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2007-2014年高考数学(文科)试题及答案(广东卷)


2007年广东省高考数学(文科)
一、 选择题:本大题共l0小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 M ? {x |1 ? x ? 0} , N ? {x |

1 ? 0} ,则 M 1? x

N=
D.{x |x≥-1}

A.{x|-1≤x<1} B.{x |x>1} C.{x|-1<x<1} 2.若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b是实数),则b= A.-2
3

B. ?

1 2

C.

1 2

D.2

3.若函数f(x)=x (x∈R),则函数y=f(-x)在其定义域上是 A.单调递减的偶函数 B.单调递减的奇函数 C.单凋递增的偶函数 D.单涮递增的奇函数 4.若向量 a, b 满足 | a |?| b |? 1 , a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 a ? a ? a ? b ?

A.

1 2

B.

3 2

C. 1 ?

3 2

D.2

5. 客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地, 在乙地停留了半小时, 然后以80km /h的速度匀速行驶l小时到达丙地。 下列描述客车从甲地出发, 经过乙地, 最后到达 丙 地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中,正确的是

6.若 l , m, n 是互不相同的空间直线, ? , ? 是不重合的平面,则下列命题中为真命题的是

1

7.图l是某县参加2007年高考的学 生身 高条形统计图,从左到右的各条形表示 的学生人数依次记为4,、A:、?、A,。 (如A: 表示身高(单位: cm)在[150, 155) 内的学生人数). 图2是统计图l中身高在 一定范围内学生人数的一个算法流程 图 . 现 要 统 计 身 高 在 160 ~ 180cm( 含 160cm,不含180cm)的学生人数,那么在 流程图中的判断框内应填写的条件是 A.i<9 B.i<8 C.i<7 D.i<6 8.在一个袋子中装有分别标注数字1, 2, 3,4,5的五个小球,这些小球除标注 的数字外完全相同.现从中随机取出2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是

9.已知简谐运动 f ( x) ? 2sin( 正周期T 和初相 ? 分别为

?
3

x ? ? )(| ? |?

?
2

) 的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小

10.图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给 A、 B、C、D四个维修点某种配件各50件.在使用前发现需将 A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件, 但调整只能在相邻维修点之间进行.那么要完成上述调整,最少 的调动件次(n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n)为 A.18 B.17 C.16 D.15 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选 做一题,两题全答的,只计算前一题得分. 11.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线关于x轴对称,顶点在原点O,且过点P(2,4),则 该抛物线的方程是 . 12.函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是 . 2 13.已知数列{an}的前n项和Sn=n -9n,则其通项an= ;若它的第k项满足5<ak<8,则 k= 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线l的方程为ρsinθ=3,则点(2,π/6)到 直线l的距离为 . 15.(几何证明选讲选做题)如图4所示,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3过C作圆的切 线l,过A作l的垂线AD,垂足为D, 则∠DAC= .

2

三、解答题:本大题共6小题,满分80分. 16.(本小题满分14分) 已知ΔABC_三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0). (1)若 AB ? AC ? 0 ,求c的值; (2)若C=5,求sin∠A的值.

17.(本小题满分12分) 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该儿何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S

18(本小题满分12分) F表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生 产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据
3 y 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a; (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归 方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:32.5+43+54+64.5=66.5)

19(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy巾,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆C与直线 y ? x 相切 于坐标原点0.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. a2 9

(1)求圆C的方程; (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离 等于线段OF的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分14分)
2 已知函数 f ( x) ? x ? x ?1 , ? , ? 是力程以 f ( x) ? 0 的两个根(α>β), f ?( x ) 是 f ( x) 的

3

f (an ) (1)求 ? , ? 的值; (2)已知对任意的正 (n ? 1, 2,3, ) f ?(an ) a ?? 整数 n 有 an ? ? ,记 bn ? ln n (n ? 1, 2,3, ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an ? ?
导数,设 a1 ? 1, an ?1 ? an ?

21.(本小题满分l4分) 已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a .如果函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零 点,求 a 的取值范围.

4

2007年广东省高考数学(文科)试题及详细解答
一、 选择题:本大题共l0小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是 符合题目要求的. 1.【解析】 M ? (?1, ??), N ? (??,1) ,故 M

N ? (?1,1) ,选(C).

2.【解析】 (1 ? bi)(2 ? i) ? (2 ? b) ? (2b ? 1)i ,依题意 2 ? b ? 0 ? b ? 2 , 选(D). 3.【解析】函数 y ? f (? x) ? ? x3 单调递减且为奇函数,选(B).
2 4.【解析】 a ? a ? a ? b ?| a | ? | a | ? | b | cos 60? ?

3 ,选(B). 2

5.【解析】依题意的关键字眼“以80km/h的速度匀速行驶l小时到达丙地”选得答案(C). 6. 【解析】逐一判除,易得答案(D). 7.【解析】身高在160~180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数为 A4 ? A5 ? A6 ? A7 ,算 法流程图实质上是求和,不难得到答案(B).

8.【解析】随机取出2个小球得到的结果数有 ? 5 ? 4 ? 10 种(提倡列举).取出的小球标
注的数字之和为3或6的结果为 {1, 2},{1,5},{2, 4} 共3种,故所求答案为(A). 9. 【解析】依题意 2sin ? ? 1 ,结合 | ? |?

1 2

?
2

可得 ? ?

?
6

,易得 T ? 6 ,故选(A).

10. 【解析】很多同学根据题意发现n=16可行,判除A,B选项,但对于C,D选项则难以作出选择,事 实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决 .设 A ? B 的件数为 x1 (规定:当

x1 ? 0 时 , 则 B 调 整 了 | x1 | 件 给 A, 下 同 !), B ? C 的 件 数 为 x2 , C ? D 的 件 数 为 x3
,

D

?A









x4

,











x4 ? 50 ? x1 ? 40 , x1 ? 50 ? x2 ? 45 , x2 ? 50 ? x3 ? 54 , x3 ? 50 ? x4 ? 61 , 从 而 x2 ? x1 ? 5
,

x3 ? x1 ? 1

,

x4 ? x1 ?10

,











f ( x1 ) ?| x1 | ? | x1 ? 5 | ? | x1 ?1| ? | x1 ?10 | ,画出图像(或绝对值的几何意义 )可得最小
值为16,故选(C). 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题是选做题,考生只能选 做一题,两题全答的,只计算前一题得分.
2 2 11.【解析】设所求抛物线方程为 y ? ax ,依题意 4 ? 2a ? a ? 8 ,故所求为 y ? 8x .

2

5

12【解析】由 f ?( x) ? ln x ? 1 ? 0 可得 x ?

1 1 ,答案: ( , ??) . e e

13.【解析】{an}等差,易得 an ? 2n ?10 ,解不等式 5 ? 2k ? 10 ? 8 ,可得 k ? 8 14.【解析】法1:画出极坐标系易得答案2; 法2:化成直角方程 y ? 3 及直角坐标 ( 3,1) 可 得答案2. 15.【解析】由某定理可知 ?DCA ? ?B ? 60? ,又 AD ? l , 故 ?DAC ? 30? . 三、解答题:本大题共6小题,满分80分. 16.(本小题满分14分) 已知ΔABC_三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0). (1)若 AB ? AC ? 0 ,求c的值; 【 解 (2)若C=5,求sin∠A的值. 析 】

(1) AB ? (?3, ?4), AC ? (c ? 3, ?4) ??????????????????????4分 由 AB ? AC ? 0 可 得 ?3 c ? ? ??? 6 分 , ( ? 3) ? 16 ??0 解得

c?

25 ??????8分 3
, Δ 5 ,B ?C 5ABC 为 等 腰 三 角

(2) 当 c ? 5 时 , 可 得 A B ?5 , A ? C 2 形?????????10分

过 B 作 BD ? AC 交 AC 于 D , 可 求 得 BD ? 2 5 ? ? 12 分



sin A ?

BD 2 5 ??14分 ? AB 5

(其它方法如①利用数量积 AB ? AC 求出 cos A 进而求 sin A ;②余弦定理正弦定理等!) 17.(本小题满分12分) 已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形,正视图(或称主 视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形,侧视图(或称左视 图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. (1)求该儿何体的体积V; (2)求该几何体的侧面积S 【解析】画出直观图并就该图作必要的说明. ???????3分 (2) V ? 64 ?????7分 (3) S ? 40 ? 24 2 ???12分

18(本小题满分12分) F表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生 产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据
3 4 5 6

6

y

2.5

3

4

4.5

(1)请画出上表数据的散点图; (2)请根据上表提供的数据,崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a; (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归 方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:32.5+43+54+64.5=66.5) 【解析】 (1)画出散点图. ???????????????????????????? 3分 (2)

? xi yi ? 66.5
i ?1

4

,

4 x ? y ? 63

,

?x
i ?1

4

2

i

? 86

,

4 x ? 81 ?????????????7分
由 所 提 供 的 公 式 可 得 b ? 0 . 7a ? 0 . 3 , 5故 所 求 线 性 回 归 方 程 为

2

y ? 0.7 x ? 0.35 ???10分
(3) 吨. ?????????????????????12分 19(本小题满分14分) 在平面直角坐标系xOy巾,已知圆心在第二象限、半径为 2 2 的圆C与直线 y ? x 相切 于坐标原点0.椭圆

100 ? (0.7 ?100 ? 0.35) ? 29.65

x2 y 2 ? ? 1 与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. a2 9
2

(1)求圆C的方程; (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离 等于线段OF的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)设圆的方程为 ( x ? s) ? ( y ? t ) ? 8 ?????????2分

| s ?t | ? 2 2 , s ? 0, t ? 0 ????5分 2 2 解得 s ? ?2, t ? 2 ,故所求圆的方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 ????????7分
2 2 依题意 s ? t ? 8 ,

(注:此问若结合图形加以分析会大大降低运算量!)

x2 y 2 ? ?1 , 焦 点 (2) 由 椭 圆 的 第 一 定 义 可 得 2a ? 10 ? a ? 5 , 故 椭 圆 方 程 为 25 9 F ( 4 , 0?? ) 9分 设 Q( x0 , y0 ) , 依题意 ( x0 ? 4)2 ? y02 ? 16 , ( x0 ? 2)2 ? ( y0 ? 2)2 ? 8 ??????? 11
分 解 得 x0 ?

4 12 , y0 ? 或 x0 ? 0, y0 ? 0 ( 舍 去 ) ? ? ? ? ? ? ? ? 13 分 5 5

存在

Q(

4 12 , ) ??14分 5 5
已知函数 f ( x) ? x ? x ?1 , ? , ? 是力程以 f ( x) ? 0 的两个根(α>β), f ?( x ) 是 f ( x) 的
2

20.(本小题满分14分)

7

f (an ) (1)求 ? , ? 的值; (2)已知对任意的正 (n ? 1, 2,3, ) f ?(an ) a ?? 整数 n 有 an ? ? ,记 bn ? ln n (n ? 1, 2,3, ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an ? ?
导数,设 a1 ? 1, an ?1 ? an ? 【解析】(1)求根公式得 ? ? (2)

?1 ? 5 ?1 ? 5 , ? ? ????3分 2 2 a 2 ?1 ? ? ? 5 分 f ?( x) ? 2 x ? 1 ? ? ? 4 分 an?1 ? n 2an ? 1

? 2 ? 1 ? ? , ? 2 ? 1 ? ? ??7分
bn?1 ? ln
10分 ∴数列 {bn } 是首项 b1 ? ln ∴

an?1 ? ? a 2 ? 2? an ? 1 ? ? a 2 ? 2? an ? ? 2 a ?? 2 ? ln n 2 ? ln n 2 ? ln( n ) ? 2bn ? ? 2 an?1 ? ? an ? 2? an ? 1 ? ? an ? 2? an ? ? an ? ?
a1 ? ? 5 ?1 ,公比为 q ? 2的等比数列???11分 ? 4ln a1 ? ? 2

Sn ?

b1 (1 ? q n ) 5 ?1 ?????????????????????14分 ? 4 ? (2n ? 1) ln 1? q 2

21.(本小题满分l4分) 已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a .如果函数 y ? f ( x) 在区间[-1,1]上有零 点,求 a 的取值范围. 【 解 析 】 若 a ? 0 , 则 f ( x) ? 2 x ? 3 , 令 f ( x ) ? 0 ? x ?

a ? 0 ???2分
当 f ( x) 在

3 ? [?1,1] , 不 符 题 意 , 故 2

[-1,1] 上 有 一 个 零 点 时 , 此 时 ?

a ? (a 3 ? ) 0 ?? ? 4 ? 8 ? 或 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 2a ?


f (?1) ? f (1) ? 0 ???6分
解 得

a?

1 ? a ? 5 ?????????????????????????8分 当 在 [-1,1] 上 有 两 个 零 点 f ( x) ?? ? 4 ? 8a(3 ? a) ? 0 ? 1 ? ????????????10分 ?1 ??1 ? ? 2a ? ? ? f (?1) ? f (1) ? 0
? ?3 ? ? ? 7 或a ? ?a ? 2 2 ? 1 1 ? ?a ? ? 或a ? 2 2 ? ?a ? 1或a ? 5 ? ?

