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数学选择题的失分原因及对策


高考数学选择题失分原因及对策
武汉中学 蒋怡 选择题是高考数学试卷中一类重要题型,具有概括性强、知识覆盖面广、 小巧灵活,有一定的综合性和深度的特点。因此,能否快速、准确、简捷地解好 选择题成为在高考中是否能得分,得高分的关键。实际情况是我们的学生常常花 了很多时间去做选择题,而又很难得满分。因此,探索选择题失分的原因,寻求 相应的对策,这对于我们提高复习效率,高考时取得好成绩尤其重要。 (一) 概念不清导致错误 例 2009 年高考数学天津卷理科第 3 题:
命题“存在 x 0 ? R, 2
x0

? 0”的否定是
x0

A.不存在 x 0 ? R , 2

? 0
x

B.存在 x 0 ? R , 2

x0

? 0
x

C.对任意的 x ? R , 2 ? 0

D.对任意的 x ? R , 2 ? 0

分析:不少同学选择了 A,混淆了“一个命题的否定”与“一个命题的否命题” 这两个概念。存在性命题“存在
x0 ? A

, 则 P ? x0 ? 为 真 ” 的 否 定 是 “ 任 意

x 0 ? A , 则 P ? x 0 ? 为假” ,正确的选项为

D

策略:数学概念是数学科学知识体系的基础,是高中数学基础知识的核心, 是学好数学基础知识和培养数学能力的基础。只有了解概念的由来与发展,掌握 概念的内涵、外延及其表达形式,了解有关概念间的逻辑关系,了解概念的应用 范围,才能够正确地应用概念去解决问题。高考选择题每年都有对概念的考察, 每次都有不少人丢分,犯“低级错误” 。这就要求同学们在复习时重视课本,回 归课本,掌握课本中所有的公式、定义、定理及重要例题习题,了解所蕴含的数 学思想方法。复习的重心要放在“三基”上,千万不要脱离这个目标,陷入茫茫 题海,得不偿失。 (二) 算理不明导致错误 例 2009 年高考数学湖北卷理科第 9 题: 设球的半径为时间 t 的函数 R ( t ) ,若球的体积以均匀速度 c 增长,则球的表 面积的增长速度与球半径( ) B.成正比,比例系数为 2 c

A.成正比,比例系数为 c

C.成反比,比例系数为 c

D.成反比,比例系数为 2 c

分析:本题是一道以球为实际背景函数唱戏的动态几何问题。重点考查导数的实 际应用,即考查导数在实际背景下的意义。考生普遍存在的问题是:不理解“球 的体积是以均匀速度 c 增长”就是球的体积 V 对时间 t 的导数等于 c, “球的表 面积的增长速度”就是球的表面积 S 对时间 t 的导数。基本的算法原理不清,导 致无从下手,只好瞎蒙。 策略: 高考命题的一个原则是“积极改革创新”,所以一定会出现新题型。

新题型的命题形式、情景、要求与在复习资料里常见的题目不同。“新”表现在 联系实际或者开放性问题,或者很平常的熟悉问题的新问法,常常似曾相识,却 又无从下手。所以考试的时候要有一个平静的心态,拨开云雾,看清本质。反复 阅读,分析题目要求,提炼有用的条件,抓住其原理,再利用自己的基础知识、 基本方法一定能创造性地解决问题。 (三) 方法不当导致错误 例 湖北省武汉市 2010 届二月调考文科第 9 题 在△ABC 中,点 P 是 AB 上一 点,且 C P 点为 M,又 C M A. C.
1 2 3 4

??? ?

?

? 1 ??? ? 2 ??? CA ? CB,Q 3 3

是 BC 中点,AQ 与 CP 交

???? ?

??? ? ? tCP , 则

t= (
2 3 4 5



B. D.

分析:这是一道求两线段的交点分有向线段的比的题。通法是再设 A M 由CM
???? ? ??? ? ? tCP

???? ?
??? ?

???? ? k AQ
1 2



=

? ? 2 ??? 1 ??? tC A ? tC B 3 3 2 3 t且 1 2 k= t 3

,同时 C M

???? ?

??? ???? ? ? ??? ? ???? ? CA ? AM ? CA ? k AQ

= (1 ? k ) C A ?

??? ? kCB

,所以 (1 ? k ) ?

,求出 t 值,选 C。向量的加减计算及向量的共线问

题同学们常掌握得不好, 其实这一题还可以用一非常规手段做出来。因为试卷上 的图形画得比较标准,用直尺一测量,即可得到答案,节约了很多时间。 策略: 高考数学选择题的特点是:提供了可选择的多个选择支(只有一个

