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高中数学新教材中集合思想的应用


高中数学新教材中集合思想的应用
谌 敢
( 湖北省大悟县第一中学 , 湖北 大悟 432800 )

摘要 : 随着我国经济的持续发展 , 教育事业也取得了巨大的进步 。 高中教育作为基础性教学 , 也受 到了人们的普遍关注 。 集合思想是近代数学中一个非常重要的概念 , 在高中数学教育中也有着重要 的地位 。 应用集合思想的方法来解决数学中的难题 , 使数学问题更直接 、 客观的反映出来 。 同时集 合语言的准确性 , 也使得问题变得简单化 。 本文通过新教材中的几个例子对集合思想在高中数学教 学中的应用加以说明 。 关键词 : 高中数学 ; 集合思想 ; 应用分析 中图分类号 : G633.6 文献标识码 : A 文章编号 : 1671- 0568(2012)07- 0010- 02 在高中数学中把集合分为交集 、 并集和空集 。 交集 就是构成集合的元素既属于 A 又属于 B , 这样的集合称 为 A 与 B 的交 ( 集 ), 记作 A∩B ( 或 B ∩A ), 读作 “ A 交 B” ( 或 “ B 交 A ”), 即 A ∩B= {x|x ∈A , 且 x ∈B} ; 并集是构成集合的元素属于 A 或属于 B , 这样的集合称 为 A 与 B 的并 ( 集 ), 记作 A∪B ( 或 B ∪A ), 读作 “ A 并 B” ( 或 “ B 并 A ”), 即 A ∪B= {x|x ∈A , 或 x ∈B} ; 空集就是不含有任何元素的集合 , 在这里空集包含于任 何集合 , 但是不能说空集属于某个集合 。 二 、 高中数学教学应用集合思想的意义

集合是高中数学的重要概念 , 运用集合思想解决数 学中的疑难问题 , 已经得到广大师生的认可 , 集合思想 已经成为高中数学的理论基础 , 与高中数学中的多数内 容有 着 密 切 的 联 系 。 通 过 集合 语 言 对 数 学 问 题 的 分 析 , 使数学问题变得清晰化 、 简单化 , 能帮助学生更好地解 决问题 。 一 、 集合的概念 集合就是把人们直观的或思维中的某些确定的 、 容 易区分的对象放在一起 , 成为命题中的构成要素 , 作为 考虑问题的整体 。 组成一集合的构成要素称为这一集合 的元素 。 集合与元素是 “ 属于 ” 与 “ 不属于 ” 的关系 。 价 , 可以有效地保护学生的学习积极性 , 使他们在面对 困难时 , 有战胜困难的勇气 。 在评价过程中 , 对于正确 的观点, 要给予表扬, 将这种思考问题的方式保持下 去 , 继续努力 , 争取取得更好的成绩 ; 对于片面性的观 点 , 要肯定其正确的成分 , 指出其中不足之处 , 帮助学 生积极思考 , 鼓励学生继续努力 ; 对于错误的观点 , 我 们要加以指正 , 指出问题出现在哪 , 引导学生向正确的 方向发展 。 在这样的评价机制下 , 学生对于学习的兴趣 没有削弱 , 积极思考 , 锻炼了学生的思维能力和自主学 习能力 , 创新精神也得到发展 。 四 、 将信息技术应用到课堂的教学中 以计算机网络为代表的信息技术已经普遍的应用到 了人们的生活中, 成为社会发展的一种必然趋势。 同 样 , 在教育事业中也采用了多媒体信息技术 , 来带动教 育事业向现代化发展 。 在新课程改革的要求下 , 多媒体 信息技术应用到高中数学教学中 。 多媒体技术的强大优 势已经得到广泛的证明, 因此很快就被学生和教师接 受 , 它独特的优势被广大师生所喜爱 , 可以提高学生的

19 世纪晚期 , 德国数学家康托首先系统地研究了集
学习兴趣 , 帮助教师更好的开展教学活动 。 但是我们也 要注意到 , 多媒体技术只是一种教学工具 , 帮助我们开 展教学活动 , 它并不是教育的全部 , 我们不能盲目地使 用这种方式 。 教师课堂教学的目的是在帮助学生学习的 基础上 , 教授给学生学习的方法 , 培养学生的自主学习 能力和创新精神 , 我们不能本末倒置 。 随着经济全球化程度的进一步加深 , 我国与世界各 国的联系更加紧密, 我国的教育事业也将参与国际竞 争 , 这样就给我国的教育事业带来了机遇和挑战 。 教学 课 程 改 革 的 进 一步 开 展 , 为 我 国 教 育 事 业 增 添 了 活 力 , 提 供 了 发 展 的方 向 。 所 以 , 我 们 要 积 极 推 动 教 学 改 革 , 积极开拓创新 , 寻找出一条适应我国基本国情的教育改 革道路 , 促进教育事业发展 。
参考文献 :

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新教材透视

合理论 。 集合理论的提出得到了广泛的认同 , 在短时间 内 都 开 始 应 用 这 一 理论 。 对 于 高 中 数 学 教 育 也 是 一 样 , 在高中数学中集合就是基础性知识, 集合语言的简洁 性 、 表达的直观性 , 集合的思想在高中教学中有着重要 意义 。