?3 ? 7 2



,



3






8

a?

?3 ? 7 1 或 ? a ? 1或a ? 5 ??????12分 2 2
上 , 实 数



a













?3 ? 7 1 ] [ , ??) . ??????????????14分 2 2 2 ( 别 解 : 2ax ? 2 x ? 3 ? a ? 0 ? (2 x2 ?1)a ? 3 ? 2 x , 题 意 转 化 为 知 x ?[?1,1] 求 3 ? 2x 2 a? 2 的值域,令 t ? 3 ? 2 x ? [1,5] 得 a ? 转化为勾函数问题.) 7 2x ?1 t ? ?6 t (??,

9

2008 年全国高考数学试题(文科)广东卷
一.选择题:共 10 个小题,每小题 5 分,满分 50 分,每小题只有一个答案是符合要求的 1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于 2008 年 8 月 8 日在北京举行,若集合 A ? ?参加北京奥运会比赛的运动员 ? ,集合 B ? ?参加北京奥运会比赛的男运动员? ,集合 A.A ? B B.B ? C C..A∩B=C 2.已知 0<a<2,复数 z=a+i(i 是虚数单位),则|z|的取值范围是 A.(1, 3 ) A. ? ?2, ?4? B. (1, 5 ) B. ? ?3, ?6? C.(1,3) C. ? ?4, ?8? 3.已知平面向量 a ? ?1, 2 ? , b ? ? ?2, m ? ,且 a // b ,则 2a ? 3b ? D. ? ?5, ?10? 4.记等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S1=4,S4=20,则该数列的公差 d= A.7 B.6 C.3 D.2
2 5.已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin x ,x∈R,则 f ( x ) 是 A.最小正周期为 ? 的奇函数 B.最小正周期为 ? 的偶函数

C ? ?参加北京奥运会比赛的女运动员 ? ,则下列关系正确的是

D..B∪C=A D.(1,5)

C.最小正周期为

6.经过圆 x2+2x+y2=0 的圆心 G,且与直线 x+y=0 垂直的直线方程是 A. x ? y ? 1 ? 0 B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0 D. x ? y ? 1 ? 0 7. 将正三棱柱截去三个角 (如图 1 所示 A, B, C 分别是△CHI 三边的中点)得到几何体如 图 2,则该几何体按图 2 所示方向的侧视图 (或称左视图)为
B B

? 的奇函数 2

D.最小正周期为
H B I E F D A C G

? 的偶函数 2
A B 侧视 E F D C

B

B

E A

E B

E C

E D

8.命题“若函数 f ( x) ? loga x (a>0,a≠1)在其定义域内是减函数,则 loga 2 <0”的逆 否命题是 A.若 loga 2 <0,则函数 f ( x) ? loga x (a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 B.若 loga 2 ≥0,则函数 f ( x) ? loga x (a>0,a≠1)在其定义域内不是减函数 C.若 loga 2 <0,则函数 f ( x) ? loga x (a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 D.若 loga 2 ≥0,则函数 f ( x) ? loga x (a>0,a≠1)在其定义域内是减函数 9.设 a∈R,若函数 y=e5+ax,x∈R 有大于零的极值点,则 A.a< ?1 B.a> ?1 C.a> ?

1 c

D.a< ?

1 c
2 2

10.设 a, b∈R,若 a ? b >0,则下列不等式中正确的是 A . b ? a >0 B.a3+b3<0 C.b+a>0 D. a ? b <0 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11-13 题)

10

11.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数 量.产品数量的分组区间为 ?45,55? , ?55,65? , ?65,75? , ?75,85? , ?85,95? ,由此得到 是 .
频率/组距 0.040 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 45 55 65 75 85 95 产品数量

频率分布直方图如图 3 ,则这 20 名工人中一天生产该产品数量在 ?55, 75? 的人数

开 始

输 入 m,n i=1

a=m? i i=i+1 n整 除 a? 是 输 出 a,i

图3

?2 x ? y ? 40, ? x ? 2 y ? 50, ? 12.若变量 x,y 满足 ? 则 z=3x+2y 的最 x ? 0, ? ? ? y ? 0,
大值是________。



结束 图4 13.阅读图 4 的程序框图,若输入 m=4,n=3,则输出 a=_______,i=________。 (注:框图中的赋值符号“=”,也可以写成“←”或“:=”)

(二)选择题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C1 与 C2 的极坐标方向分别为 ? cos ? ? 3 ,

? ? 4 cos ? ( ? ≥0,0≤θ <

? ),则曲线 C1 与 C2 交点的极坐标为________. 2

15.(几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切点,切点为 A,PA=2.AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于 B 点,PB=1,则圆 O 的半径 R=________. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=Asin(x+ ? )(A>0,0< ? < ? ),x ? R 的最大值是 1,其图像经过点 M ? (1) 求 f(x)的解析式; (2) 已知 ? , ? ? ? 0, ? ,且 f( ? )=

?? 1? ,? . ? 3 2?

? ?

??
2?

3 12 ,f( ? )= ,求 f( ? ? ? )的值. 5 13

17.(本小题满分 12 分) 某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平 方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x (单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?

11

(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= 购地总费用 ) 建筑总面积 18.(本小题满分 14 分) 如图 5 所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的 P 圆的内接四边形,其中 BD 是圆的直径,∠ ABD=60 ° , ∠ BDC=45°,△ADP~△BAD. (1)求线段 PD 的长; (2)若 PC= 11 R,求三棱锥 P-ABC 的体积.

A

D

图5

B C

19.(本小题满分 13 分) 某初级中学共有学生 2000 名,各年级男、女生人数如下表: 初一年级 初二年级 初三年级 373 x y 女生 377 370 z 男生 已知在全校学生中随机抽取 1 名,抽到初二年级女生的概率是 0.19. (1) 求 x 的值; (2) 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,问应在初三年级抽取多少名? (3) 已知 y ? 245,z ? 245,求初三年级中女生比男生多的概率. 20.(本小题满分 14 分)
Y F G

x2 y2 设 b > 0 ,椭圆方程为 2 ? 2 =1,抛物 2b b

线方程为 x2=8(y-b).如图 6 所示,过点 F (0,b+2)作 x 轴的平行线,与抛物线在第 一象限的交点为 G , 已知抛物线在 G 点的 切线经过椭圆的右焦点 F 1,

O F1 B A X (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线 方 程 ; 图6 (2)设 A, B 分别是椭圆的左右端点,试探究在抛物线上是否存在点 P ,使 ABP 为直角 三角形?若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必求出这些点的坐标)。

an ? 21. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 2 ,

数列 ?bn ? 满足 b1=1,bn(n=2,3, ? ) 是非零整数,且对任意的正整数 m 和自然数 k ,都有 (1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn ? nanbn (n ? 1, 2,

1 ? an?1 ? 2an?2 ? (n ? 3, 4 ) , 3

?1 ? bm ? bm?1 ?

? bm?k ? 1

) ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn.
12

2008 年全国高考数学试题(文科)
广东卷参考答案
一.选择题 DBCCD AABAC 二.填空题 11.13; 12.70; 13.12,3; 14. ? 2 3, 三.解答题:

? ?

?? ?

?? ? , ? 2 3, ? ? ; 15. 3 6? ? 6?

? ? 4? ?? ? ?? ? 1 ? ? sin ? ? ? ? ? ,又 3 ? 3 ? ? ? 3 ?3? ?3 ? 2 ? 5? ? ?? ? 所以 ? ? ? 即 ? ? ,因此 f ( x) ? sin ? x ? ? ? cos x 3 6 2 2? ? 3 12 ? ?? (2)因为 f (? ) ? cos ? ? , f ( ? ) ? cos ? ? 且 ? , ? ? ? 0, ? 5 13 ? 2? 4 5 所以 sin ? ? ,sin ? ? 5 13 3 12 4 5 56 ? 。 f (? ? ? ) ? c o?s? ? ? s co ?s ? s ? i n ?? s i? n ? ? ? ? c o? 5 13 5 13 65 17.解:设楼房每平方米的平均综合费为 f ( x ) 元,则 2160 ? 10000 10800 ? 560 ? 48 x ? ( x ? 10, x ? z ? ) f ( x) ? ?560 ? 48x ? ? 2000 x x 10800 f ' ( x) ? 48 ? ,令 f ' ( x) ? 0, 得 x ? 15 x2 ' ' 当 x > 15 时, f ( x) > 0 ,当 0 < x < 15 时, f ( x) < 0 因此,当 x ? 15 时, f ( x ) 取最小值 f (15) ? 2000
16.解:(1)依题意知 A ? 1 , f ? 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。 18.解:(1)因为 BD 是园的直径,所以 ?BAD ? 90 又△ADP~△BAD. 所以

AD DP AD ? , DP ? BA AD BA

2

BD sin 60 ? 4 R ? 4 ? ? ? ? 3R ? BD sin 30 ? 2R ? 1
2

3

2

(2)在 Rt BCD 中, CD ? BD cos 45 ? 2R 因为 PD ? CD ? 9R ? 2R ? 11R
2 2 2 2 2

所以 PD ? CD 又 ?PDA ? 90 所以 PD ? 底面 ABCD

? 3 1 1 2 1 2? 3? 2 AB ? BC sin ? 60 ? 45 ? ? R ? 2 R ? ? ? ? ? R ? ? ? 2 2 2 2 2 ? 4 ? 2 三棱锥 P ? ABC 体积为 1 1 3 ?1 2 3 ?1 3 VP ? ABC ? ? S ABC ? PD ? ? R ? 3R ? R 3 3 4 4 x ? 0.19 ,所以 x ? 380 19.解:(1)因为 2000 S
ABC

?

13

(2)初三年级人数为 y ? z ? 2000 ? (373 ? 377 ? 380 ? 370) ? 500 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生,应在初三年级抽取的人数为

48 ? 500 ? 12 名 2000

? y, z ? ,由(2)知 y ? z ? 500 ,且 y, z ? Z ? 基本事件共有 ? 245,255? , ? 246,254? , ? 247,253? , ? 255,245? 共 11 个, 事件 A 包含的基本事件有 ? 251,249? , ? 252,248? , ? 253,247 ? , ? 254,246? ,

(3)设初三年级女生比男生多的事件为 A ,初三年级女生男生数记为

? 255, 245? 共 5 个,所以 P ( A) ? 11
20.解:(1)由 x2 ? 8( y ? b) 得 y ? 所以 G 点坐标为 ? 4, b ? 2 ?

5

1 2 x ? b ,当 y ? b ? 2 时, x ? ?4 , 8

y'?

1 x, y ' x ? 4 ? 1 ,过 G 点的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 4 即 y ? x ? b ? 2 ,令 y ? 0 得 x ? 2 ? b ,所以 F 1 坐标为 ? 2 ? b,0 ?
由椭圆方程得 F 1 坐标为 ? b, 0 ? ,所以 2 ? b ? b, b ? 1

x2 ? y 2 ? 1, x 2 ? 8( x ? 1) 因此所求椭圆和抛物线的方程分别为 2 (2)因为过 A 作 x 轴的垂线与抛物线的交点只有一个 P ,所以以 ?PAB 为直角的直角 三角形只有一个,同理以 ?PBA 为直角的直角三角形也只有一个; 1 2 若以 ?APB 为直角,设 P ( x, x ? 1) ,而 A(? 2,0), B( 2,0) 8 1 1 4 5 2 2 2 2 x ? x ?1 ? 0 由 AP ? PB ? 0 得 x ? 2 ? ( x ? 1) ? 0 ,即 8 64 4 2 关于 x 的一元二次方程只有一解,所以 x 有两解,即以 ?APB 为直角的直角三角形有
两个, 因此抛物线上共存在 4 个点使 ABP 为直角三角形。 21.解:(1)由 an ?

1 2 ? an?1 ? 2an?2 ? 得 an ? an?1 ? ? (an?1 ? an?2 ) n ? 3 3 3 2 又 a2 ? a1 ? 1 ? 0 ,所以 ?an ? an?1? 是以 1 为首项, ? 为公比的等比数列 3

所以 an ? an?1 ? ? ? ?

? 2? , ? 3? an ? a a ? ? a 1 ?? a 2 ? a 1 ? 3 ?? 2 ?

n ?1

? ?n a

? a1 ? n ?
n ?1

? 2? 1? ? ? ? 2 n?2 n ?1 2 2 2 8 3? 2? 3? ? ? ? ? ? ? ? 1?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 5 5? 3? ? 2? ? 3? ? 3? ? 3? 1? ? ? ? ? 3? ? ?1 ? b1 ? b2 ? 1 ? ?1 ? b2 ? b3 ? 1 ? ? 由 ? ?1 ? b2 ? 1 ,得 b2 ? ?1,由 ? ?1 ? b3 ? 1 得 b3 ? 1 ?? ? b ? Z,b ? 0 ? b ? Z,b ? 0 2 3 ? 2 ? 3
14

同理可得, n 为偶数时, bn ? ?1, n 为奇数时, bn ? 1 所以 bn ? ?

