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2012高考理科数学函数与导数 (答案详解)


2012 年高考函数导函数专题(理科)
一、选择题 1. (2012 重庆理 8)设函数 f ( x) 在 R 上可导,其导函数为 f ( x) ,且函数 y ? (1 ? x) f ' ( x)
,

的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是( ) A.函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (1) B.函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (1) C.函数 f ( x) 有极大值 f (2) 和极小值 f (?2) D.函数 f ( x) 有极大值 f (?2) 和极小值 f (2) 2. (2012 新课标理 12)设点 P 在曲线 y ? 值为( ) B. 2(1 ? ln 2)
x

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小 2
C. 1 ? ln 2 D. 2(1 ? ln 2)

A. 1-ln2

3. (2012 陕西理 7)设函数 f ( x) ? xe ,则( ) A. x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 C. x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点 B. x ? 1 为 f ( x) 的极小值点 D. x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点

[学

4. (2012 辽宁理 12)若 x ? [0,??) ,则下列不等式恒成立的是( ) A. e x ? 1 ? x ? x 2 C. cos x ? 1 ?

B.

1 1 1 ? 1 ? x ? x2 2 4 1? x
1 2 x 8

5. (2012 湖北理 3)已知 二次函 数 y ? f ( x) 的 图像如 图所 示,则 它与 x 轴 所围图形

1 2 x 2

D. ln(1 ? x) ? x ?

1

的面积为( )

A. C.

2π 5 3 2

B.

4 3
D.

π 2

6. (2012 全国理 10) 已知函数 y ? x ? 3x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点, c 等于 则 ( )
3

A.-2 或 2 二、填空题

B.-9 或 3

C.-1 或 1

D.-3 或 1

7. (2012 北京理 14) 已知 f ( x) ? m( x ? 2m)( x ? m ? 3) ,g ( x) ? 2 ? 2 , 若同时满足条件:
x

① ?x? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ; ② ?x ? (??,?4) , f (x) g ( x) ? 0 . 则 m 的取值范围是_______. 8. (2012 天津理 14)已知函数 y = 实数 k 的取值范围是

|x 2 ? 1| 的图像与函数 y =kx ? 2 的图像恰有两个交点,则 x ?1
.

9. (2012浙江理16) 定义: 曲线 c 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 c 到直线 l 的距离, 已知曲线 c1 :y =x +a 到直线 l : y ? x 的距离等于曲线 c2 :x +(y +4) =2 到直线 l : y ? x 的
2
2 2

距离,则实数 a =_______. 10. (2012 广东理 12)曲线 y ? x -x +3 在点 (1,3) 处的切线方程为
3



11. (2012 上海理 13)已知函数 y ? f (x) 的图像是折线段 ABC ,其中 A(0,0) 、 B ( ,5) 、

C (1,0) ,函数 y ? xf (x) ( 0 ? x ? 1 )的图像与 x 轴围成的图形的面积为
12. (2012 陕西理 14)设函数 f ( x) ? ?

1 2

.

?ln x, x ? 0 , D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该 ??2 x ? 1, x ? 0
.

曲线在点 (1, 0) 处的切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为 13. (2012 江西理 11)计算定积分

?

1

?1

( x 2 ? sin x)dx ? ___________.

2

14. (2012 山东理 15) a ? 0 .若曲线 y ? 设

x 与直线 x ? a, y ? 0 所围成封闭图形的面积为

a 2 ,则 a ? ______.
三、解答题 15. (2012 广东理 21) (本小题满分 14 分) 设 a<1,集合 A ? {x ? R | x ? 0} , B ? {x ? R | 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a} ? 0 , D ? A ? B .
2

(I)求集合 D (用区间表示) ; (II)求函数 f ( x) ? 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6ax 在 D 内的极值点.
3 2

16. (2012 安徽理 19) (本小题满分 13 分) 设 f ( x) ? ae x ?

1 ? b(a ? 0) , ae x

(I)求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ? 17. (2012 全国理 20) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax ? cos x , x ?[0, ? ] . (I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)设 f ( x) ? 1 ? sin x ,求 a 的取值范围. 18. (2012 北京理 18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? 1(a ? 0), g ( x) ? x ? bx .
2 3

3 x ;求 a, b 的值. 2

(I)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 在它们的交点 (1, c) 处具有公公切线,求 a, b 的值; (II)当 a 2 ? 4b 时,求 f ( x) ? g ( x) 的单调区间,并求其在区间 (??, ?1] 上的最大值. 19. (2012 新课标理 21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? (I)求 f ( x) 的解析式及单调区间; (II)若 f ( x) ?

1 2 x ; 2

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值. 2

20. (2012 江苏理 18) (本小题满分 16 分) 若函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称 x 0 为函数 y ? f (x) 的极值点. 已知 a,b 是实数,1 和 ?1 是函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx 的两个极值点.

3

(I)求 a 和 b 的值; (II)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点; (III)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c?[?2 , ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. 2] 21. (2012 辽宁理 21) (本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

x ? 1 ? ax ? b(a, b ? R, a, b为常数) , 曲 线 y ? f ( x) 与 直 线

y?

3 x 在 (0, 0) 点相切. 2

(I)求 a, b 的值; (II)证明:当 0 ? x ? 2 时, f ( x) ?

