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2007年高考数学知识与能力测试题及答案(6套)(理科)

2007 年高考数学知识与能力测试题 (一)
(理
只有一项是符合题目要求的) 1.
1 ? 3i ( 3 ? i) 2

科)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,

A.

1 3 ? i 4 4

B. ?

1 3 ? i 4 4

C.

1 3 ? i 2 2

D. ?

1 3 ? i 2 2

?log 2 x( x ? 0) 1 2.已知函数 f ( x) ? ? x ,则 f [ f ( )] 的值是 4 ?3 ( x ? 0)

A. 9

B.

1 9

C.-9

D.-

1 9

3.下列函数中,图象与函数 y ? 4 x 的图象关于 y 轴对称的是 A. y ? ?4 x B. y ? 4 ? x C. y ? ?4 ? x D. y ? 4 x ? 4 ? x

4.下列函数中值域是 (0,??) 的函数是 A. y ? 5
1 2? x

1 B. y ? ( )1? x 2

C. y ? 1 ? 2 x

D. y ?

1 ?1 2x

5.已知函数 y ? x 3 ? 3x ,则它的单调增区间是 A. (??,0) B. (0,??) C. (?1,1) D. (??,?1) 和 (1,??)

6.已知实数 a, b 满足 ab ? 0 ,则代数式

a2 ? b2 的值 ab
1

A.有最小值但没有最大值 C.既有最大值也有最小值

B.有最大值但没有最小值 D.没有最大值也没有最小值

7.若数列 ?a n ?的前 8 项的值互异,且 an ?8 ? an 对任意的 n ? N * 都成立,则下列数列中 可取遍 ?a n ?的前 8 项值的数列为 A. ?a 2 k ?1 ? B. ?a3k ?1 ? C. ?a 4 k ?1 ? D. ?a6 k ?1 ?

8.直线 (3m ? 2) x ? (2m ? 1) y ? 5m ? 1 ? 0 必过定点 A. (?1,?1) B. (1,1) C. (1,?1) D. (?1,1)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上) 9..现从某校 5 名学生中选出 3 分别参加高中“数学” “物理” “化学”竞赛,要求每 科至少有 1 人参加, 且每人只参加 1 科竞赛, 则不同的参赛方案的种数是 ;

10.某校高中生有 900 人, 其中高一年级 300 人, 高二年级 200 人,高三年级 400 人, 现采取分层抽样法抽取容量为 45 人的样本,那么高一、高二、高三年级抽取的人数 分别为 ;

11.若关于 x 的方程 9 x ? (4 ? a) ? 3 x ? 4 ? 0 有解,则实数 a 的取值范围是



12. 已 知 函 数 f ( x) ? 3 x ?b (2 ? x ? 4, b为常数) 的 图 象 经 过 点 (2 , 1) , 则 函 数
F ( x) ? [ f ?1 ( x)] 2 ? f ?1 ( x 2 ) 的值域为



13. 某气象站天气预报准确率是 80%, 5 次预报中至少有 4 次准确的概率是______(精 确到 0.01);

2

14、▲选做题:在下面三道题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分。
1 1 ①若 a ? 0, b ? 0 ,则 (a ? )( 2b ? ) 的最小值是 b 2a

; ; ;

② 极坐标方程 ? ? sin ? ? 2cos? 所表示的曲线是

③在 Rt ?ABC 中, ?ACB ? 900 , CD ? AB 于点 D , CD ? 2, BD ? 3 ,则 AC =

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 15.(本小题满分 12 分) 已知 10 件产品中有 2 件是次品. (1)任意取出 4 件产品作检验,求其中恰有 1 件是次品的概率. (2)为了保证使 2 件次品全部检验出的概率超过 0.6,至少应抽取几件产品作检验?

3

16.(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 中, 三内角 A, B, C 满足 A:B:C ? 1 求1 ? c : 2: 2, o s A?c o s B?c o s Ac o s B的 值.

4

17.(本小题满分 14 分) 如图,矩形 ABCD 与 ADQP 所在平面垂直,将矩形 ADQP 沿 PD 对折,使得翻折后 点 Q 落在 BC 上,设 AB ? 1 , PA ? h , AD ? y .

(1)试求 y 关于 h 的函数解析式; (2)当 y 取最小值时,指出点 Q 的位置,并求出此时 AD 与平面 PDQ 所成的角; (3)在条件(2)下,求三棱锥 P-ADQ 内切球的半径。

5

18.(本小题满分 14 分)
1 等比数列 {a n } 的首项为 a1 ? 2002 ,公比 q ? ? . 2

(1) 设 f (n) 表示该数列的前 n 项的积,求 f (n) 的表达式; (2) 当 n 取何值时, f (n) 有最大值.

6

19.(本小题满分为 14 分) 已知函数 f ( x) ?
bx ? c 的图象过原点,且关于点 (?1,1) 成中心对称. x ?1

(1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2) 若数列 {a n } 满足: an ? 0 , a1 ? 1 , an ?1 ? [ f ( an ) ] 2 ,求 a 2 , a 3 , a 4 的值,猜想 数列 {a n } 的通项公式 a n ,并证明你的结论; (3) 若数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,判断 S n 与 2 的大小关系,并证明你的结论.

7

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f (n)( n ? N * ) ,满足条件: ① f (2) ? 2 ; ② f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ; ③ f ( n) ? N * ; ④当 x ? y 时, 有 f ( x) ? f ( y ) . (1) 求 f (1) , f (3) 的值; (2) 由 f (1) , f (2) , f (3) 的值,猜想 f (n) 的解析式; (3) 证明你猜想的 f (n) 的解析式的正确性.