?1 当n为奇数时 ? ?1 当n为偶数时

n ?1 ? 8 3 ?2? n ? n ? ? ? 当n为奇数时 5 ?3? ? 5 (2) cn ? nanbn ? ? n ?1 3 ?2? ? 8 ? 当n为偶数时 ?? 5 n ? 5 n ? ?3? ? Sn ? c1 ? c2 ? ? cn 8 8 8 8 8 当 n 为奇数时, S n ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? n ? 5 5 5 5 5 0 1 2 n ?1 3? ?2? ?2? ?2? ?2? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? n ? ? ? ? 5? ?3? ?3? ?3? ? ? ?3? ? 0 1 2 n ?1 4 ? n ? 1? 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ?2? ? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? n ? ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ?3? ? ? ?3? ? 8 8 8 8 8 当 n 为偶数时, S n ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? ? n ? 5 5 5 5 5 0 1 2 n ?1 3? ?2? ?2? ?2? ?2? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? n ? ? ? ? 5? ?3? ?3? ?3? ? ? ?3? ? 0 1 2 n ?1 4n 3 ? ? 2 ? ?2? ?2? ?2? ? ? ? ? ?1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? ? n ? ? ? ? 5 5? ?3? ?3? ?3? ? ? ?3? ?

令 Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ?
1 2

? 2? ? 3?

0

? 2? ? 3?

1

? 2? ? 3?

2

? 2? ? n?? ? ? 3?
3

n ?1

????①
n

①?

2 2 ?2? ? 2? ? 2? 得 Tn ? 1? ? ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 3 3 ?3? ? 3? ? 3?
1 2 n ?1

? 2? ? n ? ? ? ????② ? 3?
n

1 ?2? ?2? ?2? ?2? ① ? ②得 Tn ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? 3 ?3? ?3? ? 3? ? 3? ?2? 1? ? ? n n n 3 ?2? ?2? ? ? ? ? n ? ? ? 3 ? (3 ? n) ? ? 2 ?3? ?3? 1? 3 n ?2? 所以 Tn ? 9 ? (9 ? 3n) ? ? ?3? ? 4n ? 23 9( n ? 3) ? 2 ?n ? ? ? ? 当n为奇数时 5 ?3? ? 5 因此 S n ? ? n ? 4n ? 27 9( n ? 3) ? 2 ? ? 当n为偶数时 ?? 5 ? 5 ? ?3? ?

15

绝密☆启用前

试卷类型:A

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码 横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错 涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 v ?

1 Sh ,其中 s 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出得四个选项中,只有 一项十符合题目要求得. 1.已知全集 U=R,则正确表示集合 M= {-1,0,1} 和 N= { x |x +x=0} 关系的韦恩(Venn) 图是
2

2.下列 n 的取值中,使 i =1(i 是虚数单位)的是 A. n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=5
2

n

(x,1 ) ,b= 3.已知平面向量 a= , 则向量 a ? b (-x, x )
A 平行于 x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线

16

C.平行于 y 轴

D.平行于第二、四象限的角平分线

x 4.若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a 的反函数,且 f (2) ? 1 ,则 f ( x) ? ( a>0,且a ? 1 )

A. log2 x

B.

1 2x

C. log1 x
2

D.2

x?2

5.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.

2

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

6.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④
o

7.已知 ?ABC 中, ?A, ?B, ?C 的对边分别为 a,b,c 若 a=c= 6 ? 2 且 ?A ? 75 ,则 b= A.2 B.4+ 2 3
x

C.4— 2 3

D. 6 ? 2

8.函数 f ( x) ? ( x ? 3)e 的单调递增区间是 A. (??,2)
2

B.(0,3)

C.(1,4)

D. (2,??)

9.函数 y ? 2 cos ( x ?

?
4

) ? 1是
B. 最小正周期为 ? 的偶函数 D. 最小正周期为

A.最小正周期为 ? 的奇函数 C. 最小正周期为

? 的奇函数 2

? 的偶函数 2

10.广州 2010 年亚运会火炬传递在 A、B、C、D、E 五个城市之间进行,各城市之间的路线 距离(单位:百公里)见下表.若以 A 为起点,E 为终点,每个城市经过且只经过一次,那 么火炬传递的最短路线距离是 A. 20.6 B.21 C.22 D.23

17

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11-13 题) 11.某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示: 队员 i 三分球个数 1 2 3 4 5 6

a1

a2

a3

a4

a5

a6

图 1 是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图, 则图中判断框 应填 ,输出的 s=

(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”)

图1 12.某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽 样法, 将全体职工随机按 1-200 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组 (1-5 号, 6-10 号?, 196-200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 方法,则 40 岁以下年龄段应抽取 人. 。若用分层抽样

18

图 2 13.以点(2, ?1 )为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)若直线 ? 则常数 k = .
o

.

? x ? 1 ? 2t (t 为参数)与直线 4 x ? ky ? 1 垂直, ? y ? 2 ? 3t

15.(几何证明选讲选做题)如图 3,点 A、B、C 是圆 O 上的点,且 AB=4, ?ACB ? 30 ,则 圆 O 的面积等于 .

图3 三、解答题,本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直,其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ? 17.(本小题满分 13 分) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P-EFGH, 下半部分是长方体 ABCD-EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. (1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图 (2)求该安全标识墩的体积 (3)证明:直线 BD ? 平面 PEG

?
2

)

? ,求 cos ? 的值 2

19

18.(本小题满分 13 分) 随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎 叶图如图 7. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学 被抽中的概率.

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,两个焦点分别为 F1 和 F2 , 2

2 2 椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck : x ? y ? 2kx ? 4 y ? 21 ? 0 ( k ? R ) 的圆

心为点 Ak . (1)求椭圆 G 的方程

20

(2)求 ?Ak F1 F2 的面积 (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由. 20.(本小题满分 14 分) 已知点(1,

1 )是函数 f ( x) ? a x (a ? 0, 且 a ? 1 )的图象上一点,等比数列 {an } 的 3

前 n 项 和 为 f (n) ? c , 数 列 {bn } (bn ? 0) 的 首 项 为 c , 且 前 n 项 和 Sn 满 足 Sn -

S n?1 = Sn + Sn?1 (n ? 2).
(1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 的最小正整数 n 是多少? 2009 bn bn?1

21.(本小题满分 14 分) 已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x =-1 处取 得最小值 m-1(m ? 0 ).设函数 f ( x ) ?

g ( x) x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点.

21

参考答案
一、 1. B 二、 11. i ? 6 , a1 ? a2 ? 12. 37, 20 13. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ?
2 2

2. C

3. C

4. A

5. B

6. D

7.A

8. D

9.A

10.B

? a6

25 2

14. ?6 15. 16? 16. 【解析】(1) Q a ? b ,? a g b ? sin ? ? 2cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? 又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,
2 2 2 ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

v

v

v v

1 4 2 ,∴ sin ? ? 5 5



? 2 5 5 , cos ? ? ? ? (0, ) ? sin ? ?
2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos?

?cos ? ? sin ? ,?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos 2 ? ?
又 0?? ? 17.

1 2

? 2 , ∴ cos ? ? 2 2

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

22

(2)该安全标识墩的体积为: V ? VP? EFGH ? VABCD? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3
(3)如图,连结 EG,HF 及 BD,EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , 又 EG ? HF 又 BD P HF

? cm ?
2

? PO ? HF

? HF ? 平面 PEG ? BD ? 平面 PEG;

18. 【解析】 (1) 由茎叶图可知: 甲班身高集中于 160 : 179 之间, 而乙班身高集中于170 : 180 之间。因此乙班平均身高高于甲班;
23

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 10 1 2 2 2 2 2 甲班的样本方差为 [(158 ? 170) ? ?162 ? 170 ? ? ?163 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? 10
(2) x ?

? ?170 ? 170 ? ? ?171 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?182 ? 170 ? ] =57
2 2 2 2 2

(3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有:(181,173) (181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173) (178, 176) (176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件; ;

? P ? A? ?

4 2 ? 10 5

19.【解析】(1)设椭圆 G 的方程为:

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )半焦距为 c; a 2 b2

? 2a ? 12 ? ? a?6 ? 2 2 2 则?c , ?b ? a ? c ? 36 ? 27 ? 9 3 , 解得 ? ? ?c ? 3 3 ? ? 2 ?a
所求椭圆 G 的方程为: (2 )点 AK 的坐标为 ? ?K , 2?

x2 y 2 ? ?1. 36 9

1 1 SV AK F1F2 ? ? F1 F2 ? 2 ? ? 6 3 ? 2 ? 6 3 2 2
2 2 (3)若 k ? 0 ,由 6 ? 0 ? 12k ? 0 ? 21 ? 5 ? 12k f 0 可知点(6,0)在圆 Ck 外,

2 2 若 k ? 0 ,由 (?6) ? 0 ?12k ? 0 ? 21 ? 5 ?12k f 0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外;

? 不论 K 为何值圆 Ck 都不能包围椭圆 G.
1 ?1? 20.【解析】(1) Q f ?1? ? a ? ,? f ? x ? ? ? ? 3 ? 3?
x

1 2 f ? 2? ? c? ?? f ?1? ? c ? a1 ? f ?1? ? c ? ? c , a2 ? ? ?? , ? ? ? ? 9 3 2 a3 ? ? ? f ? 3? ? c ? ??? ? f ? 2? ? c? ? ? ? 27 .

24

4 2 a2 2 1 又数列 ?an ? 成等比数列, a1 ? ? 81 ? ? ? ? c ,所以 c ? 1 ; a3 ? 2 3 3 27
a 1 2?1? 又公比 q ? 2 ? ,所以 an ? ? ? ? a1 3 3?3?
Q Sn ? Sn?1 ?
n ?1

?1? ? ?2 ? ? ?3?

n

n? N*



?

Sn ? Sn?1

??

Sn ? Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1

?

? n ? 2?

又 bn ? 0 , Sn ? 0 , ? Sn ? Sn ?1 ? 1; 数列

? S ? 构成一个首相为 1 公差为 1 的等差数列,
n
2

Sn ? 1 ? ? n ? 1? ?1 ? n , Sn ? n2

2 当 n ? 2 , bn ? S n ? S n ?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 ;

?bn ? 2n ? 1 ( n ? N * );
(2) Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?K ? ? ? ?L ? b1b2 b2b3 b3b4 bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1) ? ? 2n ? 1?

1? 1? 1?1 1? 1?1 1? 1? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? K ? ? ? ? 2? 3? 2? 3 5? 2?5 7 ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1? 1 ? n ; ? ?1 ? ?? 2 ? 2n ? 1 ? 2 n ? 1
由 Tn ?

n 1000 1000 1000 ? 得n ? ,满足 Tn ? 的最小正整数为 112. 2n ? 1 2009 9 2009
2

21.【解析】(1)设 g ? x ? ? ax ? bx ? c ,则 g? ? x ? ? 2ax ? b ; 又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值,

? 2a ? 2

a ?1

?

b ? ?1 , b ? 2 2

? g ? ?1? ? a ? b ? c ? 1? 2 ? c ? m ?1,
f ? x? ?
2

c ? m;

g ? x? m ? x? ?2, x x
2 0 2 2 0

设 P xo , yo
2

?

?

则 PQ ? x ? ? y0 ? 2 ?

? m? m2 2 ? x ? ? x0 ? ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2m 2 ? 2 x0 ? x0 ?

?2 2m2 ? 2 ? 4

m??

2 ; 2
25

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ? 得

m ?2?0, x

?1? k ? x2 ? 2x ? m ? 0

?*?

m m ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2 1 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? , m
当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?
?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

;若 m ? 0 ,

k ? 1?

1 ?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ; ? m 2 ?1 ? k ? k ?1

当 k ? 1 时 , 方 程 ?*? 有 一 解 ? ? ? 4 ? 4m ? 1 ? k ? ? 0,

k ? 1?

