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2010年江西省高考试题(数学理)解析版


2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题(江西卷)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每个小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中, 有一项是符合题目要求的。 1.已知(x+i) (1-i)=y,则实数 x,y 分别为( A.x=-1,y=1 C. x=1,y=1 【答案】 D 【解析】考查复数的乘法运算。可采用展开计算的方法,得 ( x ? i ) ? (1 ? x ) i ? y ,没有虚部,
2



B. x=-1,y=2 D. x=1,y=2

x=1,y=2.

2.若集合 A = ? x | x ? 1, x ? R ? , B = ? y | y ? x , x ? R ? ,则 A ? B =(
2



A. ? x | ? 1 ? x ? 1?

B. ? x | x ? 0 ?

C. ? x | 0 ? x ? 1? D. ? 【答案】 C 【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合 A、B;
A ? { x | ? 1 ? x ? 1} , B ? { y | y ? 0} ,解得 A ? B = { x |0 ? x ? 1 } 。在应试中可采用特值检验

完成。

x?2

?

x?2 x

3.不等式
2 A. (0,) 【答案】 A

x

的解集是(
? C. ( 2, ? )


? ? D.( - ? , 0 ) (0, ? )

0 B. ( ? ? ,)

【解析】考查绝对值不等式的化简.绝对值大于本身,值为负数. 或者选择 x=1 和 x=-1,两个检验进行排除。

x?2 x

? 0 ,解得 A。

1 1 1 ? ? lim ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ? ? x? ? 3 3 3 ? ? 4. (



5

3

A. 3

B. 2

C. 2

D. 不存在

【答案】B

1?

1
n 3 )? 3 1 2

【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一:先求和,然后对和取极限。 lim (
n ? ??

1?

3

a a 5.等比数列 ? a n ? 中, 1 ? 2 , 8 =4, 函数 f ? x ? ? x ( x ? a 1 )( x ? a 2 ) ? ( x ? a 8 ) , f ? 0 ? ?( 则
'



A. 2 【答案】C
6

B. 2

9

C. 2

12

D. 2

15

【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数 学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有 x 项均取 0,则 f ? 0 ? 只与函数 f ? x ? 的一次项有
'

关;得: a 1 ? a 2 ? a 3 ? a 8 ? ( a 1 a 8 ) ? 2 。
4 12

6.

?2 ?

x

?

8

展开式中不含 x 项的系数的和为( .. B.0 C.1 D.2

4



A.-1 【答案】B

【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质,重点考查实践意识和创新能力,体现正难 则反。采用赋值法,令 x=1 得:系数和为 1,减去 x 项系数 C 8 2 ( ? 1) ? 1 即为所求,答案为
4
8 0 8

0.

7.E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan ? E C F ? (
16 2



3

3

A. 2 7

B. 3

C.

3

D. 4

【答案】D 【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。 解法 1:约定 AB=6,AC=BC= 3 2 ,由余弦定理 CE=CF= 1 0 ,再由余弦 定理得 c o s ? E C F ? 解得 ta n ? E C F ?
3 4 4 5



解法 2:坐标化。约定 AB=6,AC=BC= 3 2 ,F(1,0),E(-1,0),C(0,3) 利用向量的夹角公式得
cos ? E C F ? 4 5

,解得 ta n ? E C F ?

3 4



8.直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若 M N ? 2 3 ,则 k 的取值
2 2

范围是

? 3 ? ? , 0 ? ? A. ? 4 ?

? 3 3? 3? ? , ? ?? ?? , ? ? ? 0, ? ? ? ? 3 3 ? 4? ? B. ? C. ?

? 2 ? ? , 0 ? ? D. ? 3 ?

【答案】A 【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重点考察数形结合的运用. 解法 1: 圆心的坐标为 (3., , 2) 且圆与 y 轴相切.当 | M N | ? 2 3时 , 由点到直线距离公式,解得 [ ?
3 4 , 0] ;

解法 2:数形结合,如图由垂径定理得夹在两直线之间即可, 不取 ? ? ,排除 B,考虑区间不对称,排除 C,利用斜率估值,选 A 9.给出下列三个命题: ①函数 y ?
1 2 ln 1 ? cos x 1 ? cos x

与 y ? ln ta n

x 2

是同一函数;

②若函数 y ? f ? x ? 与 y ? g ? x ? 的图像关于直线 y ? x 对称,则函数
y ? f

?2x? 与 y

?

