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初高中数学衔接教材(第五课时)几何部分

初高中数学衔接教材
第五课时 课前回顾: 1.解不等式 (1) x ? 6 x ? 5 ? 0
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( x ? 1)(x ? 2) (2) ?0 ( x ? 1)(x ? 3)

? x 2 ? y 2 ? 26 (3) ? ? xy ? 5

2.求二次函数 y ? 2 x 2 ? 3x ? 5 在 ? 2 ? x ? 2 上的最大值和最小值,并求出函数取得最大值和最小值时所 对应的 x 值.

3.一元二次方程 x ? 4 x ? a ? 0 有两个实数根,一个比 3 大,一个比 3 小,求 a 的取值范围.
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一、

二次函数图象的对称变换

例 1、求把二次函数 y=2x2-4x+1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式: (1) 直线 x=-1; y y (2)直线 y=1. x=-1 B(1,3) y=1 O A1(-3,-1) 图 2.2-7 A(1,-1) x O A(1,-1) 图 2.2-8 x

针对训练: 求把二次函数 y=x2-2x+3 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式: (1)直线 x=1; (2)直线 y=-1.

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二、与圆有关的比例线段
定理 图形 相交弦定 理 已知 结论 ⊙O 中,AB、CD 为弦,交 PA·PB=PC·PD. 于 P. 证法 连 结 AC 、 BD , 证 : △APC∽△DPB.

相交弦定 理的推论

⊙O 中, AB 为直径, CD⊥AB PC =PA·PB. 于 P.

2

用相交弦定理.

切割线定 理

⊙O 中,PT 切⊙O 于 T, PT =PA·PB 割线 PB 交⊙O 于 A

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连 结 TA 、 TB , 证 : △PTB∽△PAT

割线定理

PB、 PD 为⊙O 的两条割线, PA·PB=PC·PD 交⊙O 于 A、C

过 P 作 PT 切⊙O 于 T,用 两次切割线定理

例1.⊙O 中的两条弦 AB 与 CD 相交于 E,若 AE=6cm,BE=2cm,CD=7cm,那么 CE=_________cm。

例2.如图3,P 是⊙O 外一点,PC 切⊙O 于点 C,PAB 是⊙O 的割线,交⊙O 于 A、B 两点,如果 PA:PB=1: 4,PC=12cm,⊙O 的半径为10cm,则圆心 O 到 AB 的距离是___________cm。

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三、平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 例1 如图, l1 // l2 // l3 ,

且 AB = 2, BC = 3, DF = 4, 求 DE, EF .

1.如图, V ABC 中,AD=DF=FB,AE=EG=GC,FG=4,则( A.DE=1,BC=7 B.DE=2,BC=6 C.DE=3,BC=5 D.DE=2,BC=8



四、射影定理
Rt△ABC 中,∠C=90?,CD⊥AB 于 D,则 CD = AC = BC =
2 2 2

C

· · ·
A D B

例 1、 如图,在直角三角形 ABC 中, ?BAC 为直角, AD ^ BC于D . 求证: (1) AB 2 = BD ?BC , AC 2 = CD ?CB ; (2) AD2 = BD ?CD

针对训练:
1、已知:如图,△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,S△ABC=20,AB=10. 求 AD、BD 的长.

2、已知,△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D。(1)若 AD=8,BD=2,求 AC 的长。(2)若 AC=12,BC=16, 求 CD、AD 的长.

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五、三角形的重心

三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内 部,恰好是每条中线的三等分点. 求证三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为 2:1. 已知 D、E、F 分别为 V ABC 三边 BC、CA、AB 的中点, 求证 AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2:1. 证明 连结 DE,设 AD、BE 交于点 G, 1 Q D、E 分别为 BC、AE 的中点,则 DE//AB,且 DE = AB , 2 \ VGDE ∽ VGAB ,且相似比为 1:2,
\ AG = 2GD, BG = 2GE .

设 AD、CF 交于点 G ' ,同理可得, AG ' = 2G ' D, CG ' = 2G ' F. 则 G 与 G ' 重合, \ AD、BE、CF 交于一点,且都被该点分成 2 :1 .

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