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(数学)江苏省扬州市邗江区2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试卷 Word版含答案

2017 ? 2018 学年度第二学期高二数学期中测试卷 数
出卷人:

学(理科)
2018.04 校对人:

(全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟)

注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的 位置上)
3 1、 C 6 ? ___▲ _

2、已知复数 z ?

5 ( i 是虚数单位) ,则| z |= ▲ _ 1 ? 3i

3、已知(1)正方形的对角线相等; (2)平行四边形的对角线相等; (3)正方形是平行四边 形. 由(1) 、 (2) 、 (3)组合成“三段论”,根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是 _ 4、观察式子 1 ? ▲

1 3 1 1 5 1 1 1 7 ? ,1 ? 2 ? 2 ? ,1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ,……,则可以归纳出 2 2 3 4 2 2 3 2 3 4


1?

1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ??? ? ? 2 2 3 4 (n ? 1) 2

5、若向量 a ? (1,1, x), b ? (1, 2,1), c ? (1,1,1) ,满足条件 (c ? a) ? (2b) ? ?2 ,则 x ? 6、 对于命题: 三角形的内角至多有一个是钝角, 若用反证法证明, 正确的反设是 _ 7、用数学归纳法证明: “1 ? a ? a ?
2

▲ ▲ _

? a n ?1 ?


1 ? a n?2 (a ? 1, n ? N * ) ” ,在验证 n ? 1 成 1? a

立时,左边计算所得的结果是

8、复平面内有 A, B, C 三点,点 A 对应的复数为 2 ? i ,向量 BA 对应的复数为 2 ? 3i ,向量

BC 对
应的复数为 3 ? i ,则点 C 对应的复数是
1



9、 设平面 ? 的法向量为 (1, ?2, 2) , 平面 ? 的法向量为 (2, ? , 4) , 若? ∥ ? , 则 ? 的值为



10、从 4 个男生 3 个女生中挑选 3 人参加智力竞赛,要求既有男生又有女生的选法共有 ___ ▲___种. (用数字作答) 11 、 用 数 学 归 纳 法 证 明 “

n3 ? 5n(n ? N * ) 能 被 6 整 除 ” 的 过 程 中 , 当 n ? k ? 1 时 ,


3 式子应变形为 (k ? 1) ? 5( k ? 1)

12、某单位安排 7 位员工在春节期间大年初一到初七值班,每人值班 1 天,若 7 位员工中的 甲、乙排 在相邻的两天,丙不排在初一,丁不排在初七,则不同的安排方案共有___ ▲____ 13、我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割, 以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.它体现了一种无限与有限的转化过程.比如 在表达式

1? 1?
1?

1 1 1?

中, “……”即代表无数次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程

1 5 ?1 ? x ,求得 x ? .类比上述过程,则 3 ? 2 3 ? 2 x 2

?



14、 如图所示, 四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形, 它们所在的平面互相垂直, 动点 M 在 线段

PQ 上, E , F 分别为 AB, BC 的中点.设异面直线 EM 和 AF 所成的角为 ? ,则 cos ?
的最大 值为 ▲

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分 14 分) 已知复数 z ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i (1)当实数 m 为何值时,复数 z 为纯虚数 (2)当 m ? 2 时,计算 z ?

z . 1? i

2

16. (本小题满分 14 分) (1)求证: 3 ? 7 ? 2 5 ; (2)已知 a ? 0, b ? 0, 且 a ? b ? 2 ,求证:

1? b 1? a , 中至少有一个小于 2 . a b

17. (本小题满分 14 分)

F, 四 边 形 A B C D 如 图 , 在 多 面 体 A B C D E 中 是 正 方 形 , EF ∥
AB, EF ? FB, AB ? 2EF , ?BFC ? 90?, BF ? FC, H 为 BC 的中点.(1)求证: FH ∥平面 EDB ;
(2)求证: AC ? 平面 EDB .

3

18. (本小题满分 16 分)

F 是棱 BC 的 如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中, AB ? 4, AD ? 2, A 1 A ? 2, 点
中点,点 E 在棱 C1D1 上,且 D1E ? ? EC1( ? 为实数) . (1)求二面角 D1 ? AC ? D 的余弦值;

1 时,求直线 EF 与平面 D1 AC 所成角的正弦值的大小; 3 (3)求证:直线 EF 与直线 EA 不可能垂直.
(2)当 ? ?

