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第十二章

第一节

微分方程的基本概念
一、问题的提出
二 、基本概念

一、问题的提出
x3n 的和函数 . 例1 求 ?(3n)! n?0
? 3 n

?

? ? ? ex s ? s ? s ? ? s ( 0 ) ? 1 , s ( 0 ) ? 0 .

s? ?

x ? ( ?? , ?? ) ? s ( x ) ? , x 解 s ? ( 3 n )! n ? 0 3 6 9 3 n x x x x ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ! 6 ! 9 ! ( 3 n )!
2 5 8 3 n ? 1 x x x x ?? ? ? ? s ? ? ? ? 2 ! 5 ! 8 ! ( 3 n ? 1 )!
4 7 3 n ? 2 xx x x ? ?? ? ? ? s ? ? ? ? 1 ! 4 ! 7 ! ( 3 n ? 2 )!

() ? 1 ,? ( x ) 连续 .试确定 ( x ) 使 例2 已知 y [sin x ? ? ( x )]d x ? ? ( x ) d y 曲线积分 ? 与路径无关 . x L Q P ?P ?Q ? 解 依题设,知 ?y ?x 1 ? 即 [sin x ? ? ( x )]? ? ( x ) x

1 sin x ? ? ( x ) ? ? ( x ) ? ,? ( ? ) ? 1 x x ? ( x )? ?

? ? ?

?

y?f( t)( f( t)? 0 ) 为曲边, 例3 若以连续曲线

[ 0 ,x ] 为底的曲边梯形的面积 与纵坐标 y 的 n ? 1 次

幂成正比,且已知 f ( 0 ) ? 0 ,f ( 1 ) ? 1 , 求此曲 方程 .
y



n ? f ( x ) ? k ( n ? 1 )[ f ( x )] f ( x )

f ( t ) d t? k [ f ( x )] ? 0

x

n ? 1

f (x)

y ?f( t )

o

x

t

n ? 1 ? k ( n ? 1 )[ f ( x )] f ( x ) ? 1 ,

x )? ? f ( 0 ) ? 0 , f ( 1 ) ? 1 . f(

二、基本概念
1.微分方程: 含有未知函数的导数或微分的方程叫 微分方程.未知函数是一元函数的微 分方程称为常微分方程;未知函数是 多元函数的微分方程称为偏微分方程.
常微分方程的一般形式:
n d y d y F ( x , y , , ? , n ) ? 0( 12 . 5 ) d x d x

? ?xy 如: y ,
x ? ? ? y ? 2 y ? 3 y ? e , 常微分方程

( t? x ) dt ? xdx ? 0 ,
2

?z ? x? yz , ?x
?u 2? u ?a ?t ?y 2
2

偏微分方程

实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数 的某些导数(或微分)之间的关系式.

2. 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数 的最高阶导数的阶数称之. 一阶微分方程

? F ( x , y , y ) ? 0 ,隐式方程
?? y f ( x ,y ) 显式方程

高阶(n≥2)微分方程
( n ) ? F ( x , y , y , ? , y ) ? 0 ,

( n ? 1 ) ? y? f ( x , y , y , ? , y ). ( n )

3. 线性与非线性微分方程:

若 ( 12 .5 ) 式的左端 F 为 y 及其各阶导数 则,称它为非线性方程 . ? 如: y ? P ( x ) y ? Q ( x );(关于 y 线性)
2 ? ? x ( y ) ? 2 y y ? x ? 0 ; (非线性)

一次有理整式,则称 ( 12 .5 ) 为线性方程;

2 (关于 y 非线性) 2 y d x ? ( 4 x ? y ) d y ? 0 ,

dy 2 y d x 4x ? y2 (关于x 线性) 变形 ? , ? 2 dx 4 dy 2y x?y

4. 微分方程的解
( n ) ? F ( x , ( x ), ( x ), ? , ( x )) ? 0 , ( ? x ? I )

设 y ? ? ( x ) 在区间 I 上有 n 阶导数 ,若

? ??

