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专题--数列求和的基本方法和技巧(学生版)


数列求和的基本方法与技巧
一、利用常用求和公式求和: 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 1、等差数列求和公式: S n ? 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n a ? a q a ( 1 ? q ) 2、等比数列求和公式: S n ? ? 1 n ? 1 (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
n 1 3、 S n ? ? k ? n(n ? 1) 2 k ?1 n 1 5、 S n ? ? k 3 ? [ n(n ? 1)]2 2 k ?1 n 1 4、 S n ? ? k 2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6 k ?1

例 1 金榜 108 页典例 1

二、错位相减法求和: 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求 各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的数列{an· bn}的前 n 项和, 其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列。 例 2. 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1 ………………………①

例 3.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3 22n?1 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和 Sn 。

1

1

2 4 6 2n 变式练习:求数列 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和。 2 2 2 2

三、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。形如:
??a n ?是等差数列; ① ?an ? bn ?,其中 ? ??bn ?是等比数列;

? f ?n ?, n ? 2k ? 1, ② an ? ? ? ? g ?n ?, n ? 2k , k ? N

例 4.已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ? 3n ? 1, 求数列 ?an ? 的前 n 项和.

变式练习: 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

2

2

四、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 . 裂项法的实质是将数列中的每项 (通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的。 把数列的通项分成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵

? c ? 消, ? ? 从而求得其和.适用于类似(其中 ?an ? 是各项不为 0 的等差数列, c 为 ? an an ?1 ? 常 数)的数列,以及部分无理数列和含阶乘的数列等 .用裂项法求和,需
要掌握一些常见的裂项方法。通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) ( 3) a n ?
1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? ? ? cos n cos(n ? 1)
(4) an ?

1 1?1 1 ? ? ? ? ?; n?n ? k ? k ? n n ? k ?

1 1 an ? ? ( 5) n?k ? n k

?

(2n) 2 1 1 1 n ? k ? n . (6) an ? ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

?

(7) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

例 5 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 Sn . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn=
1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

例 6.

求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和。

3

3

变式练习: 在数列{an}中, an ? 前 n 项的和.

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的 n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

五、合并法求和 针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数 列的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求 Sn. 例 7 解:设 S n ? log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10

六、利用数列的通项求和 先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的 通项揭示的规律来求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. 例 8 求 1 ? 11? 111? ? ? ? ? 111 ?? ? ?1 之和. ? ?
n个1

4

4


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