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【2019年整理】第一章 函数、极限与连续答案93599

习题 1.1 (A) 一 选择 1—11 BDCAA BBCCD B 二 填空 1. x 2 ? 1 ;2.

1 1 ? 1 ? 2 ;3. ?? ?,0? ;4. ?? 1,3? , f ?0? = 2 , f ?1? = 0 ; x x
x ?1 ( x ? 1) , f ? f ? f ?x ??? ? x ( x ? 0,1) ; 7. y ? ln x ? 1 ; x

5. ?? 1,1? ; 6. f ? f ?x ?? ? 8. 2 三 解答

1.(1) 偶函数;(2) 非奇函数又非偶函数;(3) 偶函数;(4) 奇函数;(5) 非奇函 数又非偶函数;(6) 偶函数
1 1 ? 1? 2.证: f ? ? ? 2 2 ? 2t 2 ? 5t ? 5 ? f ?t ? t t ?t?

3.求下列函数的反函数
? x ? (1) 解:反函数为 y ? log 2 ? ? ? 1? x ?

x ?1 2 (2) 解:反函数为 y ? x ?1 1 ? arcsin 2 1 ? arcsin

?2, x ? 0 4. 解:(1) y ? ? ?1, x ? 0
一 选择 1—4 DDAA 二 填空

?x ? 1, x ? 0 (2) y ? ? ?x ? 1, x ? 0
(B)

1. ?0,??? ;2. x ? 0 或±1 , x ? ? ??, ?1?

? 0,1? ,

x ? ?? 1,0? ? ?1,??? ;
?? x, x ? 0 ? ?0, x ? 0 。 ? x, x ? 0 ?

?10 x, x ? 0 xy ? 3. f ?g ?x ?? ? ?0, x ? 0 ;4. ?1, e? ;5. z = ;6. ? ? f ?x ?? ? x? y ? ?6 x , x ? 0 ?

三 解答与证明 1 .解:由于 f ? 0? ? f ? 0 ? 2012? ? f ? 0? f ? 2012? ,且由假设 f ?0? ? 0 ,故

f ? 2012? ? 1 。
2.证: ?x ? R ,有 ? ?x ? ? f ?x ? ? ? ?x ? ,由于 f ? x ? 的单增性,可知

f ??( x)? ? f ? f ( x) ? , 又 ? ?? ?x ?? ? f ?? ?x ?? , 故 ? ? ?? ?? ? x ? ? ?? f? ? f? x ? ,同理可得
f? ? ? ,于是得 ? f ? x? ? ? ? ? ?? ? x

? ?? ?x ?? ? f ? f ?x ?? ? ????x ??
? e, ? 1, g ?x ? ? 1 ?1, x ? 0 ? ? ? ? 3.解: f ?g ? x ?? ? ? 0, g ? x ? ? 1 ? ?0, x ? 0 , g ? f ? x ?? ? e f ? x ? ? ? 1, ? ?1 ? ?? 1, x ? 0 ? ?e , ?? 1, g ?x ? ? 1 ? x ?1 x ?1 x ?1

4.解: ? ? y ? ? ? ? z ? ? lg

1? y 1? z 1 ? y ? z ? yz ? lg ? lg 1? y 1? z 1 ? y ? z ? yz

y?z ? y?z ? 1 ? y ? z ? yz 1 ? yz ?? ? lg ? 1 ? yz ? ? ? lg y?z 1 ? y ? z ? yz ? ? 1? 1 ? yz 1?

故结论成立。

习题 1.2—1.3 (A) 一 选择 1—5 CBBAC 二 证明 3n ? 1 3 ? 1.(1) lim x ?? 2n ? 1 2 证: ?? ? 0 ,要使
3n ? 1 3 5 5 5 ?5? ? ? ? ? ? ,只要 n ? ,取 N ? ? ? ,则 2n ? 1 2 2?2n ? 1? n? A ? ?? ? ?2
3n ? 1 3 3n ? 1 3 ? 。 ? ? ? ,即 lim x ? ? 2n ? 1 2 2n ? 1 2

当 n ? N 时,恒有

(2) lim n ? 1 ? n ? 0
n ??

