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高中数学必修五第一章《解三角形》正弦定理、余弦定理的应用-课件


正弦定理、余弦定理的应用
一中(jrx)

2017/3/19

正弦定理:
a b c ? ? ? 2 R( R为?ABC外接圆的半径) sin A sin B sin C

正弦定理的一些常见变形:
() 1 a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C (边化角公式)

a b c (2) sin A ? , sin B ? , sin C ? 2R 2R 2R (3)a : b : c ? sin A : sin B : sin C

(角化边公式)

(4)a sin B ? b sin A, a sin C ? c sin A, b sin C ? c sin B
2017/3/19

余弦定理:

a ? b ? c ? 2bc cos A 2 2 2 b2 ? a ? c ? 2ac cos B 2 2 c ? a ? b ? 2ab cos C
2
2 2

b2 ? c 2 ? a 2 cos A ? 2bc

cos B ? cos C ?
2017/3/19

c2 ? a 2 ? b2 2ca 2 2 2 a ?b ?c 2ab

?

角化边公式

一. 解三角形
正弦定理:解两类三角形的问题: (1)已知两角及任一边(AAS、ASA)。
(2)已知两边和一边的对角(“SSA”)。
C C C

b
A B A

b

a
B

c

B A

2017/3/19

余弦定理:解两类三角形的问题: (1)已知两边及夹角(SAS)。 (2)已知三边(SSS)。
C C

A
2017/3/19

B

A

B

在△ABC 中 a=4,A=60° ,当 b 满足下列条件时,解 三角形: 4 3 (1)b= 3 ; 2 6 (2)b=2 2+ 3 ; 8 3 (3)b= ; 3 (4)b=8.

解析: (1)∵a>b,∴B 为锐角,由正弦定理得, b 1 sin B= sin A= ,∴B=30° ,C=90° , a 2 a 8 3 由正弦定理得 c= · sin C= . sin A 3 b (2) 由 正 弦 定 理 sin B = · sin A = a 2 6 2 2+ 3 4 3 × = 2

6+ 2 ,当 B 为锐角时 B=75° ,C=45° . 4

a 4 6 由正弦定理得 c= · sin C= ; sin A 3 当 B 为钝角时 B=105° ,C=15° , a 2 6 由正弦定理得 c=sin A· sin C=2 2- 3 . b (3)方法一:由正弦定理得 sin B= · sin A=1, a ∴B=90° ,C=30° , a 4 3 由正弦定理得 c=sin A· sin C= 3 .

二. 判断三角形形状
一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件 转化为边与边之间的关系,通过因式分解 等方法化简得到边与边关系式,从而判断 出三角形的形状;(角化边) 判断三角形的形状的途径有两条: 二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件 转化为角与角之间三角函数的关系,通过 三角恒等变形以及三角形内角和定理得到 内角之间的关系,从而判断出三角形的形状。 (边化角)
2017/3/19

(1)在△ABC 中,已知 3b=2 3asin B,且 cos B=cos C, 角 A 是锐角,则△ABC 的形状是( A.直角三角形 C.等腰直角三角形 )

B.等腰三角形 D.等边三角形

(2)在△ABC 中,如果 sin A=2cos Bsin C,则△ABC 的 形状是( ) B.锐角三角形 D.直角三角形

A.等腰三角形 C.钝角三角形

解析:

b 2 3a (1)由 3b=2 3asin B,得sin B= 3 ,

b a 根据正弦定理,得sin B=sin A, a 2 3a 3 所以sin A= 3 ,即 sin A= 2 . 又角 A 是锐角,所以 A=60° .又 cos B=cos C,且 B,C 都为三角形的内角,所以 B=C.故△ABC 为等边三角形.故 选 D.

asin C (2)由正弦定理,得 sin A= c . a2+c2-b2 又 cos B= 2ac ,sin A=2cos Bsin C, a2+c2-b2 asin C 所以 c =2· 2ac · sin C,整理得 b2=c2,所以 b =c. 故△ABC 是等腰三角形.故选 A.
?

答案: (1)D (2)A

问题一:测量距离问题

一、三角形的面积公式:
A

c
S?ABC 1 1 1 ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2
B

ha
a

b C

2017/3/19

例2

在△ABC 中,已知∠B=30° ,AB=2 3,

AC=2,求△ABC 的面积.

【分析】

要求S△ABC,已知AB、AC,只需求∠A,

根据已知条件:两边及一边的对角,用正弦定理可以 先求出AB的对角∠C,使问题得到解决.

AB· sinB 3 【解】 由正弦定理,得 sinC= = . AC 2 ∵0° <∠C<150° ,∴∠C=60° 或∠C=120° . 1 当∠C=60° 时,∠A=90° ,S△ABC= AB· AC= 2 2 3. 1 当∠C=120° 时, ∠A=30° , S△ABC= AB· AC· sin 2 A= 3. ∴△ABC 的面积为 2 3或 3.

解:根据正弦定理,得

答:A,B两点间的距离为65.7米。

问题二:测量高度问题
(1):底部不可以到达

解:选择一条水平基线HG, 使H , G, B三点在同一条直线上。

由在H , G, 两点用测角仪测得A的仰角分别是

?,?,CD ? a, 测角仪器的高是h.
a sin ? 在?ACD中,AC= , sin(? ? ? )

AB=AE+h =ACsin? +h a sin ? sin ? = ? h. sin(? ? ? )


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