1 , 函数 m

x? y ? f? x x ? ? k 有一零点

1 k ?1

26

绝密★启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(文科) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={0,1,2,3},B={1,2,4},则集合 A A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} B= D.{0}

C.{1,2}

2.函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是 A.(2, ?? ) B.(1, ?? )
x ?x

C.[1, ?? )
x ?x

D.[2, ?? )

3.若函数 f ( x) ? 3 ? 3 与 g ( x) ? 3 ? 3 的定义域均为 R ,则 A. f ( x ) 与 g ( x) 均为偶函数 C. f ( x ) 与 g ( x) 均为奇函数 4.已知数列{ B. f ( x ) 为奇函数, g ( x) 为偶函数 D. f ( x ) 为偶函数, g ( x) 为奇函数

an }为等比数列, Sn 是它的前 n 项和,若 a2· a3 =2a 1,且 a4 与 2 a7 的等差中

5 项为 4 ,则 S5=
A.35

? ? ? ? ? ? a c a b 5.若向量 =(1,1), =(2,5), =(3,x)满足条件 (8 - b )· c =30,则 x =
A.6 B .5 C.4 D. 3

B.33

C.31

D.29

y 6. 若圆心在 x 轴上、 半径为 5 的圆 O 位于 轴左侧, 且与直线 x ? 2 y ? 0 相切, 则圆 O 的
方程是 A. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

B. ( x ? 5) ? y ? 5 w_w*w.k_s_5 u.c*o*m
2 2

C. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

D. ( x ? 5) ? y ? 5
2 2

7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是

4 A. 5

3 B. 5
3 2

2 C. 5

1 D. 5

8.“ x >0”是“ x >0”成立的 A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件 9 . 如 图 1 , B.必要非充分条件 D.充要条件

?ABC













AA' / / BB' / /CC '



27

3 CC ' ? 平面ABC且3AA ' ? BB ' ? CC ' ? AB ' ' ' 2 ,则多面体 ABC ? A B C 的正视图(也称主视图)


10.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算 ? 和 ? 如下:

那么 d ? (a ? c) ? A.a B.b C.c D .d 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市 居民某年的月均用水量进行了抽样调查,其中 4 位居民的月均用 水量分别为 若

x1 ,…, x4 (单位:吨).根据图 2 所示的程序框图,

x1 , x2 , x3 , x4 ,分别为 1,1.5 ,1.5 , 2 ,则输出的结果 s

为---------------12.某市居民 2005~2009 年家庭年平均收入 x(单位:万元)与 年平均支出 Y(单位:万元)的统计资料如下表所示: 年份 收入 x 支出 Y 2005 11.5 6.8 2006 12.1 8.8 2007 13 9.8 2008 13.3 10 2009 15 12

根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是----------------,家庭年平均收入与年平均支 出有---------------- 线性相关关系. 13.已知 a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 ,A+C=2B, 则 sinA= ----------------. (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(几何证明选讲选做题)如图 3,在直角梯形 ABCD 中,DC∥ AB,

28

a CB⊥ AB,AB=AD=a,CD= 2 ,点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中点,则 EF=----------------.
15 . ( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 ( ρ , ? ) ( 0 ? ? <2? ) 中 , 曲 线

? ? cos? ? sin ? ? ? 1



? ?sin ? ? cos? ? ? 1

的交点的极坐标为----------------.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.(本小题满分 14 分)

?? ? ? f ? x ? ? 3sin ? ? x ? ? 6 ? , ?>0 , x ? ? ??, ??? ,且以 2 为最小正周期. ? 设函数
f ? 0? f ? x?
?? ? ? 9 f ? ? ?? 的解析式;(3)已知 ? 4 12 ? 5 ,求 sin ? 的值.

(1)求

;(2)求

17.(本小题满分 12 分) 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中, 随机抽取了 100 名电视 观众,相关的数据如下表所示:w_w*w.k_s_5 u.c*o*m

(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关? (2) 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名, 大于 40 岁的观众应该抽取几 名? (3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率.

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,弧 AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线 段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FC ? 平 面 BED , FB = 5a . (1)证明: EB ? FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离.

29

19.(本小题满分 12 分) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C ;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单 位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C .另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的 碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C . 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并且 花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) 对任意实数 x 均有 f ( x) ? kf ( x ? 2) ,其中常数 k 为负数,且 f ( x ) 在区间

?0, 2? 上有表达式 f ( x) ? x( x ? 2) .
(1)求 f (?1) , f (2.5) 的值;

??3,3? 上的表达式,并讨论函数 f ( x) 在 ??3,3? 上的单调性; (2)写出 f ( x ) 在 ??3,3? 上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值. (3)求出 f ( x ) 在

21.(本小题满分 14 分) 已知曲线

Cn:y ? nx2 ,点 Pn ( xn , yn )( xn ? 0, yn ? 0) 是曲线 Cn 上的点(n=1,2,?).
Cn 在点 Pn 处的切线 ln 的方程,并求出 ln 与 y 轴的交点 Qn 的坐标; ln 的距离与线段 PnQn 的长度之比取得最大值,试求试点 Pn 的坐标

(1)试写出曲线

(2)若原点 O (0, 0) 到

( xn , yn );(3)设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数, xn 与 yn 是满足(2)中条件的点 Pn
的坐标,
s

?
证明:
n ?1

(m ? 1) xn ? (k ? 1) yn ? 2

ms ? ks

(s ? 1, 2,…)

30

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科) 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 A B D C C D B A

9 D

10 A

11. 1.5

12. 13;正(或正的)

1 13. 2

a 14. 2

(1, ) 2 15.

?

f (0) ? 3 sin
16.解:(1)由已知可得:

?
6

?

3 2 f ( x) ? 3 sin( 4 x ?


? 2? ? ? f ( x ) 2 (2)∵ 的周期为 2 ,即 ?

?
6

∴? ? 4

)

a ? a ? ? ? f ( ? ) ? 3 sin[ 4 ? ( ? ) ? ] ? 3 sin( a ? ) 4 12 6 2 ? 3 cos a (3)∵ 4 12 3 cos a ?
∴由已知得:

9 3 cos a ? 5即 5

3 4 4 4 sin a ? ? 1 ? cos2 a ? ? 1 ? ( ) 2 ? ? ? 5 5 故 sin a 的值为 5 或 5 ∴
17.解:(1)画出二维条形图,通过分析数据的图形,或者联列表的对角线的乘积的差的 绝对值来分析,得到的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关; (2)在 100 名电视观众中,收看新闻的观众共有 45 人,其中 20 至 40 岁的观众有 18 人, 大于 40 岁的观众共有 27 人。

5 ? 27 ? 3 故按分层抽样方法,在应在大于 40 岁的观众中中抽取 45 人.
(3)法一:由(2)可知,抽取的 5 人中,年龄大于 40 岁的有 3 人,分别记作 1,2,3; 20 岁至 40 岁的观众有 2 人,分别高为 a , b ,若从 5 人中任取 2 名观众记作 ( x, y ) ,则包含 的总的基本事件有: (1,2), (1,3), (1, a), (1, b), (2,3), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (a, b) 共 10 个。 其 中 恰 有 1 名 观 众 的 年 龄 为 20 岁 至 40 岁 包 含 的 基 本 事 件 有 :

(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) 共 6 个.
6 3 ? 故 P (“恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁”)= 10 5 ;
18.法一:(1)证明:∵点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, ∴点 B 为圆的圆心 又∵E 是弧 AC 的中点,AC 为直径, ∴ BC ? EB 即 BD ? EB
31

∵ FC ? 平面 BDE , EB ? 平面 BDE , ∴ FC ? EB 又 BD ? 平面 FBD , FC ? 平面 FBD 且 BD ? FC ? C ∴ EB ? 平面 FBD 又∵ FD ? 平面 FBD , ∴ EB ? FD (2)解:设点 B 到平面 FED 的距离(即三棱锥 B ? FED 的高)为 h . ∵ FC ? 平面 BDE , ∴FC 是三棱锥 F-BDE 的高,且三角形 FBC 为直角三角形 由已知可得 BC ? a ,又 FB ?

5a



FC ? ( 5a) 2 ? a 2 ? 2a
1 ? 2a ? a ? a 2 2 ,

在 Rt ?BDE 中, BD ? 2a, BE ? a ,故

S ?BDE ?



VF ? BDE ?

1 1 2 S ?BDE ? FC ? ? a 2 ? 2a ? a 3 3 3 3 ,

又∵ EB ? 平面 FBD ,故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角形, ∴ EF ? 6a, DE ? 5a ,在 Rt ?FCD 中, FD ?

5a ,

∴ S ?FED

21 2 a ? 2 ,

1 21 2 2 4 21 ? a ? h ? a3 h? a V ? V 2 3 ,故 21 , B ? FED 即 3 ∵ F ? BDE h? 4 21 a 21 .
y

即点 B 到平面 FED 的距离为

19.解:设应当为该儿童分别预订 x 个单位的午餐, 个单位的晚餐,所花的费用为 z ,则 依题意得:

?12 x ? 8 y ? 64 ? 3 x ? 2 y ? 16 ? 0 ? 6 x ? 6 y ? 42 ? x ? y ? 7 ? 0 ? ? ? ? 6 x ? 10 y ? 54 ? ?3 x ? 5 y ? 27 ? 0 ? ? x? N x? N ? ? y?N y?N ? x, y 满足条件 ? ? 即? ,
目标函数为 z ? 2.5 x ? 4 y , 作出二元一次不等式组所表示的平面区域(图略),把 z ? 2.5 x ? 4 y 变形为

32

5 z 5 z y ?? x? ? 8 4 ,得到斜率为 8 ,在 y 轴上的截距为 4 ,随 z 变化的一族平行直线. 5 z y ?? x? 8 4















线

















M (即直线x ? y ? 7 ? 0与直线3x+5y-27=0的交点)时截距最小,即 z 最小.

? x? y ?7 ? 0 ? 3x ? 5 y ? 27 ? 0 , 得点 M 的坐标为 x ? 4, y ? 3 解方程组: ?

所以, z min ? 22

答:要满足营养要求,并花费最少,应当为该儿童分别预订 4 个单位的午餐,3 个单位的晚 餐,此花的费用最少为 22 元. 20.解:(1)∵ f ( x) ? kf ( x ? 2) ,且 f ( x) 在区间[0,2]时 f ( x) ? x( x ? 2) ∴ f (?1) ? kf (?1 ? 2) ? kf (1) ? k ? 1 ? (1 ? 2) ? ?k

由 f ( x) ? kf ( x ? 2) 得

f ( x ? 2) ?

1 f ( x) k

f (2.5) ? f (0.5 ? 2) ?
∴ ( 2

1 1 3 f (0.5) ? ? 0.5 ? (0.5 ? 2) ? ? k k 4k
) 若

x ? [0,2]





x ? 2 ? [2,4]

f ( x ? 2) ?

1 1 1 f ( x) ? x( x ? 2) ? [( x ? 2) ? 2][( x ? 2) ? 4] k k k
1 ( x ? 2)( x ? 4) k
∴ f ( x ? 2) ? ( x ? 2)[(x ? 2) ? 2] ? x( x ? 2)

∴当 x ? [2,4] 时,

f ( x) ?

若 x ? [?2,0) ,则 x ? 2 ? [0,2)

∴ f ( x) ? kf ( x ? 2) ? kx( x ? 2) 若

x ? [?4,?2)





x ? 2 ? [?2,0)



f ( x ? 2) ? k ( x ? 2)[(x ? 2) ? 2] ? k ( x ? 2)(x ? 4)
∴ f ( x) ? kf ( x ? 2) ? k ( x ? 2)(x ? 4)
2

∵ (2,3] ? [2,4],[?3,?2) ? [?4,?2)

33

?k 2 ( x ? 2)(x ? 4), x ? [?3,?2) ? kx( x ? 2), x ? [?2,0) ? f ( x) ? ? x( x ? 2), x ? [0,2] ? 1 ? ( x ? 2)(x ? 4), x ? (2,3] ? k ∴当 x ? [?3,3] 时,
∵ k ? 0 ,∴当 x ? [?3,?2) 时, f ( x) ? k ( x ? 2)(x ? 4) ,由二次函数的图象可知, f ( x) 为
2

增函数; 当 x ? [?2,0) 时, f ( x) ? kx( x ? 2) ,由二次函数的图象可知,当 x ? [?2,?1) 时, f ( x) 为增函数,当 x ? [?1,0) 时, f ( x) 为减函数; 当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? x( x ? 2) ,由二次函数的图象可知,当 x ? [0,1) 时, f ( x) 为减函 数;当 x ? [1,2] 时, f ( x) 为增函数;

当 x ? (2,3] 时,

f ( x) ?

1 ( x ? 2)( x ? 4) k ,由二次函数的图象可知, f ( x) 为增函数。

(3)由(2)可知,当 x ? [?3,3] 时,最大值和最小值必在 x ? ?3 或 ? 1,1,3 处取得。(可画 图分析)
2 ∵ f (?3) ? ?k , f (?1) ? ?k , f (1) ? ?1 ,

f (3) ? ?

1 k

1 y max ? f (3) ? ? , y min ? f (1) ? ?1 k ∴当 ? 1 ? k ? 0 时, ;

y ? f (?1) ? f (3) ? 1, ymin ? f (?3) ? f (1) ? ?1; 当 k ? ?1 时, max

y ? f (?1) ? ?k , ymin ? f (?3) ? ?k . 当 k ? ?1 时, max
2

l k ? y ? | x ? xn ? 2nxn ? 21.解:(1) y ? 2nx ,设切线 n 的斜率为 k ,则
∴曲线 又∵点 ∴曲线

C n 在点 Pn 处的切线 l n 的方程为: y ? yn ? 2nxn ( x ? xn ) Pn 在曲线 C n 上, ∴ yn ? nxn
2

C n 在点 Pn 处的切线 l n 的方程为: y ? nxn ? 2nxn ( x ? xn ) 即 2nxn x ? y ? nxn ? 0
2 2

2

2

y ? ?nxn ,∴曲线 C n 在 y 轴上的交点 Qn 的坐标为 (0,?nxn ) 令 x ? 0得
(2)原点 O(0,0) 到直线

l n 的距离与线段 Pn Qn 的长度之比为:
34

| ?nxn | 4n 2 x n ? 1 x n ? (nxn ? nxn ) 2
2 2 2 2

2

?

nxn 1 ? 4n x n
2 2

?

