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高考概率与统计常见题型与解法

高考概率与统计常见题型与解法
题型一 几类基本概型之间的综合 在高考解答题中,常常是将等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进 行考查,主要考查综合计算方法和能力.此类问题一般都同时涉及几类事件,它们相互交织在 一起,难度较大,因此在解答此类题时,在透彻理解各类事件的基础上,准确把题中所涉及 的事件进行分解,明确所求问题所包含的所属的事件类型.特别是要注意挖掘题目中的隐含条 件. 1、等可能事件的概率 在一次实验中可能出现的结果有 n 个,而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件 A 包含
m
的结果有 m 个,那么 P(A)= 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。
n
高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能 力。 例题 1(2010 湖南)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关人员 中,抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表(单位:人)
(Ⅰ)求 x,y ; (Ⅱ)若从高校 B、C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这二人都来自高校 C 的 概率。
解 (Ⅰ)由题意可得 x ? 2 ? y 所以 x ? 1, y ? 3 , 18 36 54
(Ⅱ)记从高校 B 中抽取的 2 人为 b1, b2 ,从高校 C 中抽取的 3 人为 C1, C2 , C3 则从高校 B、C
-1-

抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有( b1, b2 ),( b1, c1 ),( b1, c2 ),( b2 , c3 ),( b2 , c1 ),

( b2 , c2 ),( b2 , c3 ),(C1, C2 ) ,(C1, C3 ) ,(C2 , C3 ) 共 10 种,设选中的 2 人都来自高校 C 的

事件为

X,则

X

包含的基本事件有

(C1,

C2

)

,(C1,

C3

)

,(C2

,

C3

)



3

种,因此

p(

X

)

?

3 10



3
选中的 2 人都来自高校 C 的概率为
10

变式 1(2010 江苏)某工厂生产甲、乙两种产品,甲产品的一等品率为 80%,二等品率为 20%;

乙产品的一等品率为 90%,二等品率为 10%。生产 1 件甲产品,若是一等品则获得利润 4 万

元,若是二等品则亏损 1 万元;生产 1 件乙产品,若是一等品则获得利润 6 万元,若是二等

品则亏损 2 万元。设生产各种产品相互独立。(Ⅰ)记 X(单位:万元)为生产 1 件甲产品和 1

件乙产品可获得的总利润,求 X 的分布列;(Ⅱ)求生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万

元的概率。

解:(1)由题设知,X 的可能取值为 10 ,5,2,-3,且 P(X=10)=0.8×0.9=0.72, P(X=5)

=0.2×0.9=0.18, P(X=2)=0.8×0.1=0.08 ,P(X=-3)=0.2×0.1=0.02。 由此得 X 的分布

列为:

X

10

5

2[来源:学科 -3

网 ZXXK]

P

0.72

0.18

0.08

0.02

(2)设生产的 4 件甲产品中一等品有 n 件,则二等品有 4 ? n 件。 由题设知 4n ? (4 ? n) ?10 ,解得 n ? 14 , 又 n ? N ,得 n ? 3,或 n ? 4 。
5
所求概率为 P ? C43 ? 0.83 ? 0.2 ? 0.84 ? 0.8192
答:生产 4 件甲产品所获得的利润不少于 10 万元的概率为 0.8192。

变式 2 (2010 福建)设平面向量 a m =(m,1),b n =(2,n),其中 m,n∈{1,2,3,4}.(I)

-2-

请列出有序数组(m,n)的所有可能结果;(II)记“使得 a m ⊥(a m-b n)

成立的(m,n)”为事件 A,求事件 A 发生的概率.

解:(Ⅰ)有序数组(m,n)的吧所有可能结果为:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),

(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)共 16 个.

(Ⅱ)由 am ? (am ? bn ) 得 m2 ? 2m ?1? n ? o ,即 n ? (m ?1)2 . 由于 m, n ?{1,2,3,4},故事件 A
包含的基本条件为(2,1)和(3,4),共 2 个.又基本事件的总数为 16,故所求的概率 P(A) ? 2 ? 1 .
16 8 2、互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算

不可能同时发生的两个事件 A、B 叫做互斥事件,它们至少有一个发生的事件为 A+B,用概

率的加法公式 P( A ? B) ? P( A) ? P(B) 计算。事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发

生的概率没有影响,则 A、B 叫做相互独立事件,它们同时发生的事件为 A? B 。用概率的法
公式 P?A ? B? ? P?A?? P?B? 计算。高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识

别及其概率的综合计算能力进行考查。必有一个发生的两个互斥事件 A、B 叫做互为对立事件。

?

?

即 B ? A 或 A ? B 。至少、至多问题常使用“正难则反”的策略求解.用概率的减法公式

P?

A?

?

1

?

P??

_
A

??

计算其概率。高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及

??

其概率 计算进行考查。

例题 1(2005 全国卷Ⅲ)设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。已知在某

一小时内,甲、乙都需要照顾的概率为 0.05,甲、丙都需要照顾的概率为 0.1,乙、丙都需要

照顾的概率为 0.125,

(Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少;

(Ⅱ)计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.

解:(Ⅰ)记甲、乙、丙三台机器在一小时需要照顾分别为事件 A、B、C,……1 分

-3-

则 A、B、C 相互独立,由题意得: P(AB)=P(A)P(B)=0.05 P(AC)=P(A)P(C)=0.1 P(BC)=P(B)P(C)=0.125…………………………………………………………4 分 解得:P(A)=0.2;P(B)=0.25;P(C)=0.5 所以, 甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是 0.2、0.25、0.5……6 分
(Ⅱ)∵A、B、C 相互独立,∴ A、B、C 相互独立,……………………………………7 分
∴甲、乙、丙每台机器在这个小时内需都不需要照顾的概率为
P( A? B ?C) ? P( A)P(B)P(C) ? 0.8? 0.75? 0.5 ? 0.3 ……………………………10 分 ∴这个小时内至少有一台需要照顾的概率为 p ? 1? P( A? B ? C) ? 1? 0.3 ? 0.7 ……12 分

变式 1 (2005 福建卷文)甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为 1 与 2 . 25
(Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率;

(Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的概率.

解:(Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件 A,“乙投一次命中”为事件 B,则

P(A) ? 1 , P(B) ? 2 , P(A) ? 1 , P(B) ? 3 .