19. (本小题满分 16 分) 某班级共派出 n ? 1 个男生和 n 个女生参加学校运动会的入场仪式,其中男生倪某为领 队.入场时,领队男生倪某必须排第一个,然后女生整体在男生的前面,排成一路纵队 入场,共有 En 种排法;入场后,又需从男生(含男生倪某)和女生中各选一名代表到 主席台服务,共有 Fn 种选法 . ( 1 )试求 En 和 Fn ; ( n ? N? ) ,并用数学归纳法证明. ( 2 )判断 ln En 和 Fn 的大小

20.(本小题满分 16 分) 观察如图: 1,

4

2,3 4,5,6,7 8,9,10,11,12,13,14,15 …… 问: (1)此表第 n 行的最后一个数是多少? (2)此表第 n 行的各个数之和是多少? (3)2018 是第几行的第几个数? (4) 是否存在 n ? N * , 使得第 n 行起的连续 10 行的所有数之和为 227 ? 213 ? 120? 若 存在, 求 出 n 的值;若不存在,请说明理由.

5

扬州市邗江区 2017-2018 学年度第二学期期中试卷 高
1. 20;


2.


10 ; 2



(理) 答



一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 3. 正方形的对角线相等; 7、1 ? a ? a 2 ; 11.

2n ? 1 ; n ?1 8. 3 ? 3i ,
4.

5. 2 ; 9. ?4

6.假设至少有两个钝角 ; 10. 30 ;

(k 3 ? 5k ) ? 3k (k ? 1) ? 6 ;
12. 624; 13. 3 ; 14. 2 5

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题纸指定区域内 作答,解答时应写出文 ........ 字说明、证明过程或演算步骤. 15、解: (1)复数 z ? m(m ? 1) ? (m ? 1)i

?m(m ? 1) ? 0 令? ?m ? 1 ? 0

.................. 4 分

?m ? 0或m ? 1 解得 ? ?m ? 1
即m ? 0

.................. 6 分 .................. 7 分

当m=2时,z ? 2 ? i (2) z 2 ? i 3 ? 5i z? ? (2 ? i) ? ? 1? i 1? i 2

..................14 分

16.解: (1)证明:因为 3 ? 7 和 2 5 都是正数,所以为了证明 3 ? 7 ? 2 5 , 只要证 即证:
( 3 ? 7)2 ? (2 5)2 ,只需证: 10 ? 2 21 ? 20 ,
21 ? 5 ,即证:

.......... 3 分 ........... 6分

2 21 ? 10 ,即证:

21 ? 25 ,

因为 21<25 显然成立,所以原不等式成立.................. 7 分
1? b 1? a 1? b 1? a 都不小于 2, 则 , ? 2, ?2 a b a b

(2) 证明: 假设 分 13 分

. ................. 10

a ? 0, b ? 0, ?1 ? b ? 2a, 1 ? a ? 2b,

? 1 ? 1 ? a ? b ? 2(a ? b) , 即 a ? b ? 2 ......

6

这与已知 a ? b ? 2 矛盾,故假设不成立,从而原结论成立. ...... 14 分

17. (1)

如图,以 H 为坐标原点,分别以 HB, GH , HF 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方 向建立

空间直角坐标系, 令

BH ? 1,



A(1, ?2,0), B(1,0,0), C(?1,0,0), D(?1, ?2,0), E(0, ?1,1), F (0,0,1). .....2 分

(1) 设 AC 与 BD 的交点为 G ,连接 GE , GH , 则 G (0, ?1, 0) , ∴ GE ? (0,0,1), .............................4 分 又∵ HF ? (0,0,1) ,∴ GE ∥ HF ,.......... 6 分

GE ? 平面 EDB, HF ? 平面 EDB ,∴ FH ∥平面 EDB ........7 分

(2)∵ AC ? (?2, 2,0), GE ? (0,0,1), ∴ AC ? GE ? 0 ∴ AC ? GE. .......... 10 分 又 AC ? BD , 且

GE

BD ? G , ∴ AC ? 平 面

E D B.......... 14 分

18. 解: (1)如图所示,建立空间直角坐标系 D ? xyz . 则
A(2,0,0) , C (0, 4,0) ,
D1 (0,0, 2),

D1 A ? (2,0, ?2)



D1C ? (0, 4, ?2) ....................2 分

设平面 D1 AC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 则 n ? D1 A ? 0, n ? D1C ? 0 .即 x ? z , z ? 2 y .令 y ? 1 ,则 x ? z ? 2 .
7

∴ 平 面 D1 A C的 一 个 法 向 量 n ? (2,1, 2) . 又 平 面 D A C的 一 个 法 向 量 为
m?( 0 , 0. ,. 1 )....4 分

故 cos? m , n? ?

m ?n 2 2 ? ? , 即 二 面 角 D1 ? A ? C | m | ? | n | 1? 3 3

的 D 余 弦 值 为

2 ................5 分 3 1 (2)当 λ = 时,E(0,1,2) ,F(1,4,0) , EF ? , 3 ,1 2 ) ( ? . 3 EF ? n 1 14 ? ? 所以 cos ? EF , n? ? ......................8 分 | EF | ? | n | 14 ? 3 42

因为 cos? EF , n? ? 0 ,所以 ? EF , n? 为锐角, 从而直线 EF 与平面 D1 AC 所成角的正弦值的大小为

14 ............10 分 42

(3)假设 EF ? EA ,则 EF ? EA ? 0 . .....................12 分
E(0, 4? , 2), F (1, 4,0) 1? ? , 4? 4? .....................14 分 , ?2) , EF ? (1, 4 ? , ?2) . 1? ? 1? ?