1 2

g ? x ? 的图像也关于直线 y ? x 对称;

③若奇函数 f ? x ? 对定义域内任意 x 都有 f ? x ? ? f ( 2 ? x ) ,则 f ? x ? 为周期函数。 其中真命题是 A. ①② 【答案】C 【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同,①错误;排除 A、 B,验证③, f ? ? x ? ? f [ 2 ? ( ? x )] ? f ( 2 ? x ) ,又通过奇函数得 f ? ? x ? ? ? f ( x ) ,所以 f(x) 是周期为 2 的周期函数,选择 C。 B. ①③ C.②③ D. ②

10.过正方体 A B C D ? A1 B1C 1 D 1 的顶点 A 作直线 L, L 与棱 A B , A D , A A1 使 所成的角都相等,这样的直线 L 可以作 A.1 条 【答案】D B.2 条 C.3 条 D.4 条

【解析】考查空间感和线线夹角的计算和判断,重点考查学生分类、划归转化的能力。第一 类:通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1,第二类:在图形外部和每条棱的外 角和另 2 条棱夹角相等,有 3 条,合计 4 条。

11.一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币,国王怀疑大臣作弊,他用 两种方法来检测。方法一:在 10 箱子中各任意抽查一枚;方法二:在 5 箱中各任意抽查两枚。 国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为 p 1 和 p 2 ,则

A. p 1 = p 2

B. p 1 < p 2

C. p 1 > p 2

D。以上三种情况都有可能

【答案】B 【解析】考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。本题是北师大版新课标的课堂作业, 作为旧大纲的最后一年高考, 本题给出一个强烈的导向信号。 方法一: 每箱的选中的概率为 ,总概率为 1 ? C 1 0 (0 .1) (0 .9 ) ;同理,方法二:每箱的选中的概率为
0 0 10
0 1 0 4 5 1 ? C 5 ( ) ( ) ,作差得 p 1 < p 2 。 5 5

1 10

1 5

,总事件的概率为

12.如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记 t 时刻五角星露出 水面部分的图形面积为 S ? t ? ? S ? 0 ? ? 0 ? ,则导函数 y ? S ? t ? 的图像大致为
'

【答案】A 【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识,重点考查的是对数学的探究 能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化,导数取零,排除 C;总面积一直保持 增加,没有负的改变量,排除 B;考察 A、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑,考虑到导 数的意义,判断此时面积改变为突变,产生中断,选择 A。

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。请把答案填在答题卡上。 13.已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60°,则 a ? b ? 【答案】 3 【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式,以及向量三角形法则、余弦定理等 知识, 如图 a ? O A , b ? O B , a ? b ? O A ? O B ? B A , 由余弦定理得:a ? b ?
? ??? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3

14.将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个不同场馆 服务,不同的分配方案有 种(用数字作答) 。

【答案】 1080 【解析】考查概率、平均分组分配问题等知识,重点考查化归转化和应用知识的意识。先分 组,考虑到有 2 个是平均分组,得 两 个 两 人 组
C6C4 A2
2 2 2

两个一人组

C 2C1 A2
2

1

1

,再全排列得:

C6C4 A2
2

2

2

?

C 2C1 A2
2

1

1

? A4 ? 1 0 8 0
4

15.点 A ( x 0, y 0 ) 在双曲线

x

2

?

y

2

4

32

? 1 的右支上,若点 A 到右焦点的距离等于 2 x 0 ,则 x 0 =

【答案】 2 【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化,读取 a=2.c=6,
r d ? e ? r ? 3d ,

2 x 0 ? 3( x 0 ?

a

2

c

) ? x0 ? 2

16.如图,在三棱锥 O ? A B C 中,三条棱 O A , O B , O C 两两垂直, 且 O A > O B > O C ,分别经过三条棱 O A , O B , O C 作一个截面平分三 棱锥的体积,截面面积依次为 S 1 , S 2 , S 3 ,则 S 1 , S 2 , S 3 的大小关 系为 。

