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学案与评测文数苏教版(课件)第8单元第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系_图文

第四节 直线与圆、圆与圆的位置 关系 基础梳理 1. 直线与圆的位置关系 两个 公共点; (1)直线与圆相交,有________ 一个 公共点; (2)直线与圆相切,只有________ (3)直线与圆相离,________ 没有 公共点. 2. 直线与圆的位置关系的判断方法 直线l:Ax+By+C=0(A,B不全为0) 与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关 系的判断方法有: (1)几何方法 设圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0的 距离为d. d<r ________ ?直线与圆相交; ________ ?直线与圆相切; d= r ________ ?直线与圆相离. d>r (2)代数方法 由消元,得到的一元二次方程的判别式为 Δ,则 Δ>0 ________ ?直线与圆相交; Δ=0 ?直线与圆相切; ________ Δ<0 ________ ?直线与圆相离. 3. 圆与圆的位置关系 外离 、 圆与圆的位置关系有五种,分别为________ 外切 、________ 相交 、________ 内切 内含 ________ 、________. 4. 弦长问题 圆的弦长的计算:常用弦心距d,弦长一半a及 圆的半径r所构成的直角三角形来解:r2= 2 2 ____________. a ?b 基础达标 1.(必修2P103练习第2题改编)若直线ax+by=1 与圆x2+y2=1相离,则点P(a,b)与圆的位置关系 在圆内 . 是________ 解析:由题意知圆心距d= 则a2+b2<1,故点P在圆内. 1 a ?b 2 2 >1, 2. (2010· 四川)直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交 2 于A、B两点,则|AB|=________. 解析:圆心为(0,0),半径为2 2 , 圆心到直线x-2y+5=0的距离为 | 0?0?5| 2 d= 1 ? ??2? 由 ? | AB | ? 2+( ? ? 2 ? ? 2 = 5 . 5 )2=(2 2 )2,得|AB|=2 3 . 3. (2010· 江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2 +y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的 -13,13) . 距离为1,则实数c的取值范围是(________ 解析: 圆半径为2,圆心(0,0)到直线12x-5y+c=0 的距离小于1,即 是(-13,13). |c| 13<1, 所以c的取值范围 4. (必修2P105练习第2题改编)若圆x2+y2=m(m> 0)与圆x2+y2+6x-8y-11=0仅有两条公切线, (1,121) . 则实数m的取值范围是________ 解析:由题意知两圆相交,两圆的圆心分别为(0,0), (-3,4),故圆心距为5;两圆的半径分别为 ,6.于 是有 -6|<5< m +6?1<mm <121. m| 5. 已知M={(x,y)|y=x+b},N={(x,y)|y=}, [-3,3 2 ] 若M∩N≠?,则b的取值范围为________ . 解析:集合M是斜率为1,在y轴上的截距为b 的一组平行线,集合N是以原点为圆心,半径 为3的圆在x轴上方的部分(包括与x轴的交 点),作出图形可知,当直线y=x+b过点A(3,0) 时,b=-3;当直线与半圆相切时,由点到直线 的距离公式得 |b| =3,即b=±3 2 2 ,易知 b >0,故b=3 2 ,所以 -3≤b≤3 . 2 经典例题 题型一 直线与圆的位置关系 【例1】 已知圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+ 10m2-2m-24=0(m∈R). (1)求证:不论m为何值,圆心在同一直线l 上; (2)与l平行的直线中,哪些与圆分别相交、 相切、相离? 分析:(1)用配方法将圆的一般方程配成标准 方程,求圆心坐标,消去m. (2)比较圆心到直线的距离与圆半径的大小. 解:(1)证明:配方得 (x-3m)2+[y-(m-1)]2=25. ? x ? 3m 设圆心为(x,y),则 ? ? y ? m ?1 消去m,得 l:x-3y-3=0, 则不论m为何值,圆心恒在直线l:x-3y-3 =0上. (2)设与l平行的直线是l1:x-3y+b=0, 则圆心到直线l1的距离为 | 3m ? 3? m ? 1? ? b | |3?b | d= = 10 10 . ∵圆的半径为r=5, ∴当d<r,即-5 10-3<b<5 10 -3时, 直线与圆相交;当d=r,即b=±5 10 - 3时,直线与圆相切;当d>r,即b<-5 10 -3或b>5 10 -3时,直线与圆相离. 变式1-1 (2010· 江西改编)直线y=kx+3与圆(x- 2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若 ? 3 3? ?? ? 3 3 ? ?. |MN|≥2,则k的取值范围是________ 解析:圆心的坐标为(2,3),由|MN|≥2 | 2k |2 2 4? = 2 ? k 2 ? 1? 3 3? . 解得k∈ ? ?? ? 3 3 ? ? 3 ,得 3, 4 k ?1 2 ≥2 变式1-2 若直线3x+4y+m=0与圆x2+y2- 2x+4y+4=0没有公共点,则实数m的取 (-∞,0)∪(10,+∞) 值范围是___________________. 解析:将圆x2+y2-2x+4y+4=0化为标准 方程,得(x-1)2+(y+2)2=1,圆心为(1,- 2),半径为1. 若直线与圆无公共点,即圆心到直线的距离 大于半径, 即d= | 3 ?1 ? 4 ???2? ? m | 3 ?4 2 2 = | m?5| 5 >1, ∴m<0或m>10. 题型二 圆与圆的位置关系 【例2】 已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2 -5=0,圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0, 试

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