1 1 ? 4nxn nxn

?

1 4

1 1 2 ? 4nxn x n ? 1 y n ? nx n ? nx 2n 时,取等号。此时, 4n 当且仅当 n 即
1 1 , ) P 故点 n 的坐标为 2 n 4 n (

(3)证法一:要证 n ?1

?|

s

(m ? 1)x n ? (k ? 1) y n | ?| ms ? ks | (s ? 1,2,?) 2
s

只要证
s

m ?1 ? k ?1 ?
n ?1

1 2 n

? s | m ? k | (s ? 1,2,?)

只要证

?2
n ?1

1 n
1

? s?

m ?1 ? k ?1 m? k
1 n ? n ?1

(s ? 1,2,?) m ?1 ? k ?1
,又?

?


1 2 n
1 n

?

n? n

?

? n ? n ?1


m? k

?1


?2
n ?1

s

? 1 ? ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ( s ? s ? 1) ? s (s ? 1,2,?) ? s ? m ? 1 ? k ? 1 (s ? 1,2,?)
m? k

2011 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 参考公式:锥体体积公式 V=

1 Sh,其中 S 为锥体的底面积,h 为锥体的高。 3

35

线性回归方程 y ? b x ? a 中系数计算公式 b ?

^

^

^

^

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

,a ? y ?b , 其中 x, y 表示

^

^

2

样本均值。 样 本 数 据 的 标 准 差 为

1 n ( xi ? x)2 ? n i ?1



n 是 正 整 数 , 则

an - bn ? (a - b)(an-1 ? an-2b ???? abn-2 ? bn-1 ) 。
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设复数 z 满足 iz ? 1 ,其中 i 为虚数单位,则 z = A. ? i 2 .已知集合 A ? B. i C. ? 1
2



) D. 1

?? x, y ? | x、y 为实数,且 x
) C.2 B.3

? y 2 ? 1? , B ? ?? x, y ? | x、y 为实数,且

x ? y ? 1? ,则 A B 的元素个数为(
A.4

D.1 ( )

3.已知向量 a ? (1, 2), b ? (1,0), c ? (3, 4) ,若 ? 为实数,(a ? ?b) // c ,则 ? = A.

1 4

B.

1 2

C. 1 ( )

D. 2

4 .函数 f ( x) ? A. (??, ?1)

1 ? lg( x ? 1) 的定义域是 1? x
B. (1, ??)

C. (?1,1) )

(1, ??)

D. (??, ??)

5.不等式 2 x 2 ? x ? 1 ? 0 的解集是( A. ( ?

1 ,1) 2

B (1, ??) C. (??,1) ? (2, ??)

D. (??, ? ) ? (1, ??)

1 2

?0 ? x ? 2 ? 6. 已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ? 2 给定, 若 M ? x, y ? 为 D 上 ? ?x ? 2 y
的动点,点 A 的坐标为 A.3

?

2,1 ,则 z ? OM ? OA 的最大值为(
C. 3 2 D. 4 2

?



B.4

7.正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么

36

一个正五棱柱对角线的条数共有( A.20 8.设圆 C 与圆 A. 抛物线 B.15

) C.12 D.10 )

外切,与直线 y ? 0 相切.则 C 的圆心轨迹为( B. 双曲线 C. 椭圆 D. 圆

9.如图 1-3,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别为等边三角 形、等腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )

2

主视图
A. B.

2 左视图
C.

俯视图
D. 2

10. 设 f ( x), g ( x), h( x) 是 R 上的任意实值函数. 如下定义两个函数 ? f ? g ??x ? 和 ? f ? g ??x ? ; 对任意 x ? R , ? f ? g ??x ? ? f ?g ( x)? ; ? f ? g ??x ? ? f ?x ?g ( x) .则下列等式恒成立的是 ( ) A. ?? f ? g ? ? h??x ? ? ?? f ? h? ? ?g ? h??( x) B. ?? f ? g ? ? h??x ? ? ?? f ? h? ? ?g ? h??( x) C. ?? f ? g ? ? h??x ? ? ?? f ? h? ? ?g ? h??( x) D.

?? f ? g ? ? h??x? ? ?? f ? h? ? ?g ? h??( x)

二、填空题:本大题共 5 小题.考生 作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.已知 ?an ? 是递增等比数列, a2 ? 2, a4 ? a3 ? 4 ,则此数列的公比 q ? 12.设函数 f ( x) ? x 3 cos x ? 1. 若 f (a) ? 11,则 f (?a) ? . .

13.为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系,下表记录了小李某月 1

37

号到 5 号每天打时间 x(单位:小时)与当于投篮命中率 y 之间的关系:

时间 x 命中率 y

1 0.4

2 0.5

3 0.6

4 0.6

5 0.4

小李这 5 天的平均投篮命中率为 号打 6 小时篮球的投篮命中率为

,用线性回归分析的方法,预测小李该月 6 .

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为 ?

? x ? 5 cos? (0≤? <??) ? y ? sin ?

5 ? ?x ? t 2 和? 4 ? ?y ? t
(t∈R),它们的交点坐标为 . 15.(几何证明选讲选做题)如图 4,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,CD=2,E、F 分别为 AD、BC 上点,且 EF=3,EF∥AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 D . E A C F B

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2sin ? (1)求 f ? 0 ? 的值; (2)设 ? , ? ? ?0,

?? ?1 x? ?, x? R. 6? ?3

? ? 10 6 ? ?? ? , f ? 3? ? ? ? , f ? 3? ? 2? ? ? , 求 sin ?? ? ? ? 的值. ? 2 ? 13 5 ? 2? ?

word 版 2011 年高考数学广东卷首发于数学驿站:www.maths168.com) 17.(本小题满分 13 分) 在某次测验中,有 6 位同学的平均成绩为 75 分.用 xn 表示编号为 n ? n ? 1, 2, 所得成绩,且前 5 位同学的成绩如下: 编号 n 1 2 3 4 5
38

,6? 的同学

成绩 xn

70

76

72

70

72

(1)求第 6 位同学成绩 x6 ,及这 6 位同学成绩的标准差 s ; (2)从前 5 位同学中,随机地选 2 位同学,求恰有 1 位同学成绩在区间 ? 68,75? 中的概率.

18.(本小题满分 13 分) 如图所示,将高为 2,底面半径为 1 的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右

? , B, ?B分 别 为 C D 平 移 到 的 A, A ? D ?, D , , C E ?D ?的 ,E 中 点 , O1 , O1? , O2 , O '2 分 别 为 ? , D, 中点. ? D ?E CD , C E ? D的
(1) 证明: O '1 , A? , O2 , B 四点共面; (2) 设 G 为 AA? 中点,延长 A ' O '1 到 H ? , 使得 O '1 H ? ? A?O '1 ,证明: BO '2 ? 面H?B?G .

19.(本小题满分 14 分) 设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x 的单调性.

20.(本小题满分 14 分) 设 b>0,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ? (1)求数列 {an } 的通项公式;
n?1 (2)证明:对于一切正整数 n , 2an ? b ? 1 .

nban ?1 (n ? 2) . an ?1 ? n ? 1

21.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l : x ? ?2 交 x 轴于点 A,设 P 是 l 上一点,M 是线段 OP

39

的垂直平分线上一点,且满足 ?MPO ? ?AOP . (1) 当点 P 在 l 上运动时,求点 M 的轨迹 E 的方程; (2) 已知 T (1, ?1) .设 H 是 E 上动点,求 | HO | ? | HT | 的最小值,并给出此时点 H 的 坐标; (3) 过点 T (1, ?1) 且不平行于 y 轴的直线 l1 与轨迹 E 有且只有两个不同的交点, 求直线 l1 的斜率 k 的取值范围.

\参考答案 一 选择题: A C B 二 填空题 C D B D A C B

40

2

-9

0.5

0.53

(1,

2 5 ) 5

7:5

16 (1) f (0) ? 2 sin( ? (2)

?
6

) ? ?1

? 1 ? ? 10 5 f (3? ? ) ? 2sin[ (3? ? ) ? ] ? 2sin ? ? ? sin ? ? 2 3 2 6 13 13 ? 6 3 f (3? ? 2? ) ? 2sin( ? ? ) ? 2 cos ? ? ,? cos ? ? 2 5 5 ? 12 4 ? , ? ? [0, ],? cos ? ? ,sin ? ? 2 13 5 63 ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 65
17 (1)由题意得:75=

70 ? 76 ? 72 ? 70 ? 72 ? x6 , 得x6 ? 90 6

S=

(70 ? 75) 2 ? (76 ? 75) 2 ? (72 ? 75) 2 ? (70 ? 75) 2 ? (72 ? 75) 2 ? (90 ? 75) 2 ?7 6

(2)设 5 位同学为:A, B,C, D, E 其中 A70 分,B76 分,C72 分,D70 分,E72 分 基本事件:AB, AC,AD,AE, BC,BD,BE,CD,CE, DE ,共 10 种。 恰好一位同学成绩在区间(68,75)的基本事件为:AB, BC,BD,BE,共 4 种。 所以:P=

m 4 2 ? ? n 10 5

18(1)易得:

O1` A` ? 面C `CEE `, BO2 ? 面C `CEE `, ? O1` A` // BO2 ? O1`, A`, B, O2四点共面。 (2)H `B` ? O2`B `, H `B ` ? BB `,? H `B ? 面O2`B `B,? O2`B ? H `B 延长AO1至H , 使O1H ? AO1 , 连接HH `, HO1`,O1 A`, O1 A`与GH `交于点I,显然:O2`B // HO1` // O1 A` 1 在正方形AA`H `H中, tan GH ` A` ? tan O1 A` A ? ,??GH ` A` ? ?O1 A` A 2 ` ` ` ` ` ` ` ??GH A ? ?H A O1 ? ?O1 A A ? ?H A O ? 900 ,??H `IA` ? 900,即H `G ? A`O1 ? O2`B ? H `G,? BO`2 ? 面H `B`G

19( 文科)设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x 2 ? 2(1 ? a) x 的单调性.

41

2a (1 ? a ) x 2 ? 2(1 ? a ) x ? 1 ( x ? 0) x 1 当a ? 1时,f ?( x) ? ,所以f ?( x) ? 0在(0, ? ?)成立。 x 所以f ( x)在(0, ? ?)递增。 解:f ?( x) ? 当a ? 1时,令g(x)= 2a (1 ? a ) x 2 ? 2(1 ? a ) x ? 1 1 当? ? 0时,即 ? a ? 1时, 2a(1 ? a ) ? 0, f ?( x) ? 0在(0, ? ?)成立, 3 所以f ( x)在(0, ? ?)递增。 1 3 3 3 当? ? 0时,即a ? , 令g(x)=0得x= , 所以f ?( x) ? 0在(0,), ( , ? ?)成立, 3 2 2 2 3 又因为f(x)在x= 有意义,所以f ( x)在(0, ? ?)递增。 2 1 当? ? 0时,即0<a ? 或a ? 1, 令g(x)=0得 3 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 x1 ? , x2 ? 2a (1 ? a ) 2a (1 ? a ) 1 若0<a ? ,则2a (1 ? a ) ? 0, 0 ? x2 ? x1 , 3 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 f ?( x)>0在(0, ),( , ? ?)成立, 2a (1 ? a ) 2a (1 ? a ) 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 f ?( x)<0在( , )成立, 2a (1 ? a ) 2a(1 ? a ) 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 所以f(x)在(0, ),( , ? ?)单调递增, 2a (1 ? a ) 2a(1 ? a ) 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 在( , )单调递减。 2a (1 ? a ) 2a(1 ? a ) 若a ? 1,则2a (1 ? a ) ? 0, x1 ? 0 ? x2 , 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 f ?( x)>0在(0, )成立,f ?( x)<0在( , ? ?)成立, 2a (1 ? a ) 2a(1 ? a ) 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 所以f(x)在(0, )递增,在( , ? ?)递减。 2a(1 ? a ) 2a(1 ? a)

42

1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 综上所述:当0<a ? ,f(x)在(0, ),( , ? ?)单调递增, 3 2a(1 ? a) 2a(1 ? a) 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 在( , )单调递减。 2a(1 ? a) 2a(1 ? a) 1 当 ? a ? 1时,f ( x)在(0, ? ?)递增。 3 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 1 ? a ? 3a 2 ? 4a ? 1 当a>1时,f(x)在(0, )递增,在( , ? ?)递减。 2a(1 ? a) 2a(1 ? a)