【答案】 S 3 ? S 2 ? S 1 【解析】考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力,通过补形,借助长方体验证结论, 特殊化,令边长为 1,2,3 得 S 3 ? S 2 ? S 1 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)
f

? x ? ? ? 1 ? c o t x ? sin

2

已知函数

? ? ? ? ? ? x ? m sin ? x ? ? sin ? x ? ? 4 ? 4 ? ? ? 。

(1) 当 m=0 时,求 f ? x ? 在区间 ?

??

3? ? , 上的取值范围; ? ?8 4 ?

(2) 当 tan a ? 2 时, f ? a ? ?

3 5

,求 m 的值。

【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三 角函数化简,考查函数值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中等 题.

解: (1)当 m=0 时, f ( x ) ? (1 ?
1 2

cos x s in x

) s in x ? s in x ? s in x c o s x ?
2 2

1 ? c o s 2 x ? s in 2 x 2

?

[ 2 sin ( 2 x ?

?
4

) ? 1] ,由已知 x ? [

?
8

,

3? 4

] ,得 2 x ?

?
4

? [?

2 2

,1]

从而得: f ( x ) 的值域为 [ 0 , (2) f ( x ) ? (1 ? 化简得: f ( x ) ?
cos x sin x 1 2

1? 2

2

]

) sin x ? m sin ( x ?
2

?
4

) sin ( x ? 1 2

?
4

)

[s in 2 x ? (1 ? m ) c o s 2 x ] ? 2 s in a c o s a s in a ? c o s a
2 2

当 tan ? ? 2 ,得: s in 2 a ? 代入上式,m=-2.

?

2 ta n a 1 ? ta n a
2

?

4 5

, cos 2 a ?

3 5



18. (本小题满分 12 分) 某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门,系统会随机(即 等可能)为你打开一个通道,若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、3 号通道, 则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门。再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的 ... 通道,直至走完迷宫为止。令 ? 表示走出迷宫所需的时间。 (1) 求 ? 的分布列; (2) 求 ? 的数学期望。 【解析】考查数学知识的实际背景,重点考查相互独立事件的概率乘法公式计算事件的概率、 随机事件的数学特征和对思维能力、运算能力、实践能力的考查。 (1) 必须要走到 1 号门才能走出, ? 可能的取值为 1,3,4,6
P ( ? ? 1) ? 1 3

, P ( ? ? 3) ?
?
P
1 3

1 3

?

1 2

?

1 6

P , (? ? 4 ) ?

1 3

?

1 2

?

1 6

P , (? ? 6 ) ? A 2 ( ?
2

1

1 2

)?1 ?

1 3

3

分布列为:

1
1 3 ? 3? 1 6

3
1 6 ? 4?

4
1 6 1 6

6
1 3 ? 6? 1 3 ? 7 2

(2) E ? ? 1 ?

小时

19. (本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? ln x ? ln ? 2 ? x ? ? a x ( a ? 0 ) 。 (1)当 a=1 时,求 f ? x ? 的单调区间。

1 (2)若 f ? x ? 在 ? 0,? 上的最大值为

1 2

,求 a 的值。

【解析】考查函数导数运算、利用导数处理函数最值等知识。 解:对函数求导得: f ? ( x ) ?
1 x ? 1 2? x ? a ,定义域为(0,2)

(1) 单调性的处理,通过导数的零点进行穿线判别符号完成。 当 a=1 时,令 f ? ( x ) ? 0 得
1 x ? 1 2? x +1= 0 ? ? 0 ( 2 ? x) x ?x ? 2
2

2 当 x ? (0, 2 ), f ? ( x ) ? 0, 为增区间;当 x ? ( 2,), f ? ( x ) ? 0, 为减函数。

1 (2) 区间 ? 0,? 上的最值问题,通过导数得到单调性,结合极值点和端点的比较得到,确定

待定量 a 的值。
1 当 x ? ? 0,? 有最大值,则必不为减函数,且 f ? ( x ) ?
1 x ? 1 2? x ? a >0,为单调递增区间。

最大值在右端点取到。 f m a x ? f (1) ? a ?