2

5

2

5

甲、乙两人在罚球线各投球一次,恰好命中一次的概率为 1 . 2

(Ⅱ)∵事件“甲、乙两人在罚球线各投球二次均不命中”的概率为

P? 1?1?3?3 ? 9 2 2 5 5 100

∴甲、乙两人在罚球线各投球两次至少有一次命中的概率

P ? 1? P ? 1? 9 ? 91 . 100 100
答:甲、乙两人在罚球线各投球二次,至少有一次命中的概率为 91 . 100

-4-

∵“甲、乙两人各投球一次,恰好命中一次”的事件为 A ? B ? A ? B ?P(A? B ? A? B) ? P(A? B) ? P(A? B) ? 1 ? 3 ? 1 ? 2 ? 1 .
25 25 2

变式 2 (06 四川卷)某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不

合格”,两部分考核都是“合格”则该课程考核“合格”,甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率

分别为 0.9, 0.8, 0.7 ;在实验考核中合格的概率分别为 0.8, 0.7, 0.9 ,所有考核是否合格相互之

间没有影响

(Ⅰ)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率;

(Ⅱ)求这三人该课程考核都合格的概率。(结果保留三位小数)

解:记“甲理论考核合格”为事件 A1 ;“乙理论考核合格”为事件 A2 ;“丙理论考核合格”为事件

A3 ;记 Ai 为 Ai 的对立事件,i ? 1, 2, 3 ;记“甲实验考核合格”为事件 B1 ;“乙实验考核合格”

为事件 B2 ;“丙实验考核合格”为事件 B3 ;

(Ⅰ)记“理论考核中至少有两人合格”为事件 C ,记 C 为 C 的对立事件

? ? ? ? 解法 1: P C ? P A1A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1A2 A3 ? A1A2 A3

? ? ? ? ? ? ? ? ? P A1A2 A3 ? P A1 A2 A3 ? P A1A2 A3 ? P A1A2 A3
? 0.9?0.8?0.3? 0.9?0.2?0.7 ? 0.1?0.8?0.7 ? 0.9?0.8?0.7 ? 0.902
? ? ? ? 解法 2: P ?C ? ? 1? P C ? 1? P A1 A2 A3 ? A1 A2 A3 ? A1A2 A3 ? A1 A2 A3

? ? ? ? ? ? ? ? ?

1?

? ?

P

A1 A2 A3

?P

A1 A2 A3

?P

A1A2 A3

?P

A1 A2 A3

? ?

?1??0.1?0.2?0.3? 0.9?0.2?0.3? 0.1?0.8?0.3? 0.1?0.2?0.7?

?1? 0.098 ? 0.902

所以,理论考核中至少有两人合格的概率为 0.902

(Ⅱ)记“三人该课程考核都合格” 为事件 D
P? D? ? P ??? A1 ? B1 ??? A2 ? B2 ??? A3 ? B3 ???

-5-

? P? A1 ? B1?? P? A2 ? B2 ?? P? A3 ? B3 ? ? P? A1?? P?B1?? P? A2 ?? P?B2 ?? P? A3 ?? P?B3 ?
? 0.9?0.8?0.8?0.8?0.7?0.9 ? 0.254016 ? 0.254
所以,这三人该课程考核都合格的概率为 0.254
3、独立重复试验概率
若在 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果,则此试验叫做 n 次 独立重复试验。若在 1 次试验中事件 A 发生的概率为 P,则在 n 次独立惩处试验中,事件 A
恰好发生 k 次的概率为 Pn ?k ? ? Cnk Pk ?1? P?n?k 。
高考结合实际应用问题考查 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率的计算方法和化
归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。
例题(2005 湖北卷)某会议室用 5 盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏 灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为 1 年以上的概率为 p1,寿命为 2 年以上的概率为 p2.从使用之日起每满 1 年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时 不换.
(Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换 2 只灯泡的概率; (Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率; (Ⅲ)当 p1=0.8,p2=0.3 时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换 4 只灯泡的概率(结 果保留两个有效数字).
解:(I)在第一次更换灯泡工作中,不需要换灯泡的概率为 p15 , 需要更换 2 只灯泡的概率为 C52 p13 (1 ? p1 ) 2 ;
-6-

(II)对该盏灯来说,在第 1、2 次都更换了灯泡的概率为(1-p1)2;在第一次未更换灯
泡而在第二次需要更换灯泡的概率为 p1(1-p2),故所求的概率为
p ? (1 ? p1 )2 ? p1 (1 ? p2 );
(III)至少换 4 只灯泡包括换 5 只和换 4 只两种情况,换 5 只的概率为 p5(其中 p 为(II)
中所求,下同)换 4 只的概率为 C51 p4 (1-p),故至少换 4 只灯泡的概率为 p3 ? p5 ? C51 p 4 (1 ? p). 又当p1 ? 0.8, p2 ? 0.3时, p ? 0.22 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.6 ? p3 ? 0.65 ? 5 ? 0.64 ? 0.4 ? 0.34. 即满2年至少需要换4只灯泡的概率为0.34.

变式 1

为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程和产业建设工

程三类.

这三类工程所含项目的个数分别占总数的

1 2

,

1 3

,

1 6

.

现有 3 名工人独立地从中任

选一个项目参与建设. 求:(Ⅰ) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率;(Ⅱ) 至少有1 人选择

的项目属于民生工程的概率.

解 记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 Ai ,Bi ,

Ci , i ?1,

2 ,3 .由题意知 A1 , A2 , A3 相互独立, B1 , B2 , B3 相互独立,C1 ,C2 ,C3 相互独立, Ai ,

Bj ,

Ck ( i



j,k

?

1, 2 , 3 ,且 i ,

j ,k

互不相同)相互独立,且 P

( Ai

)?

1 2

, P ( Bi ) ?

1 3



P

( Ci )

?

1 6



(Ⅰ)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ? 3! P ( A1B2C3 ) ? 6P ( A1 ) P ( B2 ) P ( C3 )
? 6? 1?1? 1 ? 1 236 6
-7-

(Ⅱ)至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率

P ? 1 ? P ( B1 B2 B3 ) ? 1 ? P ( B1 ) P ( B2 ) P ( B3 )

?1? (1?

1 3

)3

?

19 27



变式 2 (08 天津)
1 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率分别为 与 p ,且乙投球 2 次均
2 未命中的概率为 1 .
16
(Ⅰ)求乙投球的命中率 p ;

(Ⅱ)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率;

(Ⅲ)若甲、乙两人各投球 2 次,求两人共命中 2 次的概率.

解:本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查运用概率

知识解决实际问题的能力.满分 12 分.

(Ⅰ)解法一:设“甲投球一次命中”为事件 A,“乙投球一次命中”为事件 B.

由题意得 ?1 ? P?B??2 ? ?1 ? p?2 ? 1
16

解得 p ? 3 或 5 (舍去),所以乙投球的命中率为 3 .

44

4

解法二:设设“甲投球一次命中”为事件 A,“乙投球一次命中”为事件 B.

由题意得 P(B)P(B) ? 1 ,于是 P(B) ? 1 或 P(B) ? ? 1 (舍去),故 p ? 1? P(B) ? 3 .

16

4

4

4

3
所以乙投球的命中率为 .
4

? ? (Ⅱ)解法一:由题设和(Ⅰ)知 P?A? ? 1 , P A ? 1 .

2

2

? ? 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为1 ? P A ? A ? 3 4

解法二:

? ? 由题设和(Ⅰ)知 P?A? ? 1 , P A ? 1

2

2

-8-

? ? 故甲投球

2

次至少命中

1

次的概率为 C21P?A?P

A

?

P?A?P?A? ?