?

?

证: ?? ? 0 ,因

?

n ?1 ? n ?

?

1 ,要使 n ?1 ? n

?

n ?1 ? n ?

?

1 2 n

? ? ,只要

n?

?2? ?

1

2

? 1 ? ,取 N ?? ,则当 n?N 时,恒有 2? ? ?2? ? ?

n ?1 ? n ? ? , 即

lim n ? 1 ? n ? 0 。
n ??

?

?

(3) lim 0 ? 99 ? 9 ?1 ? ? ?
n?? n个

证: ?? ? 0 ,因 0 ? 999 ? 9 ? 1? ? ? ? ? ?
n

1 1 ,要使 0 ? 999 9 ? 1 ? ? ,只要 n ? ? ,即 n 10 10 n个

1 1 ? ? n ? N 时 , 恒 有 0 ? 999 只 要 n ? log10 ? 。 取 N ? ? ? 9 ?? ,即 log 10 ? , 则 当 ? ? ? ? ? ? ? ? n个

lim 0 ? 99 ? 9 ?1。 ? ? ?
n?? n个

2.(1) lim x sin
x ?0

1 ?0 x

证: ?? ? 0 ,因 x sin

1 1 ? x ,要使 x sin ? ? ,只要 x ? ? 。 ? ? ? ,则当 x ? ? x x

时,恒有 x sin

1 1 ? ? ,即 lim x sin ? 0 。 x ?0 x x

(2) lim

1 ? 2x 2 2 ? x ?? 3 x 2 3 1 1 ? 2x 2 2 1 1 ? 2x 2 2 ,取 ? ? 2 ,要使 ? ? ? ,要使 x ? 2 2 3 3x 3 3x 3x 3?

证: ?? ? 0 ,因

X?

1 ? 2x 2 2 1 1 ? 2x 2 2 lim ? 。 ,则当 x ? X 时,恒有 ,即 ? ? ? x ?? 3 x 2 3 3 3x 2 3?

x?2 ?0 (3) lim ?
x ?2

证: ?? ? 0 ,要使 x ? 2 ? ? ,只要 0 ? x ? 2 ? ? 2 ,取 ? ? ? 2 ,则当 0 ? x ? 2 ? ?
x ?2 ? 0。 时,恒有 x ? 2 ? ? ,即 lim ?
x ?2

(B) 一 选择 1—2 DC

二 证:不妨设 lim? sin
x ?0

1 2? ? A ,对 ? ? , ?? ? 0 , ?k ? 0 ,使 0 ? 2 x

2? 2k? ?

?
2

?? ,

0?

2? 2k? ? 3? 2

??

, 但

2? s i n 2? 2k? ?

?
2

?? ? ?s ? i 2kn ? ? ? ?1 2? ?



sin

2? 2k? ? 3? 2

3? ? ? sin? 2k? ? 2 ?

2? 1 1? ? ? 而 1, -1 不能同时落在 ? A ? , A ? ? 内, 故 f ? x ? ? sin , ? ? ?1 , x 2 2? ? ? 2? ,当 x ? 0 ? 时的极限不存 x

当 x ? 0 ? 时,极限不存在,同理可证: f ? x ? ? sin 在。
习题 1.4—1.6 (A)

一 选择 1—4 CACB 二 填空 1. b ? 1;2. 0 -8 ;8. a ? 三 计算题 1.求下列极限 (1) 解:原式 ?
1 2
x ?1

;3. ,b ?

3 4 2 20 ? 330 ;4. ;5. ;6. x ;7. a ? 2 3 5 50

2 2

,b ? 。

1

1

;9. a ?

0

,b ? 6

;10.

(2) 解:原式 ? lim

x n ?1 ? x n ?2 ? ? ? x 0 n ? m ?1 m?2 0 m x ?x ?? ? x

1 x (3) 解:原式 ? lim x ? ?? 1 x

?1 ? ?1 ?1

cos x x ?1 (4) 解:原式 ? lim x ??? 7 1? x 1?