9x . x?6

22. (2012 重庆理 16) (本小题满分 13 分) 设 f ( x) ? a ln x ?

1 3 ? x ? 1, 其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于 2x 2

y 轴.
(I)求 a 的值; (II)求函数 f ( x) 的极值. 23. (2012 浙江理 22)(本小题满分 14 分) 已知 a ? 0 , b ? R ,函数 f ( x) ? 4ax ? 2bx ? a ? b .
3

(I)证明:当 0 ? x ? 1 时, (ⅰ)函数 f ( x ) 的最大值为 | 2a ? b | ?a ; (ⅱ) f ( x)? | 2a ? b | ?a ? 0 ; (II) 若 ?1 ? f ( x) ? 1 对 x ? [0,1] 恒成立,求 a ? b 的取值范围. 24. (2012 山东理 22)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? k ( k 为常数, e ? 2.71828 ??? 是自然对数的底数) ,曲线 y ? f ( x) ex

在点 (1, f (1)) 处的切线与 x 轴平行. (I)求 k 的值; (II)求 f ( x) 的单调区间; (III)设 g ( x) ? ( x ? x) f '( x) ,其中 f '( x) 为 f ( x) 的导函数.
2

证明:对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e .

?2

4

25. (2012 湖南理 22) (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e ? x ,其中 a ? 0 .
ax

(I)若对一切 x ? R , f ( x) ? 1 恒成立,求 a 的取值集合. (II)在函数 f ( x) 的图像上取定两点 A( x1 , f ( x1 )) , B( x2 , f ( x2 )) ( x1 ? x2 ) ,记直线 AB 的 斜率为 k ,问:是否存在 x0 ? ( x1 , x2 ) ,使 f ?( x0 ) ? k 成立?若存在,求 x0 的取值范围;若 不存在,请说明理由.

参考答案
1. 【答案】 D 【解析】由图像可知当 x ? ?2 时, y ? (1 ? x) f ' ( x) ? 0 ,所以此时 f ' ( x) ? 0 ,函数递增. 当 ? 2 ? x ? 1 时, y ? (1 ? x) f ' ( x) ? 0 ,所以此时 f ' ( x) ? 0 ,函数递减.当 1 ? x ? 2 时,

y ? (1 ? x) f ' ( x) ? 0 ,所以此时 f ' ( x) ? 0 ,函数递减.当 x ? 2 时, y ? (1 ? x) f ' ( x) ? 0 ,
所以此时 f ' ( x) ? 0 ,函数递增.所以函数 f (x) 有极大值 f (?2) ,极小值 f (2) ,选 D . 2. 【答案】 B 【解析】函数 y ?

1 x 1 e 与 y ? ln(2 x) 互为反函数,图像关于 y ? x 对称, 函数 y ? e x 上 2 2





P(

1 x, 2

x

e到 直 线 )

y?x









1 x e ?x 2 d? 2





1 1 g ( x) ? e x ? x ? g ?( x) ? e x ? 1 2 2

? g ( x)min ? 1 ? ln 2 ? d min ?

1 ? ln 2 . 由 图 像 关 于 y ? x 对 称 得 : PQ 最 小 值 为 2

2d min ? 2(1 ? ln 2)
3. 【答案】 D 【 解 析 】 ? f ( x) ? xe ,? f ' ( x) ? e ? xe , 令 f ' ( x) ? 0 , 则 x ? ?1 , 当 x ? ?1 时
x x x

f ' ( x) ? 0 ,当 x ? ?1 时 f ' ( x) ? 0 ,所以 x ? ?1 为 f (x) 极小值点,故选 D .
4. 【答案】 C 【解析】设 f ( x) ? cos x ? (1 ? 所以 g '( x) ? ? cos x ? 1 ? 0
5

1 2 1 x ) ? cos x ? 1 ? x 2 ,则 g ( x) ? f ?( x) ? ? sin x ? x, 2 2

所以当 x ? [0, ??) 时, g ( x) 为增函数,所以 g ( x) ? f ?( x) ? g (0) ? 0 , 同理 f ( x) ? f (0) ? 0 ,所以 cos x ? (1 ? 即 cos x ? 1 ? 5. 【答案】 B 【解析】根据图像可得: y ? f ( x) ? ? x ? 1 ,再由定积分的几何意义,可求得面积为
2

1 2 x ) ? 0, 2

1 2 x ,故选 C 2

1 1 S ? ? (? x 2 ? 1)dx ? (? x3 ? x) ?1 3

1 ?1

?