3 4

? ? ? ? (Ⅲ)由题设和(Ⅰ)知, P?A? ? 1 , P A ? 1 , P?B? ? 3 , P B ? 1

2

2

4

4

甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中两次,乙两次

均不中;甲两次均不中,乙中 2 次。概率分别为

? ? ? ? C21P?A?P

A

? C21P?B?P B

? 3, 16

? ? P?A ? A?P B ? B ? 1 , 64

? ? P A ? A P?B ? B? ? 9 64

所以甲、乙两人各投两次,共命中 2 次的概率为 3 ? 1 ? 9 ? 11 . 16 64 64 32

综合题

【例 1】 (08·安徽高考)在某次普通话测试中,为测试汉字发音水平,设置了 10 张 卡片,每张卡片印有一个汉字的拼音,其中恰有 3 张卡片上的拼音带有后鼻音“g”.(Ⅰ) 现对三位被测试者先后进行测试,第一位被测试者从这 10 张卡片总随机抽取 1 张,测 试后放回,余下 2 位的测试,也按同样的方法进行。求这三位被测试者抽取的卡片上, 拼音都带有后鼻音“g”的概率。(Ⅱ)若某位被测试者从 10 张卡片中一次随机抽取 3 张, 求这三张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的卡片不少于 2 张的概率. 【分析】 第(Ⅰ)小题首先确定每位测试者抽到一张带“g”卡片的概率,再利用相互独 立事件的概率公式计算;第(Ⅱ)利用等可能事件与互斥事件的概论公式计算. 【解】 (Ⅰ)每次测试中,被测试者从 10 张卡片中随机抽取 1 张卡片上,拼音带有
3 后鼻音“g”的概率为 ,因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的,
10 3 3 3 27 因而所求的概率为 × × = . 10 10 10 1000
-9-

(Ⅱ)设 Ai(i=1,2,3)表示所抽取的三张卡片中,恰有 i 张卡片带有后鼻音“g”的事件,

C17C23 7

C33 1

且其相应的概率为 P(Ai),则 P(A2)= C130 =40,P(A3)=C130=120,

7 1 11 因而所求概率为 P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)=40+120=60.

【点评】 本题主要考查等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率.解答题注意不要

混淆了互斥事件与相互独立事件,第(Ⅱ)的解答根据是“不少于”将事件分成了两个等

可能事件,同时也可以利用事件的对立事件进行计算.

【例 2】(08·福建高考)三人独立破译同一份密码,已知三人各自破译出密码的概率分
111 别为 , , ,且他们是否破译出密码互不影响。(Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率;(Ⅱ)“密
543

码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大?说明理由.

【分析】 第(Ⅰ)小题可根据“恰有二人”将事件分为三个互斥的事件进行计算;第(Ⅱ)

小题利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算“密码未被破译”的概率,然后再利用

对立事件可计算“密码被破译”的概率,进而比较大小.

【解】记“第 i 个人破译出密码”为事件 Ai(i=1,2,3),依题意有

1

1

1

P(A1)=5,P(A2)=4,P(A3)=3,且 A1,A2,A3 相互独立.

(Ⅰ)设“恰好二人破译出密码”为事件 B,则有

B=A1A2A ̄3+A1 ̄ A2A3+ ̄ A1A2A3,且 A1A2 ̄ A3、A1 ̄ A2A3、A ̄1A2A3 彼此互斥

112 131 411 3 于是 P(B)=P(A1A2A ̄3)+P(A1A ̄22A3)+P(A ̄1A2A3)=5×4×3+5×4×3+5×4×3=20.
答:恰好二人破译出密码的概率0为 3 . 0 20

(Ⅱ)设“密码被破译”为事件 C,“密9码未被破译”为事件 D.

0

432 2

D= ̄ A1·A ̄2·A ̄3,且A ̄1、A ̄2、A ̄3相互3 独立,则 1

P(D)=P(A ̄1)·P( ̄ A2)·P(A ̄3)=5×4×3=5.



3 P(C)=1-P(D)= ,故

P(C)8>P(D).

5

- 10 -

答:密码被破译的概率比密码未被破译的概率大. 【点评】 本题主要考查互斥事件、对立事件、相互独立的概率的计算.第(Ⅰ)小题正

确解答的关键是将所求事件分解为三个互斥的事件,而第(Ⅱ)的解答则充分利用对立

事件进行的计算.一般情况下,如果正面计算概率情况比较复杂或过程较繁,则可以考虑

计算对立事件的概率来解答.

【例 3】 (08·重庆高考)在每道单项选择题给出的 4 个备选答案中,只有一个是正确

的.若对 4 道选择题中的每一道都任意选定一个答案,求这 4 道题中:(Ⅰ)恰有两道题答

对的概率;(Ⅱ)至少答对一道题的概率.

【分析】 第(Ⅰ)小题事件为独立重复试验,因此可直接计算;第(Ⅱ)小题可以考虑利用

正确解答,也可以考虑其对立事件进行解答.

【解】 “选择每道题的答案”为一次试验,则这是 4 次独立重复试验,且每次试验中“选

1 择正确”这一事件发生的概率为 .由独立重复试验的概率计算公式得:
4

1 3 27 (Ⅰ)恰有两道题答对的概率为 P4(2)=C42(4)2(4)2=128.

13

81 175

(Ⅱ)解法一:至少有一道题答对的概率为 1-P4(0)=1-C40(4)0(4)4=1-256=256.

解法二:至少有一道题答对的概率为分为 4 类情形:

1 3 108

1 3 27

1 3 12

P4(1)=C41(4)1(4)3=256,P4(2)=C42(4)2(4)2=128,P4(3)=C34(4)3(4)1=256,P4(4)=C44

13 1 ( )4( )0= . 4 4 256

108 54 12 1 175 所以至少答对一道的概率为 P4(1)+P4(2)+P4(3)+P4(4)=256+256+256+256=256.

【点评】 本题主要考查独立重复试验及对立事件、互斥事件的综合运算.从第(Ⅱ)小题

的两种解法可以看到,当正确解答分类情况较多时,还是计算其对立事件的概率来的快.

题型二 求离散型随机变量的分布列、期望与方差

- 11 -

此考点主要考查观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集处理 信息的能力.主要题型:(1)离散型随机变量分布列的判断;(2)求离散型随机变量的分 布列、期望与方差应用;(3)根据离散型随机变量的分布列求概率;(4)根离散型随机 变量分布列、期望与方差性质的求参数. 1、 随机变量概率分布与期望 解决此类问题时,首先应明确随机变量可能取哪些值,然后按照相互独立事件同时发生概率 的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列,最后根据分布列和期望、方差公式 去获解。以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的 能力。 例题 1(2005 湖南卷)某城市有甲、乙、丙 3 个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率 分别是 0.4,0.5,0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时游览的 景点数与没有游览的景点数之差的绝对值. (Ⅰ)求ξ的分布及数学期望;
(Ⅱ)记“函数 f(x)=x2-3ξx+1 在区间[2,+∞ ) 上单调递增”为事件 A,求事件 A 的概率.
解:(I)分别记“客人游览甲景点”,“客人游览乙景点”,“客人游览丙景点” 为事件 A1,A2,A3. 由已知 A1,A2,A3 相互独立,P(A1)=0.4,P(A2)=0.5, P(A3)=0.6. 客人游览的景点数的可能取值为 0,1,2,3. 相应地,客人没有游览的景点数的可能取
值为 3,2,1,0,所以? 的可能取值为 1,3. P(? =3)=P(A1·A2·A3)+ P( A1 ? A2 ? A3 )
= P(A1)P(A2)P(A3)+P( A1)P(A2 )P(A3 ) )
=2×0.4×0.5×0.6=0.24,
- 12 -

P(? =1)=1-0.24=0.76.
? 所以? 的分布列为
P
E? =1×0.76+3×0.24=1.48.