8

2007 年高考数学知识与能力测试题 (二)
(理
有且只有一项是符合题目要求的.
y 1. 含有三个实数的集合可以表示为 {x, ,1} , 也可以表示为 {0, x , x ? y} , 则 x5 ? y3 的 x

科)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分;在每小题给出的四个选项中,

值为 A. -1 B.0 C.1 D.-1 或 1

2.如果复数 z ? a 2 ? a ? 2 ? (a 2 ? 3a ? 2)i 为纯虚数,那么实数 a 的值为 A. - 2 B.1 C.2 D.1 或 -2

3.在等差数列 ?a n ?中, 3(a3 ? a5 ) ? 2(a7 ? a10 ? a13 ) ? 24 ,则此数列前 13 项的和是 A.13 B.26 C.52 D.56

4.编号为 1、2、3、4、5 的五个人分别去坐编号为 1、2、3、4、5 的五个座位,其 中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有 A.10 种 B.20 种 C.30 种 D.60 种
y
5

5. 若函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) ( ? ? 0, | ? |? 象如图所示,则有 A. ? ? 1 C. ? ?
1 2

?
2

4

)的部分图
-2

3

2

1
1

??

?
3

B. ? ? 1 D. ? ?
1 2

???

?
3

?

?
-1

3

-2

O 2? 3
2

4

6

8

10

12

x

-3

-4

??

?
6

???

?
6

6.某工厂生产产品,用传送带将产品放入下一工序,质检人员每隔 t 分钟在传进带 上某一固定位置取一件检验,这种抽样方法是
9

A . 简单抽样

B. 分层抽样

C. 系统抽样

D. 以上都不对

7. 设有如下三个命题:甲:相交直线 l 、 m 都在平面 ? 内,并且都不在平面 ? 内; 乙:直线 l 、 m 中至少有一条与平面 ? 相交;丙:平面 ? 与平面 ? 相交. 当甲成立时, A.乙是丙的充分而不必要条件 C.乙是丙的充分且必要条件 B.乙是丙的必要而不充分条件 D.乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件

8.现代社会对破译密码的难度要求越来越高。有一种密码把英文的明文 (真实文)按 字母分解,其中英文的 a, b, c,?, z 的 26 个字母(不论大小写)依次对应 1,2,3,?, 26 这 26 个自然数(见下表):

a 1

b 2

c 3

d 4

e 5

f 6

g 7

h 8

i 9

j 10

k 11

l 12

m 13

n 14

o 15

p 16

q 17

r 18

s 19

t 20

u 21

v 22

w 23

x 24

y 25

z 26

?x ?1 ( x ? N * , x ? 26, x不能被2整除) ? ? 2 ' 现给出一个变换公式: x ? ? ? x ? 13( x ? N * , x ? 26, x能被2整除 ? ?2

将明文转换成密

文,如 8 ?

8 5 ?1 ? 13 ? 17 ,即 h 变成 q ; 5 ? ? 3 ,即 e 变成 c 。按上述规定,若 2 2

将明文译成的密文是 shxc,那么原来的明文是 A. lhho B.love C.ohhl D.eovl

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 9.函数 f ( x) ? a x ? log a
( x ?1)

在 ?0,1? 上的最大值与最小值之和为 a ,则 a 的值为



10. 编辑一个运算程序: 欲得到 1* 2005 ? 2008 1*1 ? x ,m * n ? k ,m * (n ? 1) ? k ? 2 ,
10

的输出结果,则 x 的值为



11.过抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点的直线 l 交抛物线于 A、B 两点,则 OA ? OB 的值 为 。

12.若 a ? b ? c , n ? N * ,且

1 1 n 恒成立,则 n 的最大值是 ? ? a ?b b?c a ?c



? ?x ? y ? 1 ? 13.设 x, y 满足条件 ? y ? 2 x ,则目标函数 z ? 6 x ? 3 y 的最大值为 ? 1 ?y ? x 2 ?



14、▲选做题:在下面三道题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分。 (1)如图,圆 O 的直径 AB 的延长线与弦 CD 的 延长线相交于点 P,E 为圆 O 上一点,弧 AE=弧 AC, DE 交 AB 于点 F,且 AB=2BP=4,则 PF= 。

? x ? a sec?    ( ?为参数 , a ? 0 , b ? 0) 的右焦点为 F,右准线 l 与两条渐 (2)设双曲线 ? ? y ? b tan?

线交于 P、Q 两点,如果△PQF 是直角三角形,则双曲线的离心率e=



(3)函数 y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2 x 的最大值是



11

三、解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)已知 m ? ( 3 sin ?x, cos?x) , n ? (cos?x, cos?x) , ? ? 0 ,记 函数 f ( x) ? m ? n ,若函数 f ( x) 的最小正周期为 ? 。 (1) 求 ? ; (2) 当 0 ? x ?

?
3

时,试求 f ( x) 的值域。

16. (本小题满分 13 分) 设飞机 A 有两个发动机,飞机 B 有四个发动机,如有半数或半数以上的发动机 没有 故 障 , 飞 机就能安全飞行。现设各发动机发生故障的概率 p 是 t 的函数

p ? 1 ? e ? ?t ,其中 t 为发动机启动后所经历的时间, ? 为正常数,试论证飞机 A
与飞机 B 哪一个安全(这里不考虑其他故障)。

12

17.(本小题满分 14 分) 在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A ' B 'C ' D' 中,E、F 分别是棱 BC 、 CD 上的点,且
B 'F ? D 'E 。
D' C'

(1) 求证: BE ? CF ; (2) 当三角形 CEF 的面积取得最大值时, 求二面角 C ' ? EF ? C 的余弦值。
D F A'

B'

C E B

A

13

18. (本小题满分 14 分) 在 xoy 平面上有一系列的点 P1 ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ), ?, P( xn , y n ), ? ,对于正整数 n ,点 Pn 位于函数 y ? x 2 ( x ? 0) 的图象上,以点 Pn 为圆心的⊙ Pn 与 x 轴都相切,且⊙ Pn 与⊙
Pn?1 又彼此外切,若 x1 ? 1 ,且 x n ?1 ? x n 。
?1? (1) 求证:数列 ? ? 是等差数列; ? xn ?

(2) 设⊙ Pn 的面积为 S n , Tn ? S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ,求证: Tn ?