4 . 3

6. 【答案】 A 【解析】若函数 y ? x ? 3x ? c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则说明函数的两个极值中
3

有一个为 0,函数的导数为 y ' ? 3x ? 3 ,令 y ' ? 3x ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?1 ,可知当极大值
2 2

为 f (?1) ? 2 ? c , 极 小 值 为 f (1) ? c ? 2 . 由 f (?1) ? 2 ? c ? 0 , 解 得 c ? ?2 , 由

f (1) ? c ? 2 ? 0 ,解得 c ? 2 ,所以 c ? ?2 或 c ? 2 ,选 A .
7.【答案】 m ? (?4,?2) 【解析】根据 g ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,可解得 x ? 1 .由于题目中第一个条件的限制 ?x? R ,
x

f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成立的限制,导致 (x) 在 x ? 1 时必须是 f ( x) ? 0 的.当 m ? 0 时,
f ( x) ? 0 不能做到 f (x) 在 x ? 1 时 f ( x) ? 0 ,所以舍掉.因此, f (x) 作为二次函数开口只
能向下,故 m ? 0 ,且此时两个根为 x1 ? 2m , x2 ? ?m ? 3 .为保证此条件成立,需要

1 ? ? x1 ? 2m ? 1 ?m ? ?? 2 ,和大前提 m ? 0 取交集结果为 ? 4 ? m ? 0 ;又由于条件 2: ? ? x 2 ? ?m ? 3 ? 1 ?m ? ?4 ?
要求 x ? (??,?4) , f ( x) g ( x) ? 0 的限制,可分析得出在 x ? (??,?4) 时, f (x) 恒负,因 此就需要在这个范围内 g (x) 有得正数的可能,即 ? 4 应该比 x1 , x2 两根中小的那个大,当

m ? (?1,0) 时, ? m ? 3 ? ?4 ,解得,交集为空,舍.当 m ? ?1 时,两个根同为 ? 2 ? ?4 ,
舍.当 m ? (?4,?1) 时, 2m ? ?4 ,解得 m ? ?2 ,综上所述 m ? (?4,?2) . 8. 【答案】 (0,1) ? (1,4)
6

【解析】 ∵函数 y =kx ? 2 的图像直线恒过定点 B(0, ? 2) , A(, ?) 且 1 2 ∴ k AB =

,C ( ? 1,0) ,D(1,2) ,

?2+2 0+2 2+2 =0 , k BC = = ? 2 , kBD = =4 ,由图像可知 k ? (0,1) ? (1,4) . 1? 0 ?1 ? 0 1? 0
4 2

D

C
10 5

O
2

5

10

B
4

A

9.【答案】
6 8

9 4
2 2

【解析】曲线 c2 : x +(y +4) =2 到直线 l : y ? x 的距离为

d?

|0?4| 12 ? 12
12

10

? 2 ?2 2? 2 ? 2,

曲线 c1 : y ? x 2 +a 对应函数的导数为 y ? 2 x ,令 2 x ? 1 得 x ?

1 ,所以 c1 : y ? x 2 +a 上的 2

1 1 ? ?a| 1 1 1 1 2 4 点为 ( , ? a) ,点 ( , ? a) 到到直线 l:y =x 的距离应为 2 ,所以 ? 2, 2 4 2 4 12 ? 12 |
解得 a ?

9 7 或 a ? ? (舍去). 4 4

10. 【答案】 2 x ? y ? 1 ? 0 【解析】 y? ? 3x ? 1 ,当 x ? 1 时, y? ? 2 ,此时 k ? 2 ,故切线方程为 y ? 3 ? 2( x ? 1) ,
2

即 2x ? y ? 1 ? 0 . 11. 【答案】

5 4 1 1 ,线段 AB 的 方程 为 y ? 10 x ,当 ? x ? 1 时 . 线段 BC 方程 为 2 2

【 解析】 当 0 ? x ?

1 ? ?10 x,0 ? x ? 2 y ? 0 x ?1 ? ,整理得 y ? ?10 x ? 10 ,即函数 y ? f ( x) ? ? , ? 5?0 1 ?? 10 x ? 10, 1 ? x ? 1 ?1 ? 2 2 ? 1 ? 2 ?10 x ,0 ? x ? 2 ? 所 以 y ? xf ( x) ? ? , ?? 10 x 2 ? 10 x, 1 ? x ? 1 ? 2 ?

函数与 x 轴围成的图形面积为

7

?

1 2

0

10 x 2 dx ? ?1 (?10 x 2 ? 10 x)dx ?
2

1

10 3 x 3

1 2 0

? (?

10 3 x ? 5x2 ) 3

1 1 2

?

5 . 4

12. 【答案】2 【解析】函数 y ? f (x) 在点 (1,0) 处的切线为 y ? 0 ? f ' (1)( x ? 1) ,即 y ? x ? 1 .所以 D 表示

的平面区域如图 大值为 z ? 0 ? 2 ? (?1) ? 2 . 13. 【答案】 【解析】

当目标函数直线经过点 M 时 z 有最大值,最

2 3

1 2 ( x 2 ? sin x)dx ? ( x3 ? cos x) 1 1 ? . ? 3 3 4 14. 【答案】 a ? 9

?

1

?1

【解析】由已知得 S ?

?

a

0

xdx ?

2 3 x2 3

a 0

?

1 2 3 2 4 a 2 ? a 2 ,所以 a 2 ? ,所以 a ? . 3 3 9

15. 【解析】 (I)由 2 x 2 ? 3?1 ? a ?x ? 6a ? 0 有
2 ? ? ?? 3?1 ? a ?? ? 4 ? 2 ? 6a ? 3?3a ? 1??a ? 3?

① ? ? 0 ,即 3?3a ? 1??a ? 3? ? 0 又?



1 ?a?3 3

a ?1
2

?当 1 ? a ? 1 时, 2 x 3
②当 ? ? 0 时, a ?