1

3

0.76 0.24

(Ⅱ)解法一 因为 f (x) ? (x ? 3 ? )2 ? 1 ? 9 ? 2 ,

2

4

所以函数 f (x) ? x2 ? 3?x ?1在区间[ 3 ? ,??) 上单调递增, 2

要使 f (x)在[2,??) 上单调递增,当且仅当 3 ? ? 2,即? ? 4 .

2

3

从而 P(A) ? P(? ? 4) ? P(? ? 1) ? 0.76. 3

解法二:? 的可能取值为 1,3.

当? =1 时,函数 f (x) ? x2 ? 3x ? 1在区间[2,??) 上单调递增,

当? =3 时,函数 f (x) ? x2 ? 9x ? 1在区间[2,??) 上不单调递增.0

所以 P(A) ? P(? ? 1) ? 0.76.

变式 1 甲、乙两人做射击游戏,甲乙两人射击击中与否是相互独立事件,规则如下:若

射击一次击中,原射击者继续射击,若射击一次不中,就由对方接替射击。已知甲乙两人射
7
击一次击中的概率均为 ,且第一次由甲开始射击。
8
(1)求前 4 次射击中,甲恰好射击 3 次的概率。

(2)若第

n

次由甲射击的概率为

a

n

,求数列

?a

n

?

的通项公式;求

lim
n??

an

,并说明极限

值的实际意义。

解:记 A 为甲射击,B 为乙射击,则

1)前 4 次射击中甲恰好射击 3 次可列举为 AAAB,AABA,ABAA
其概率为 P= 7 ? 7 ? 1 ? 7 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 7 ? 63 8 8 8 8 8 8 8 8 8 512

- 13 -

2)第 n ?1次由甲射击这一事件,包括第 n 次由甲射击,第 n ?1次继续由甲射击这一事

件以 第 n 次由乙射击,第 n ?1 由甲射击这一事件,这两事件发生的概率是互斥的且发生

7 的概率分别为 8 an 与

1 8

(1

?

a

n

)

则有关系式

an?1

?

7 8 an

+

1 8

(1 ?

an

)

=

3 4

an

?

1 8

其中 a1

?

1。

an?1

?

1 2

=

3 4

( an

?

1 2

),? 数列 ?

an

?

1 2

? 为等比数列。

?

an

?

1 2

?

1 ( 3)n?1 24

?

lim
n??

an

=

lim
n??

(1 2

?

1 2

( 3)n?1 ) 4

=

1 2

实际意义为当甲、乙两人射击次数较多时,甲、乙两分别射击的次数接近相等。

变式 2 (07 重庆理)某单位有三辆汽车参加某种事故保险,单位年初向保险公司缴纳每

辆 900 元的保险金,对在一年内发生此种事故的每辆汽车,单位可获 9000 元的赔偿(假设每 辆车最多只赔偿一次),设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为 1 , 1 , 1 ,且各
9 10 11
车是否发生事故相互独立,求一年内该单位在此保险中:

(Ⅰ)获赔的概率;

(Ⅱ)获赔金额? 的分布列与期望.

(18)(本小题 13 分)

解:设 Ak 表示第 k 辆车在一年内发生此种事故, k ?1,2,3 .由题意知 A1 , A2 , A3 独立,

1

1

1

且 P( A1) ? 9 , P( A2 ) ? 10 , P( A3) ? 11 .

(Ⅰ)该单位一年内获赔的概率为

8 9 10 3 1? P( A1 A2 A3) ? 1? P( A1)P( A2 )P( A3) ? 1? 9 ? 10 ? 11 ? 11 .

(Ⅱ)? 的所有可能值为 0 , 9000 ,18000 , 27000 .

P(?

?

0)

?

P( A1 A2

A3 )

?

P( A1)P( A2 )P( A3)

?

8 ? 9 ?10 9 10 11

?

8 11



P(? ? 9000) ? P(A1 A2 A3) ? P(A1A2 A3) ? P(A1 A2 A3)

- 14 -

? P(A1)P(A2)P(A3) ? P(A1)P(A2)P(A3) ? P(A1)P(A2)P(A3) ? 1 ? 9 ?10 ? 8 ? 1 ?10 ? 8 ? 9 ? 1
9 10 11 9 10 11 9 10 11 ? 242 ? 11 ,
990 45
P(? ?18000) ? P(A1A2 A3) ? P(A1 A2 A3) ? P(A1A2 A3)
? P(A1)P(A2)P(A3) ? P(A1)P(A2)P(A3) ? P(A1)P(A2)P(A3) ? 1 ? 1 ?10 ? 1 ? 9 ? 1 ? 8 ? 1 ? 1
9 10 11 9 10 11 9 10 11 ? 27 ? 3 ,
990 110 P(? ? 27000) ? P( A1A2 A3) ? P( A1)P( A2 )P( A3) ? 1? 1 ? 1 ? 1 .
9 10 11 990 综上知,? 的分布列为

?

0

8 P
11

求 ? 的期望有两种解法:

9000
11 45

18000
3 110

解法一:由? 的分布列得

E? ? 0? 8 ? 9000? 11 ?18000? 3 ? 27000? 1

11

45

110

990

? 29900 ≈ 2718.18 (元). 11

解法二:设?k 表示第 k 辆车一年内的获赔金额, k ?1,2,3 ,

则 ?1 有分布列

?1

P



E?1

?

9000 ?

1 9

?

1000



0

9000

8

1

9

9

- 15 -

27000
1 990

同理得

E?2

?

9000? 1 10

?

900



E?3

?

9000? 1 11

?

818.18 .

综上有 E? ? E?1 ? E?2 ? E?3 ? 1000 ? 900 ? 818.18 ? 2718.18 (元).

2、 离散型随变量概率分布列

设离散型随机变量的分布列为

?

x1

x2

xi

?

?

P

P1

P2

Pi

?

?

它有下面性质:① Pi ? 0(i ? 1,2,?)

② p1 ? p2 ? ? ? pi ? ? ? 1, 即总概率为 1;

③期望 E? ? x1P1 ? ? ? xi Pi ? ?;方差 D? ? (x1 ? E? )2 P1?? ? (xi ? E? )2 Pi ? ?

离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.

高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查.

例题 1 (2004 年全国高考题)某同学参加科普知识竞赛,需回答三个问题,竞赛规则规定:每题

回答正确得 100 分,回答不正确得 100 分.假设这名同学每题回答正确的概率均为 0.8,且各题回

答正确与否相互之间没有影响.

①求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望.

②求这名同学总得分不为负分(即? ? 0) )的概率.