20.(本小题满分 14 分) 设 b>0,数列 {an } 满足 a1 ? b , an ? (3)求数列 {an } 的通项公式;
n?1 (4)证明:对于一切正整数 n , 2an ? b ? 1 .

nban?1 (n ? 2) . an ?1 ? 2n ? 2

解:

显然an ? 0 ,
nban ?1 1 a ? n ?1 (n ? 2),? ? n ?1 an ?1 ? n ? 1 an nban ?1

an ? ?

n an ?1 ? n ? 1 1 1 n ? 1 ? ? ? , an ban ?1 b b an ?1

?n? n n ?1 当b ? 1时, ? ? 1,所以数列 ? ? 是以1为首项,以1为公差的等差数列。 an an ?1 ? an ? ? n ? 1? (n ? 1) ? n,? an ? 1 an n 1 n ?1 n 1 n ?1 1 ?? ? ( ? ?) ,即 ? ? ( ?1 )? an b an ?1 an b an ?1 b

当b ? 1时,令

1 1 1 n 1 1 n ?1 1 由( ? 1 )? ? 得:? ? , 所以 ? ? ( ? ) b b 1? b an 1 ? b b an ?1 1 ? b ?n 1 ? 1 1 1 所以数列 ? ? 为首项,以 为公比的等比数列。 ? 是以 ? b 1? b b ? an 1 ? b ? n 1 1 1 1 n ?1 1 1 n ? ? ? ( ? ) ? ( ) ? ? ( ) , an 1 ? b b 1? b b 1? b b

43

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科)B 卷
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设 i 为虚数单位,则复数 A. ?4 ? 3i

3 ? 4i ? i
C. 4 ? 3i D. 4 ? 3i

B. ?4 ? 3i

2.设集合 U ? ?1, 2,3, 4,5,6? , M ? ?1,3,5? ,则 CU M ? A. ?2,4,6? B. ?1,3,5? C. ?1,2,4? D. U

3.若向量 AB ? (1, 2), BC ? (3, 4) ,则 AC ? A. (4, 6) B. (?4, ?6) C. (?2, ?2) D. (2, 2)

4.下列函数为偶函数的是 A. y ? sin x B. y ? x3 C. y ? e x D. y ? ln

x2 ? 1

?x ? y ? 1 ? 5.已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?x ?1 ? 0 ?
A. 3 B. 1
°

C. ?5
°

D ?6

6.在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC A. 4 3 B. 2 3

C.

3

D.

3 2

7.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为 A. 72? B. 48? C. 30? D. 24?
2 2

8.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交 于 A 、 B 两点,则弦 AB 的长等于 A. 3 3 B. 2 3 C.

3

D. 1

9.执行如图 2 所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为

44

A. 105

B. 16

C. 15

D. 1

10.对任意两个非零的平面向量 ? , ? ,定义 ? ? ?

? ?? .若平面向量 a, b 满足 a 与 b 的 ? ??

夹角 ? ? (

? ?

?n ? , ) ,且 ? ? 和 ? ? 都在集合 ? | n ? Z ? 中,则 a b ? 4 2 ?2 ?
B.

A.

5 2

3 2

C. 1

D.

1 2

二、填空题:本大题共 5 小题.考生 作答 4 小题.每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.函数 y ?

x ?1 的定义域为________________________. x
1 2 ,则 a1a3 a5 ? _______________. 2

12.若等比数列 {an } 满足 a 2 a 4 ?

13.由整数组成的一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 , 其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1,则这 组数据位_______________________.(从小到大排列) (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系中 xoy 中,曲线 C1 和曲线 C2 的

? 2t x ? 1? ? ? x ? 5 cos ? ? ? ? 2 ( 为参数),则 参数方程分别为 ? ( ? 为参数, 0 ? ? ? )和 ? t 2 ? y ? 5 sin ? 2 t ?y ? ? ? ? 2 ?
曲线 C1 和曲线 C2 的交点坐标为 15.(几何证明选讲选做题) .

?PBA ? ?DBA , D mA ? C, n 如图 3, 直线 PB 与圆 O 相切与点 B, D 是弦 AC 上的点, 若A
则 AB= .

? ,

A P D O · C B
图3
45

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? A cos( (1) 求 A 的值; (2) 设 ? , ? ? [0,

x ? ? ? ), x ? R ,且 f ( ) ? 2 . 4 6 3 4? 30 2? 8 ) ? ? , f (4? ? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 3 17 3 5

?
2

], f (4? ?

word 版 2011 年高考数学广东卷首发于数学驿站:www.maths168.com) 17.(本小题满分 13 分) 某学校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示,其中成绩分组区间是:

?50,60? , ?60,70? , ?70,80? , ?80,90? , ?90,100? .
(1) 求图中 a 的值 (2) 根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3) 若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 ? x ? 与数学成绩相应分数段的人数 ? y ? 之比如下表所示,求数学成绩在 ?50,90? 之外的人数.

分数段 x :y

?50,60? ?60,70? ?70,80? ?80,90?
1:1 2:1 3:4 4:5

18.(本小题满分 13 分) 如图 5 所示,在四棱锥 P-ABCD 中,AB ? 平面 PAD,AB CD,PD=AD,E 是 PB 的中点,F 是 DC 上的点且 DF=

1 AB,PH 为 ? PAD 中 AD 边上的高. 2

(1) 证明:PH ? 平面 ABCD; (2) 若 PH=1,AD= 2 ,FC=1,求三棱锥 E-BCF 的体积; (3) 证明:EF ? 平面 PAB.

46

19.(本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和 s n ,数列 ?sn ? 的前 n 项和为 ?Tn ? ,满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N * . (1) 求 a1 的值; (2) 求数列 ?an ? 的通项公式.

20. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C1 : 点 P(0,1) 在 C1 上. (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 设直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F1 (?1,0) ,且 a 2 b2

21. (本小题满分 14 分)
2 设 0 ? a ? 1, 集合 A ? x ? R x ? 0 , A ? x ? R 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 ,D ? A

?

?

?

?

B.

(1) 求集合 D (用区间表示) ; (2) 求函数 f ( x) ? 2x ? 3(1 ? a) x ? 6ax 在 D 内的极值点.
3 2

47

2012 广东高考数学(文科)答案
1-5 11 DAADC 6-10 BCBCD 12

??1,0? ?0, ??? ;

1 ; 13 4

1,1,3,3 ;

14

(2,1) ;

15

mn

16. 解:(1) f ?

? 2 ?? ? ?? ?? A ? 2 ,解得 A ? 2 ? ? A cos ? ? ? ? A cos ? 4 2 ?3? ? 12 6 ?

(2)f ? 4? ?

? ?

15 4 ? ? ?? ?? 30 ? ? 即 sin ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ?2sin ? ? ? , 17 3 ? 3 6? 2? 17 ? ?

4 2 ? ? ?? 8 ? ? f ? 4? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? ? ? 2cos ? ? ,即 cos ? ? 5 3 ? 6 6? 5 ? ?
因为 ? ? ? ? ?0,

8 3 ? ?? 2 2 ,所以 cos ? ? 1 ? sin ? ? , sin ? ? 1 ? cos ? ? ? 17 5 ? 2? 8 4 15 3 13 ? ? ? ?? 17 5 17 5 85

所以 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ?

17. 解:(1)依题意得, 10(2a ? 0.02 ? 0.03 ? 0.04) ? 1,解得 a ? 0.005 ( 2 ) 这 100 名 学 生 语 文 成 绩 的 平 均 分 为 :

5 ?5

0 ?.

0 ?5

6 ?

5 ? 0

. ?4

? 7

5 ? 0 (分)

.? 3

8 ? 5

0

.

2

9

5

0

(3)数学成绩在 [50,60) 的人数为: 100 ? 0.05 ? 5

1 ? 20 2 4 数学成绩在 [70,80) 的人数为: 100 ? 0.3 ? ? 40 3 5 数学成绩在 [80,90) 的人数为: 100 ? 0.2 ? ? 25 4
数学成绩在 [60,70) 的人数为: 100 ? 0.4 ? 所以数学成绩在 [50,90) 之外的人数为: 100 ? 5 ? 20 ? 40 ? 25 ? 10 18. 解:(1)证明:因为 AB ? 平面 PAD , 所以 PH ? AB 因为 PH 为△ PAD 中 AD 边上的高 所以 PH ? AD 因为 AB AD ? A 所以 PH ? 平面 ABCD (2)连结 BH ,取 BH 中点 G ,连结 EG 因为 E 是 PB 的中点, 所以 EG // PH 因为 PH ? 平面 ABCD 所以 EG ? 平面 ABCD 则 EG ?

P

1 1 PH ? 2 2
1 S? 3
BCF

M

E D F B
48

VE ? B C F ?

1 1 ? EG ? ? ? 3 2

2 F?C A ? D ? EG 12
A

C

H

G

(3)证明:取 PA 中点 M ,连结 MD , ME 因为 E 是 PB 的中点

1 ? 2 AB 1 因为 DF // AB 所以 ME // DF ? ? 2 所以四边形 MEDF 是平行四边形 所以 EF // MD 因为 PD ? AD 所以 MD ? PA 因为 AB ? 平面 PAD , 所以 MD ? AB 因为 PA AB ? A 所以 MD ? 平面 PAB 所以 EF ? 平面 PAB
所以 ME // 19. 解:(1)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 1 因为 T1 ? S1 ? a1 ,所以 a1 ? 2a1 ? 1,求得 a1 ? 1 (2)因为

Tn ? 2S n ? n 2 ①

当 n ? 2 时, Tn?1 ? 2S n?1 ? (n ? 1) 2 ② ① ? ②得:

S n ? 2an ? 2n ? 1 ③ 此式对 n ? 1 也成立
所以当 n ? 2 时, S n?1 ? 2an?1 ? 2(n ? 1) ? 1 ④ ③ ? ④得: an ? 2an?1 ? 2 即 an ? 2 ? 2(an?1 ? 2) 所以 ?an ? 2? 是以 a1 ? 2 ? 3 为首项,2 为公比的等比数列 所以 an ? 2 ? 3 ? 2n?1 所以 an ? 3 ? 2n?1 ? 2 , n ? N
*

20. 解:(1)因为椭圆 C1 的左焦点为 F1 (?1,0) ,所以 c ? 1 , 点 P(0,1) 代入椭圆

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,得 2 ? 1 ,即 b ? 1 , 2 b a b

所以 a ? b ? c ? 2 所以椭圆 C1 的方程为
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1. 2

(2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

49

? x2 ? ? y2 ? 1 ,消去 y 并整理得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 ?2 ? y ? kx ? m ?
因为直线 l 与椭圆 C1 相切,所以 ? ? 16k 2 m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 0 整理得 2k ? m ? 1 ? 0
2 2



? y2 ? 4x ,消去 y 并整理得 k 2 x2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0 ? ? y ? kx ? m
因为直线 l 与抛物线 C2 相切,所以 ? ? (2km ? 4)2 ? 4k 2m2 ? 0 整理得 km ? 1 ②

? 2 2 ? ?k ? ?k ? ? 综合①②,解得 ? 2 2 或? ?m ? 2 ?m ? ? 2 ? ?
所以直线 l 的方程为 y ?

2 2 x? 2 或 y ?? x? 2 2 2

21. 解:(1)令 g ( x) ? 2 x 2 ? 3(1 ? a) x ? 6a

? ? 9(1 ? a)2 ? 48a ? 9a2 ? 30a ? 9 ? 3(3a ?1)(a ? 3)
① 当0 ? a ?

1 时, ? ? 0 ,方程 g ( x) ? 0 的两个根分别为 3

x1 ?

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 , x2 ? 4 4

所以 g ( x) ? 0 的解集为 (??, x1 ) ? ( x2 ,??)

3 ? ? x1 ? x 2 ? (1 ? a ) ? 0 由 韦 达 定 理 知 : ? , 所 以 x1 , x2 ? 0 , 所 以 2 ? x ? x ? 3 a ? 0 1 2 ?
D?
② 当 综

A

?B (0, x1 ) ? ( x2 ,??)

1 ? a ? 1 时, ? ? 0 ,则 g ( x) ? 0 恒成立,所以 D ? A B ? (0, ??) 3 1 0?a? 上 所 述 , 当 时 3



D ? (0,

3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 3a ? 3 ? 9a 2 ? 30a ? 9 ) ( , ??) ; 4 4
50



1 ? a ? 1 时, D ? (0, ??) . 3

(2) f ?( x) ? 6 x2 ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 6( x ? a)( x ?1) , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 或 x ? 1 ① 当0 ? a ?

1 时,由(1)知 D ? (0, x1 ) ( x2 , ??) 3
0

因为 f ( x) ? x( x ? x1 )(x ? x2 ) , 所以 0 ? a ? x1 ? 1 ? x2 , 所以 f ?( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

a

x1

1

x2

x
f ?( x )
f ( x)

(0, a )

a
0 极大值

(a, x1 )
?