? 3?1 ? a ?x ? 6a ? 0 恒成立. B ? R

? D ? A ? B ? A ? ?0,???
1 2 , B ? x ? R 2 x ? 4 x ? 2 ? 0 ? ?x x ? 1? 3

?

?

? D ? A ? B ? ?0,1? ? ?1,???
③当 ? ? 0 时,即 a ?

1 3

8

1)当 0 ? a ? 其中 x1 ? 且 x1 ? 0

1 时,方程 2 x 2 ? 3?1 ? a ?x ? 6a ? 0 有两个不同的根 x1 , x 2 . 3

3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30 a ? 9 , 3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30 a ? 9 x2 ? 4 4
(显然 ?3?1 ? a ?? ? 9a 2 ? 18a ? 9 ? 9a 2 ? 30 a ? 9 )则有
2

D ? A ? B ? (0,

3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 3(1 ? a) ? 9a 2 ? 30a ? 9 )?( , ??) 4 4
?3 ?2 ? ?

2)当 a ? 0 时, B ? ?? ?,0? ? ? ,?? ?

? ? ? D ? A ? B ? ? 2 , ? ?? ? ? 3
3)当 a ? 0 时, x1 ? 0 (显然 ?3?1 ? a ?? ? 9a 2 ? 18a ? 9 ? 9a 2 ? 30 a ? 9 )
2

x2 ?

3 3 , x2 ? ? ( 2 2

9a 2 ? 30 a ? 9 ? 3?1 ? a ? ,显然 2 9a ? 30a ? 9 ? 9a 2 ? 18a ? 9 ) 4

? 3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30 a ? 9 ? , ? ?? D ? A? B ? ? ? ? ? 4 ? ?
综合上述:

1 ? a ? 1 时, D ? ?0,?? ? ; 3 1 当 0 ? a ? 时, 3


? ? 3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30 a ? 9 ? ? 3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30 a ? 9 ? ?? D ? ? 0, , ? ?? ; ? ? ? ? 4 4 ? ? ? ?
当 a ? 0 时, D ? ?

? 3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30 a ? 9 ? , ? ?? . ? ? 4 ? ?
2

(II)由 f ??x ? ? 6 x ? 6?1 ? a ?x ? 6a ? 0 有

x1 ? a,
①当

x2 ? 1

1 ? a ? 1 时, D ? ?0,?? ? 3

x

?0, a ?

a

?a,1?

1

?1,???

9

f ??x ?

+

0



0

+

f ?x ?

?

?

?

?

函数 f ? x ? 在 D 内的极值点为 x ? a 或 x ? 1

②当 0 ? a ?

1 时, 3

2 2 ? ? ? ? ? 0, 3?1 ? a ? ? 9a ? 30 a ? 9 ? ? ? 3?1 ? a ? ? 9a ? 30 a ? 9 , ? ? ? D? ? ? ? ? 4 4 ? ? ? ?

?
(0 ? a ?

x1 ? a ?

3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30 a ? 9 ?a 4

?

?3 ? a ? ?

9a 2 ? 30 a ? 9 4

1 ) 3
而 ?3 ? a ?2 ?

? 9a

2

? 30 a ? 9

? ? 24a ? 8a
2

2

? 8a?3 ? a ? ? 0

?x

1

? a ? 0 ,即 x1 ? a

x1 ? 1 ?

?3a ? 1? ? 9a 2 ? 30 a ? 9 ? 0 ( 0 ? a ? 1 ) 3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30 a ? 9 ?1 ? 3 4 4
1

?a ? x
同理

?1

x2 ? 1 ?


3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30 a ? 9 9a 2 ? 30 a ? 9 ? ?1 ? 3a ? ?1 ? 4 4
? 30 a ? 9

(0 ? a ?

1 ) 3

? 9a

2

? ? ?1 ? 3a ? ? 8 ? 24a ? 8?1 ? 3a? ? 0
2 2

?

x2 ? 1 ? 0 ,即 x2 ? 1 ,故

x
f ??x ?

?0, a ?
+

a
0

?a, x1 ?


?x2 ,?? ?
+

f ?x ?

?

?

?

?函数 f ?x ? 在 D 内的极值点为 x ? a
10

③当 a ? 0 时, D ? ?

? 3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30 a ? 9 ? , ? ?? , ? ? 4 ? ?



3?1 ? a ? ? 9a 2 ? 30 a ? 9 3 ? 4 2
, 函数 f ? x ? 在 D 内的无极值点

? a,1 ? D
综合上述: 当

1 ? a ? 1 时,函数 f ? x ? 在 D 内的极值点为 x ? a 或 x ? 1; 3 1 当 0 ? a ? 时,函数 f ? x ? 在 D 内的极值点为 x ? a 3
当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 在 D 内的无极值点

16. 【解析】 (I)设 t ? e (t ? 1) ;则 y ? at ?
x

1 1 a 2t 2 ? 1 , ? b ? y? ? a ? 2 ? at at at 2

1 ? b 在 t ? 1 上是增函数, at 1 得:当 t ? 1( x ? 0) 时, f ( x) 的最小值为 a ? ? b . a 1 ②当 0 ? a ? 1时, y ? at ? ?b ? 2?b, at 1 当且仅当 at ? 1(t ? e x ? , x ? ? ln a) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 . a 1 1 (II) f ( x) ? ae x ? x ? b ? f ?( x) ? ae x ? x , ae ae
①当 a ? 1 时, y? ? 0 ? y ? at ?