- 16 -

解:? 的取值为 ? 300,?100,100,300. P( ? ? ?300 ) ? 0.22 ? 0.008 ; P( ? ? ?100 ) ? 3? 0.2 ? 0.82 ? 0.096; P( ? ? 100) ? 3? 0.2 ? 0.82 ? 0.384; P( ? ? 300 ) ? 0.82 ? 0.512

所以的概率分布为

? 300 ?100

§

100 300

P

0.008 0.096 0.384 0.512

? E? ? ?300? 0.008 ?100?10096?100? 0.384 ? 300? 0.512 ? 180

这名同学总得分不为负分的概率为
P(? ? 0) ? P(? ? 100) ? P(? ? 300) ? 0.384 ? 0.512 ? 0.896

变式
2
(2010 天津理)某射手每次射击击中目标的概率是 ,且各次射击的结果互不影响。
3
(Ⅰ)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率

(Ⅱ)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标。另外 2 次未击中目标的概率;

(Ⅲ)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次射

击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3

分,记? 为射手射击 3 次后的总的分数,求? 的分布列。

(1)解:设

X

为射手在

5

次射击中击中目标的次数,则

X

~

B

? ??

5,

2 3

? ??

.在

5

次射击中,恰有

2 次击中目标的概率

- 17 -

P( X

?

2)

?

C52

?

? ??

2 3

?2 ??

? ???1 ?

2 3

?2 ??

?

40 243

(Ⅱ)解:设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai (i ? 1, 2, 3, 4, 5) ;“射手在 5 次射击中,有 3 次

连续击中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A ,则

P(A) ? P(A1A2 A3 A4 A5) ? P(A1A2 A3A4 A5) ? P(A1 A2 A3A4 A5)

=

? ??

2 3

3
? ? ?

?

? ??

1 3

2
? ? ?

?

1 3

?

? ??

2 3

3
? ? ?

?

1 3

?

? ??

1 3

2
? ? ?

?

? ??

2 3

3
? ? ?

8
=
81

(Ⅲ)解:由题意可知,? 的所有可能取值为 0,1, 2,3, 6

P(?

? 0) ?

P(

A1

A2

A3

)

?

? ??

1 3

3
? ? ?

?

1 27

P(? ?1) ? P(A1 A2 A3) ? P(A1A2 A3) ? P(A1 A2 A3)

=

2 3

?

? ??

1 3

?2 ??

?

1 3

?

2 3

?

1 3

?

? ??

1 3

?2 ??

?

2 3

?

2 9

P(?

? 2) ?

P( A1 A2 A3) ?

2?1?2 333

?

4 27

P(?

? 3) ?

P(A1A2 A3) ? P(A1A2 A3) ?

? ??

2 3

2
? ? ?

?

1 3

?

1 3

?

? ??

1 3

2
? ? ?

?

8 27

P(?

? 6) ?

P( A1A2 A3 ) ?

?

2

3
?

?? 3 ??

?

8 27

所以? 的分布列是

综合题 1、(08·湖北理)袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号
的有 n 个(n=1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ 表示所取球的标号.(Ⅰ)求 ξ 的分布列,期
- 18 -

望和方差;(Ⅱ)若 η=aξ+b,Eη=1,Dη=11,试求 a,b 的值.

【分析】 第(Ⅰ)小题根据等可能事件的概率计算公式可求 ξ 取 0、1、2、3、4 时的概

率,从而得分布列;第(Ⅱ)小题根据离散型随机变量的期望与方差建立方程组可解决.

【解】 (Ⅰ)ξ 的分布列为:

ξ

0

1

2

3

4

1

1

1

3

1

P

2

20

10

20

5

11

1

31

∴Eξ=0× +1× +2× +3× +4× =1.5. 2 20 10 20 5

1

1

1

3

1

Dξ=(0-1.5)2× +(1-1.5)2× +(2-1.5)2× +(3-1.5)2× +(4-1.5)2× =2.75.

2

20

10

20

5

? a2×2.75=11

? a=2 ? a=-2

(Ⅱ)由 Dη=a2Dξ,Eη=aEξ+b,得?

,解得?

或?

.

? 1.5a+b=1

? b=-2 ? b=4

【点评】(1)求离散型随机变量的分布列有三个步骤:①明确随机变量 X 取哪些值;②

计算随机变量 X 取每一个值时的概率;③将结果用二维表格形式给出.计算概率时注意

结合排列与结合知识.

(2)而解决与分布列、期望与方差及应用等问题,一般利用它们相关的性质就可以求解

或通过建立方程来解决来解决.

题型三 抽样方法的识别与计算

此考点在高考中常常结合应用问题考查构照抽样模型,搜集数据,处理材料等研究性学

习的能力,主要考查题型:(1)根据所要解决的问题确定需要采用的何种抽样方法;(2)

根据各类抽象方法的具体特点求相关的数据.

1、(08·陕西)某林场有树苗 30000 棵,其中松树苗 4000 棵.为调查树苗的生长情

况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的数量为( )

A.30

B.25

C.20

D.15

- 19 -

【分析】 利用分层抽样的特点,按比较进行计算即可.

150 x

【解】 设样本中松树苗的数量为 x ,则

= ,解得 x=20.

30000 4000

点评:确定抽样方法必须根据各种抽样方法的特点来判断:总体中的个体数较少时,宜

用简单随机抽样;总体由差异明显的几部分组成时,宜用分层抽样.而关于抽样方法的计

算主要集中在分层抽样上,一般按比例进行计算.

2、 (2009 山东卷文) 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型

号,某月的产量如下表(单位:辆):

轿车 A

轿车 B

轿车 C

舒适型

100

150

z

标准型

300

450

600

按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆.

(1) 求 z 的值.

(2) 用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体,从

中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率;

(3) 用随机抽样的方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6,

9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个

数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.
解 : (1). 设 该 厂 本 月 生 产 轿 车 为 n 辆 , 由 题 意 得 , 50 ? 10 , 所 以 n=2000. n 100 ? 300
z=2000-100-300-150-450-600=400

(2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5

的样本,所以

400

?

m
,解得

m=2

也就是抽取了

2

辆舒适型轿车,3

辆标准型轿车,分别记作

1000 5

S1,S2;B1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2),

- 20 -

(S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有

7 个基本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2
7
辆,至少有 1 辆舒适型轿车的概率为 .
10 (3)样本的平均数为 x ? 1 (9.4 ? 8.6 ? 9.2 ? 9.6 ? 8.7 ? 9.3 ? 9.0 ? 8.2) ? 9,
8
那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这 6 个
数,总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为 6 ? 0.75 . 8
【命题立意】:本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题.

要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答.

变式 (2009 天津卷文)

为了了解某工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从 A,B,C 三个区中抽

取 7 个工厂进行调查,已知 A,B,C 区中分别有 18,27,18 个工厂

(Ⅰ)求从 A,B,C 区中分别抽取的工厂个数;

(Ⅱ)若从抽取的 7 个工厂中随机抽取 2 个进行调查结果的对比,用列举法计算这 2 个工

厂中至少有 1 个来自 A 区的概率。
11
【答案】(1) 2,3,2(2)
21 【解析】(1)解: 工厂总数为 18+27+18=63,样本容量与总体中的个体数比为 7 ? 1 ,
63 9
所以从 A,B,C 三个区中应分别抽取的工厂个数为 2,3,2.