得简单化 。 (a>0 , b<0 )。 ① 求函 2x-b 数 f (x ) 的定义域 ; ② 判断函数 f (x ) 的奇偶性 , 并予以证 明; 分析 : 本题 f (x ) 是复合函数 , 且解析式中含参 数 a 、 例如 : 已知函数 f (x )=loga 2x+b

1. 集合思想能够在整体上 概括 出 高 中 数 学 的 教 学 内
容 。 高中数学的主要内容就是数 、 式 、 形等方面 , 包括 数和式的运算和变形 、 方程和不等式的解 、 函数的图像 和性质 、 几何图形的结构和变换等 , 它们可以在集合思 想 的 应 用 下 联 系 和统 一 起 来 , 对 于 解 决 有 很 大 的 帮 助 。 例如方程式 、 不等式的解集 , 函数运算都是利用集合的 思想 。

b , 研究其性质要有分类讨论的准备 。 2x+b >0 得 x< b 或 x>- b , ∴ 函数 f (x ) 2x-b 2 2 b<0 的定义域为 {x|x< b 或 x> b } 。 2 2
解: (1 ) 由 (2 ) 对上述 f (x ) 的定义域内的任意 x , 有

2. 集合思想的语言对概念的表述上更加简洁 、 直观 。
例如方程组的解集 , 不等式的同解变形等概念 , 用集合 论的语言来表示也都十分简洁 。 特别在表明概念间的层 次关系、 形成概念体系时, 用集合论的语言则更为直 观。

f (-x )=loga -2x+b =loga 2x-b =loga( 2x+b )-1 -2x-b 2x+b 2x-b =-loga 2x+b =-f (x ), ∴ f (x ) 为奇函数 。 2x-b 3. 集 合 思 想 在 概 念 类 、 逻 辑 推 理 类 问 题 中 的 应 用 。
逻 辑推 理 问 题 是 考 验 学 生 的判 断 力 和 分 析 问 题 的 能 力 , 学生通过应用集合思想 , 将逻辑推理问题简化 , 在解决 问题时 , 加深了对逻辑问题的理解 , 有利于学生的思维 模式发展 。 例如 , 指出下列各题中 , p 是 q 的什么条件 ,

3. 集合思想可以指导高 中 数学 的 解 题 。 在 高 中 数 学
的解题中 , 很多都是应用了集合的思想 , 帮助学生更深 刻的理解题目内容 , 在理解的基础上解决问题 。 三 、 集合思想在高中数学中的应用

q 又 是 p 的 什 么 条 件 : p : x=y , q : x2 =y2; 在 解 题 中 令 A= {(x ,y )|x=y }= {(x ,x )}, B= {(x ,y )|x2=y2}= {(x ,y )|x=y , 或 x=-y }= {(x ,x ),(x ,-x )} 通过集合思想很容易得出 : p 是 q
的充分而不必要条件 , q 是 p 的 必 要 而不 充 分 条 件 。 另 外 , 集合思想在解决几何问题时也有着独特的优势 , 在 这里就不做详细说明了 。 随着我国经济的发展, 对教育的要求也在不断提 高 , 要培养出促进和谐社会不断发展的综合型人才 。 高 (1 ) 3x2-ax+5>0 中阶段作为学习的重要时期 , 人们对高中教学的关注度 也在不断提高。 集合思想作为高中数学中重要的知识 点 , 合理的应用有利于帮助学生掌握知识的本质 , 驾驭 问题的求解 , 而且对于开发学生的智力 , 培养学生的能 力 , 优化学生的思维品质 , 提高课堂教学的效果 , 都具 有十分重要的意义 。
参考文献 :

1. 集 合 思 想 在 复 杂 问 题 中 的 应 用 。 在 高 中 数 学 中 ,
有许多问题的解是由多个条件决定的 , 它们的交集所包 含的元素就是问题的答案 , 但是实际上每个条件也是受 到制约的 , 这样就给解决问题带来了困难 。 面对这样的 数学问题 , 我们就可以应用集合思想来解决 。 例如 : 1 已知函数 y=log ( 3x2-ax+5 ) 在 [-1 , +∞] 上 2 是减函数 , 求 a 的取值范围 。 分析 : 本题主要包含着两层意思 : 在 [-1 , +∞] 上恒成立 , (2 )t=3x2-ax+5 在 [-1 , +∞] 上 是增函数 , 实数 a 的范围其实就是这两层内容的交集 。 由题意可知 : a ≤-1 , 且满足 x=-1 时 3x2-ax+5>0 ,

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综上所述得出 : -8<a≤-6 。 在我 们 的 解 题 中 , 也 会 出 现 过 程 相 对 复 杂 的 问 题 , 这样我们也可以用补集的思想来分析 , 使问题变得简单 化。 例如 : 掷 3 枚硬币 , 至少出现一个正面向上的概率 是 ____ 。 分析 “ 至少出现一个正面向上 ” 的事件含有 1 个 向 上 , 2 个 向上 , 3 个 向 上 3 类 可 能 , 正 面 做 答 比 较 繁琐 , 可以从它的对立面出发 , 考虑 “ 一次也不出现正 面向上 ” 即 “ 全是反面 ” 的概率 。 P=1- 1 = 7 。

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2. 集合思想在 函 数 、 方 程 式 、 不等 式 中 的 应 用 。 函
数 、 方程式 、 不等式在高中数学中是重点内容 , 考试的 必考知识 , 应用集合思想来解决这一类问题 , 使问题变

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