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高中数学第一章立体几何初步1.4空间图形的基本关系与公理1.4.2课件北师大版必修2_图文

【课标要求】 1.了解公理4及定理. 2.会用公理4和定理进行简单的推理论证. 3.了解异面直线及异面直线所成的角的定义,并能进行简单应 用. 自主学习 |新知预习| 基础认识 1.公理4 (1)内容:平行于同一条直线的两条直线平行. a∥b? ? ??a∥c. (2)符号表述: b ∥c ? ? 2.两条直线的位置关系 ? ?特征:在同一平面内没有公共点. ?平行? ?直线?记法:直线m与直线n平行, ? 记作m∥n. ? ? 共面? ? (1) ? ?特征:在同一平面内有且只有一个 直线? 公共点. ?相交? ? ?直线?记法:直线m与直线n相交于点A, ? ? ? 记作m∩n=A. ? (2)异面直线:特征:不共面的两条直线,没有公共点. 3.空间四边形 四个顶点不在同一平面内的四边形叫作空间四边形. 4.定理 条件:空间中,两个角的两条边分别对应平行. 结论:这两个角相等或互补. 5.异面直线所成的角 两条异面直线a,b 前提 过空间任意一点P分别引两条异面直线 作法 a,b的平行线l1,l2 定义 这两条相交直线所成的锐角(或直角)即 结论 为异面直线a,b所成的角 <θ≤90° 范围 记异面直线a与b所成的角为θ,则0° 特殊 当θ=90° 时,a与b互相垂直,记作a⊥b. 情况 |自我尝试| 1.判断正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)已知a,b,c,d是四条直线,若a∥b,b∥c,c∥d,则 a∥d.( √ ) (2)两条直线a,b没有公共点,那么a与b是异面直线.( × ) (3)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a ? α,b ? β,则 a,b是异面直线.( × ) 2.空间两个角α,β的两边分别对应平行且方向相同,若α= 50° ,则β等于( ) A.50° B.130° C.40° D.50° 或130° 解析:由等角定理知β与α相等,故选A. 答案:A 3.垂直于同一条直线的两条直线( A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 ) 解析:可借助正方体来分析,可知平行、相交及异面都有可 能,故选D. 答案:D 4.设α为两条异面直线所成的角,则α满足( A.0° <α<90° B.0° <α≤90° C.0° ≤α≤90° D.0° <α<180° ) 解析:异面直线所成的角为锐角或直角,故选B. 答案:B 5.已知a,b,c是空间三条直线,则下列命题中正确命题的 序号为________. ①若a⊥b,b∥c,则a⊥c;②若a,b相交,b,c相交,则a,c 也相交;③若a,b平行,b,c平行,则a,c也平行 解析:①根据异面直线所成角的定义知①正确;②中a与c平 行、相交、异面都可能,故②不正确;由公理4知③正确. 答案:①③ 课堂探究 互动讲练 类型一 公理4的应用 [例1] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1A,C1C的中 点,求证:四边形MBND1为平行四边形. 【证明】 取B1B的中点P,连接C1P,MP. 因为N为C1C的中点,由正方体性质知C1N綊PB,所以四边形 C1PBN为平行四边形,所以C1P綊BN,(*) 又因为M,P分别为A1A,B1B的中点, 有MP綊A1B1. 又由正方体性质知A1B1綊C1D1, 所以MP綊C1D1, 所以四边形D1MPC1为平行四边形, 所以C1P綊MD1. 由(*)知MD1綊BN, 所以四边形MBND1为平行四边形. 方法归纳 在空间中遇到线段中点的常用处理方法 (1)利用三角形的中位线来转移两直线的平行关系. (2)通过构造平行四边形来转移两直线的平行关系或寻求两直 线的平行关系. 如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别为 1 AB,BC的中点,G,H分别在边CD,DA上,且满足CG= 2 GD, DH=2HA,则四边形EFGH为( ) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.梯形 跟踪训练 1 解析:因为E,F分别为AB,BC的中点, 1 所以EF綊2AC, DH 2 DG 2 又 HA =1,GC =1, DH DG 2 所以 HA =GC ,所以HG綊3AC, 所以EF∥HG且EF≠HG, 所以四边形EFGH为梯形. 答案:D 类型二 [例2] 等角定理的应用 已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱 CD,AD的中点.求证:∠DNM=∠D1A1C1. 【思路点拨】 利用等角定理的关键是利用图形中的已知条 件判断两个角的两边是否分别平行. 【证明】 如图,连接AC,在△ACD中,因为M,N分别是 CD,AD的中点, 所以MN是△ADC的中位线, 所以MN∥AC, 由正方体的性质得AC∥A1C1, 所以MN∥A1C1. 又因为ND∥A1D1,所以∠DNM与 ∠D1A1C1相等或互补.而∠DNM与 ∠D1A1C1均是直角三角形的锐角,所以∠DNM=∠D1A1C1. 方法归纳 (1)空间等角定理实质上是由以下两个结论组成的:①若一个 角的两边与另一个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反, 那么这两个角相等;②若一个角的两边与另一个角的两边分别平 行,有一组对边方向相同,另一组对边方向相反,那么这两个角 互补. (2)证明角相等,一般采用三种途径 ①利用等角定理及推论;②利用三角形相似;③利用三角形 全等. 跟踪训练 2 空间中角A的两边和角B的两边分别平行,若∠A =70° ,则∠B=________. 解析:由于角A的两边和角B的两边分别平行,所以有∠A= ∠B或∠A+∠B=180° . 因为∠A=70° , 所以∠B=70° 或∠B=110° . 故填70° 或110° . 答案:70° 或110° 类型三 异面直线所成的角 [例3] 如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分 别是AB、CD的中点,若EF= 3 ,求异面直线AD

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