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广东省岭南师院附中、附中东方实验学校2015-2016学年高一数学上学期期中联考试题


岭师附中 2015—2016 学年第一学期期中考试 高一年级 数学试卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分

第一卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入请把答案填在第二卷.
2 1.设集合 M ? {?1, 0, 1} , N ? { x | x ? ? x },则 M ? N ? (



A.{0}

B. {1,0}

C.(-1,0)

D.{-1,0} )

2. 下列函数中,与函数 f ( x ) ? lg( x ? 2) 定义域相同的函数为( A. y ? 2 x ?2 B. y ? ( x ? 2 ) 2 C. y ?

1 x?2

D. y ? )

( x ? 2) 2

3.下列函数中,既是奇函数又是定义域内的增函数为( A. y ? x ? 1 B. y ? x
3

C. y ?

1 x

D. y ? log2 x

8 ? ? ? , x?0 4.函数 f ( x ) ? ? ,则 f [ f (2)] 等于 ( x ? x ( x ? 2 ) , x ? 0 ?
A.-4 B. 0 C. 24 D. -24

)

5.设集合 A ? R, B ? {x | x ? 0} ,则从集合 A 到集合 B 的映射 f 只可能是( A. x ? y ? ( )



1 x 2 B. x ? y ?| x | C. x ? y ? log2 x D. x ? y ? x ? 2 x 3 x x 6.设 f ?x ? ? 3 ? 3x ? 8 ,用二分法求方程 3 ? 3x ? 8 ? 0在x ? ?1 , 2? 内近似解的过程中得

f ?1? ? 0, f ?1.5? ? 0, f ?1.25? ? 0 ,则方程的根落在区间 (
A.(1,1.25) 7. 若集合 A ? {? , A.2 B.(1.25,1.5)

) D.不能确定 )

C.(1.5,2)

1 1 } , B ? {x | m x ? 1} ,且 B ? A ,则 m 的值为( 3 2
C.2 或-3
0.5

B.-3

D.2 或-3 或 0
0.3

8.已知 a ? log 0.5 3 , b ? 2 A. b ? a ? c 9.已知函数

, c ? 0.5

,则 a , b, c 三者的大小关系是( C. a ? b ? c D. c ? b ? a



B. b ? c ? a

f ( x ) ? ax ?

b ? 5 ( a ? 0, b ? 0) , f (2) ? 3 ,则 f ( ?2) ? ( x

)

1

A.7 10.已知

B.-7

C.5

D.-5 )

y ? x 2 ? 4ax ? 2 在区间 ( ??, 4] 上为减函数,则 a 的取值范围是(
B. ( ??, 2] C. [?2, ? ?) D. [2, ? ?) )

A. ( ??, ? 2]

11.已知 a ? 0 且 a ? 1 ,则函数 y ? a x 与 y ? loga (? x) 的图象可能是(

2 12.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) .当 ?3 ? x ? ?1 时, f ( x) ? ?( x ? 2)

;当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x .则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2012) ? A.335 B.1678 C.338 D.2012

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把答案填在第二卷. 13.已知函数 f ( x ) ? log2 x ,当定义域为 [ , 4] 时,该函数的值域为 14.幂函数 f ? x ? 的图象过点 3, 3 ,则 f ? x ? 的解析式是__________. 15.设 a ? 0 且 a ? 1 ,则函数 y ? a x?2 ? 3 恒过定点________.
x 16. 使不等式 2 ?

1 2



?

?

2 成立的 x 的取值范围为 x



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,请 把答案写在第二卷相应题号处,否则不得分. 17.(12 分)已知全集 ? ? R ,集合 A ? x 1 ? x ? 8 , B ? x 2 ? x ? 9 , C ? x x ? a (1)求 A ? B , (C? A) ? B ; (2)如果 A ? C ? ? ,求 a 的取值范围.

?

?

?

?

?

?

18. (12 分) 计算:
2

(1) log3

27 ? log3 3 ? lg 25? lg 4 ? ln(e2 )
1 1 3

(2) (?2 ? 3 a ? b 2 )(3 ? 3 a 2 ? b 3 ) ? (?4 ? a 4 ? 6 b 5 )

19.(12 分)已知 f (log2 x) ? x ? x ?1 (1) 求 f (1) ; (2)求函数 f ( x ) 的解析式; .

20.(12 分) 已知函数 f ( x ) ? (1)确定 f ( x ) 的解析式;

bx ? a 1 3 是定义在(-1, 1)上的奇函数,且 f ( ) ? . 2 1? x 3 10

(2)证明: f ( x ) 在(-1, 1)上是增函数.

21. ( 12 分) 某服装厂生产一种服装,每件服装的成本为 40 元,出厂单价定为 60 元.该厂为鼓励销 售商订购,决定当一次订购量超过 100 件时,每多订购一件,订购的全部服装的出厂单价就 降低 0.02 元.根据市场调查,销售商一次订购量不会超过 500 件. (1)设一次订购量为 x 件,服装的实际出厂单价为 P 元,写出函数 P ? f ( x) 的表达式; (2)当销售商一次订购多少件时,该服装厂获得的利润最大,最大利润是多少元? (服装厂售出一件服装的利润 = 实际出厂单价 ? 成本)
3

22. ( 10 分) 若函数 f ?x ? 满足下列条件:在定义域内存在 x 0 , 使得 f ?x0 ? 1? ? f ?x0 ? ? f ?1? 成立, 则称函数 f ?x ? 具有性质 M ;反之,若 x0 不存在,则称函数 f ?x ? 不具有性质 M . (Ⅰ)证明:函数 f ?x? ? 2 x 具有性质 M ,并求出对应的 x0 的值; (Ⅱ)试探究函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1) 是否具有性质 M ?并加以证明.