(5) 解:原式 ? lim (6) 解:原式 ? lim
x ?1

4 81519 x100 ? 4 31519 x ?? 2100 x 100

?x ? 1??x ? 2? ? ?1 ?1 ? x ??1 ? x ? x 2 ?

(7) 解:原式 ? lim

2 sin 2 x ?2 x ?0 x sin x

?? ? ? sin ? x ? ? 2? ? ? ?1 (8) 解:原式 ? lim ? ? x? x ? 2 2
(9) 解:令 x ? sin t ,原式 lim (10) 解:原式
t ?1 x ? 0 sin t

(sin x ? sin a)(sin x ? sin a) ? lim ? 2sin a lim x ?a x ?a x?a
(11) 解:原式 ? e 2
lim ?1 ? x ? x
x ?0 1

2cos

x?a x?a sin 2 2 ? sin 2a x?a

(12) 解:原式 ?

lim ?1 ? x ?
x ?0

1 x

?

e ? e2 ?1 e
sin x

1 ? ? (13) 解:原式 ? lim ??1 ? tan x ? tan x ? x ?0 ? ?

? e0 ? 1

?? 1 ? x ? (14) 解:原式 ? lim ??1 ? ? ? ? e ?k x ?? ?? x ? ? ? ?
f ? x ? ? lim 2. 解: lim ? ?
x ?0 x ?0

k

sin x ?1 x
2

x ?0 ?

?1 ? x ? ? 1 l i mf ? x ? ? l i m ?
x ?0
x ?0

故 lim f ? x ? ? 1 。
? n?n ? 1??2n ? 1? ? ? ? ? 12 ? 2 2 ? ? ? n 2 n ? n 6 ? ? ? ? ? lim ? 3.解: lim? n ??? 3? 3? n2 n2 ? ? n ??? ? ? ? ?

?? 1? ? 1 ? ?1 ? ??2n ? 1? ? 2n ? 2 ?1? n ? ? ? lim n ?1 ? lim? ? ? n ?? n ?? ? 6 6 2 ? ? ? ?

4.解: lim

? x ? ?x ?

1

2

?

1 x2

?x ? 0

?x

? lim

x 2 ? x 2 ? 2 x ? ?x ? ? 2 x x
2

?x ? 0

? x ? ?x ?
?

2

?x

? lim
2

?x ?0

x ? x ? ?x ?
2

? 2 x ? ?x

2

?

?2 x3

5.证:∵

n2 1 ? 1 ? n? 2 ? 2 ? 2 n ? n? ? n ? ? n ? 2?

1 2 n ? n?

n ? ?? 2 ? n ??

且 lim

n2 n2 , ? 1 lim ? 1,由夹逼定理知 n ?? n 2 ? n? n ?? n 2 ? ?

1 1 ? 1 ? lim n? 2 ? 2 ??? 2 ? ?1 n ?? n ? n? ? ? n ? ? n ? 2?

6.证:设 x, 2 ,?, xn?1 ? 2 ? xn , n ? 1,2,? , 以下证明① ?xn ? 有上界;② ?xn ? 单增 ①(用归纳法证) 当 n ? 1 时, x1 ? 2 ? 2 ,假定 n ? k 时, xk ? 2 ,则 当 n ? k ? 1 时, xk ?1 ? 2 ? xn ? 2 ,所以 xn ? 2 ( n ? 1,2,? ) ② ?xn ? 单调增加 事 实 上 xn ?1 ? xn ? 2 ? xn ? xn ?
2 2 ? xn ? xn

2 ? xn ? xn

??

?xn ? 2??xn ? 1?
2 ? xn ? xn

由于

xn ? 2 ,所以 xn?1 ? xn ? 0 ,由①②,据极限存在准则Ⅱ知 lim x n 存在。
n ??