1 2



20. (本小题满分 12 分) 如图△BCD 与△MCD 都是边长为 2 的正三角形,平面 MCD ? 平面 BCD,AB ? 平面 BCD, A B ? 2 3 。 (1) 求点 A 到平面 MBC 的距离; (2) 求平面 ACM 与平面 BCD 所成二面角的正弦值。 【解析】本题以图形拼折为载体主要考查了考查立体图形的空间 感、点到直线的距离、二面角、空间向量、二面角平面角的判断 有关知识,同时也考查了空间想象能力和推理能力 解法一: (1)取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OB⊥CD, OM⊥CD.又平面 M C D ? 平面 B C D ,则 MO⊥平面 B C D ,所以 MO∥AB, A、B、O、M 共面.延长 AM、BO 相交于 E,则∠AEB 就是 AM 与平面 BCD 所成的角.OB=MO= 3 ,MO∥AB,MO//面 ABC,M、O 到平面 ABC 的距离 相等,作 OH ? BC 于 H,连 MH,则 MH ? BC,求得:

OH=OCsin600=

3 2

,MH=
2 15 5

15 2

, 利 用 体 积 相 等 得 :

V A? M BC ? V M ? ABC ? d ?



(2)CE 是平面 A C M 与平面 B C D 的交线.

由(1)知,O 是 BE 的中点,则 BCED 是菱形. 作 BF⊥EC 于 F,连 AF,则 AF⊥EC,∠AFB 就是二面角 A-EC-B 的平面角,设为 ? . 因为∠BCE=120°,所以∠BCF=60°.
B F ? B C ? sin 6 0 ?
ta n ? ? AB BF
?

3,
2 5 5 2 5 5

? 2 , s in ? ?

所以,所求二面角的正弦值是

.

【点评】传统方法在处理时要注意到辅助线的处理,一般采用射影、垂线、平行线等特殊位 置的元素解决 解法二:取 CD 中点 O,连 OB,OM,则 OB⊥CD,OM⊥CD,又平面 M C D ? 平面 B C D , 则 MO⊥平面 B C D . 以 O 为原点,直线 OC、BO、OM 为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间 直角坐标系如图. OB=OM= 3 ,则各点坐标分别为 O(0,0,0) ,C(1,0,0) , M(0,0, 3 ) ,B(0,- 3 ,0) ,A(0,- 3 ,2 3 ) , (1)设 n ? ( x , y , z ) 是平面 MBC 的法向量,则 B C = (1 , 3 ,0 ) ,
???? ? B M ? (0 , 3y ? 3, ?

A

z

M B O
x

??? ?

D
y

? ? ? ?? 3) , 由 n ? B C得 x ?

? ? ? ? ?? 3y ? 0 ;由 n ? B M 得

? ??? ? 3 z ? 0 ;取 n ? ( 3 , ? 1,1), B A ? (0, 0, 2 3 ) ,则距离

??? ? ? BA ? n 2 15 d ? ? ? 5 n

C

(2) C M ? ( ? 1, 0, 3 ) , C A ? ( ? 1, ? 3 , 2 3 ) .
?? ? ? ? ?? ?? ? n1 ? C M ?? x ? ? ? 设平面 ACM 的法向量为 n1 ? ( x , y , z ) ,由 ? ?? ? ??? 得 ? ?? x ? ? ? ? n1 ? C A
x ?

???? ?

??? ?

3z ? 0 3 y ? 2 3z ? 0

.解得

?? 3 z , y ? z , 取 n1 ? (

? 3 , 1 , . 1 ) 平 面 BCD 的 法 向 量 为 n ? (0 , 0 ,1) , 则 又

?? ? ?? ? n1 ? n 1 c o ? n1 n ,? ? ?? ? ? s 5 n1 ? n

设所求二面角为 ? ,则 s in ? ?

1? (

1 5

)

2

?

2 5 5

.