3 ? 2

14

19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? 3x (1)若 f ( x) 在 x ? ?1,??? 是增函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 x ? 3 是 f ( x) 的极值点,求 f ( x) 在 ?1, a ? 的最小值和最大值。

15

20.(本小题满分 14 分) 设椭圆方程为 x 2 ? 点 P 满足 OP ?
y2 ? 1 ,过点 M (0,1) 的直线 l 交椭圆于点 A、B , O 是坐标原点, 4

1 1 1 (OA ? OB) ,点 N ( , ) 。当 l 绕点 M 旋转时,求: 2 2 2

(1) 动点 P 的轨迹方程; (2) | NP | 的最大值和最小值。

16

2007 年高考数学知识与能力测试题 (三)
(理
合题目要求的) 1. 给定集合 A、 B, 定义 A ? B ? {x | x ? m ? n, m ? A, n ? B} , 若 A={4,5,6},B={1,2,3}, 则集合 A ? B 中的所有元素之和为 A.15 B.14 C.27 D.-14

科)

一、选择题(本大题 8 小题,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

1 2. 已知 P:x ? 1,q: ? 1 ,则非 P 是 q 的 x

A. 充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D. 既非充分又非必要条件

3. 某人射击命中目标的概率为 0.6,每次射击互不影响,连续射击 3 次,至少有 2 次命 中目标的概率为 A.
84 125

B.

81 125

C.

36 125

D.

27 125

4. 某校期末考试后,为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩,从中随机抽取 100名学生的成绩单。下面说法正确的是( (A)1000名学生是总体 (C)100 名学生是所抽的一个样本 5. 函数 y ?
lg | x | 的图象大致是 x

) (B)每个学生是个体 (D)样本容量是 100

17

2 cos? )(0 ? ? ? ? ) ,向量 b ? (?2 5, 0) ,则 a 与 b 的夹角是 6. 设向量 a ? (?2 sin ?,

A. ?

B. ? ? ?

C. |

?
2

?? |

D. |

?
2

?? |

7.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? bx ? c( x ?[?2, 2]) 表示的曲线过原点,且在 x ? ?1 处的切 线斜率均为-1,有以下命题 ①f(x)的解析式为:f(x)=x3-4x,x∈[-2,2]; ②f(x)的极值点有且仅有一个; ③f(x)的最大值与最小值之和等于零; 其中正确的命题个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
1 , f ( x ? 2) ? f ( x) ? f (2) ,则 f (5) = 2

8.设函数 f ( x)( x ? R) 为奇函数, f (1) ? A. 0 B. 1 C.
5 2

D. 5

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡对应题 号后的横线上) 。 9.用秦九韶算法求多项式 f ( x) ? 3x 5 ? 4 x 4 ? 6 x 3 ? 5 x 2 ? 2 ,当 x ? 2 时的值,需要进 行 次乘法运算及 次加(减)法运算。 __。 _。

10. 设命题P : ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0.该命题的否定是__ 11.已知数列 {a n } 满足 a1 ?

1 1 , a n ? a n ?1 ? 2 (n ? 2) ,则 {a n } 的通项公式为_ 2 n ?1

12 .设 y ? f ( x) 是可导函数,且满足 lim x ?0
(1,f (1)) 为切点的切线倾斜角 ? 为 __

f (1) ? f (1 ? 2 x) ? ?2, 则曲线 y ? f ( x) 上以点 x

__。

13. 对任意两个集合 X、Y , 定义 X ? Y ? {x | x ? X且x ? Y } ,X?Y ? ( X ? Y ) ? (Y ? X ) 设 A ? { y | y ? x 2 , x ? R} , B ? { y | y ? 3 sin x, x ? R} ,则 A?B ? __ __。
18

14、▲选做题:在下面三道题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分。

(1)已知⊙O 的割线 PAB 交⊙O 于 A,B 两点, 割线 PCD 经过圆心,若 PA=3,AB=4,PO=5, 则⊙O 的半径为_______________ (2)已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? 点 A ( 2,

?
4

)?

2 ,则 2

7? ) 到这条直线的距离为_____________ 4

( 3 )若关于 x 的不等式 | x ? 3| ? |x ? 4 |? a 的解集不是空集,则参数 a 的取值范围 是 。

三、解答题(本大题有 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤) 15.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a(cos2 x ? sin x cos x) ? b (1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调递增区间; (2)当 a ? 0 且 x ? [0, ] 时, f ( x) 的值域是 [3,4] ,求 a, b 的值。 2

?

19

16.(本小题满分 12 分) 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 平面ABC
AB ? AC ? AA1 ? 3a , BC ? 2a , D 是 BC 的中点, F

C1 A1 F B1

是 CC1 上一点,且 CF ? 2a . (1) 求证: B1 F ? 平面ADF ; (2) 求平面 ADF 与平面 AA1 B1 B 所成角的正弦值. A

C

D B

20

17.(本小题满分 14 分) 某自来水厂的蓄水池有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水 60 吨,同时蓄水 池又向居民小区不间断供水, t 小时内供水总量为 120 6t 吨,其中 0 ? t ? 24 。 (1) 从供水开始到第几小时,蓄水池中的存水量最少?最少水量是多少吨? (2) 若蓄水池中水量少于 80 吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的 24 小 时内,有几小时出现供水紧张现象。

21

18.(本小题满分 14 分) 已知椭圆的中心为坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直 线交椭圆于 A, B 两点, OA ? OB 与 a ? (3,?1) 共线。 (1) 求椭圆的离心率; (2) 设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ? OA ? ? OB (? , ? ? R) ,证明 ?2 ? ? 2 为定 值。

22

19.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ?
x3 ? x 2 ? 3x ? 3a(a ? 0) 。 3

(1) 如果 a ? 1 ,点 P 为曲线 y ? f ( x) 上一个动点,求以 P 为切点的切线斜率取 最小值时的切线方程; (2) 若 x ? [a,3a] 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