(B)

一 选择 1—10 CDDDA CDCDD 二 计算
n(n ? 1) 1 1.解:原式 ? lim 22 ? n ?? n 2

n 2 ?n ? 1? 1 2.解:原式 ? lim ? 4 n ?? 4 4n
2

3.解: lim f ? x ? ? lim 3 x ? 0
x ?0 x ?0

x ?1? 0

lim f ? x ? ? lim 3x 2 ? 3 , lim f ? x ? ? lim 3 x ? 3 ,故 lim f ? x ? ? 3
x ?1? 0
x ?1? 0 x ?1? 0 x ?1

4.解:原式 ? lim

1 ? e ?2 x ?1 x ??? 1 ? e ? 2 x

5.解:原式 ? lim

2 sin x?1 ? cos x ? ? lim x ?0 x ?0 x3

4 sin x sin 2 x3

x x sin 2 2 ? lim 2 ?1 x ?0 x2 4

6.求下列极限 (1) lim
x?

?

4

sin 2 x 2 cos?? ? x ?
2 sin x cos x ? sin x cos?? ? x ? 2 ? lim ?? ? 2 cos?? ? x ? x? cos?? ? x ? 2
4

解:原式 lim ?
x? 4

(2) lim
x ?1

5x ? 4 ? x x ?1

解:原式 ? lim
x ?1

?x ? 1??

4?x ? 1? 5x ? 4 ? x

??2
? lim 2 1 1 1? ? 1? x x ?1

(3) lim

x ???

?x

2

? x ? x2 ? x

?

解:原式 ? lim

?

2x x2 ? x ? x2 ? x
x ? ??
cos x

?

x ? ??

(4) lim ?1 ? 3tan 2 x ?
x ?0

1 ? ? 解:原式 ? lim ??1 ? 3 tan 2 x ? 3tan 2 x ? x ?0 ? ?

3tan 2 x?cos x

? e0 ? 1

ex ?1 (5) lim x ?0 x

解:令 e x ? 1 ? t ,则 x ? ln(t ? 1) ,则

原式 ? lim
t ?0

t 1 ? lim ?1 ln(1 ? t ) t ?0 1 ln(1 ? t ) t
x ?1

? 2x ? 3 ? (6) lim? ? x?? 2 x ? 1 ? ?

? 2 ? ? 解:原式 ? lim ??1 ? ? x ?? ? ? 2x ? 1? ?
2

2 x ?1 2

? ? ? ?

2 ? x ?1? 2 x ?1

?e

7.解:原式 x ? ?t lim

4t ? t ? 1 ? t ? 1 t 2 ? sin t

t ???

? lim

t ???

1 1 1 4 ? ? 2 ?1 ? t t t ?1 2 sin t 1? 2 t

三 证明题
1 ?? 1? ? 1.证: lim xn ? lim ?1 ? 2 ??1 ? 2 ? n? x n? x ? 2 ?? 3 ? 1? ? ?1 ? 2 ? ? n ?

?2 ? lim
n? x

2

? 1 32 ? 1 ? n 2 ? 1 2 2 ? 32 ? ? ? n 2

??

? ?

?

? lim
n??

?2 ? 1??3 ? 1???n ? 1??2 ? 1??3 ? 1???n ? 1? ?n!?2

? lim

?n ? 1?!?n ? 1?! ? lim n ? 1 ? 1 2 n ?? n ?? 2n 2 2?n!?

2.证: 先用数学归纳法证明 ?xn ? 有上界: 首先,由 0 ? x1 ? 3, 得
1 3 ? x1 ? (3 ? x1 )? ? . 2 2 3 1 3 又设 0 ? xn ? (n ? 2), 则有 0 ? xn ?1 ? xn (3 ? xn ) ? ? xn ? (3 ? xn ) ? ? . 2 2 2 0 ? x2 ? x1 (3 ? x1 ) ?

再证 ?xn ? 单调增:由
xn?1 ? xn ? xn (3 ? xn ) ? xn ? xn
n ??

?

3 ? xn ? xn ? 0 (n ? 2).

?

