不多于10分钟的概率. 10分钟的概率 解:设事件A={等待的时间不多于10分钟}. 设事件A={等待的时间不多于10分钟}. A={等待的时间不多于10分钟 电台每隔一1小时报时一次,他在0 60之间任 电台每隔一1小时报时一次,他在0 ~ 60之间任 何时刻打开收音机是等可能的,属于几何概型。 何时刻打开收音机是等可能的,属于几何概型。 事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60] [50,60]时间 事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间 段内, 由几何概型的概率公式 段内,
60 ? 50 1 P ( A) = = , 60 6

等待的时间不超过10分钟” 10分钟 即“等待的时间不超过10分钟”的概率为

1 6

1.取一根长为3米的绳子, 1.取一根长为3米的绳子,拉直后在任意位置剪 取一根长为 那么剪得两段的长都不少于1 断,那么剪得两段的长都不少于1米的概率有 多大? 多大?
1m 3m 1m

解:如上图,记“剪得两段绳子长都不小于1m 如上图, 剪得两段绳子长都不小于1m” 1m 为事件A 把绳子三等分, 为事件A,把绳子三等分,于是当剪断位置处 在中间一段上时,事件A发生。 在中间一段上时,事件A发生。由于中间一段 的长度等于绳子长的三分之一,所以事件A 的长度等于绳子长的三分之一,所以事件A发 生的概率P =1/3。 生的概率P(A)=1/3。

假设你家订了一份报纸, 例2:假设你家订了一份报纸,送报人可能在早 6:30—7:30之间把报纸送到你家 之间把报纸送到你家, 上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00 8:00之间 7:00— 之间, 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少? 的概率是多少?
父亲离家时间
8:00
7:00

y=x

6.5

7.5

报纸送到时间

设送报人到达的时间为x,父亲离开家的时间为时间y。 解:设送报人到达的时间为 ,父亲离开家的时间为时间 。 (x,y)可以看成平面上的点,实验的全部结果构成的区 可以看成平面上的点, 可以看成平面上的点 域为 ? = {( x, y ) | 6.5 ≤ x ≤ 7.5,7 ≤ y ≤ 8} ,

这是一个正方形区域, 这是一个正方形区域,面积为 s ? = 1 × 1 = 1 ,事 表示父亲在离开家能得到报纸, 件A表示父亲在离开家能得到报纸,所构成的区域为 表示父亲在离开家能得到报纸
A = {( x, y ) | y ≥ x,6.5 ≤ x ≤ 7.5,7 ≤ y ≤ 8} 即图中的阴影部分, 即图中的阴影部分,面积为父亲离家时间

这是一个几何概型, 这是一个几何概型,所以
P( A) = SA 7 = S? 8

1 1 1 7 SA = 1? × × = . 2 2 2 8

y =x
8:00
7:00

6.5

7.5

报纸送到时间

思考4 向边长为1 思考4:向边长为1的正方形内随机抛掷一 粒芝麻, 粒芝麻,那么芝麻落在正方形中心和芝麻 不落在正方形中心的概率分别是多少? 不落在正方形中心的概率分别是多少?由 此能说明什么问题? 此能说明什么问题? 概率为0的事件可能会发生,概率为1 概率为0的事件可能会发生,概率为1 的事件不一定会发生. 的事件不一定会发生.

练习
1.公共汽车在0 1.公共汽车在0~5分钟内随机地到达车站,求 公共汽车在 分钟内随机地到达车站, 汽车在1 分钟之间到达的概率。 汽车在1~3分钟之间到达的概率。
分析:将0~5分钟这段时间看作是一段长度为5 分析: 分钟这段时间看作是一段长度为5 个单位长度的线段, 个单位长度的线段,则1~3分钟是这一线段中 个单位长度。 的2个单位长度。 汽车在1 分钟之间到达”为事件A 解:设“汽车在1~3分钟之间到达”为事件A,则
3 ?1 2 P( A) = = 5 5 2 所以“汽车在1 分钟之间到达” 所以“汽车在1~3分钟之间到达”的概率 5 为

2.在半径为1的圆上随机地取两点,连成一条线, 2.在半径为1的圆上随机地取两点,连成一条线, 在半径为 则其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多 少?
解:记事件A={弦长超过圆内接 记事件 弦长超过圆内接 等边三角形的边长}, 等边三角形的边长 ,取圆内接 等边三角形BCD的顶点 为弦 的顶点B为弦 等边三角形 的顶点 的一个端点, 的一个端点,当另一点在劣弧 CD上时,|BE|>|BC|,而弧 上时, 上时 ,而弧CD 的长度是圆周长的三分之一, 的长度是圆周长的三分之一, 所以可用几何概型求解, 所以可用几何概型求解,有
1 P( A) = 3
B

.0 C E D

1 弦长超过圆内接等边三角形的边长” 则“弦长超过圆内接等边三角形的边长”的概率为 3

练习:(会面问题 乙二人约定在0 练习:(会面问题)甲、乙二人约定在0点到 5 :( 点之间在某地会面, 点之间在某地会面,先到者等一个小时后即 离去, 离去,设二人在这段时间内的各时刻到达是等 可能的,且二人互不影响。 可能的,且二人互不影响。求二人能会面的 概率。 概率。
分别表示甲、 解: 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时 y 刻,于是 0 ≤ X ≤ 5, 0 ≤ Y ≤ 5.

即 点 M 落在图中的阴影部 分.所有的点构成一个正 无穷多个结果. 方形,即有无穷多个结果 方形,即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的, 都是等可能的,所以落在正 方形内各点是等可能的 等可能的. 方形内各点是等可能的.

5 4 3 2 1

.M(X,Y)

0

1

2 3 4

5 x

二人会面的条件是: 二人会面的条件是:| X ?Y |≤1, 记“两人会面”为事件 两人会面” A
5 4 3 2 1

y

y=x+1 y=x -1

阴影部分的面积 P(A)= P(A) 正方形的面积 1 2 25 ? 2× ×4 9 2 = = 25 25.

0

1

2 3 4

5 x

小结
1.几何概型的特点. 2.古典概型与几何概型的区别: 1)两种模型的基本事件发生的可能性都相等; 2)古典概型要求基本事件是有限个,而几何概 型则要求基本事件有无限多个。 3.几何概型的概率公式及运用.
构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) = 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)


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