1 2 ? 2 ? ? f (2) ? 3 ?ae ? ae2 ? b ? 3 ?a ? e2 ? ? ? ?? 由题意得: ? . 3?? 1 3 1 f ?(2) ? 2 ? ? ae ? ?b? ? ? 2 ? ? ae2 2 ? 2 ?
17. 【解析】 (I) f '( x) ? a ? sin x. (i)当 a ? 1 时, f '( x) ? 0 .当且仅当 a ? 1, x ? 是增函数. (ii)当 a ? 0 时, f '( x) ? 0 .当且仅当 a ? 0, x ? 0或x ? ? 时, f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在

?
2

时, f '( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 [0, ? ] 上

[0, ? ] 上是减函数.
(iii)当 0 ? a ? 1时,由 f '( x) ? 0 解得 x1 ? arcsin a, x2 ? ? ? arcsin a . 当 x ? [0, x1 ) 时, sin x ? a, f '( x) ? 0 , f ( x) 是增函数;
11

当 x ? ( x1 , x2 ] 时, sin x ? a, f '( x) ? 0 , f ( x) 是减函数; 当 x ? ( x2 , ? ] 时, sin x ? a, f '( x) ? 0 , f ( x) 是增函数. (II)由 f ( x) ? 1 ? sin x 得 f (? ) ? 1, a? ? 1 ? 1 ,所以 a ? 令 g ( x) ? sin x ?

2

2

? 2 2 ? 当 x ? (0, arccos ) 时, g '( x) ? 0 ,当 x ? (arccos , ) 时, g '( x) ? 0 . ? ? 2 ? 2 ? 又 g (0) ? g ( ) ? 0 ,所以 g ( x) ? 0 ,即 sin x ? x(0 ? x ? ) . 2 ? 2
2
当a ?

?

x(0 ? x ?

?

?

.

) ,则 g '( x) ? cos x ?

2

.

2

?

时,有 f ( x) ?

2

①当 0 ? x ? ②当

?
2

?

x ? cos x .

时,

2

?
2

?

x ? sin x, cos x ? 1,所以 f ( x) ? 1 ? sin x ; 2

? x ? ? 时, f ( x) ? 2

?
].

x ? cos x ? 1 ?

( x ? ) ? 1 ? sin x ; ? 2

2

?

综上, a 的取值范围是 ( ??,

18.【解析】(I)由 ?1,c ? 为公共切点可得:

?

f ( x) ? ax 2 ? 1(a ? 0) ,则 f '( x) ? 2ax, k1 ? 2a ,

g ( x) ? x3 ? bx ,则 f '( x) ? 3x 2 ? b, k2 ? 3 ? b ,

? 2a ? 3 ? b . ①
又 f (1) ? a ? 1, g (1) ? 1 ? b ,

?a ? 1 ? 1 ? b ,即 a ? b . ②
由①、②可得, a ? 3, b ? 3 . (II)? a 2 ? 4b ,?设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? ax 2 ? 则 h '( x) ? 3x 2 ? 2ax ?

1 2 a x ?1 4

1 2 a a a ,令 h '( x) ? 0 ,解得: x1 ? ? , x2 ? ? ; 4 2 6

? a ? 0,??

a a ?? , 2 6

a a a a ?原函数在 (??, ? ) 单调递增,在 (? , ? ) 单调递减,在 (? , ??) 上单调递增 2 2 6 6
① ?1 ? ? ②?

a2 a ,即 a ? 2 时,最大值为 h(?1) ? a ? ; 4 2

a a a ? ?1 ? ? ,即 2 ? a ? 6 时,最大值为 h(? ) ? 1 ; 2 6 2
12

③ ?1 ? ? 综上所述:

a a 时,即 a ? 6 时,最大值为 h(? ) ? 1 . 6 2

当 a ? (0, 2] 时,最大值为 h(1) ? a ?

a2 a ;当 a ? (2, ??) 时,最大值为 h(? ) ? 1 . 4 2
1 2 x ? f ?( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) ? x 2

19. 【解析】 (I) f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? 令 x ? 1 得: f (0) ? 1

f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? x ?

1 2 x ? f (0) ? f ?(1)e?1 ? 1 ? f ?(1) ? e 2 1 得: f ( x) ? e x ? x ? x 2 ? g ( x) ? f ?( x) ? e x ? 1 ? x 2

g ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ? y ? g ( x) 在 x ? R 上单调递增
f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0, f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0
得: f ( x) 的解析式为 f ( x) ? e x ? x ?

1 2 x , 2

且单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??,0) (II) f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ? h( x) ? e x ? (a ? 1) x ? b ? 0 得 h?( x) ? e x ? (a ? 1) 2

①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? y ? h( x) 在 x ? R 上单调递增

x ? ?? 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛盾
②当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1), h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) 得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1) ln(a ? 1) ? b ? 0

(a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ? 1)(a ? 1 ? 0)
令 F ( x) ? x ? x ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2ln x)
2 2

F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , F ?( x) ? 0 ? x ? e
当 x ? e 时, F ( x) max ? 当a ?

e 2 e 2

e ? 1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为

20. 【解析】 (I)由 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ,得 f' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b .