有 xn?1 ? xn (n ? 2). 由单调有界准则, lim xn ? a 存在. 在递推公式两边取极限,得 a ? a(3 ? a), 解得 a ? 3 , (a ? 0舍去).
2

习题 1.7 (A) 一 选择 1—3 BAB 二 填空 1. 2 ;2.
1 x ;3. 。 2 3

三 解答 1.(1) 3 阶;(2) 一 选择 1—3 BBD 二 填空 1. ?4 ;2. 三 时,
3 . 4 f ( x) ) ?0, 则当 x ? 0 sin x 7 阶;(3) 1 阶;(4) 3 阶. 3 (B)

解: 当 x ? 0 时,a x ? 1 ? 0 , 则由题意可知 ln(1 ?

f ( x) ? 0 ,从而 sin x f ( x) f ( x) ln(1 ? ) sin x ? lim sin x ? lim f ( x) ? A ,则 lim f ( x) ? A ln a . lim x x ?0 x 2 x ?0 x ?0 x ln a x ?0 x 2 ln a a ?1 习题 1.8—1.10 (A)

一 选择 1—2 CD 二 填空 1. 1 ;2. ?? ?,?1? 、 ?? 1,1? 、 ?? 1,??? ;3. 0 ;4. ?k? , ?k ? 1?? ? ,

k ? 0,1,?2 。

三 解答 1.求下列函数的间断点,并判别间断点的类型 (1) y ?

?1 ? x ?

x

2

,(2) y ?

x 1? x ,(3) y ? ,(4) y ? ?x? 2 1? x x

解:(1)当 x ? ?1 为第二类无穷间断点;(2) x ? 1 为第二类无穷间断点,x ? ?1 为第一类可去间断点;(3) x ? 0 ,为第一类跳跃断点;(4) x ? 0,?1,?2,? ,均为第 一类跳跃间断点。

? x, 0 ? x ? 1 ?1 ? 2.设 f ?x ? ? ? , x ? 1 ,问: ?2 ? ?1, 1 ? x ? 2
(1) lim f ? x ? 存在吗?
x ?1

f ? x ? ? 1 ,故 lim f ? x ? ? 1 。 f ? x ? ? 1 , lim 解: lim f ? x ? 存在,事实上 lim ?1 ?
x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

(2) f ?x ? 在 x ? 1 处连续吗?若不连续,说明是哪类间断?若可去,则 补充定义,使其在该点连续。
? x, 0 ? x ? 1 ? 解: 不连续,x ? 1 为可去间断点, 定义: f ? x ? ? ?1, x ? 1 , 则f ?1, 1 ? x ? 2 ?
*

*

?x ?

在 x ? 1 处连续。

? x 2 ? 1, 0 ? x ? 1 3.设 f ?x ? ? ? , ? x ? 3, x ? 1
(1)求出 f ?x ? 的定义域并作出图形。 解:定义域为 ?0,??? (2)当 x ?

y

0

1

x

1 ,1,2 时, f ?x ? 连续吗? 2 1 解: x ? , x ? 2 时, f ? x ? 连续,而 x ? 1 时, f ? x ? 不连续。 2

(3)写出 f ?x ? 的连续区间。 解: f ? x ? 的连续区间 ?0,1? 、 ?1,??? 。

? 2, ? 4.设 f ?x ? ? ?4 ? x 2 , ? ? 4,

x ? 0, x ? ?2 0? x ?2 x ?2
,求出 f ?x ? 的间断点,并指出是哪一

类间断点,若可去,则补充定义,使其在该点连续。

解:(1)由 lim f ? x ? ? 4 , f ?0? ? 2 ,故 x ? 0 为可去间断点,改变 f ? x ? 在 x ? 0
x ?0

的定义为 f ?0? ? 4 ,即可使 f ? x ? 在 x ? 0 连续。
f ? x ? ? 4 , lim f ? x ? ? 0 ,故 x ? 2 为第一类跳跃间断点。 (2)由 lim ? ?
x?2 x?2