则称 y ? ? ( x ) ( x ? I ) 为方程
n d y d y F ( x , y , , ? , n ) ? 0( 12 . 5 ) d x d x

的解; 若方程 ( 12 . 5 ) 的解 y ? ? ( x ) 由方程:

? ( x ,y ) ? 0

( x ,y )? 0 为 ( 12 . 5 ) 式的隐式 . 所确定,则称 ?

5. 微分方程的解的分类 (1) 通解: 若 n 阶微分方程 ( 12 . 5 ) 的解

y? ? ( x ; c ,c , ? ,c ) 中含 1 2 n
n 个相互独立的任意常数c1, ?? c , ? ,c ,即 ? ? 2 n ?
( n ? 1 ) ? ? ( ? ,? ,? ,? ) ? J? ? ( c ,c ,? ,c ) 1 2 n

? c1 ?? ? ? c1

?c2 ?? ? ? ?c2

?? ?cn ?? ? ?cn

?0

? ? ? ?? ( n?1) ?? ( n?1) ?? ( n?1) ? ? c1 ?c2 ?cn

则称此解为 ( 12 .5 ) 的通解 .

微分方程的通解中含有任意常数, 通俗地说, 且任意常数的个数与微分方程的 阶数相同,这些常数之间没有任 何关系.

?? 如: y y ,

x 通解 y? ce ;

? ?? y ? c sin x ? c cos x ; y y ? 0 , 通解 1 2
(2) 特解: 不含有任意常数的解. 思考 通解是否一定包含了此方程的所有解? 不一定.

d y 2 如: 对于 ?y , y d x 1 可以验证: y? ? 是其通解, x ? c 但不包含特解: y ? 0. O 解的图象: 微分方程的积分曲线.

x

通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定n阶微分方程 n d y d y F ( x , y , , ? , n ) ? 0( 12 . 5 ) d x d x 特解的条件: ( n ? 1 ) ( n ? 1 ) ? ? y ( x ) ? y , y ( x ) ? y , ? , y ( x ) ? y . 00 00 00

6. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的 解的问题.

?y? ? f ( x, y) 一阶: ? ?y( x0 ) ? y0

过定点的积分曲线;

过定点且在定点 ? ??f( ? y x ,y ,y ) ? 二阶: ? 的切线的斜率为 ? ? y ( x )? y ,y ( x )? y ? 0 0 0 0 定值的积分曲线.

( n ) ? ? F ( x ,y ,y , ? ,y ) ? 0 n 阶: ? ( n ? 1 ) ( n ? 1 ) ? ? ? y ( x ) ? y , y ( x ) ? y , ? , y ( x ) ? y 1 . 6 ) 0 00 0 0 0(

例8

? x ? 4 x ? C e ? C e 求以双参数函数族 y 1 2

为通解的微分方程(C1, C2为任意常数).



? x ? 4 x ? y ? ? C e ? 4 C e 1 2
? x ? 4 x ? ? y ? C e ? 16 C e 1 2

(1)

? y D ( y, y?) ? C ? J? ? 1 ? y? D (C 1,C 2) ? C 1
? 5 x ? ? 3 e ? 0

? y ?x ? 4x e e ? C 2? ? y? ?e?x ?4 e?4x ? C 2

? 两个任意常数C1, C2 相互独立

故所求方程必是一个二阶微分方程

? x ? 4 x y ? C e ? C e 1 2
? x ? 4 x ? y ? ? C e ? 4 C e 1 2

解得

1 1 x 4 x ? ? C ? e ( 4 y ? y ), C ? ? e ( y ? y ) 1 2 3 3
代入(1)式, 整理得

? ? ? y ? 5 y ? 4 y ? 0 .

在§2 — §4中, 将讨论方程

?? y f ( x ,y )
的初等解法: 初等积分法. 求解微分方程 求积分

(通解可用初等函数或积分表示出来)

内容小结
微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 通解; 初始条件; 特解; 初值问题; 积分曲线.


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