23

20.(本小题满分 14 分) 设函数 y ? f ( x) 定义域为 R ,当 x ? 0 时 , f ( x) ? 1 , 且对于任意的 x, y ? R , 都有
f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 成立,数列 {a n } 满足 a1 ? f (0) ,且 f (a n ?1 ) ?
1 。 f (?2 ? a n )

(1) 求 f (0) 的值,并证明函数 y ? f ( x) 在 R 上是减函数; (2) 求数列 {a n } 的通项公式并证明; (3) 是否存在正数 k ,使 (1 ?
1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) ? k 2n ? 1 对一切 n ? N * 都成 a1 a2 an

立,若存在,求出 k 的最大值,并证明,否则说明理由。

24

2007 年高考数学知识与能力测试题 (四)
(理
一、 中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知 f ( x 3 ) ? lg x ,则 f (2) = A. lg 2 B. lg 8 C.
1 lg 2 3

科)

选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项

D. lg

1 8

2. 平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 夹角为 90 0 ,且 | a |?| b | ,则 b = A、 (2,1)或 (?2,?1) B、 (2,?1) 或 (?2,1) C、 (2,1) D、 (?2,?1)

3. a, b ? R ,下列命题中正确的是 A.若 a ? b , 则 a 2 ? b 2 C.若 | a |? b , 则 a 2 ? b 2 B. 若 a ?| b | , 则 a 2 ? b 2 D. 若 a ?| b | , 则 a 2 ? b 2

?x ? 2 ? 4. 已知实数 x 、 y 满足约束条件 ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为 ?x ? y ? 6 ?

A. 24

B. 20

C. 16

D. 12

5.下列图象中,有一个是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (a 2 ? 1) x ? 1(a ? R, a ? 0) 的导函数 f ?( x) 的图象,

1 3

25

则 f (?1) = A.
1 3

B. ?

1 3

C.

7 3

1 5 D. ? 或 3 3

6.已知正四棱锥的侧棱与底边的边长都为 3 2 ,则这个四棱锥的外接球的表面积为 A. 12? B. 36? C. 72? D. 108?

? ? sin x ? tan 2 x( x ? ) 2 ? ? ? 2 7.设函数 f ( x) ? ? cos x 在点 x ? 处连续,则实数 k 的值为 2 ?log k ( x ? ? ) 4 ? 2 ?
A.
1 16

B.
x

1 2

C. 1
?1 2

D.2
(? log 9 ) 的值是

8.函数 f ( x) ? log a 满足 f (9) ? 2 ,则 f A.
2 2

B. 2

C.2

D. log 3

2

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中相应的横线 上
? ?? 9.若不等式 log a x ? sin 2 x 对于区间 ? 0, ? 内的任意 x 都成立,则实数 a 的取值范围 ? 4?



; 种;如果每

10. 将 4 名大学生分配到 3 个企业去实习,不同的分配方案共有 个企业至少分配去 1名学生,则不同的分配方案共有

种(用数字作答).

11.已知一盒子中有散落的围棋棋子 10 粒,其中 7 粒黑子,3 粒白子,从中任意取 出 2 粒,若 ? 表示取得白子的个数,则 E ? 等于 ;

26

12.公比为 4 的等比数列 ?bn ? 中,若 Tn 是数列 ?bn ? 的前 n 项积,则有

T20 T30 T40 , , 也成 T10 T20 T30

等比数列,且公比为 4100 ;类比上述结论,相应地在公差为 3 的等差数列 ?a n ? 中,若
S n 是 ?a n ? 的前 n 项和,则数列

也成等差数列,且公差为



(第一个空 3 分,第二个空 2 分) ; 13.已知 P(t , t ) (t ? R) , 点 M 是圆 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 动点,则 | PN | ? | PM | 的最大值是
1 1 的动点, 点 N 是圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 的 4 4



14、▲选做题:在下面三道题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分。 ①已知 a 2 ? b 2 ? 1 , x 2 ? y 2 ? 1 ,则 ax ? by 的取值范围是 ②圆心(2,-1),半径为 3 的圆的参数方程是 ; ;

③半径分别为 1cm 和 2cm 的两圆外切,作半径为 3cm 的圆与这圆均相切的,一共可作 个。 三、解答题:本大题共 6 小题;共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知: f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? a , a 为实常数。 (1) 求 f ( x) 的最小正周期; (2) 若 f ( x) 在 [? , ] 上最大值与最小值之和为 3,求 a 的值。 6 3

? ?

27

16.(本小题满分 12 分) 在教室内有 10 个学生,分别佩带着从 1 号到 10 号的校徽,任意取 3 人记录其校徽 的号码。 (1)求最小号码为 5 的概率。 (2)求 3 个号码中至多有一个是偶数的概率。 (3)求 3 个号码之和不超过 9 的概率。

28

17. (本小题满分 14 分) 如图,梯形 ABCD 中,CD // AB , AD ? DC ? CB ?
1 AB ,E 是 AB 的中点,将 ?ADE 2

沿 DE 折起,使点 A 折到点 P 的位置,且二面角 P ? DE ? C 的大小为 120 0 。 (1)求证: DE ? PC ; (2)求直线 PD 与平面 BCDE 所成角的正弦值; (3)求点 D 到平面 PBC 的距离。

P

A

E D
C

B

29

18.(14 分)设函数 f ( x) ? x( x ? 1)( x ? a)(a ? 1) (1)求导数 f ' ( x) ,并证明 f ( x) 有两个不同的极值点; (2)若对于(1)中的 x1、x2 不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立,求 a 的取值范围。

30

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {a n } 满足 S n ? (1)求 S n ; (2)证明:
3 1 n ? (1 ? ) ? 2。 2 2a n ?1

n a n , S n 是 {a n } 的前 n 项的和, a 2 ? 1 . 2

31

20. (14 分) 已知抛物线、 椭圆和双曲线都经过点 M (1,2) ,它们在 x 轴上有共同焦点, 椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点。 (Ⅰ)求这三条曲线的方程; (Ⅱ)已知动直线 l 过点 P(3,0) ,交抛物线于 A、B 两点,是否存在垂直于 x 轴的直 线 l ' 被以 AP 为直径的圆截得的弦长为定值?若存在,求出 l ' 的方程;若不存在,说 明理由。

32

2007 年高考数学知识与能力测试题 (五)
(理
有且只有一项是符合题目要求的. 1. 设 I 是全集, I={0, 1, 2, 3, 4}, 集合 A={0, l, 2, 3}, 集合 B={4}, 则 CI A ? CI B ?