正确项),又不要求写出解答过程,并且对解题速度有高的要求。所以解答选择 题的基本策略是尽量“不择手段”,采用最简捷方法快速准确的作答:既要充分

挖掘各选择支的暗示作用, 又要巧妙有效的排除迷惑支的干扰。应尽量避免小题 大做, 否则将导致后面的解答题没有充裕的时间思考而后悔惋惜。解选择题的常 用方法有: 1.直接法:从题设条件出发,运用数学知识通过推理或计算得出结论,再对 照各选项作出判断的方法称为直接法. 直接法的思路是肯定一个结论, 是将选择 题当作解答题求解的常规解法。 2.筛选法(排除法): 当题目题设条件未知量较多或关系较复杂,不易从正面 突破, 但根据一些性质易从反面判断某些答案是错误的时候,可用筛选法排除不 正确的选项,得到正确答案。 3.特例法: 有些选择题涉及的数学问题具有一般性,而提供的选择支往往互 相矛盾(即任意两个选择支不能同时成立),这类选择题要严格推证比较困难,此 时不妨从一般性问题退到特殊性问题上来, 通过取适合条件的特殊值、 特殊图形、 特殊位置等进行分析,往往能简缩思维过程、降低难度而迅速得解。 4.数形结合法: 对于一些具有几何背景的数学问题,如能构造出与之相应的 图形进行分析,往往能在数形结合、以形助数中获得形象直观的解法。 5.验证法:将题目所提供的各选择支或特值逐一代入题干中进行验证,从而 确定正确的答案. 有时可通过初步分析, 判断某个(或某几个)选项正确的可能性 较大,再代入检验,可节省时间。 6.估算法: 有些问题不易(有时也没有必要)进行精确的运算和判断,则可以 进行粗略估算. 估算是一种数学意识,它以正确的算理为基础,通过合理的观察 比较、猜想推理或验证,从而作出正确的选择。 7.特征分析法: 通过对题干和选择支的关系进行分析,挖掘出题目中的各种 特征,如结构特征、数字特征、取值范围特征、图形特征、对称性特征、整体特 征等,从而发现规律,快速辨别真伪。 8.利用极限思想: 极限思想是一种基本而重要的数学思想. 当一个变量无限 接近一个定量, 则变量可看作此定量. 对于某些选择题,若能恰当运用极限思想 思考,则往往可使过程简单明快。 (四) 经验不足导致错误 例 2009 年高考江西卷理科第 9 题:

如图, 正四面体 A B C D 的顶点 A ,B ,C 分别在两两垂直的三条射线 O x ,O y ,
Oz

上,则在下列命题中,错误的为 ..
? ABC

A. O

是正三棱锥

B.直线 O B ∥平面 A C D
? OB ? A

C.直线 A D 与 O B 所成的角是 4 5 ? D.二面角 D

为 45?

C A

分析:部分学生在考试时不知如何下手,其实只要将正四面体 ABCD 镶嵌在正方体中,如图所示,易知 B 错.这属于解题经验不足的问 题。
D

O

B

策略: 数学中有一些问题有它固定的解答模式,平日总结好了,用在选择题的 解答上,非常方便快捷。如 1)正四面体通常镶嵌在正方体中,三条侧棱两两垂直的三棱锥,三组对棱分 别相等的三棱锥通常镶嵌在长方体中。 2)解析几何的圆锥曲线试题,出现焦点三角形必用第一定义,出现准线,必 用第二定义。 3)向量题若给出两向量的和或差,利用向量的加法、减法的几何意义,更有 效些。 4)数列题若给出非常规的递推关系,要你求 a 2 0 1 0 的值,通常这个数列具有周 期性,只要利用递推关系算出前有限项的值,找到其周期,即可运算。 5)不等式含参的恒成立问题分离参数。 6)方程在给定区间上有解的问题,转化为求函数的值域。 (五) 审题不细导致错误 例 2009 年高考山东卷理科第 11 题: 在区间[-1,1]上随机取一个数 x, c o s ( ) (A)
1 3

?x
2

的值介于 0 到

1 2

之间的概率为

(B)

2

?

(C)

1 2

(D)

2 3

分析:有的同学这样做,在区间[-1,1]上随机取一个数 x,即 x∈[-1,1]时,
?

?
2

?

?x
2

?

?
2



∴0

? cos

?x
2

? 1 区间长度为 1 2

1,而 c o s

?x
2

的值介于 0 到

1 2

之间的区间长度为

1 2



所以, 所求事件的概率为

.故选(C).出现上述错误的主要原因是审题错误.把试

验空间和事件发生的空间理解错误.事实上, 试验空间是区间[-1,1], 长度为 2; 由
?x 1 ? ? 2 2 ? 0 ? cos 2 2 ? ?1 ? x ? ? 或 ? x ? 1 ? 3 3 ??1 ? x ? 1 ?
2 3 )?( 2 3 ,1)

可 得 事 件 发 生 的 空 间 为

( ? 1, ?

,其长度为

2 3

.∴所求事件的概率为 .所以正确答案为 A
3

1

策略:解数学题审题非常关键,不管是简单题还是难题,都需要对题目要求有非 常透彻的了解,把题目多读几遍,弄清这个题目求什么,已知什么,求、知之间 有什么关系,把题目搞清楚了再动手答题。还要注意题目所给条件,注意挖掘隐 含条件,注意易错易混点。例如集合中的空集、函数的定义域、应用性问题的限 制条件,充要条件的判断中谁是条件,谁是结论等。 (六)心态不稳导致错误 解题中总会有自己不会或把握不准的题, 有的同学遇到这类题不做出来誓不 罢休,结果用了不少时间,自己做得昏头昏脑,还影响了后面其它题的解答时间 和解题心态。经常听到考试完后学生说: “我选择题做了一个多小时,心慌,没 时间看后面题了。 ”正确的方法是:答题顺序不一定按题号进行,可先从自己熟 悉的题目答起,从有把握的题目入手,使自己尽快进入到解题状态,产生解题的 激情和欲望, 再解答陌生或不太熟悉的题目。 遇到那些把握不大或无从下手的题, 先放一放,若有时间,再去拼。即使没有时间,最后也要大胆猜一个答案,千万 不空着,毕竟还有
1 4

的得分概率。


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