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第三节两角和与差及二倍角三角函数公式


高考总复习?数学(文科)

第三章
第三节 两角和与差及二倍角三角 函数公式

高考总复习?数学(文科)

正用和、差及二倍角三角公式求值 , 逆用 和、差、倍角三角公式求值 【例1】 (1)若sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β= 等于( ) ,且α是第

二象限角,则tan

A.7

B.-7

C.

D.-
)

? π? (2)已知 cos?α- ?+sin 6? ?

? 7 ? 4 α=5 3,则sin?α+6π? 的值是( ? ?

高考总复习?数学(文科) 思路点拨:由题设,需先求出cos α的值,再运用和、差、 二倍角公式. 解析:(1)∵sin(α-β)sin β-cos(α-β)cos β= ∴cos α=- ∴sin α= .又α是第二象限角, . ,

,则tan α=-

∴tan=

.

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高考总复习?数学(文科) 点评: (1) 两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同

名不同角的三角函数运算规律”,对公式要会“正用”“逆
用”“变形用”; (2) 应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值,其关 键是熟练掌握公式的特点,准确使用公式; (3) 已知三角函数值求角,应根据条件确定角的范围,然

后选择求取值范围内的具有单调性的一个三角函数值,最后由
三角函数值求角的值; (4) 常与同角三角函数的基本关系式、诱导公式综合考查 三角函数求值问题.

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变式探究 1.(1)(2013· 揭阳一模)计算:log sin 15°+log cos 15°=
________. (2)若α∈ ________. 解析:(1)原式=log =log (sin 15°cos 15°)
2=2.

,且sin 2α+cos 2α=

,则tan α的值等于

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(2)由二倍角公式可得sin2α+1-2 sin2α= ,即sin2α= 又因为α∈ 所以sin α= , ,即α= ,所以tan α=tan = .



答案:(1)2 (2)

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配角法(角的变换)的运用
【例2】 (2013· 镇江模拟)已知cos cos α=________. 思路点拨:(1)对于有条件限制的求值问题,要善于发现 ,α∈ ,则

所求的三角函数的角与已知条件的角的联系,一般采用配角
与拆角的方法;(2)要注意和、差、倍角公式及平方关系的正 用、逆用.

高考总复习?数学(文科) 解析:∵α∈ ∴sin=

故cos α=cos





答案:

高考总复习?数学(文科) 点评:在解答有条件限制的求值问题时,要善于发现所 求的三角函数的角与已知条件的角的联系,一般方法是配角 与拆角,如

等.变角主要是将所求角转化为同角、特殊
角、已知角或它们的和、差、两倍、一半等.注意角的范围 对函数值的影响.

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变式探究
2. (1)若0<α< ,- <β<0,

(2)(2012· 合肥模拟)已知α为第二象限角,sin α= 一象限角,cos β=

,β为第

,则tan(2α-β)的值为______.

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高考总复习?数学(文科) 三角函数的给值求角

【例3】

如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边
.

作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A、B两点,已 知A、B的横坐标分别为

(1)求tan(α+β)的值;
(2)求α+2β的值.

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答案:(1)C (2)
再求2α-β的正切值)

(也可先求2α-β的正弦、余弦值,

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点评: 三角函数的“给值求角”问题,一般是根据题 设条件先求这个角所对应的三角函数值,再根据所求角的所

在范围确定这个角的大小.解决这类问题,重点是三角函数
值的求解,难点是角的范围的确定.

高考总复习?数学(文科) 变式探究 3.已知cos α= 则β=________. ,cos(α-β)= ,且0<β<α< ,

解析:∵0<β<α<
又∵cos(α-β)= ∴sin(α-β)=

,∴0<α-β<


.

∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β)=

高考总复习?数学(文科) 同角公式、和差倍角公式的综合运用 【例4】 (2013· 深圳一模)已知函数f(x)=2sin
?πx π? ? + ? 3? ?6

(0≤x≤5),点A、B分别是函数y=f(x)图象上的最高点和最低

点.
(1)求点A、B的坐标以及 的值;

(2)设点A、B分别在角α、β的终边上,求tan(α-2β)的值.

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高考总复习?数学(文科) 点评:在综合使用两角和与差、二倍角公式化简求值时, 要注意以下几点:

(1)熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用;
(2)擅于拆角、配角;

(3)注意二倍角的相对性;
(4)注意角的范围;

(5) 熟悉常用的方法和技巧,如切化弦、异名化同名、
异角化同角等.

高考总复习?数学(文科) 变式探究 4.(2012· 南京二模)设向量a=(2,sin θ),b=(1,cos θ), θ为锐角. (1)若a· b= ,求sin θ+cos θ的值; 的值.

(2)若a∥b,求sin

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