(2)设 A1, A2 为在 A 区中抽得的 2 个工厂,B1, B2 , B3 为在 B 区中抽得的 3 个工厂,C1, C2

为在

C

区中抽得的

2

个工厂,这

7

个工厂中随机的抽取

2

个,全部的可能结果有:

C

2 7

种,

随 机 的 抽 取 的 2 个 工 厂 至 少 有 一 个 来 自 A 区 的 结 果 有 ( A1, A2 ) ,

( A1, B2 ) ( A1, B1 ) ( A1, B3 ) ( A1,C2 ) ( A1, C1 ) ,同理 A2 还能组合 5 种,一共有 11 种。所以所求

11 11

的概率为 ?

C

2 7

21

- 21 -

【考点定位】本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件 发生的概率等基础知识,考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力。
题型四 总体分布的估计 此考点在高考中常常是结合一些实际问题考查频率分布 表与频率分布直方图,同时考查识图、用图的能力.主要 题型:(1)根据表或图中数据求解限制条件下的个体频 数与频率、参数等相关的数据;(2)频率分布表与频率 分布表或直方图的完善.
1、(08·广东)为了调查某厂工人生产某种产品的能力, 随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[45,55],[55,65], [65,75],[75,85],?85,95),由此得到频率分布直方图如图 3,则这 20 名工人中一天 生产该产品数量在?55,75),的人数是________. 【分析】 利用频率分布直方图的表示的概率意义及相关数据进行计算即可. 【解】 20×(0.040×10+0.025×10)=13. 点评:解答此类问题主要有三条途径:①利用所有分组对应的频率之和为 1;②利用公 式:频率=条形图的面积=纵坐标×横坐标,或利用公式频数=样本容量×频率;③利用 频率分布图中相关数据;④利用频率分布表绘制频率分布直方图.
2、(湖北理 17)(本小题满分 12 分)在生产过程中,测得纤维产品的纤度(表示纤维粗细的
- 22 -

一种量)共有 100 个数据,将数据分组如右表:

(I)在答题卡上完成频率分布表,并在给定的坐标系中画出频率分布直方图;

(II)估计纤度落在 [1.38,1.50) 中的概率及纤度小于

分组

频数

1.40 的概率是多少?

[1.30,1.34)

4

(III)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值

[1.34,1.38)

25

(例如区间[1.30,1.34) 的中点值是1.32 )作为代表.据

[1.38,1.42)

30

此,估计纤度的期望.

[1.42,1.46)

29

[1.46,1.50)

10

[1.50,1.54)

2

合计

100

- 23 -

解:(Ⅰ)

频率/组距

分组

频数 频率

?1.30,1.34? 4 0.04

?1.34,1.38? 25 0.25

?1.38,1.42? 30 0.30

?1.42,1.46? 29 0.29

?1.46,1.50? 10 0.10

?1.50,1.54? 2 0.02

合计

100 1.00

1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54

样本数据

(Ⅱ)纤度落在?1.38,1.50? 中的概率约为 0.30 ? 0.29 ? 0.10 ? 0.69 ,纤度小于 1.40 的概率约
为 0.04 ? 0.25 ? 1 ? 0.30 ? 0.44. 2
(Ⅲ)总体数据的期望约为
1.32?0.04 ?1.36?0.25?1.40?0.30 ?1.44?0.29 ?1.48?0.10 ?1.52?0.02 ?1.4088 .
- 24 -

变式 ( 2009广 东 卷 理 ) 根据空气质量指数 API(为整数)的不同,可将空
气质量分级如下表:
- 25 -

对某城市一年(365 天)的空气质量进行监测,获得的 API 数据按照区间[0,50] ,(50,100] ,

(100,150] , (150,200] , (200,250] , (250,300] 进行分组,得到频率分布直方图如图 5.

(1)求直方图中 x 的值;

(2)计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数;

(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率.

( 结 果 用 分 数 表 示 . 已 知 57 ? 78125 , 27 ? 128 , 3 ? 2 ? 7 1825 365 1825

? 3 ? 8 ? 123 , 365 ? 73? 5 ) 1825 9125 9125

解:(1)由图可知 50x ? 1? ( 3 ? 2 ? 7 ? 3 ? 8 ) ? 50 ? 1 ? 123 ? 50,解

1825 365 1825 1825 9125

9125

得 x ? 119 ; 18250

(2) 365? ( 119 ? 50 ? 2 ? 50) ? 219;

18250

365

(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为

119 ? 50 ? 2 ? 50 ? 219 ? 3 ,则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为1 ? 3 ? 2 ,

18250

365

365 5

55

一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为1 ? C77

(2)7 (3)0 55

?

C76

(

2 5

)

6

(

3 5

)1

?

76653
.
78125

- 26 -

【专题训练】

一、选择题

1.在抽查某产品的尺寸过程中,将其中尺寸分成若干组,[a,b]是其中一组,抽查出的个

体数在该组上的频率为 m ,该组上的直方图的高为 h ,则|a-b|等于( )

A.hm

h B.
m

m C.
h

D.与 m,n 无关

2.把一颗骰子投掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,第二次出现的

点数为 b,向量m→=(a,b),→n=(1,-2),则向量m→与向量→n垂直的概率是( )

1 A.
6

1 B.
12

1 C.
9

1 D.
18

3.中有 40 个小球,其中红色球 16 个、蓝色球 12 个,白色球 8 个,黄色球 4 个,从中

随机抽取 10 个球作成一个样本,则这个样本恰好是按分层抽样方法得到的概率为

C14C28C132C146 A.
C1400

C24C18C132C146 B.
C1400

C24C18C112C146 C.
C1400

C14C38C142C126 D.
C1400

4.某校有高级教师 26 人,中级教师 104 人,其他教师若干人.为了了解该校教师的工

资收入情况,若按分层抽样从该校的所有教师中抽取 56 人进行调查,已知从其他教师中

共抽取了 16 人,则该校共有教师人为( )

A.81

B.152

C.182

D.202

- 27 -

5.设某种动物由出生算起活到 10 岁的概率为 0.9,活到 15 岁的概率为 0.6,现有一个

10 岁的这种动物,它能活到 15 岁的概率是( )

3 A.
5

3 B.
10

2 C.
3

27 D.
50

6.从 5 张 100 元,3 张 200 元,2 张 300 元的奥运预赛门票中任取 3 张,则所取 3 张中

至少有 2 张价格相同的概率为( )

1 A.
4

79 B.
120

3 C.
4

23 D.
24

6.2009 年的 2 月有 28 天,1 月,3 月,5 月,7 月,8 月,10 月,12 月均有 31 天,其

余月均有 30 天,若从 12 个月中随机抽取 3 个月,恰有一个月有 30 天的概率是( )

7
A.
22

28
B.
55

21
C.
55

1
D.
2

7.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1、2、3、…、18 的 18 名火炬手.若从中

任选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为( )

1 A.
51

1 B.
68

1 C.
306

1 D.
408

8.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据

的平均数为 10,方差为 2,则|x-y|的值为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

9.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c

21 (a,b。,c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的期望为 2,则 + 的最小值为( )
a 3b

32 A.
3

28 B.
3

14 C.
3

16 D.
3信号源

10.右图中有一个信号源和五个接收器。接收器与信号源在

同一个串联线路中时,就能接收到信号,否则就不能接收

到信号。若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三

- 28 -

组,将右端的六个接线点也随机地平均分成三组,再把

所有六组中每组的两个接线点用导线连接,则这五个接

收器能同时接收到信号的概率是

4 A.
45
4 C.
15

1 B.
36
8 D.
15

11.已知随机变量 X 分布列如下表(n∈N*):

X

1

2

… n-1

n

1

1

1

P



x

1·2 2·3

(n-1)n

则表中 x 为( )

1 A.
n(n+1)

1

1

B.