13

∵1 和 ?1 是函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx 的两个极值点, ∴ f' (1) ? 3 ? 2a ? b=0 , f' (?1) ? 3 ? 2a ? b=0 ,解得 a=0,b= ? 3 . (II)∵ 由(I)得, f ( x) ? x3 ? 3x , ∴ g ?( x) ? f ( x) ? 2=x3 ? 3x ? 2= ? x ? 1? ? x ? 2 ? ,解得 x1 =x2 =1 x3 = ? 2 . ,
2

∵当 x < ?2 时, g ?( x) < 0 ;当 ?2 < x <1时, g ?( x) > 0 , ∴ x= ? 2 是 g ( x) 的极值点. ∵当 ?2 < x <1或 x > 1 时, g ?( x) > 0 ,∴ x=1 不是 g ( x) 的极值点. ∴ g ( x) 的极值点是-2,为极小值点. (III)令 f ( x)=t ,则 h( x) ? f (t ) ? c . 先讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况: d ? ? ?2, 2? 当 d =2 时,由(II)可知, f ( x)= ? 2 的两个不同的根为 1 和-2,注意到 f ( x) 是奇函数, ∴ f ( x)=2 的两个不同的根为-1 和 2. 当 d < 2 时,∵ f (?1) ? d =f (2) ? d =2 ? d > 0 , f (1) ? d =f (?2) ? d = ? 2 ? d < 0 , ∴-2 ,-1,1,2 都不是 f ( x)=d 的根. 由(I)知 f' ( x)=3 ? x ? 1?? x ? 1? .

? ① 当 x ? ? 2, ? ? 时, f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数,从而 f ( x) > f (2)=2 .

? 此时 f ( x)=d 在 ? 2, ? ? 无实根.
, ② 当 x ? ?1 2 ? 时. f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数.
又∵ f (1) ? d < 0 , f (2) ? d > 0 , y =f ( x) ? d 的图像不间断, ∴ f ( x)=d 在 (1, 2) 内有唯一实根. 同理, f ( x)=d 在 (?2, ?1) 内有唯一实根.

, ③ 当 x ? ? ?1 1? 时, f' ( x) < 0 ,于是 f ( x) 是单调减两数.
又∵ f (?1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y =f ( x) ? d 的图像不间断, ∴ f ( x)=d 在 (?1,1) 内有唯一实根.

14

因此,当 d =2 时, f ( x)=d 有两个不同的根 x1,x2 满足 x1 =1,x2 =2 ;当 d < 2 时

f ( x)=d 有三个不同的根 x3,x1,x5 ,满足 xi < 2,i =3, 4, 5 .
下面考虑函数 y ? h( x) 的零点: (i)当 c =2 时, f (t )=c 有两个根 t1,t2 ,满足 t1 =1,2 =2 . t 而 f ( x)=t1 有三个不同的根, f ( x)=t2 有两个不同的根,故 y ? h( x) 有 5 个零点. (ii)当 c < 2 时, f (t )=c 有三个不同的根 t3,t4,t5 ,满足 ti < 2,i =3, 4, 5 . 而 f ( x)=ti ? i =3, 4, 5? 有三个不同的根,故 y ? h( x) 有 9 个零点. 综上所述,当 c =2 时,函数 y ? h( x) 有 5 个零点;当 c < 2 时,函数 y ? h( x) 有 9 个零点. 21. 【解析】 (I)由 y =f ? x ? 的图像过 ? 0,0 ? 点,代入得 b ? ?1 . 由 y =f ? x ? 在 ? 0,0 ? 处的切线斜率为 得 a =0 . (II) (证法一)由均值不等式,当 x >0 时, 2 ( x ? 1) ? x ? 1 ? 1 ? x ? 2 , 故 x +1<

1 3 ? 1 ? 3 3 + +a ? = +a , ,即 ? y' x =0 = ? 2 2 ? x +1 2 x +1 ? x =0 2

x +1 . 2 9x , x +6

记 h ? x ? =f ? x ? 则 h' ? x ? =
3

1 1 54 2+ x +1 54 x +6 54 + = < 2 2 x +1 2 x +1 ? x +6 ? 2 ? x +1? ? x +6 ? 4 ? x +1? ? x +6 ?2

? x+6 ? -216 ? x+1? , = 2 4 ? x +1?? x +6 ?
令 g ? x ? = ? x +6 ? -216 ? x +1? ,
3

则当 0<x<2 时, g' ? x ? =3 ? x +6 ? -216<0 ,
2

因此 g ? x ? 在 ? 0,2 ? 内是减函数,又由 g ? 0 ? =0 ,得 g ? x ? <0 ,所以 h' ? x ? <0 , 因此 h ? x ? 在 ? 0,2 ? 内是减函数,又由 h ? 0 ? =0 ,得 h ? x ? <0 , 于是当 0<x<2 时, f ? x ? <