科)

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分;在每小题给出的四个选项中,

A.{0}

B.{0,1}

C.{0,1,4}

D.{0,1,2,3,4}

2. tan 3000 ? tan 4050 的值为 A. 1 ? 3 B. 1 ? 3 C. ? 1 ? 3 D. ? 1 ? 3

3.如果复数

2 ? bi (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那 1 ? 2i

么 b 等于

A. 2

B.

2 3

C. ?

2 3

D.2

4.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 ? 描述一次该项试验的成功次 数,则 P(? ? 0) 等于 A.0 B.
1 3

C.

1 2

D.

2 3

5.一个等差数列共 10 项,偶数项的和为 15,则第 6 项是 A.3 B.4 C.5 D.6

6.某商场为吸引顾客,实行“买 100 送 20,连环送”的活动,即,顾客购物每满 100 元, 就可以获赠商场购物券 20 元(在这个商场购物时购物券相当于等值的现金)。 如果你有现金 680 元,在活动期间到该商场购物,最多可以获得购物券累计为
33

A.120 元 7.已知双曲线

B.136 元

C.140 元

D.160 元

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率 e ? a2 b2

?

2 ,2 ,令双曲线两条渐近线构

?

成的角中,以实轴为角平分线的角为 ? ,则 ? 的取值范围是 A.[

? ? , ] 6 2

B.[

? ? , ] 3 2

C.[

2? ? , ] 3 2

D.[

2? ,? ] 3

8.若定义在 R 上的不恒为零的函数 f ( x) ,满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,当 x ? 0 时,
f ( x) ? 1,则,当 x ? 0 时,必有

A. f ( x) ? ?1

B. ? 1 ? f ( x) ? 0

C. 0 ? f ( x) ? 1

D. f ( x) ? 1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.下列命题中: ① 若 f ( x) ? x ? 2 ,则 lim f ( x) ? 0 。
x?2

② 在频率分布直方图中,各个长方形的高表示相应各组的频率。 ③ 若函数 f ( x) 为偶函数,则 f ( x ) ? f ( x) ;反之,也成立。 ④ 对于可导函数,若某一点是极值点,则这点两侧的导数值异号。

错误的命题的序号是

(把你认为错误的命题的序号都填上) 。

10.已知向量 a ? ?2,3? , b ? ?1,2 ? ,若 a ? ? b ? a ? b ,则 ? 等于

?

? ? ?



11. 函数 y ? f (a ? x) 的图象和函数 y ? f ( x ? b) 的图象关于直线 l 对称, 则直线 l 的方 程是 。 。

12.设 ? ~ B(n, p) , E? ? 12 , D? ? 4 ,则 n 的值是

13. 已知 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 且方程 f ( x) ? x 无实数根,则 f ? f ? f ( x)??与 x 之间
34

的大小关系是



14、▲选做题:在下面三道题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分。 (1)空间四边形 ABCD 中,AB=CD,且 AB 和 CD 成 30? 角,E,F 分别是 BC,AD 的中点, 则 EF 和 AB 所成的角是 。 。 。

?? ? (2)极坐标方程 ? cos ? ? ? ? ? 1 的直角坐标方程是 6? ?
(3)已知 x ? 2 y ? 3z ? 1,则 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值是

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤. 15.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B 、 C 的对边.已知
C C C C ? m ? (cos , sin ) , n ? (cos ,? sin ) ,且 m 与 n 的夹角为 . 2 2 2 2 3

(1) 求角 C; (2) 若 c ?
3 3 7 , ?ABC 的面积 S ? ,求 a ? b 的值。 2 2

35

16.(本小题满分 13 分) 在等比数列 {a n } 中,前 n 项和为 S n ,若 S m , S m ? 2 , S m?1 成等差 数列,则 am , am? 2 , am?1 成等差数列。 (1) 写出这个命题的逆命题; (2) 判断逆命题是否为真,并给出证明。

36

17.(本小题满分 14 分) 如图,已知四棱锥 S ? ABCD 的底面是边长为 4 的正方形,
S 在底面上的射影 O 落在正方形 ABCD 内,且 O 到 AB、AD 的距离分别为 2、1。
S

(1) 求证: AB ? SC 是定值;

(2) 若 P 是 SC 的中点,且 SO ? 3 ,问在棱 SA (不含 端点)上是否存在一点 Q ,使异面直线 OP 与 BQ 所
D C

成的角为 90 0 ?若不存在,说明理由;若存在,则
B

O A

求出 AQ 的长。

37

18.(本题满分 14 分) 某工厂统计资料显示,产品次品率 p 与日产量 x (单位件, x ? N * , 1 ? x ? 98 )的关 系如下:

x
p

1
2 99

2
1 49

3
2 97

4
1 48

? ?
a 元。 2

98 1

又知每生产一件正品盈利 a ( a 为正常数)元,每生产一件次品就损失 (1) 将该厂日盈利额 T (元)表示为日产量 x 的函数;

(2) 为了获得最大赢利,该厂的日产量应定为多少件?(参考数据 3 ? 1.73 )

38

19.(本题满分 12 分)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? 线 y ? f ( x) 在点 M ( x1 , f ( x1 )) 处的切线为 l (1) 求 l 的方程; (2) 设 l 与 x 轴交点为 ( x2 ,0) ,求证: ① 0 ? x2 ?