C.

(n-1)(n-2)

n

1 D.
n+1

12.已经一组函数 y=2sin(ωx+?)(ω>0,0<?≤2π),其中? 在集合{2、3、4}中任取

? ? 2? 4? 5?

一个数,?在集合{ , , ,π, , ,2π}中任取一个数.从这些函数中任意抽取两个,

32 3

33

其图象能经过相同的平移后得到函数 y=2sinωx 的图象的概率是

()

8 A.
21

1 B.
3

4 C.
105

1 D.
30

二、填空题

13.已知数据 x1,x2,x3,…,xn 的平均数为 a,则数据 3x1+2,3x2+2,3x3+2,…,

3xn+2 的平均数是_____.

- 29 -

14.某校高中研究性学习小组对本地区 2006 年至 2008 年快餐公司发展情况进行了调查, 制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图 (如图),根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭________万 盒.
15.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a,得 2 分的概率为 b,不得分的概率为 c (a、b、c∈(0,1)),已知他投篮一次得分的数学期望为 2(不计其它得分情况),则 ab 的最大值为________. 16.在样本的频率分布直方图中,共有 4 个小长方形,这 4 个小长方形的面积由小到大
构成等差数列{an},已知 a 2 ? 2a1 ,且样本容量为 400,则小长方形面积最大的一组的频
- 30 -

数为________. 三、解答题
17.某次有奖竞猜活动中,主持人准备了 A`、B 两个相互独立问题,并且宣布:观众答 对问题 A 可获奖金 a 元,答对问题 B 可获奖金 2a 元,先答哪个问题由观众选择,只有 第一个问题答对才能再答第 2 个问题,否则终止答题。若你被选为幸运观众,且假设你
11 答对问题 A、B 的概率分别为 , .问你觉得应先回答哪个问题才能使你获得奖金的期望
23 最大?说明理由。
18.将两颗骰子先后各抛一次,a,b 表示抛甲、乙两颗骰子所得的点数.(Ⅰ)若点(a,b)落 在不等式组
- 31 -

? x>0 ? y>0 表示的平面区域内的事件记为 A,求事件 A 的概率;(Ⅱ)若点(a,b)落在直线 x ? x+y≤4
+y=m 上,且使此事件的概率最大,求 m 的值.
19.学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项,已知会唱歌的有 2 人,会跳舞的有 5 7
人,现从中选 2 人.设 ξ 为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数,且 P(ξ>0)= .(Ⅰ)求 10
文娱队的人数;(Ⅱ)写出 ξ 的概率分布列并计算 Eξ.
20.某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有 A、B 两项技术指标需要检测,设
- 32 -

5 各项技术指标达标与否互不影响。若有且仅有一项技术指标达标的概率为 ,至少一项
12 11 技术指标达标的概率为 .按质量检验规定:两项技术指标都达标的零件为合格品. 12 (Ⅰ)求一个零件经过检测为合格品的概率是多少? (Ⅱ)任意依次抽出 5 个零件进行检测,求其中至多 3 个零件是合格品的概率是多少? (Ⅲ)任意依次抽取该种零件 4 个,设 ξ 表示其中合格品的个数,求 Eξ 与 Dξ.
21.某工厂为了保障安全生产,每月初组织工人参加一次技能测试. 甲、乙两名工人通过 43
每次测试的概率分别是 和 .假设两人参加测试是否通过相互之间没有影响. 54
(Ⅰ)求甲工人连续 3 个月参加技能测试至少 1 次未通过的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人各连续 3 个月参加技能测试,甲工人恰好通过 2 次且乙工人恰好通过 1 次的概率; (Ⅲ)工厂规定:工人连续 2 次没通过测试,则被撤销上岗资格. 求乙工人恰好参加 4 次测 试后被撤销上岗资格的概率.
- 33 -

22.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要
面试合格就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设每人
1 面试合格的概率都是 ,且面试是否合格互不影响.求:(Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率;
2
(Ⅱ)签约人数? 的分布列和数学期望.

【针对训练】参考答案

一、选择题

频率

m

1.C 【解析】频率分布的直方图中 =高度,∴|a-b|= .

组距

h

2.B 【解析】掷骰子是独立事件,∵m→·→n=a-2b=0,所以 a=2b,a=2,4,6,b=1,

- 34 -

1 2,3,所求概率为 .
12
3.A 【解析】依题意,各层次数量之比为 4︰3︰2︰1,即红球抽 4 个,蓝球抽 3 个,

白球抽 2 个,黄球抽一个.

4.C 【解析】设总共有 x 人教师,由于抽样采用的是系统抽样,所以每一层次抽到的

x-26-104 16

概率是相等的,所以可得

= ,解得 x=182.

x

56

5.C 【解析】设事件 A:从 0 到 10 岁,事件 B:10 岁到 15 岁,A 与 B 互斥,C:0

0.6 2 到 15 岁,所以 P(C)=P(A)·P(B),∴P(B)= = .
0.9 3

6.C 【解析】可从对立面考虑,即三张价格均不相同,则所取 3 张中至少有 2 张价格

C15C13C12 3

相同的概率为 P=1-

=.

C130

4

6.B 【解析】 3 个月中恰有 1 个月有 30 天的情况有两种:①两个月 31 天,1 个月

30

天;②31

天,30

天,28

天,各有

1

个月,故所求概率 P

?

C72C41

? C71C41C11 C132

?

28 55

.

18×17×16 7.B 【解析】古典概型问题,基本事件总数为 C138= 3×2×1 =17×16×3,能组成以 3

为公差的等差数列有(1,4,7)、(2,5,8)、…、(12,15,18)共 12 组,因此概率 P

12

1



=.

17×16×3 68

8.D 【解析】由题意可得:x+y=20,(x-10)2+(y-10)2=8,解这个方程组需要用一

些技巧,因为不要直接求出 x、y,只要求出|x-y|,设 x=10+t,y=10-t,|x-y|

=2|t|=4.

2

2 1 3a+2b 2 1

9.D 解析:由题 3a+2b=2,其中 0<a< ,0<b<1,所以 + =

·( + )

3

a 3b 2 a 3b

1 2b a 10 16

1

=3+ + + ≥ +2= .(当且仅当 a=2b= 时取等).

