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辽宁省沈阳铁路实验中学2012-2013学年高二上学期期中考试数学理


时间:120 分钟

满分:150 分
( D. )

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中不成立的是 A.

1 1 ? a b

B.

1 1 ? a?b a

C. | a |?| b |

b ?1 a
( )

2. 设{an}是有正数组成的等比数列, Sn 为其前 n 项和。已知 a2a4=1, S3 ? 7 ,则 S5 ? A.

3. 不等式

3x ? 1 ? 1 的解集是 2? x 3 A. { x | ? x ? 2} 4 3 C. { x | ? x ? 2} 4

15 2

B.

31 4

C.

33 4

D.

17 2
( )

B. {x | x ? 2或x ? } D. { x | x ?

3 4

3 } 4

4. 下列说法中正确的是 ( ) A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价 2 2 2 2 C.“a +b =0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 全不为 0,则 a + b ≠0” D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真 5. 若数列 an ? 的通项公式是 an ? (?1)n ? (3n ? 2), 则a1 ? a2 ? A. 15 6. 不等式组 ? A B. 12 C.

?

? a10 ? (
???

)

???
)

D.

? ? y ? x ?1 的区域面积是( y ? ? 3 x ? 1 ? ?
B

1 2

3 2

C

5 2

D

1

7. 数列 ?an ? 的通项公式 a n ? A 99 B

1 n ? n ?1
C

,则该数列的前(

)项之和等于 9

96

98

D

97
( )

8. “a+c>b+d”是“a>b 且 c>d”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

9. 正项等比数列{an}与等差数列{bn}满足 a1 ? b1 , a7 ? b7 且 a1 ? a7 ,则 a4 , b4 的 大小关系为 ( )

A. a4 = b4

B. a4 < b4

C. a4 > b4

D.不确定

10. 已知函数 f(x)= 9 x ? m ? 3 x +m+1 对 x∈(0, ? ? )的图象恒在 x 轴上方,则 m 的 取值范围是 A.2-2 2 <m<2+2 2 B.m<2 C. m<2+2 2 ( D. m≥2+2 2 )

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 11. 若实数 x 、y 满足 ? y ? 3 且 x 2 ? y 2 的最大值等于 34, 则正实数 a 的值等于( ?ax ? y ? a ? 0 ?
A、

)

3 5

B、

3 4

C、

5 3

D、

4 3

12. 用两种金属材料做一个矩形框架,按要求长(较长的边)和宽选用的金属材料的价格分 别为 3 元/米和 5 元/米,且长和宽必须是整数米,现预算花费不超过 100 元,则做成矩 形框架围成的最大面积是 A.40 米
2


2



B.30 米

C.20 米

2

D.35 米

2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 等差数列 {an } 中, an ? an?1 ? an?2 ? 3 , Sn ? 18 , S3 ? 1 ,则 n = 14. 已知 x ? 0, 函数 y ? 2 ? 3x ? ;

4 的最大值是 x


.

15. 命题: ? x∈R,x>0 的否定是

3 16. 若不等式 x ? ax ? 的解集是(4,m) ,则 a= 2

,m=

.

18. 已知 ?an ? 是首项为 19,公差为-2 的等差数列, Sn 为 ?an ? 的前 n 项和. (Ⅰ)求通项 an 及 Sn ; (Ⅱ) 设 ?bn ? an ? 是首项为 1, 公比为 3 的等比数列, 求数列 ?bn ? 的通项公式及其前 n 项和 Tn .

19. 某工厂家具车间造 A、B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做 一张 A、B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张 A、B 型桌子分别需要 3 小时和 1 小时;又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时,而工厂造一张 A、B 型桌子分 别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A、B 型桌子各多少张,才能获得利润最大?

20. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,Sn=nan-2n(n-1). (1)求数列{an}的通项公式 an;
? 1 ? 1 1 (2)设数列?a a ?的前 n 项和为 Tn,求证: ≤Tn< . 5 4 + ? n n 1?

21. 解关于 x 的不等式 ax2 ? 2(1 ? a) x ? 4 ? 0

高二数学试题参考答案(理)

因为 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,所以 ? q ? ? p ,且 ? p 推不出 ? q 而 CR B ? ?x | ?4 ? x ? ?2? , CR A ? ?x | x ? 3a, 或x ? a? 所以 ?x | ?4 ? x ? ?2? ? ?x | x ? 3a或x ? a? ,则 ? 即? 18.

?3a ? ?2 ?a ? ?4 或? ?a ? 0 ?a ? 0

2 ? a ? 0或a ? ?4 3

19.

?x ? 2 y ? 8 ? 解:设每天生产 A 型桌子 x 张,B 型桌子 y 张,则 ?3 x ? y ? 9 ? x ? 0, y ? 0 ?
目标函数为:z=2x+3y 作出可行域:

把直线 l :2x+3y=0 向右上方平移至 l ? 的位置时,直线经过可行域上的点 M,且与原点距 离最大,此时 z=2x+3y 取最大值 解方程 ?

?x ? 2 y ? 8 得 M 的坐标为(2,3). ?3x ? y ? 9

答:每天应生产 A 型桌子 2 张,B 型桌子 3 张才能 获得最大利润。

20. (1)解:由 Sn=nan-2n(n-1)得 an+1=Sn+1-Sn=(n+1)an+1-nan-4n, 即 an+1-an=4.∴数列{an}是以 1 为首项,4 为公差的等差数列, ∴an=4n-3. 1 1 1 1 1 + + +…+ = a1a2 a2a3 anan+1 1×5 5×9 9×13 ?4n-3?×?4n+1? 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?1- + - + - +…+ ?= ?1- ? - ? 5 5 9 9 13 ? ? 4n+1?<4. 4n-3 4n+1? 4? ? ? (2) 证 明 : Tn = + +…+ = 1 1 1 又易知 Tn 单调递增,故 Tn≥T1= ,得 ≤Tn< . 5 5 4 21. 解:原不等式等价与: (ax ? 2)(x ? 2) ? 0 当 a ? 0 时, x ? 2 ; 1 1 1

2 2 2 ( x ? )( x ? 2) ? 0 ?0?2 ?x?2 a 当 a ? 0 时, ,由 a 知, a ; 2 2 1? a ( x ? )( x ? 2) ? 0 ?2? 2 a a 当 a ? 0 时, ,考虑 a 2 2 ?2 x? a; 当 0 ? a ? 1 时, a ,故 x ? 2 或 2 ?2 当 a ? 1 时, a ,故 x ? 2 ; 2 2 ?2 x? a 或x ? 2 当 a ? 1 时, a ,故 2 ( ,2) 综上所述:当 a ? 0 时,该不等式的解集为 a ;
当 a ? 0 时,该不等式的解集为 (??,2)

2 (?? ,2) ? ( ,?? ) a 当 0 ? a ? 1 时,该不等式的解集为 ; 2 (?? , ) ? (2,?? ) a 当 a ? 1 时,该不等式的解集为


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