1 ? ax 2 , x ? (0,??) 。设 0 ? x1 ? ,记曲 x a

1 1 ; ② 若 0 ? x1 ? ,则 x1 ? x2 ? 2 x1 a a

39

20.(本题满分 14 分) 已知,点 F (a,0)( a ? 0) ,点 P 在 y 轴上运动,点 M 在 x 轴上 运动, N 为动点,且 PM ? PF ? 0 , PN ? PM ? 0 (1)求点 N 的轨迹 C 的方程; (2) 过点 F 的直线 l (不与 x 轴垂直)与曲线 C 交于 A、B 两点, 设 K (?a,0) , KA 与
KB 的夹角为 ? ,求证: 0 ? ? ?

?
2



40

2007 年高考数学知识与能力测试题 (六)
(理
合题目要求的) 1.已知集合 M ? {x | x 2 ? 4} , N ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} ,则集合 M ? N = A.{ x | x ? ?2 } C.{ x | ?1 ? x ? 2 } B.{ x | x ? 3 } D. { x | 2 ? x ? 3 }

科)

一、选择题(本大题 8 小题,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

2. 要从其中有 50 个红球的 1000 个形状相同的球中,采用按颜色分层抽样的方法 抽取 100 个进行分析,则应抽取红球的个数为 A.5 个 3. “ sin A ? B.10 个
1 ”是“ A ? 30 0 ”的 2

C.20 个

D.45 个

A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 4. 复数 z ?
1 的共轭复数是 1? i 1 1 1 1 A. ? i B. ? i 2 2 2 2

B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

C. 1 ? i

D. 1 ? i

5. 一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面交线的位置关系 是 A.异面 B. 相交 C. 平行 D. 不确定

6. 若 | a |? 4 和 | b |? 3 , ? a, b ?? 60 0 ,则 | a ? b | 的值为 A.37 B.13 C. 37 D. 13

7.若 (ax ? 1) 5 的展开式中 x 3 的系数是 80,则实数

a 的值是

41

开始

i=2, sum=0

A.-2

B. 2 2

C.

3

4

D. 2

sum=sum+i i=i+2

8. 给出下面的程序框图,那么,输出的数是

A.2450

B. 2550
i≥100?


C. 5050

D. 4900



输出 sun

结束

(本大题共有 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 二、填空题: 9.函数 y ? log 1 ( x 2 ? 2 x) 的定义域是
2

,单调递减区间是



10.函数 y ? cos 2 x ? sin x cos x 的最小正周期 T =



11.若两个等差数列的前 n 项和之比为

5n ? 3 ,则这两个数列的第 9 项之比是 2n ? 7



12. ? (4 ? 2 x)(4 ? 3x 2 )dx ?
0

2

。 。

? x 2 ? 1( x ? 0) 13. 已知 f ( x) ? ? ,若 f ( x) ? 5 ,则 x ? ?? x ? 1( x ? 0)

14、▲选做题:在下面三道题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分。
AB ? a, AD ? b(a ? b) , (1) 矩形 ABCD 中, 沿对角线 AC 将△ ADC 折起, 使 AD与BC

垂直,则异面直线 AD与BC 间的距离等于
42



(2)极坐标系中,点 P (2 , ? ) 到直线: l : ? sin(? ? ) ? 1 的距离是 6 6 (3)不等式 | x ? 1| ? | x ? 3| ? 2 的解是 。

?

?



三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤) 15. (本小题满分 12 分)已知 tan (1) tan(? ?
? 2 ,求 2 6 sin ? ? cos? (2) 的值. 3 sin ? ? 2 cos?

?

?
4

) 的值;

43

16. (本小题满分 12 分) 交 5 元钱,可以参加一次摸奖。一袋中有同样大小的球 10 个,其中有 8 个标有 1 元钱,2 个标有 5 元钱,摸奖者只能从中任取 2 个球,他所得奖励是所抽 2 球的钱数 之和(设为 ? ) ,求抽奖人获利的数学期望。

44

17.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? ( x 2 , x ? 1) , b ? (1 ? x, t ) ,若函数 f ( x) ? a ? b 在区间 (?1,1) 上是增函数, 求 t 的取值范围。

45

18. (本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E、F 分别是
BB1、CD 的中点.
D1 A1 B1 E D A F B C C1

(1) 证明: AD ? D1 F ; (2) 求 AE 与 D1 F 所成的角; (3) 证明:面 AED ? 面 A1 FD1

46

19. (本小题满分 14 分) (1) 证明: 若 a1 , a 2 是正实数,则有
2 a12 a 2 ? ? a1 ? a 2 ; a 2 a1

(2) 请你把上述不等式推广到一般情形,并证明你的结论。

47

20. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 的方程为
x2 ? y 2 ? 1 ,双曲线 C 2 的左、右焦点分别是 C1 的左、右顶点, 4

而 C 2 的左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点。 (1)求双曲线 C 2 的方程; (2)若直线 l:y ? kx ? 2 与双曲线 C 2 恒有两个不同的交点 A 和 B ,且 OA ? OB ? 2 其中 O 为原点,求 k 的范围。

48

2007 年高考数学知识与能力测试题参考答案(一)
(理
一、选择题 :1-4, BBBB ;5-8,DABD。 提示:1.
1 ? 3i ( 3 ? i)
2

科)

?

1 ? 3i 2(1 ? 3i )

??

1 3 ? i 4 4

1 1 2. f [ f ( )] ? f [?2] ? 3?2 ? 4 9

3.用 ? x 代替 x 得 y ? 4 ? x
1 4. y ? ( )1? x ? 0 2

5. y ' ? 3x 2 ? 3 ? 0 , x ? ?1 或 x ? 1 6.
a2 ? b2 a b ? ? ?2 ab b a

7.略 8. (3x ? 2 y ? 5)m ? (2 x ? y ? 1) ? 0 二、填空题:9.60; 13.0.74 ; 14. ①、
?3x ? 2 y ? 5 ? 0 ? ?2 x ? y ? 1 ? 0 ? x ? ?1 ? ?y ? 1

10. 15:10:20



11. ?? ?,?8? ;

12. ? 2,10? ;

2 13 9 ;②、圆;③. 3 2

3 3 ? A3 ? 60 提示: 9. C5

10.