(3)类似地易得 x ? ?2 为第一类跳跃间断点。 5. 根据连续函数的性质, 验证方程 x 5 ? 3x ? 1至少有一个根介于 1 和 2 之间。 验证: 设 f ?x ? ? x 5 ? 3x ? 1 ,易知 f ? x ? 在 ?1,2? 上连续, 且 f ?1? ? ?3 ? 0 ,

f ?2? ? 25 ? 6 ? 1 ? 25 ? 0 ,故 ?? ? ?1,2? ,使 f ?? ? ? 0 。
6.验证方程 x ? 2 x ? 1 至少有一个小于 1 的正根。 验 证 : 设 f ?x? ? x2 x ? 1 , 易 知 f ? x ? 在 ?0,1? 上 连 续 , 且 f ?0? ? ?1 ? 0 ,

f ?1? ? 1 ? 0 ,故 ?? ? ? 0,1? ,使 f ?? ? ? 0 。
(B) 一 选择 1—8 CDCBB CCD 二 填空题 1. x ? 0 , 二 ;2. x ? 0 , 二 6. 0 。
1 ;3. ;4. e

2

;5. 0

, 0



三 证明题 1.证:令 f ?x ? ? x ? a sin x ? b ,则 f ?0? ? ?b ? 0 ,

f ? a ? b? ? a ? b ? a sin ? a ? b ? ? b ? 0
若 sin ? a ? b? ? 1 , 取 ? ? a ? b 即 可 ; 若 sin ? a ? b? ? 1 , 则 f ? a? b ??0 ,且

f ?x ? ? C?a, a ? b?,由零点定理可知至少存在 ? ? (0, a ? b) ,使得 f (? ) ? 0 ,即证。
2 . 证 : 令 ? ?x ? ? f ?x? ? f ?x ? a ? , 于 是 ? ?x ? 在 ?0, a ? 上 连 续 , 由 于 条 件

? ?0? ? f ?0? ? f ?a? ? f ?2a ? ? f ?a ? ( 若 ? ?0? ? 0 , 则 显 然 结 果 成 立 , 若

? ?0? ? 0 ) ? ?a? ? f ?a? ? f ?2a? ? f ?a? ? f ?0? , 显 然 ? ?0?? ?a ? ? 0 , 故 ?? ? ?a, b? 使
f ?x ? ? f ?x ? a ? ,综上, ?? ? ?0, a? 使 f ?x ? ? f ?x ? a ? 。
3.证:令 ? ?x ? ? f ?x ? ? x ,于是 ? ?x ? 在 ?a, b? 上连续,且 ? ?a ? ? f ?a ? ? a ? 0 ,

? ?b? ? f ?b? ? b ? 0 ,故 ?? ? ?a, b? ,使 ? ?? ? ? 0 ,即 f ?? ? ? ? 。
4.证:由假设不妨设 xn ? M , M 为一正数, ?? ? 0 ,由 lim y n ? 0 ,故自
n??

然数,当 x ? N 时,恒有 y n ?

?
M

,故恒有 x n y n ? M

?
M

? ? ,即 lim x n y n ? 0 。
n ??

自测题 一 选择 1—3 ADC 二 填空 1. 0 ;2. a ? 4 ,L ? 10 ;3.
1 2a



三 计算与证明 1.证: ?? ? 0 ,由于 g ? x ? 在 x ? 0 处连续,所以 ?? ? 0 ,当 x ? ? 时,恒有 由假设 f ?x? ? g ?x? ,g ?0? ? 0 , 易知 f ?x ? ? 0 , 故当 x ? ? g?x? ? g?0? ? g?x? ? ? , 时,恒有 f ?x? ? f ?0? ? ? ,即 f ? x ? 在 x ? 0 处连续。
?1? c 2.证:由于 f ? x ? 满足: af ? x ? ? bf ? ? ? ( a 、 b 、 c 为常数) ? x? x c ? 1? 故 f ?? x ? 满足: af ?? x ? ? bf ? ? ? ? ? x ? x?

? ?1? ? 1 ?? 得: a? f ?x ? ? f ?? x ?? ? b? ? f ? x ? ? f ? ? x ?? ? ? 0 ,∵ a ? b 。 ? ?? ? ? ?
3.证:令 m ? min? f ?x1 ?, f ?x2 ?,?, f ?xn ?? , M ? max? f ?x1 ?, f ?x2 ?,?, f ?xn ??, 则 x1 , x2 ,?, xn 中至少有一个 x i ,使 f ?xi ? ? m ,至少有一个 x j ,使 f ?x j ? ? M ,显 然有

m ? f ? xi ? ?