∴ EA ? (2, ?

∴2?

4? 4? 2 (4 ? ) ? 4 ? 0 .化简得 3? ? 2? ? 3 ? 0 . 1? ? 1? ?

该 方 程 无 解 , 所 以 假 设 不 成 立 , 即 直 线 EF 不 可 能 与 直 线 EA 不 可 能 垂 直. ..............16 分
n n 1 1 19 解: (1) En ? An ? An ? (n!)2 , Fn ? Cn ?1 ? Cn ? n(n ? 1) ....................4 分

(2) 因为 ln En ? 2ln n!, Fn ? n(n ? 1) , 所以 ln E1 ? 0 ? F 1 ? 2 ,ln E2 ? ln 4 ? F 2 ?6,

ln E3 ? ln36 ? F3 ? 12,
. 2 l nn ? ! n ( n? 1)

* , 由 此 猜 想 : 当 n ? N 时 , 都 有 ln En ? Fn , 即

下面用数学归纳法证明 2ln n! ? n(n ? 1) ( n ? N ). ...........6 分
*

① n ? 1 时,该不等式显然成立. ....................... ..8 分 ②假设当 n ? k (k ? N ) 时,不等式成立,即 2ln k ! ? k (k ? 1) ,. ....10 分
*

则当 n ? k ? 1 时, 2ln(k ? 1)! ? 2ln(k ? 1) ? 2ln k ! ? 2ln(k ? 1) ? k (k ? 1) , 要证当 n ? k ? 1 时不等式成立.只要证: 2ln(k ? 1) ? k (k ? 1) ? (k ? 1)(k ? 2) ,

8

只要证: ln(k ? 1) ? k ? 1 .. ................................. ...13 分

令 f ( x) ? ln x ? x, x ? (1, ??) ,因为 f ' ( x) ? 递减,

1? x ? 0 ,所以 f ( x) 在 (1, ??) 上单调 x

从而 f ( x) ? f (1) ? ?1 ? 0 ,而 k ? 1? (1, ??) ,所以 ln(k ? 1) ? k ? 1 成立. 则当 n ? k ? 1 时,不等式也成立. ............................ ...15 分 综合①、②得原不等式对任意的 n ? N * 均成立................ ...16 分

20. 解: (1)由已知得出每行的正整数的个数是 1,2,4,8,…,其规律:

1 ? 21?1, 2 ? 22?1, 4 ? 23?1,8 ? 24?1,
2 n ?1 个,

由此得出第 n 行的第一个数为: 2

n ?1

,共有

所以此表第 n 行的最后一个数是 2 ? 1 .
n

.......................... 3 分
n ?1

(2)由(1)得到第 n 行的第一个数,且此行一共有 2 的求和公式得: 第 n 行 的 各 个

个数,从而利用等差数列







S?

2n ?1 (2n ?1 ? 2n ? 1) 3 n 1 n ? ? 4 ? ? 2 ? 3 ? 22 n ?3 ? 2n ?2 ........ 6 分 2 8 4
n

(3)由(1)可知第 n 行的最后一个数是 2 ? 1 . 当 n ? 11 时,最后一个数字为 1023 , 当 n ? 12 时,最后一个数字为 2047 , 所以 2018 在第 12 行, 2018 ? 1023 ? 995 , 故 2018 是第 12 行的第 995 个数; (4)第 n 行起的连续 10 行的所有数之和 S ?

3 n 1 ? 4 (1 ? 4 ? ? 49 ) ? ? 2n 8 4 n?2 n?19 n?1 ? 2 (2 ? 2 ?1023)

又 2 ? 2 ?120 ? 2 (2 ? 2 ?15) …………(*) , 故 n ? 2 ? 3, n ? 5.
27 13 3 24 10

n ? 5 时(*)式成立. n ? 5 时,由(*)可得, n?1 9 n? 1 0 此等式左边为偶数, 右边为奇数, 不成立. 2n?5 ( 2 ? 2 ? 1 0 2? 3) 2 4 2 ? 1? 2 15, 故满足条件的 n ? 5 . ........... ................ .... 16 分
9

10


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