300 200 400 ? 45 ? 15 , ? 45 ? 10 , ? 45 ? 20 900 900 900

?? ? 0 11. ? , a ? ?8 ?a ? 4 ? 0

12. b ? 2 , f

?1

x x 2 x ) ? 2 log 3 ? 2 , (1 ? x ? 9) ( x) ? log 3 ? 2 , F ( x) ? (log 3

x 0 ? log 3 ? 2 , 2 ? F ( x) ? 10

49

5 ? 0.85 ? 0.74 13. P( A) ? C54 ? 0.8 4 ? 0.2 ? C5

14.略

三、解答题 15. 解:(1)
1 C83 C 2 8 ? . 4 15 C10
2 C8n-2C2 >0.6 , n C10

(2)设抽取 n 件产品作检验,则

8! 3 10! ? · ,得: n(n ? 1) ? 54 ,即 n ? 8 ? n-2 ?!? ?10 ? n ?! 5 n!? (10 ? n)!

故至少应抽取 8 件产品才能满足题意. 16. 解:由题意得 A ? 36 0 , B ? C ? 72 0 ,原式可化为 2 cos2
B 2 A ? 2 sin ? (2 cos36 0 sin18 0 ) 2 2 2 2 cos36? sin18? cos18? sin 72? 1 2 cos36? sin18? ? ? ? , cos18? 2 cos18? 2 1 1 故原式= ( ) 2 ? . 2 4 B 2 A , ? 2 sin 2 2

而 2 cos2

17. 解:(1)显然 h ? 1,连接 AQ ,∵ 平面ABCD ? 平面ADQP , PA ? AD , ∴ PA ? 平面ABCD .由已知 PQ ? DQ ,∴ AQ ? DQ , AQ ? y 2 ? h 2 . ∵ Rt?ABQ ∽ Rt?QCD , CQ ? h 2 ? 1 ,
DQ CQ ? ∴ 即 AQ AB

h y 2 ? h2

?

h2 ?1 . 1

∴y?

h2 h2 ?1 h2

(h ? 1) . (h 2 ? 1) ? 1 h2 ?1 1 h2 ?1
50

(2) y ?

h2 ?1

? h2 ?1 ?

?  2

当且仅当 h 2 ? 1 ?

1 h2 ?1

, 即h ? 2 时,等号成立.此时 CQ ? 1 ,即 Q 为 BC 的

中点.于是由 DQ ? 平面PAQ ,知平面 PDQ ? 平面PAQ , PQ 是其交线,则过 A 作
AE ? 平面PDQ 。

∴ ?ADE 就是 AD 与平面 PDQ 所成的角.由已知得 AQ ? 2 , PQ ? AD ? 2 , ∴ AE ? 1 , sin ?ADE ?
AE 1 ? , ?ADE ? 30 0 . AD 2

(3) 设三棱锥 P ? ADQ 的内切球半径为 r ,则
1 ( S ?PAD ? S ?PAQ ? S ?PDQ ? S ?ADQ ) ? r ? VP ? ADQ 3

∵ VP ? ADQ ? ∴r ?

1 2 S ?ADQ ? PA ? , S ?PAQ ? 1 , S ?PAD ? 2 , S ?QAD ? 1 , S ?PDQ ? 2 , 3 3
2 ? 2? 2 . 2
n ( n ?1) 2

2?2 2

1 1 18. 解: (1) a n ? 2002 ? (? ) n ?1 , f (n) ? 2002 ? (? ) 2 2

(2) ∵

| f (n ? 1) | 2002 ? n , | f ( n) | 2 | f (n ? 1) | 2002 ? n ?1 | f ( n) | 2
| f (11) |?| f (10) |? ? ?| f (1) |

∴当 n ? 10 时,

∴当 n ? 11 时,

| f (n ? 1) | 2002 ? n ? 1 , | f (11) |?| f (12) |? f (13) ? ? | f ( n) | 2

∵ f (11) ? 0 , f (10) ? 0 , f (9) ? 0 , f (12) ? 0 . ∴ f (n) 的最大值为 f (9) 或 f (12) 中的最大者.

51

1 2002 12 ? ( ) 66 f (12) 1 2002 2 ∵ ? ? 2002 3 ? ( ) 30 ? ( 10 ) 3 ? 1 1 f (9) 2 2 2002 9 ? ( ) 36 2 1 1 ∴ 当 n ? 12 时, f (n) 有最大值为 f (12) ? 2002 12 ? ( ) 66 f (12) ? 200212 ? ( )66 . 2 2 bx ? c 19.(1)解:∵函数 f ( x) ? 的图象过原点, x ?1
∴ f (0) ? 0 即 c ? 0 ,
bx . x ?1 bx ? c b 又函数 f ( x) ? 的图象关于点 ?? 1,1? 成中心对称, ?b? x ?1 1? x x ∴ b ? 1 , f ( x) ? . x ?1

∴ f ( x) ?

(2)解:由题意有 a n ?1 ? (
1 a n ?1 ? 1 an ? 1,即

an an ? 1

)2

即 a n ?1 ?
1 an ? 1.

an , an ? 1



1 a n ?1

?

∴数列{
1 an

1 an

}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列.
1 1 . ∴ an ? 2 . n n



? 1 ? (n ? 1) ? n ,即 a n ?

∴ a2 ?

1 1 1 1 , a3 ? , a 4 ? , a n ? 2 . 4 9 16 n
1 1 1 1 ? ? ? 2 k (k ? 1) k ? 1 k k

(3)证明:当 k ? 2(k ? 2,3,4,?, n) 时, a k ?