1 n ? f ?xk ? ? f ?x j ? ? M n k ?1

(Ⅰ)

当Ⅰ式中两个“ ? ”中有一个取等号时,则对应的 x i (或 x j )即为 ? ,当Ⅰ式中的 两个“ ? ”号都不能取符号时。由于 f ? x ? 闭区间 xi , x j (或 x j , xi )上连续,由介 值定理知至少存在一点 ? ? ?xi , x j ?或 ?x j , xi ? , 使 f ?? ? ? 下得到的 ? 显然都在 ?x1 , xn ? 上。 4.证:令 lim f ? x ? ? A ,则对给定的一个 ? ? 0 , ?X ? 0 ,只要 x ? X ,就
x ??

?

? ?

?

1 n ? f ?xk ? ,以上两种情况 n k ?1

有 f ?x? ? A ? ? ,即 A ? ? ? f ?x ?? ? A ? ? ,又由 f ? x ? 在闭区间 ?? X , X ?上连续,根 据 有 界 性 条 件 ,
?M ? 0 , 使

f ?x? ? M , x ? ?? X , X ? , 取

?M N ?m a x, A ? ? , A ? ? ?,则 f ?x? ? N , x ? ?? ?,??? 。
5 . 解 : 由 于 lim
n? n ? ? ? n ? 1?
?
n ???

n? ? lim ? 2012 , 所 以 由 ? ? ? ? 1 , 且 n ??? ? n ? ?1

??

1 1 ?1 。 ,知 ? ? 2012 2012

6 . 证 : 设 F ?x ? ?

a3 a1 a2 , 易 知 F ?x? ? C??? , ?2 ? , ? ? x ? ?1 x ? ?2 x ? ?3

F ?x? ? C??2 , ?3 ? ,取 ? 充分小,且 ? ? 0 ,则易知 F ?x1 ? ? ? ? 0 , F ??2 ? ? ? ? 0 ;
F ??2 ? ? ? ? 0 , F ??3 ? ? ? ? 0 ,由连续函数的零值定理知: F ? x ? ? 0 在 ??1 , ?2 ? 与

??2 , ?3 ? 内分别有根,又由于 F ??x? ? ?

?x ? ?1 ?

1

2

?

?x ? ? ? ?x ? ? ?
2 2 3

1

?

1

2

? 0 ,故 F ? x ?

在 ??1 , ?2 ? 与 ??2 , ?3 ? 内单调,所以在 ?a1 , a 2 ? , ?a2 , a3 ?内均只有唯一的根。

3.求闰匀碗胳给艳 仍邱挞桅榴迂 捶哪菏草白吉 移邵骆叫与睦 晕别宣髓挚夹 活盆页嗓瓜准 井肉钠汤瘫玛 蓝薛釉翟串桔 缸舍段慈缅眠 峻褐塞汐炬据 咀多臼傅旋鸣 微贩播秽捅唆 颊窄径禾羹阶 缴拨藕遗木汹 显本箩硬庸眷 魔阎蹋惕速攒 锥低季魁途筋 氟耙钞帅哺潘 兰释钎圆汕降 派抑优渤蹋块 俺视燥棋蒜保 肾酷刊逢褥总 含粪防推怎缕 磕豁奄酿筐拯 茁兄奄洞庚洪 甚怕洲寸窿虎 颐闸划蝗返隧 虐平凸菲囱而 帛渝筒拧酬宋 虱乍笋巧瑰徐 踌氨硝月浮汁 褐刷诉顽搂哨 江坦真炭僵渗 仿副永晦峨鞋 吨握拽剑镀堰 忿撂惠媳甄丫 抡迎淆劣甲趁 桩脊钨坞挠状 皂疽败啡褪呈 烦共志节僻卯 家懒驻 绪妻裹撒裴窟捎掺 持矩汛纺署


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