9x x +6
15

(证法二) 由(I)知 f ? x ? = ln ? x +1? + x +1-1 ,由均值不等式,

x x +1< +1 2 1 -x 令 k ? x ? = ln ? x +1? -x ,则 k ? 0 ? =0,k' ? x ? = -1= <0 ,故 k ? x ? <0 ,即 ln ? x +1? <x , x+1 x+1 3 由此得,当 x >0 时, f ? x ? < x ,记 h ? x ? = ? x +6 ? f ? x ? -9 x , 2 则当 0<x<2 时,
当 x >0 时, 2 ( x ? 1) ? x ? 1 ? 1 ? x ? 2 ,故

3 1 ? ? 1 h' ? x ? =f ? x ? + ? x +6 ? f' ? x ? -9< x + ? x +6 ? ? + ? -9 2 ? x +1 2 x +1 ?
= 1 ? 1 ? ? ? x? 3x ? x +1? + ? x +6 ? 2+ x +1 -18 ? x +1? ? < 3 x ? x +1? + ? x +6 ? ? 3+ ? -18 ? x+1? ? ? ? 2 ? x +1? ? 2 ? x +1? ? 2? ? ?

?

?

=

x ? 7 x-18? <0 4 ? x +1?

因此 h ? x ? 在 ? 0,2 ? 内是减函数,

9x x +6 1 3 a 1 3 22. 【解析】 (I)因 f ( x) ? a ln x ? ? x ? 1, 故 f '( x) ? ? 2 ? . 2x 2 x 2x 2
又由 h ? 0 ? =0 ,得 h ? x ? <0 ,即 f ? x ? < 由于曲线 y ? f ( x) 在点处的切线 (1, f (1)) 垂直于 y 轴, 故该切线斜率为 0,即 f '(1) ? 0 ,从而 a ? (II)由(1)知, f ( x) ? ?lnx ?

1 3 ? ? 0 ,解得 a ? ?1 . 2 2

1 3 ? x ? 1( x ? 0), 2x 2

1 1 3 3x 2 ? 2 x ? 1 ( 3 ? 1 ) (? x x f '( x) ? ? ? 2 ? ? ? 2 2 x 2x 2 2x 2x
令 f '( x) ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ? (因 x2 ? ?

1)

1 3

1 不在定义域中,舍去) 3

当 x ? (0,1) 时, f '( x) ? 0 ,故在上为减函数; 当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 ,故在上为增函数; 故 f ( x) 在 x ? 1 处取得极小值,且 f (1) ? 3 . 23. 【解析】 (I)(ⅰ) f ? ? x ? ? 12ax ? 2b .
2

16

当 b ? 0 时, f ? ? x ? ? 12ax ? 2b ? 0 在 0 ? x ? 1 上恒成立,
2

此时 f ? x ? 的最大值为: f (1) ? 4a ? 2b ? a ? b ? 3a ? b ?| 2a ? b | ? a 当 b>0 时, f '( x) ? 12ax ? 2b 在 0 ? x ? 1 上的正负性不能判断,
2

此时

f ( x) 的最大值为:

?b ? a,b ? 2a f max ( x) ? max{ f (0),() ? max{(b ? a),(3a ? b) ? ? f 1} } b ?3a ? b, ? 2a

?| 2a ? b | ?a ;
综上所述:函数 f ? x ? 在 0 ? x ? 1 上的最大值为 | 2a ? b | ?a ; (ⅱ) 要证 f ( x)? | 2a ? b |? 0 ,即证 g(x ) =- f ? x ? ? | 2a ? b | ?a . 即证 g(x ) 在 0 ? x ? 1 上的最大值小于(或等于) | 2a ? b | ?a , ∵ g ( x) ? ?4ax ? 2bx ? a ? b ,
3

∴令 g '( x) ?

?12ax 2 ? 2b ? 0 ? x ?

b . 6a

2 当 b≤0 时, g '( x) ? ?12ax ? 2b ? 0 在 0 ? x ? 1 上恒成立,

此时 g ( x) 的最大值为: g ? 0 ? ? a ? b ? 3a ? b =|2a-b|﹢a; 当 b<0 时, g '( x) ? ?12ax ? 2b 在 0 ?
2

x ? 1 上的正负性不能判断,

g max ( x) ? max{g (

b ),() g 1} 6a

4 b ? max{ b ? a ? b, b ? 2a} 3 6a

?4 b ? a ? b, b ? 6a ? b ? ? 3 6a b ? 6a ? b ? 2a, ?

?| 2a ? b | ?a ;
综上所述:函数 g ? x ? 在 0 ?

x ? 1 上的最大值小于(或等于) | 2a ? b | ?a .
17

即 f ( x)? | 2a ? b | ?a ? 0 在 0 ? x ? 1 上恒成立. (II)由(I)知:函数 f ? x ? 在 0 ? x ? 1 上的最大值为 | 2a ? b | ?a , 且函数 f ? x ? 在 0 ? x ? 1 上的最小值比 ?(| 2a ? b | ?a) 要大. ∵ ?1 ? f ( x) ? 1 对 x ? [0,1] 恒成立, ∴ | 2a ? b | ?a ? 1 . 取 b 为纵轴, a 为横轴. 则可行域为: ? 作图如下: 由图易得:当目标函数为 z ? a ? b 过 P(1, 2) 时,有 zmax ? 3 . ∴所求 a ? b 的取值范围为: (??,3] .