【点评】向量方法作为沟通代数和几何的工具在考察中越来越常见,此类方法的要点在于建 立恰当的坐标系,便于计算,位置关系明确,以计算代替分析,起到简化的作用,但计算必 须慎之又慎

21. (本小题满分 12 分)
C1 : x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 )

设椭圆

,抛物线

C 2 : x ? by ? b
2

2



(1) 若 C 2 经过 C 1 的两个焦点,求 C 1 的离心率; (2) 设 A(0,b) Q ? 3 3, ? ,又 M、N 为 C 1 与 C 2 不在 y 轴上的两个交点,若△AMN 的 ,
? 4? ? ? ? ? ? 5?

垂心为 B ? 0 , b ? ,且△QMN 的重心在 C 2 上,求椭圆 C 1 和抛物线 C 2 的方程。
4

3

【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认方程。 (1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上,可得: c ? b ,由
2 2

a ? b ? c ? 2c , 有
2 2 2 2

c a

2 2

?

1 2

? e ?

2 2

。 关 于 y 轴 对 称 , 设

(2) 由 题 设 可 知

M 、 N

M ( ? x1 , y 1 ), N ( x1 , y 1 )( x1 ? 0 ) ,由 ? A M N 的垂心为 B,有
???? ???? ? 3 2 B M ? A N ? 0 ? ? x1 ? ( y 1 ? b )( y 1 ? b ) ? 0 。 4

由点 N ( x1 , y 1 ) 在抛物线上, x1 ? b y 1 ? b ,解得: y 1 ? ?
2 2

b 4

或 y1 ? b ( 舍 去 )

故 x1 ?

5 2

b, M (?

5 2

b, ?

b 4

), N (

5 2

b, ?

b 4

) ,得 ? Q M N 重心坐标 ( 3 ,

b 4

).

由重心在抛物线上得: 3 ?

b

2

? b , 所 以 b = 2 , M (?
2

5,?

1 2

), N ( 5 , ?

1 2

) ,又因为 M、

4
16 3

N 在椭圆上得: a ?
2

,椭圆方程为

x

2

?

y

2

? 1 ,抛物线方程为 x ? 2 y ? 4 。
2

16 3

4

22. (本小题满分 14 分) 证明以下命题: (1) 对任一正整 a,都存在整数 b,c(b<c),使得 a , b , c 成等差数列。 (2) 存在无穷多个互不相似的三角形△ n ,其边长 a n, b n, c n 为正整数且 a n , b n , c n 成 等差数列。
2 2 2
2 2 2

【解析】作为压轴题,考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。 (1)考虑到结构要证 a ? c ? 2 b , ;类似勾股数进行拼凑。
2 2 2

证明:考虑到结构特征,取特值 1 , 5 , 7 满足等差数列,只需取 b=5a,c=7a,对一切正整数 a
2 2 2

均能成立。 结合第一问的特征,将等差数列分解,通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角 形,再证明互不相似,且无穷。 证明:当 a n , b n , c n 成等差数列,则 b n ? a n ? c n ? b n ,
2 2 2 2 2 2 2

分解得: ( b n ? a n )( b n ? a n ) ? ( c n ? b n )( c n ? b n ) 选取关于 n 的一个多项式, 4 n ( n ? 1) 做两种途径的分解
2

4 n ( n ? 1) ? ( 2 n ? 2 )( 2 n ? 2 n ) ? ( 2 n ? 2 n )( 2 n ? 2 ) 4 n ( n ? 1)
2 2 2

2

?an ? n ? 2n ? 1 ? 2 对比目标式,构造 ? b n ? n ? 1 ( n ? 4 ) ,由第一问结论得,等差数列成立, ?c ? n2 ? 2n ? 1 ? n
2

考察三角形边长关系,可构成三角形的三边。 下证互不相似。 任取正整数 m, 若△m, n 相似: n, △ 则三边对应成比例 由比例的性质得:
m ?1 n ?1 ? m ?1 n ?1

m ? 2m ? 1
2 2

n ? 2n ? 1

?

m ?1
2

n ?1
2

?

m ? 2m ? 1
2 2

n ? 2n ? 1



? m ? n ,与约定不同的值矛盾,故互不相似。


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