第二卷(选择题,共 60 分) 一、选择题: (选择题,共 60 分) 题号 选项 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13.



14. ____ _ _

____.

15.



16.



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解:

4

18. 解:

19.解:

5

20. 解:

21.解:

22.解:

6

岭师附中 2015—2016 学年第一学期期中考试 高一数学必修 1 试题参考答案及评分意见 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.D 2. C 3.B 4.C 5. A 6.B 7. D 8.B 9.A 10.A 11.B 12.C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. [ ?1 , 2] 14. f ( x) ?

x ( x ? 0)

15. (2, 4)

16. ( ??, 0) ? (1,??)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解: (1) A ? B ? x 1 ? x ? 9

?

?

…………………………3 分

(C? A) ? B ? ?x x ? 1 或x ? 8?? ?x 2 ? x ? 9?…………………………6 分
? ?x 8 ? x ? 9?
(2)当 a ? 8 时满足 A ? C ? ? ………………………9 分 ………………………12 分

18. 解: (1)原式 ? log3 ( 27 ? 3) ? lg(25? 4) ? 2

? log3 3 ? 2 ? 2 ? 5

…………………………6 分

(注:两组对数加减计算正确各得 2 分,自然对数计算正确得 1 分) (2)原式= (?2) ? 3 ? (?4)a 3
1 2 3 ? ? 3 4

b2

1 1 5 ? ? 3 6

?

3 4 0 3 4 a b ? a ……………12 分 2 2

1

1

(注:能正确将根式转化为分数指数幂每个得 1 分) 19. 解:(1)令 log2 x ? 1 ,得 x=2,代入函数式得……………………2 分

f (1) ? 2 ? 2 ?1 ?

5 2 ……………………5 分
t

(2)设 log2 x ? t ,则 x ? 2 ……………………7 分 由 f (log2 x) ? x ? x ∴ f ( x) ? 2 ? 2
x ?1

得 f (t ) ? 2 ? 2 ……………………11 分
t

?t

?x

…………………12 分

b ?a 3 3 1 3 a ? 10 …2 分 20.解: (1)依题意,得 f (0) ? 0 且 f ( 3 ) ? 10 ,即 1?0 ? 0 且 1? 1 9
解得 a ? 0 , b ? 1 …………………………………………………4 分

7

x ,经检验,符合题意.…………………………………6分 1 ? x2 ,1) 且 x1 ? x2 ………………………7 分 (2)证明:设 x1 , x2 ? ( ?1 f ( x) ?

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

x2 x1 ( x ? x )(1 ? x1 x2 ) ………………9 分 ? ? 2 1 2 2 2 2 1 ? x2 1 ? x1 (1 ? x1 )(1 ? x2 )
2 2

? ?1 ? x1 ? x2 ? 1 ,? x2 ? x1 ? 0 , 1 ? x1 x2 >0, (1 ? x1 )(1 ? x2 ) >0

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 )
? f ( x ) 是 ( ?1,1) 上的增函数………………………12 分
21.解: (1)当 0 ? x ? 100 时,P=60 ……………………………2 分

当 100 ? x ? 500 , P ? 60 ? 0.02 ( x ? 100 ) ? 62 ?

x ………………5 分 50

? 60 , 0 ? x ? 100 , x ? N ? ? P?? x ? ? 62 , 100 ? x ? 500, x ? N ? ? ? 50

………………6 分

(2)设销售商的一次订购量为 x 件时,工厂获得的利润为 L 元,

?( P ? 40) x ? 20x , 0 ? x ? 100 , x ? N ? ? 则 L ? ? x2 ?????? 9分 ? ? 22x , 100 ? x ? 500, x ? N ? ? ? 50
当 0<x≤100 时,L 单调递增,此时当 x ? 100 时, Lmax ? 2000 当 100<x≤500 时,L 单调递增, 此时当 x ? 500 时, Lmax ? 6000 综上所述,当 x ? 500 时, Lmax ? 6000 答:当销售商一次订购 500 件时,该服装厂获得的利润最大,最大利润是 6000 元. ……………12 分 22. 解: (Ⅰ)证明: f ( x) ? 2 代入 f ?x0 ? 1? ? f ?x0 ? ? f ?1?
x

…………10 分

得: 2 即2
x0

x0 ?1

? 2 x0 ? 2

……………………2 分

? 2 ,解得 x0 ? 1
x

∴函数 f ( x) ? 2 具有性质 M .………………………………4 分 (Ⅱ)函数 y ? f ( x ) 恒具有性质 M , 即关于 x 的方程 f ( x ? 1) ? f ( x) ? f (1) (*)恒有解.

8

若 f ( x) ? a x ,则方程(*)可化为 a 化简得 (a ? 1)a ? a即a ?
x x

x ?1

? a x ? a ,…………………6 分

a a ?1

当 0 ? a ? 1 时,方程(*)无解 ∴ f ( x) ? a x 不恒具备性质 M ;………10 分

9


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