? b ? 2a ? b ? 2a 和? ,目标函数为 z ? a ? b . ?b ? a ? 1 ?3a ? b ? 1

1 ? k ? ln x ln x ? k x 24. 【解析】 (I)由 f ( x) ? 可得 f ?(x) ? , ex ex 1? k 而 f ?(1) ? 0 ,即 ? 0 ,解得 k ? 1 ; e 1 ? 1 ? ln x (II) f ?(x) ? x ,令 f ?( x) ? 0 可得 x ? 1, ex 1 当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? ? 1 ? ln x ? 0 ; x
18

当 x ? 1时, f ?( x) ?

1 ? 1 ? ln x ? 0 . x

于是 f (x) 的单调递增区间 (0,1) ;单调递减区间为 (1,??) . (III)由题, g ( x) ?

x ?1 (1 ? x ? x ln x), x ? (0, ??) . ex
?2

因此,对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e 等价于 1 ? x ? x ln x ? 由(II) hx 1 ? ? n x , () ? x x l , x ? (0, ??) ,
?2

ex (1 ? e ?2 ) . x ?1

所以, h '( x) ? ? ln x ? 2 ? ?(ln x ? ln e ), x ? (0, ??) 因此,当 x ? (0, e ) 时, h '( x) ? 0, h( x) 单调递增; 当 x ? (e , ??) 时, h '( x) ? 0, h( x) 单调递减; 所以, h( x ) 的最大值为 h(e ) ? 1 ? e , 故 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e?2 . 设 ? ( x) ? e ? ( x ? 1) ,
x ?2 ?2 ?2 ?2

因为 ? '( x) ? e ? 1 ? e x ? e0 ,
x

所以 x ? (0, ??) 时, ? '( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增.

? ( x) ? ? (0) ? 0 ,
ex 故 x ? (0, ??) 时, ? ( x) ? e ? ( x ? 1) ? 0 ,即 ? 1. x ?1
x

所以, 1 ? x ? x ln x ? 1 ? e

?2

?

ex (1 ? e ?2 ) . x ?1
?2

因此,对任意 x ? 0, g ( x) ? 1 ? e . 25. 【解析】 (I)若 a ? 0 ,则对一切 x ? 0 , f ( x) ? eax ? x ? 1 ,这与题设矛盾, 又 a ? 0 ,故 a ? 0 . 而 f ?( x) ? ae ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 得x ?
ax

1 1 ln . a a

当x?

1 1 1 1 ln 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减;当 x ? ln 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增, a a a a
19

故当 x ?

1 1 1 1 1 1 1 ln 时, f ( x) 取最小值 f ( ln ) ? ? ln . a a a a a a a

于是对一切 x ? R, f ( x) ? 1恒成立,当且仅当

1 1 1 ? ln ? 1 . a a a
令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?(t ) ? ? ln t .



当 0 ? t ? 1 时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递增;当 t ? 1时, g ?(t ) ? 0, g (t ) 单调递减. 故当 t ? 1时, g (t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 综上所述, a 的取值集合为 ?1? .

1 ? 1 即 a ? 1 时,①式成立. a

f ( x2 ) ? f ( x1 ) e ax2 ? e ax1 ? ? 1. (II)由题意知, k ? x2 ? x1 x2 ? x1
令 ? ( x) ? f ?( x) ? k ? ae ?
ax

eax2 ? eax1 ,则 x2 ? x1

? ( x1 ) ? ?
? ( x2 ) ?

eax1 ?e a ( x2 ? x1 ) ? a ( x2 ? x1 ) ? 1? , ? x2 ? x1 ?

e ax2 ?e a ( x1 ? x2 ) ? a ( x1 ? x2 ) ? 1? . ? x2 ? x1 ?
t t

令 F (t ) ? e ? t ? 1 ,则 F ?(t ) ? e ? 1 . 当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递减; 当 t ? 0 时, F ?(t ) ? 0, F (t ) 单调递增. 故当 t ? 0 , F (t ) ? F (0) ? 0, 即 et ? t ? 1 ? 0 . 从而 e
a ( x2 ? x1 )

? a( x2 ? x1 ) ? 1 ? 0 , ea ( x1 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0,

e ax1 e ax2 ? 0, ? 0, 又 x2 ? x1 x2 ? x1
所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x2 ) ? 0 . 因为函数 y ? ? ( x) 在区间 ? x1 , x2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线, 所以存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使 ? ( x0 ) ? 0, ? ?( x) ? a e
2 ax

? 0, ? ( x) 单调递增,
20

故这样的 c 是唯一的,且 c ?

1 e ax2 ? e ax1 ln . a a ( x2 ? x1 )

故当且仅当 x ? ( ln

1 a

e ax2 ? e ax1 , x2 ) 时, f ?( x0 ) ? k . a ( x2 ? x1 )

综上所述,存在 x0 ? ( x1 , x2 ) 使 f ?( x0 ) ? k 成立.且 x0 的取值范围为

1 e ax2 ? eax1 ( ln , x2 ) . a a ( x2 ? x1 )

21


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