( x2 , ??)

?


?


所以 f ( x ) 的极大值点为 x ? a ,没有极小值点 ② 当

1 ? a ? 1 时,由(1)知 D ? (0, ??) 3

所以 f ?( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(0, a )

a
0 极大值

(a,1)

1
0 极小值

(1, ??)

?


?


?


所以 f ( x ) 的极大值点为 x ? a ,极小值点为 x ? 1 综上所述,当 0 ? a ? 当

1 时, f ( x ) 有一个极大值点 x ? a ,没有极小值点; 3

1 ? a ? 1 时, f ( x) 有一个极大值点 x ? a ,有一个极小值点 x ? 1 3

51

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 2 2 1.(2013 广东,文 1)设集合 S={x|x +2x=0,x∈R},T={x|x -2x=0,x∈R},则 S∩T =( ). A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2} 2.(2013 广东,文 2)函数 y ?

lg ? x ? 1? 的定义域是( x ?1

).

A.(-1,+∞) B.[-1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) D.[-1,1)∪(1,+∞) 3.(2013 广东,文 3)若 i(x+yi)=3+4i,x,y∈R,则复数 x+yi 的模是( A.2 B.3 C.4 D.5 4.(2013 广东,文 4)已知 sin ?

).

2 A. 5 ?

1 B. 5 ?

? 5π ? 1 ? ? ? ? ,那么 cos α =( ? 2 ? 5 1 2 C. 5 D. 5

).

5.(2013 广东,文 5)执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出 s 的值是( ). A.1 B.2 C.4 D.7 6. (2013 广东, 文 6)某三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥的体积是(

).

D.1 2 2 7.(2013 广东,文 7)垂直于直线 y=x+1 且与圆 x +y =1 相切于第Ⅰ象限的直线方程是 ( ). A.x+y- 2 =0 B.x+y+1=0 C.x+y-1=0 D.x+y+ 2 = ). 0 8.(2013 广东,文 8)设 l 为直线,α ,β 是两个不同的平面.下列命题中正确的是( A.若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β B.若 l⊥α ,l⊥β ,则 α ∥β C.若 l⊥α ,l∥β ,则 α ∥β D.若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β 9.(2013 广东,文 9)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 方程是(
2

1 A. 6

1 B. 3

2 C. 3

1 ,则 C 的 2

).

x y2 ? ?1 4 A. 3

x2 y 2 ? ?1 4 3 B.

x2 y 2 ? ?1 2 C. 4

x2 y 2 ? ?1 3 D. 4

10.(2013 广东,文 10)设 a 是已知的平面向量且 a≠0.关于向量 a 的分解,有如下四个命
52

题: ①给定向量 b,总存在向量 c,使 a=b+c; ②给定向量 b 和 c,总存在实数 λ 和 μ ,使 a=λ b+μ c; ③给定单位向量 b 和正数 μ ,总存在单位向量 c 和实数 λ ,使 a=λ b+μ c; ④给定正数 λ 和 μ ,总存在单位向量 b 和单位向量 c,使 a=λ b+μ c. 上述命题中的向量 b,c 和 a 在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4

).

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
(一)必做题(11~13 题) 11.(2013 广东,文 11)设数列{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列,则 a1+|a2|+ a3+|a4|=__________. 2 12.(2013 广东,文 12)若曲线 y=ax -ln x 在(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a= __________.

? x ? y ? 3 ? 0, ? 13.(2013 广东,文 13)已知变量 x,y 满足约束条件 ? ?1 ? x ? 1, 则 z=x+y 的最大 ? y ? 1, ?
值是__________. (二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (2013 广东, 文 14)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ =2cos θ .以极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系, 则曲线 C 的参数方程为__________. 15.(2013 广东,文 15)(几何证明选讲选做题)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3 ,BC= 3,BE⊥AC,垂足为 E,则 ED=__________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤. π? ? 16.(2013 广东,文 16)(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? 2cos ? x ? ? ,x∈R. ? 12 ? ?π? (1)求 f ? ? 的值; ?3? 3 π? ? ? 3π ? (2)若 cos θ = ,θ ∈ ? , 2π ? ,求 f ? ? ? ? . 5 6? ? ? 2 ?

17.(2013 广东,文 17)(本小题满分 12 分)从一批苹果中,随机抽取 50 个,其重量(单位: 克)的频数分布表如下: 分组(重量) [80,85) [85,90) [90,95) [95,100) 频数(个) 5 10 20 15 (1)根据频数分布表计算苹果的重量在[90,95)的频率; (2)用分层抽样的方法从重量在[80,85)和[95,100)的苹果中共抽取 4 个, 其中重量在[80,85) 的有几个? (3)在(2)中抽出的 4 个苹果中, 任取 2 个, 求重量在[80,85)和[95,100)中各有 1 个的概率.

53

18.(2013 广东,文 18)(本小题满分 14 分)如图(1),在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D, E 分别是 AB,AC 上的点,AD=AE,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G.将△ABF 沿 AF 折起, 得到如图(2)所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC=

2 . 2

图(1) (1)证明:DE∥平面 BCF; (2)证明:CF⊥平面 ABF; (3)当 AD=

图(2)

2 时,求三棱锥 F-DEG 的体积 VF-DEG. 3

19.(2013 广东,文 19)(本小题满分 14 分)设各项均为正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn,满 2 * 足 4Sn=an+1 -4n-1,n∈N ,且 a2,a5,a14 构成等比数列. (1)证明: a2 ?

4a1 ? 5 ;
1 1 ? ? a1a2 a2 a3 ? 1 1 ? . an an ?1 2

(2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n,有

20.(2013 广东,文 20)(本小题满分 14 分)已知抛物线 C 的顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c >0)到直线 l: x-y-2=0 的距离为

3 2 .设 P 为直线 l 上的点, 过点 P 作抛物线 C 的两条 2

切线 PA,PB,其中 A,B 为切点. (1)求抛物线 C 的方程; (2)当点 P(x0,y0)为直线 l 上的定点时,求直线 AB 的方程; (3)当点 P 在直线 l 上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.

21.(2013 广东,文 21)(本小题满分 14 分)设函数 f(x)=x -kx +x(k∈R). (1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 k<0 时,求函数 f(x)在[k,-k]上的最小值 m 和最大值 M.

3

2

54

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(广东卷)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 答案:A 解析:∵S={-2,0},T={0,2},∴S∩T={0}. 2. 答案:C 解析:要使函数有意义,则 ?

? x ? 1 ? 0, ? x ? 1 ? 0,

解得 x>-1 且 x≠1, 故函数的定义域为(-1,1)∪(1,+∞). 3. 答案:D 解析:∵i(x+yi)=-y+xi=3+4i, ∴?

? x ? 4, ? y ? ?3.

∴x+yi=4-3i.
2 2 ∴|x+yi|= 4 ? ??3? =5.

4. 答案:C

π ? 5π ? ? ? ? ? ? ? sin ? 2π ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ? 1 ?π ? = sin ? ? ? ? =cos α = , 5 ?2 ? 1 ∴cos α = . 5
解析:∵ sin ? 5. 答案:C 解析:i=1,s=1,i≤3,s=1+0=1,i=2; i≤3,s=1+1=2,i=3; i≤3,s=2+2=4,i=4; i>3,s=4. 6. 答案:B 解析:由俯视图知底面为直角三角形,又由正视图及侧视图知底面两直角边长都是 1,且三 棱锥的高为 2,故 V 三棱锥=

1 1 1 × ×1×1×2= . 3 2 3

7. 答案:A 解析:由于所求切线垂直于直线 y=x+1,可设所求切线方程为 x+y+m=0.由圆心到切线

|m| ? 1 ,解得 m ? ? 2 . 2 又由于与圆相切于第Ⅰ象限,则 m ? ? 2 .
的距离等于半径得 8. 答案:B
55

解析:如图,在正方体 A1B1C1D1-ABCD 中,

对于 A,设 l 为 AA1,平面 B1BCC1,平面 DCC1D1 为 α ,β . A1A∥平面 B1BCC1,A1A∥平面 DCC1D1, 而平面 B1BCC1∩平面 DCC1D1=C1C; 对于 C,设 l 为 A1A,平面 ABCD 为 α ,平面 DCC1D1 为 β .A1A⊥平面 ABCD,A1A∥平面 DCC1D1, 而平面 ABCD∩平面 DCC1D1=DC; 对于 D,设平面 A1ABB1 为 α ,平面 ABCD 为 β ,直线 D1C1 为 l,平面 A1ABB1⊥平面 ABCD,D1C1 ∥平面 A1ABB1,而 D1C1∥平面 ABCD. 故 A,C,D 都是错误的. 而对于 B,根据垂直于同一直线的两平面平行,知 B 正确. 9. 答案:D 解析:由中心在原点的椭圆 C 的右焦点 F(1,0)知,c=1. 又离心率等于
2 2 2

1 c 1 ,则 ? ,得 a=2. 2 a 2

由 b =a -c =3, 故椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

10. 答案:B 解析:对于①,由向量加法的三角形法则知正确;对于②,由平面向量基本定理知正确;对 于③,以 a 的终点作长度为 μ 的圆,这个圆必须和向量 λ b 有交点,这个不一定能满足, 故③不正确;对于④,利用向量加法的三角形法则,结合三角形两边之和大于第三边,即必 须|λ b|+|μ c|=λ +μ ≥|a|,故④不正确.

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
(一)必做题(11~13 题) 11.答案:15 n-1 解析:由数列{an}首项为 1,公比 q=-2,则 an=(-2) ,a1=1,a2=-2,a3=4,a4=- 8,则 a1+|a2|+a3+|a4|=1+2+4+8=15. 12.答案:

1 2 1 及导数 x

解析:由曲线在点(1,a)处的切线平行于 x 轴得切线的斜率为 0,由 y′=2ax- 的几何意义得 y′|x=1=2a-1=0,解得 a=

1 . 2

13.答案:5 解析:由线性约束条件画出可行域如下图,平移直线 l0,当 l 过点 A(1,4),即当 x=1,y =4 时,zmax=5.

56

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) ? x ? 1 ? cos ? , 14.答案: ? (φ 为参数) ? y ? sin ?
解析:由曲线 C 的极坐标方程 ρ =2cos θ 知以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角 2 2 坐标系知曲线 C 是以(1,0)为圆心,半径为 1 的圆,其方程为(x-1) +y =1,故参数方程为

? x ? 1 ? cos ? , (φ 为参数). ? y ? sin ? ?
15. 答案:

21 2
BC ? 3, AB

解析:在 Rt△ABC 中,AB= 3 ,BC=3,tan∠BAC=

则∠BAC=60°,AE=

1 3 AB= . 2 2

在△AED 中,∠EAD=30°,AD=3, ED2=AE2+AD2-2AE·ADcos∠EAD

? 3? 3 2 =? ? 2 ? ? +3 -2× 2 ×3×cos 30° ? ? 3 3 3 = +9-2× ×3× 4 2 2 21 = . 4 21 ∴ED= . 2
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.

2

57

π ?π? ?π π ? ? ? 2cos ? ? ? ? 2cos ? 1 . 4 ?3? ? 3 12 ? 3 ? 3π ? (2)∵cos θ = ,θ ∈ ? , 2π ? , 5 ? 2 ? 4 2 sin θ = ? 1 ? cos ? ? ? , 5 π π? ? ? ? ∴ f ? ? ? ? ? 2cos ? ? ? ? 6? 4? ? ? π π? 1 ? = 2 ? cos? cos ? sin? sin ? ? ? . 4 4? 5 ?
解:(1) f ? 17. 解:(1)苹果的重量在[90,95)的频率为 (2)重量在[80,85)的有 4×

20 =0.4; 50

5 =1 个; 5 ? 15

(3)设这 4 个苹果中[80,85)分段的为 1,[95,100)分段的为 2,3,4,从中任取两个,可能的 情况有:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共 6 种.任取 2 个,重量在[80,85) 和[95,100)中各有 1 个记为事件 A,则事件 A 包含有(1,2),(1,3),(1,4),共 3 种,所以

P(A)=

3 1 ? . 6 2 AD AE ? . DB EC

18. (1)证明:在等边三角形 ABC 中, ∵AD=AE,∴ 又

AD AE ? ,在折叠后的三棱锥 A-BCF 中也成立, DB EC

∴DE∥BC. ∵DE ? 平面 BCF,BC ? 平面 BCF, ∴DE∥平面 BCF. (2)证明:在等边三角形 ABC 中,∵F 是 BC 的中点,BC=1,∴AF⊥CF,BF=CF= ∵在三棱锥 A-BCF 中,BC=
2 2 2

1 . 2

2 , 2

∴BC =BF +CF .∴CF⊥BF. ∵BF∩AF=F,∴CF⊥平面 ABF. (3)解:由(1)可知 GE∥CF,结合(2)可得 GE⊥平面 DFG. ∴VF-DEG=VE-DFG=

1 1 1 1 1 ?1 3? 1 3 ? ? × ·DG·FG·GE= ? ? ? ? ? . ? ? ? 3 2 3 2 3 ? 3 2 ? 3 324

19. 2 2 (1)证明:当 n=1 时,4a1=a2 -5,∴a2 =4a1+5. ∵an>0,∴ a2 ?