3 a 2b 3

3

2

- 35 -

C26C24C22

10.D 【解析】将六个接线点随机地平均分成三组,共有

=15 种结果,五个接收

A33

器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中,有 C41·C21·C11=8 种结果,这五个接收

8 器能同时接收到信号的概率是 .
15

11.C 【解析】根据分布列的性质:x=1-[P(X=1)+P(X=2)+…+P(X=n-1)]=1

11

1

1 11

1 11

-[ + +…+

]==1-[(1- )+( - )+…+( - )]= .

1·2 2·3

(n-1)n

2 23

n-1 n n

∵n∈N*,∴表格中概率 P(X)均为非负,满足分布列的第一条性质:Pi≥0,i=1,2,…,n. 12.C 【解析】这一组函数共有 3×9=21 个,从中任意抽取个共有 C221=210 种不同的 ? 方法,其中从这些函数中任意抽取两个,向右平移 个单位得到函数 y=2sinωx 的图象有 6

?

三种情形,则有

C23=3

种取法;向右平移 个单位得到函数 3

y=2sinωx

的图象也有三种情

?

形,则有

C32=3

种取法;向右平移 个单位得到函数 2

y=2sinωx

的图象有两种情形,则有

2? C22=1 种取法;向右平移 3 个单位得到函数 y=2sinωx 的图象也有两种情形,则有 C22=

3+3+1+1 4

1 种取法;故所求概率是

=.

210

105

二、填空题

1n

1n

1n

n

1n

1n

13.3a+2 【解析】∵n?i=1xi=a,∴n?i=1(3xi+2)=n[i?=1(3xi)+?i=12]=n[3?i=1xi+2n=3·n?i=1xi+2

=3a+2.

- 36 -

1 14.85 【解析】每年平均销售盒饭为 (30×1+45×2+90×1.5)=85(万盒).
3

1

1

1 3a+2b 1

15. 【解析】由已知得 3a+2b+0×c=0,即 3a+2b=2,∴ab= ·3a·2b≤ (

)= .

6

6

62

6

16.160 【解析】:直方图中,所有矩形面积之和为 1,等差数列公差为 a1,等差数列

各项和为 10a1=1,所以 a1=0.1,最大的矩形为 0.4,频数为 400*0.4=160 三、解答题 17.【解】设先答 A、B 所得奖金分别为 ξ 和 η,则

11

1 11

11 1

5

P(ξ=0)=1- = ,P(ξ=a)= (1- )= ,P(ξ=3a)= × = ,∴Eξ= a.

22

2 33

23 6

6

12

1 11

11 1

5

P(η=0)=1- = ,P(ξ=2a)= (1- )= ,P(ξ=3a)= × = ,∴Eη= a.

33

3 26

32 6

6

由此知,先答哪题获奖金的期望一样大.

18.【解】(Ⅰ)x+y=4 上有 3 个点,x+y=3 上有 2 个点,x+y=2 上有 1 个点,事件总

数为 36,

61 故事件 A 的概率为 = .
36 6

(Ⅱ)当点 P(a,b)落在直线 x+y=m 上,所以 a+b=m,

当 a+b=2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12 时,点 P(a,b)的个数分别为 1、2、

3、4、5、6、5、4、3、2、1,

1 所以当 a+b=7 时事件的概率最大为 ,所以 m=7.
6

19.【解】设既会唱歌又会跳舞的有 x 人,则文娱队中共有(7-x)人,那么只会一项的人数是

(7-2x)人.

7 (Ⅰ)∵P(ξ>0)=P(ξ≥1)=1-P(ξ=0)= ,
10

- 37 -

3

C72?2x 3 (7-2x)(6-2x) 3

∴P(ξ=0)= ,即 = ,∴

= ,解得 x=2,

10 C27?x 10 (7-x)(6-x) 10

故文娱队共有 5 人.

(Ⅱ)? 的概率分布列为

ξ

0

1

2

3

3

1

P

10

5

10

C12C13 3

C22 1

P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = ,

C25 5

C25 10

3 3 14 ∴Eξ=0× +1× +2× = .
10 5 10 5

20.【解】(Ⅰ)设 A、B 两项技术指标达标的概率分别为 P1、P2

5

? P1·(1-P2)+P2·(1-P1)=12

3

2

2

3

? 由题意得: ? 11
1-(1-P1)(1-P2)=12

,解得 P1=4,P2=3或 P1=3,P2=4,

1

1

∴P=P1P2=2,即一个零件经过检测为合格品的概率为2.

1

1

(Ⅱ)任意抽出 5 个零件进行检查,其中至多 3 个零件是合格品的概率为 1-C54(2)4-C55(2)5

13 =
16

1

1

11

(Ⅲ)依题意知 ξ~B(4, ),Eξ=4× =2,Dξ=4× × =1.

2

2

22

21.【解】(Ⅰ)记“甲工人连续 3 个月参加技能测试,至少有 1 次未通过”为事件 A1,
4 61 P(A1)=1-A ̄1=1-(5)3=125.

(Ⅱ)记“连续 3 个月参加技能测试,甲工人恰好通过 2 次”为事件 A2,“连续 3 个月参加技能

- 38 -

测试,乙工人恰好通过 1 次”为事件 B1,则

4 4 48

4

4

3 39

P(A2)=C32(5)2(1-5)=125,P(B1)=C32(5)2(1-5)=C13·4·(1-4)2=64.

48 9 27 ∴P(A2B1)=P(A2)·P(B1)=125×64=500

27 两人各连续 3 月参加技能测试,甲工人恰好 2 次通过且乙工人恰好 1 次通过的概率为 .
500

(Ⅲ)记“乙恰好测试 4 次后,被撤销上网资格”为事件 A3,

3 1 13 1 3 P(A2)=(4)2·(4)2+4·4·(4)2=64.

22.【解】用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立,
1 且 P(A)=P(B)=P(C)= .
2
17 (Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率是 1-P( ̄A  ̄B  ̄C )=1-P( ̄A )P( ̄B )P( ̄C )=1-( )3= .
28
(Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3.
P(? ? 0) ? P(ABC) ? P(ABC) ? P(ABC) = P( A)P(B)P(C) ? P( A)P(B)P(C) ? P( A)P(B)P(C) = (1)3 ? (1)2 ? (1)3 ? 3.
2 2 28 P(? ? 1) ? P( ABC) ? P( ABC) ? P( ABC) = P( A)P(B)P(C) ? P( A)P(B)P(C) ? P( A)P(B)P(C) = (1)3 ? (1)3 ? (1)3 ? 3.
2 2 28 P(? ? 2) ? P(ABC) ? P(A)P(B)P(C) ? 1 .
8 P(? ? 3) ? P(ABC) ? P(A)P(B)P(C) ? 1 .
8
所以, ξ 的分布列是

ξ

0

1

2

3

P

3

3

1

1

8

8

8

8

ξ 的期望 E? ? 0? 3 ?1? 3 ? 2? 1 ? 3? 1 ? 1. 88 8 8

- 39 -


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