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专题3.4 以解析几何中与圆相关的综合问题-2018年高考数学备考优生百日闯关系列(原卷版)

专题三 第四关 压轴解答题 以解析几何中与圆相关 的综合问题 【名师综述】纵观近三年的高考题,解析几何题目是每年必考题型,主要体现在解析几何知识内的综合及 与其它知识之间的综合,圆不会单独出大题,一般是结合椭圆、抛物线一起考查,预计在 15 年高考中解答 题仍会重点考查圆与椭圆、抛物线相结合的综合问题,同时可能与平面向量、导数相交汇,每个题一般设 置了两个问,第(1)问一般考查曲线方程的求法,主要利用定义法与待定系数法求解,而第(2)问主要 涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大,解题 时需根据具体问题,灵 活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识,正确构造不等式,体现了 解析几何与其他数学知识的密切联系.这体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目, 从学科的整体意义、思想含义上考虑问题 ”的思想. 类型一 以圆的切线为背景的相关问题 典例 1 已知圆 C : x +y +2 x-4 y+3=0 . (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,求此切线的方程. (2)从圆 C 外一点 P( x1,y1 ) 向该圆引一条切线,切点为 M ,O 为坐标原点,且有 PM = PO ,求使得 2 2 PM 取得最小值的点 P 的坐标. 【名师指点】圆的切线的应用,往往从两个方面进行考查,一是设切线方程,利用圆心到切线的距离等于 半径列方程求解;二是结合切线长定理与勾股定理求解. 【举一反三】在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(2, 0) ,点 B(0, 2) ,点 C(? 3, ?1) . (1)求经过 A,B,C 三点的圆 P 的方程; (2)过直线 y ? x ? 4 上一点 Q,作圆 P 的两条切线,切点分别为 A,B,求证:直线 AB 恒过定点,并求出 定点坐标. 类型二 与圆有关的面积 问题 典例 2 已知圆 M 过 C (1, ?1) , D(?1,1) 两点,且圆心 M 在 x ? y ? 2 ? 0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设点 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点,PA,PB 是圆 M 的两条切线,A,B 为切点,求四边形 PAMB 面 积的最小值. [来源:Z&xx&k.Com] 【名师指点】对于平面图形的面积问题,可以直接表示或者可以利用割补的办法,以及弦长公式等,将面 积科学有效表示,其中通过设直线和曲线的交点,利用韦达定理是解决该种问题的关键. 2 2 【举一反三】如图, DP ? x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且 DM ? 2 DP ,当点 P 在圆 x ? y ? 1 上运 动时. (Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 T ?0, t ? 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线 l 交曲线 C 于 A , B 两点,求 ?AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标. 类型三 圆与其他圆锥曲线的结合问题 典例 3 已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1的切线 l 与椭圆 C : x2 ? 3 y 2 ? 4 相交于 A , B 两点. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)求证: OA ? OB ; (3)求 ?OAB 面积的最大值. 【名师指点】圆与圆锥曲线的交汇问题以公共点为基点,派生出弦长问题、中点问题、垂直问题、切线问题、 恒过定点问题、 定长问题等等,应对不同的题目,会采用不同的方式方法,但总体上仍以设而不求的处理策略为 主.常规的策略是数形结合,将数反映的形画出来,结合图形解决问题. 2 2 [来源:学科网 ZXXK] 【举一反三】 已知圆 C1 :( x + 1) + y = 8 , 点 C2 (1 ,0) ,点 Q 在圆 C1 上运动,QC2 的垂直 平分线交 QC1 于点 P . (1)求动点 P 的轨迹 W 的方程; ( 2 ) 设 M 、N 分 别 是 曲 线 W 上 的 两 个 不 同 点 , 且 点 M 在 第 一 象 限 , 点 N 在 第 三 象 限 , 若 OM ? 2ON ? 2OC1 , O 为坐标原点,求直线 MN 的斜率 kMN ; (3) 过点 S ? 0, ? ? 且斜率为 k 的动直线 l 交曲线 W 于 A,B 两点, 在 y 轴上是否存在定点 D , 使以 AB 为 直径的圆恒过这个点?若存在,求出 D 的坐标,若不存在,说明理由. 【精选名校模拟】 1.如图,在直角坐标系 xOy 中,圆 O : x ? y ? 4 与 x 轴负半轴交于点 A ,过点 A 的直线 AM , AN 分 2 2 ? ? 1? 3? 别与圆 O 交于 M , N 两点. (1)若 k AM ? 2 , k AN ? ? 1 ,求△ AMN 的面积; 2 ??? ? ??? ? [来源:学_科_网 Z_X_X_K] (2)过点 P(3 3, ?5) 作圆 O 的两条切线,切点分别为 E,F,求 PE ? PF ; (3)若 k AM ? kAN ? ?2 ,求证:直线 MN 过定点. 2.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(0,3) ,直线 l : y ? 2 x ? 4 ,设圆 C 的半径为 1,圆心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y ? x ? 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA ? 2 MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围. x2 y 2 D 在椭圆上, DF 3.如图,设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F 1 , F2 ,点 1 ? F 1F 2, a b 2 | F1F2 | . ? 2 2 , ?DF1F2 的面积为 2 | DF1 | (1)求该椭圆的标准方程; (2)是否存在圆心在 y 轴上的圆,使圆在 x 轴的上方与椭圆两个交点,且圆在这两

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