4a1 ? 5 .
2

(2)解:当 n≥2 时,4Sn-1=an -4(n-1)-1,① 2 4Sn=an+1 -4n-1,② 2 2 由②-①,得 4an=4Sn-4Sn-1=an+1 -an -4, 2 2 2 ∴an+1 =an +4an+4=(an+2) .
58

∵an>0,∴an+1=an+2, ∴当 n≥2 时,{an}是公差 d=2 的等差数列. ∵a2,a5,a14 构成等比数列, 2 2 ∴a5 =a2·a14,(a2+6) =a2·(a2+24),解得 a2=3. 2 由(1)可知,4a1=a2 -5=4,∴a1=1. ∵a2-a1=3-1=2, ∴{an}是首项 a1=1,公差 d=2 的等差数列. ∴数列{an}的通项公式为 an=2n-1.

1 1 1 ? ? ? a1a2 a2 a3 an an?1 1 1 1 1 ? ? ? ? = 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ? 2n ? 1??? 2n ? 1?
(3)证明:

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ?? 3 ? ? 3 5 ? ? 5 7 ? 1 ? 1 ? 1 = ? ?1 ? ?? . 2 ? 2n ? 1 ? 2
= 20. 解:(1)依题意 d ?

1 ?? ? 1 ?? ? ?? ? 2n ? 1 2 n ? 1 ? ?

|0?c?2| 3 2 ,解得 c=1(负根舍去). ? 2 2
2

∴抛物线 C 的方程为 x =4y. (2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2). 由 x =4y,即 y=
2

1 2 1 x ,得 y′= x. 4 2 x1 (x-x1), 2

∴抛物线 C 在点 A 处的切线 PA 的方程为 y-y1=

x1 1 x+y1- x12. 2 2 x 1 2 ∵y1= x1 ,∴y= 1 x-y1. 4 2
即 y= ∵点 P(x0,y0)在切线 PA 上,

x1 x0-y1.① 2 x 同理,y0= 2 x0-y2.② 2
∴y0= 综合①,②得,点 A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标都满足方程 y0= ∵经过 A(x1,y1),B(x2,y2)两点的直线是唯一的, ∴直线 AB 的方程为 y0=

x x0-y. 2

x x0-y,即 x0x-2y-2y0=0. 2

(3)由抛物线的定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1, ∴|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1) =y1+y2+y1y2+1.

? x 2 ? 4 y, 联立 ? ? x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? 0,
消去 x 得 y +(2y0-x0 )y+y0 =0,
59
2 2 2

∴y1+y2=x0 -2y0,y1y2=y0 . ∵点 P(x0,y0)在直线 l 上,∴x0-y0-2=0. 2 2 ∴|AF|·|BF|=x0 -2y0+y0 +1 2 2 =y0 -2y0+(y0+2) +1

2

2

1? 9 ? =2y0 +2y0+5= 2 ? y0 ? ? ? . 2? 2 ? 1 9 ∴当 y0= ? 时,|AF|·|BF|取得最小值为 . 2 2
2

2

21.解:f′(x)=3x -2kx+1, (1)当 k=1 时, f′(x)=3x2-2x+1,Δ =4-12=-8<0, ∴f′(x)>0,即 f(x)的单调递增区间为 R. (2)(方法一)当 k<0 时,f′(x)=3x -2kx+1,其开口向上,对称轴 x ?
2

2

k ,且过(0,1). 3

①当 Δ =4k -12= 4(k ? 3)(k ? 3) ≤0,
2

即 ? 3 ≤k<0 时,f′(x)≥0,f(x)在[k,-k]上单调递增. 从而当 x=k 时,f(x)取得最小值 m=f(k)=k; 3 3 3 当 x=-k 时,f(x)取得最大值 M=f(-k)=-k -k -k=-2k -k. ②当 Δ =4k -12= 4(k ? 3)(k ? 3) >0,即 k< ? 3 时, 2 令 f′(x)=3x -2kx+1=0,
2

k ? k2 ?3 k ? k2 ?3 , x2 ? ,注意到 k<x2<x1<0. 3 3 1 2k (注:可用韦达定理判断 x1·x2= ,x1+x2= >k,从而 k<x2<x1<0;或者由对称结合 3 3
解得: x1 ? 图象判断) ∴m=min{f(k),f(x1)},M=max{f(-k),f(x2)}. 3 2 ∵f(x1)-f(k)=x1 -kx1 +x1-k 2 =(x1-k)(x1 +1)>0, ∴f(x)的最小值 m=f(k)=k. 3 2 3 2 2 2 ∵f(x2)-f(-k)=x2 -kx2 +x2-(-k -k·k -k)=(x2+k)[(x2-k) +k +1]<0, 3 ∴f(x)的最大值 M=f(-k)=-2k -k. 3 综上所述,当 k<0 时,f(x)的最小值 m=f(k)=k,最大值 M=f(-k)=-2k -k. (方法 2)当 k<0 时,对? x∈[k,-k],都有 f(x)-f(k)=x3-kx2+x-k3+k3-k=(x2+1)(x-k)≥0,故 f(x)≥f(k). f(x)-f(-k)=x3-kx2+x+k3+k3+k=(x+k)(x2-2kx+2k2+1)=(x+k)[(x-k)2+k2+ 1]≤0. 3 故 f(x)≤f(-k).∵f(k)=k<0,f(-k)=-2k -k>0, 3 ∴f(x)max=f(-k)=-2k -k,f(x)min=f(k)=k.
60

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科) 班级:
一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 M ? ?2,3,4?, N ? ?0,2,3,5? ,则 M ? N ( A. ?0,2? B. )

姓名:

座号:

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有

?2,3?

C. ?3,4? )

D. ?3,5?

(2)已知复数 z 满足 (3 ? 4i) z ? 25 ,则 z ? ( A. ? 3 ? 4i C. 3 ? 4i ? ? ? ? (3)已知向量 a ? (1,2), b ? (3,1) ,则 b ? a ? ( A. (?2,1) B. (2,?1) C. ( 2,0) B. ? 3 ? 4i

D. 3 ? 4i ) D. (4,3)

?x ? 2 y ? 8 ? (4)若变量 x , y 满足约束条件 ? 0 ? x ? 4 则 z ? 2 x ? y 的最大值等于( ?0? y?3 ?
A. 7 B. 8 C. 10 5.下列函数为奇函数的是( ) A. 2 ?
x



D. 11 D. x ? 2
2 x

1 2x

B. x sin x

3

C. 2cos x ? 1

6.为了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本,则分 段的间隔为( ) A.50 B.40 C.25 D.20 ) 7.在 ?ABC 中, 角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, 则 “a ? b ” 是 “ sinA ? sin B ” 的 ( A.充分必要条件 C.必要非充分条件 B.充分非必要条件 D.非充分非必要条件

8.若实数 k 满足 0 ? k ? 5 ,则曲线

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 与曲线 ? ? 1 的( 16 5 ? k 16 ? k 5
D.焦距相等



A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等

9.若空间中四条两两不同的直线 l1 , l2 , l3 , l4 ,满足 l1 ? l2 , l2∥l3 , l3 ? l4 , 则下列结论一定正确 的是( A. l1 ? l4 ) B. l1∥l4 C. l1 与 l4 既不垂直也不平行 D. l1 与 l4 的位置关系不确定

61

10.对任意复数 w1 , w2 , 定义 ?1 ??2 ? ?1?2 , 其中 ?2 是 ?2 的共轭复数,对任意复数 z1, z2 , z3 有如下四个命题: ① ( z1 ? z2 ) ? z3 ? ( z1 ? z3 ) ? ( z2 ? z3 ); ② z1 ? ( z2 ? z3 ) ? ( z1 ? z2 ) ? ( z1 ? z3 ) ; ③ ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ); ④ z1 ? z2 ? z2 ? z1 ; 则真命题的个数是( A.1 B.2 C.3 ) D.4

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11—13 题) 11.曲线 y ? ?5e x ? 3 在点 ? 0, ?2? 处的切线方程为________. 12.从字母 a, b, c, d , e 中任取两个不同字母,则取到字母 a 的概率为________. 13.等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 a1a5 ? 4 ,则

log2 a1 +log2 a2 +log2 a3 +log2 a4 +log2 a5 = ________.
(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 在 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C1 与 C2 的 方 程 分 别 为

2? cos2 ? ? sin ? 与 ? cos? ? 1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,
建立平面直角坐标系,则曲线 C1 与 C2 的直角坐标为________ 15.( 几 何 证 明 选 讲 选 做 题 ) 如 图 1 , 在 平 行 四 边 形 ABCD 中 , 点 E 在 AB 上 且

EB ? 2 AE, AC 与 DE 交于点 F ,则

?CDF的周长 ? ______ ?AEF的周长

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? (1) 求 A 的值;

?
3

), x ? R ,且 f (

5? 3 2 )? 12 2

(2)若 f (? ) ? f ( ?? ) ? 3, ? ? (0,

?

) ,求 f ( ? ? ) 2 6
62

?

17.(本小题满分 13 分) 某车间 20 名工人年龄数据如下表:

(1) 求这 20 名工人年龄的众数与极差; (2) 以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图; (3) 求这 20 名工人年龄的方差.

18.(本小题满分 13 分) 如图 2,四边形 ABCD 为矩形,PD⊥平面 ABCD,AB=1,BC=PC=2,作如图 3 折叠,折 痕 EF∥DC.其中点 E,F 分别在线段 PD,PC 上,沿 EF 折叠后点 P 在线段 AD 上的点记为 M,并且 MF⊥CF. (1) 证明:CF⊥平面 MDF (2) 求三棱锥 M-CDE 的体积. A B A B

M

D

C E

D F

C

图2 P P

图3

63

19.(本小题满分 14 分) 设各项均为正数的数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且 Sn 满足
2 Sn ? n2 ? n ? 3 Sn ? 3 n2 ? n ? 0, n ? N ? .

?

?

?

?

(1)求 a1 的值; (2)求数列 ?an ?的通项公式; (3)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ?? ? . a1 ?a1 ? 1? a2 ?a2 ? 1? an ?an ? 1? 3

20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的一个焦点为 a 2 b2

?

5,0 ,离心率为

?

5 。 3

(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若动点 P?x0 , y0 ?为椭圆 C 外一点,且点 P 到椭圆 C 的两条切线相互垂直,求点 P 的 轨迹方程.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? 1(a ? R) 3

(1) 求函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 当 a ? 0 时,试讨论是否存在 x0 ? (0, )

1 2

1 1 ( ,1) ,使得 f ( x0 ) ? f ( ) 2 2 .

64

2014 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科)答案
一.选择题:1—5 BDBCA 6—10 CADDB 二、填空题:11. 5 x ? y ? 2 ? 0 , 12. 三.解答题: 16.(1) A ? 3 ;(2) sin ? ?

2 , 13. 5, 14. (1,2), 5

15. 3

? 3 6 , cos ? ? , f ( ? ? ) ? 3cos ? ? 6 . 6 3 3

17.(1)众数为 30;极差为 21; (2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这 20 名工人年龄的茎叶图; 1 2 3 4 9 8 0 0
2

8 8 0 0

9 9 9 0 0 1 1 1 1 2 2 2

(3) X ? 30 ,方差 s ? 12.6 .

18.(1)略;(2)提示:

MD ? 面PCD ,

?VM ?CDE ?

1 1 1 1 1 3 6 2 S?CDE MD ? ? ? CD ? DE ? MD ? ? ?1? ? ? 3 3 2 3 2 4 2 16

19.(1)利用 a1 ? S1 得 a1 ? 2 ; (2)把已知分解因式得: (Sn ? 3)(Sn ? n2 ? 2n) ? 0 , Sn ? n2 ? 2n , an ? 2n ; (3)利用

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) 放缩. an (an ? 1) 2n(2n ? 1) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
x2 y 2 ? ? 1 ; (2)点 P 的轨迹方程 x2 ? y 2 ? 13 . 9 4

20.(1)椭圆 C 的标准方程;

21.(1) a ? 1 时, f ?( x) ? 0 恒成立, f ( x ) 在 R 上单调递增;

a ? 1 时,令 f ?( x) ? 0 得: x 1 ? ?1 ? 1 ? a , x 2 ? ?1 ? 1 ? a ;
递增区间: (??, ?1 ? 1 ? a ) 和 (?1 ? 1 ? a , ??) ;递减区间: (?1 ? 1 ? a , ?1 ? 1 ? a ) (3) a ? ?3 时,不存在; ?3 ? a ? ? 时,只需 f (1) ? f ( ) ,求得 ?

1 2

25 ? a ? ?. 12
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