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人教版高中数学选修2-1课时跟踪检测(二十) 空间向量与空间角、距离 含解析

课时跟踪检测(二十) 层级一 学业水平达标 空间向量与空间角、距离 1. 已知平面 α 的一个法向量为 n=(-2, -2,1), 点 A(-1,3,0)在平面 α 内, 则点 P(-2,1,4)到平面 α 的距离为( A.10 C. 8 3 ) B.3 D. 10 3 | PA · n| |-2-4-4| 10 解析:选 D 点 P 到平面α的距离 d= = = . |n| 3 4+4+1 2.已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,AA1=2AB,则 CD 与平面 BDC1 所 成角的正弦值等于( 2 A. 3 2 3 ) 3 3 1 3 B. C. D. 解析: 选A 建立如图所示的空间直角坐标系, 设 AA1=2AB=2, 则 B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),C1(0,1,2),故 DB =(1,1,0),DC1 = ? DB =0, ? n· DC =(0,1,0). (0,1,2), 设平面 BDC1 的法向量为 n=(x, y, z), 则? ? DC1 =0, ?n· ? ?x+y=0, 即? ? ?y+2z=0, 令 z=1,则 y=-2,x=2,所以平面 BDC1 的一个法向量为 n =(2,-2,1).设直线 CD 与平面 BDC1 所成的角为 θ,则 sin θ=|cos〈n, DC 〉 |n· DC | 2 |= = ,故选 A. |n|· | DC | 3 3. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, E 是 C1C 的中点, 则直线 BE 与平面 B1BD 所成的角的正弦值为( 10 5 15 5 ) 10 5 15 5 A.- B. C.- D. 解析:选 B 建立如图空间直角坐标系,设正方体的棱长 为 2,则 D(0,0,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),E(0,2,1). ∴ BD =(-2,-2,0), BB1 =(0,0,2), BE =(-2,0,1). 设平面 B1BD 的法向量为 n=(x,y,z). ∵n⊥ BD ,n⊥ BB1 , ? ?-2x-2y=0, ∴? ?2z=0. ? ? ?x=-y, ∴? ?z=0. ? 令 y=1,则 n=(-1,1,0). BE n· ∴cos〈n, BE 〉= |n|| BE | = 10 5 . 设直线 BE 与平面 B1BD 所成角为 θ, 10 5 则 sin θ=|cos〈n, BE 〉|= . 4.在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB=2,BC=2,DD1=3,则 AC 与 BD1 所成角的余弦值为( ) A.0 解析:选 A 3 B. 70 70 C.- 3 70 70 D. 70 70 建立如图坐标系,则 D1(0,0,3),B(2,2,0), A(2,0,0),C(0,2,0), ∴ BD1 =(-2,-2,3), AC =(-2,2,0). ∴cos〈 BD1 , AC 〉= AC BD1 · | BD1 || AC | =0. ∴〈 BD1 , AC 〉=90° ,其余弦值为 0. 5.正方形 ABCD 所在平面外有一点 P,PA⊥平面 ABCD.若 PA=AB,则平 面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的大小为( A.30° 解析:选 B B.45° C.60° ) D.90° 1, 建系如图,设 AB= 则 A(0,0,0),B(0,1,0), P(0,0,1),D(1,0,0),C(1,1,0). 平面 PAB 的法向量为 n1=(1,0,0). 设平面 PCD 的法向量 n2=(x,y,z), ? PD =0, ?n2· 则? ? CD =0, ?n2· ? ?x-z=0, 得? ? ?y=0. 令 x=1,则 z=1.∴n2=(1,0,1), cos〈n1,n2〉= 1 2 = 2 2 . ∴平面 PAB 与平面 PCD 所成的二面角的余弦值为 ∴此角的大小为 45° . 2 2 . 6.直线 l 的方向向量 a=(-2,3,2),平面 α 的一个法向量 n=(4,0,1),则直 线 l 与平面 α 所成角的正弦值为 ___________________________________________________________. 解析:设直线 l 与平面 α 所成的角是 θ,a,n 所成的角为 β,sin θ=|cos β| |?-2,3,2?· ?4,0,1?| 6 = = . 17 17× 17 答案: 6 17 7.在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 AA1 和 BB1 的中点,则 sin〈 CM , D1 N 〉=________. 解析:建立如图所示空间直角坐标系,设正方体棱 长为 2. 则 C(0,2,0),M(2,0,1),D1(0,0,2),N(2,2,1). ∴ CM =(2,-2,1), D1 N =(2,2,-1). cos〈 CM , D1 N 〉= 4-4-1 1 =- . 3×3 9 4 9 5 ∴sin〈 CM , D1 N 〉= . 答案: 4 9 5 8.如图正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1, O 是平面 A1B1C1D1 的中心,则 BO 与平面 ABC1D1 所成角的正弦值为________. ?1 1 ? ? ? 解析:建立空间直角坐标系如图,则 B(1,1,0),O? , ,1?, ?2 2 ? DA1 =(1,0,1)是平面 ABC1D1 的一个法向量. ?1 1 ? ? ? 又 OB =? , ,-1?, 2 2 ? ? ∴BO 与平面 ABC1D1 所成角的正弦值为 1 = | OB |· | DA1 | | OB · DA1 | 2 6 2 3 6 × = 2 3 . 6 答案: 9.如图所示,已知在四面体 ABCD

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