1 1 1 1 1 1 S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? ? 2 2 2 3 n ?1 n n

故 Sn ? 2 20. (1)解:∵ f (2) ? f (2) ? f (1) ,又 f (2) ? 2 , ∴ f (1) ? 1 . 又∵ f (4) ? f (2 ? 2) ? f (2) ? f (2) ? 4
52

2 ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 4 ,且 f (3) ? N *

∴ f (3) ? 3 . (2)解:由 f (1) ? 1 , f (2) ? 2 , f (3) ? 3 猜想 f (n) ? n(n ? N * ) (3)证明:用数学归纳法证明: ①当 n ? 1时, f (1) ? 1 ,猜想正确; ②假设 n ? k (k ? 1, k ? N * ) 时,猜想正确,即 f (k ) ? k 1°若 k 为正奇数,则 k ? 1为正偶数,
? f( k ?1 k ?1 为正整数, f (k ? 1) ? f ( ? 2) 2 2

k ?1 k ?1 ) ? f (2) ? ? 2 ? k ?1 2 2 k?2 k?2 k ?2 2°若 k 为正偶数,则 为正整数, f (k ? 2) ? f ( ? 2) ? f ( ) ? f (2) 2 2 2 k?2 ? ? 2 ? k ? 2 ,又 k ? f (k ) ? f (k ? 1) ? f (k ? 2) ? k ? 2 ,且 f (k ? 1) ? N * 2

所以 f (k ? 1) ? k ? 1 即当 n ? k ? 1时,猜想也正确

由①,②可知, f (n) ? n(n ? N * ) 成立.

2007 年高考数学知识与能力测试题参考答案(二)
(理
一、1-4,AABB,5-8,CDCB;
?y ?x ? 0 ? ?y ? 0 提示: 1. ? x ? y ?| x | 即 ? ? x ? ?1 ?| x |? 1 ? ?

科)

x 5 ? y 3 ? ?1

53

2 ? ?a ? a ? 2 ? 0 2. ? 2 ? ?a ? 3a ? 2 ? 0

即 a ? ?2
(a1 ? a13 ) ? 13 ? 26 2

3. 6a4 ? 6a10 ? 24

即 a 4 ? a10 ? 4 ,也就是 a1 ? a13 ? 4 , S13 ?

4.先确定是哪两个人的编号与座位号一致,有 C 52 ? 10 种情况,如编号为 1 的人坐 1 号座位,且编号为 2 的人坐 2 号座位有以下情形: 人的编号 座位号 1 1 2 2 3 4 4 5 5 3 人的编号 座位号 1 1 2 2 3 5 4 3 5 4

所以,符合条件的共有 10×2=20 种。 5. T ? 4[ 又 sin(? 6.略 7.略 8. 密文 shxc 中的 s 对应的数字为 19,按照变换公式:
?x ?1 ( x ? N * , x ? 26, x不能被2整除) ? ? 2 x' ? ? ,原文对应的数字是 12,对应的字母是 l ; x ? ? 13( x ? N * , x ? 26, x能被2整除 ? ?2

?
6

2? ? 2? 1 ,所以 ? ? ? (? )] ? 4? ,又 T ? 3 3 ? 2

? ? ) ? 0 ,且 | ? |?

?

2

,所以 ? ? ?

?

6

密文 shxc 中的 h 对应的数字为 8,按照变换公式:
?x ?1 ( x ? N * , x ? 26, x不能被2整除) ? ? 2 x' ? ? ,原文对应的数字是 15,对应的字母是 o ; x * ? ? 13( x ? N , x ? 26, x能被2整除 ? ?2

二、9. 提示:

1 ; 10.2;11.-48; 12. n ? 4 ; 13、5; 14、①3,② 2 ,③ 6 3 2
54

9.

f (0) ? f (1) ? 0 , 1 ? a ? log a ? a , log a ? ?1

2

2

10. 数列 ? 1 ? n? 是首相为 x ,公差为 2 的等差数列,于是
1*2005 ? 1?1 ? (2005 ? 1) ? 2 ? x ? 4008

又 1* 2005 ? 2008 ,所以 x ? ?2000

??? ? ??? ? 11. 特殊值法。取通径,则 A(4,8)、B(4, ?8) , OA ? (4,8) , OB ? (4, ?8)

??? ? ??? ? OA ? OB ? 16 ? 64 ? ?48 。

1 1 n a?c a?c 同解于 ? ? ? ?n a ?b b?c a ?c a ?b b?c a ?c a ?c a ?b?b?c a ?b?b?c b?c a ?b 又 ? ? ? ? 2? ? ?4 a ?b b?c a ?b b?c a ?b b?c

12.因 a ? b ? c , n ? N * ,所以

所以 n ? 4 。 13.略 。
14、 (1)如图:∵ ? ? ?
AE AC

∴∠1=∠2=∠3=∠P+∠PFD =∠FEO+∠EFO ∴∠FEO=∠P,可证△OEF∽△DPF 即有

OF EF ,又根据相交弦定理 DF·EF=BF·AF ? DF PF BF OB 2 PF ? PB 1 可推出 ? ? ,从而 ? PF AP 6 PF 3
∴PF=3

(2) ∵PF ? QF,

ab ab ∴ 2c ? c 2 ? ?1 a a ?c c? c c

∴ a ? b, e ?

2

(3)略。 三、15.解:(1) 依题知,得 f ( x) ? m ? n
? 3 sin ?x cos?x ? cos2 ?x

?

3 1 1 sin 2?x ? cos 2?x ? 2 2 2
55

? sin(2?x ?

?
6

)?



2? ? ? 所以 ? ? 1 2?

1 2

(2) 由(1)得 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

)?

?


0? x?

?
3

1 2

?
6

? 2x ?

?
6

?

5? 6

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6

1 ? f ( x) ?

3 2

3 故 f ( x) 的值域为 [1, ] 。 2

16.解:设飞机 A 能安全飞行的概率为 P1 ,飞机 B 能安全飞行的概率为 P2 ,则
1 2 P1 ? C 2 p(1 ? p) ? C 2 (1 ? p) 2 ? 1 ? p 2 3 3 4 4 P2 ? 1 ? C 4 p (1 ? p) ? C 4 p ? 1 ? 4 p 3 (1 ? p) ? p 4 ? 1 ? 4 p 3 ? 3 p 4

1 P2 ? P1 ? 3 p 4 ? 4 p 3 ? p 2 ? p 2 (3 p 3 ? 4 p ? 1) ? p 2 (3 p ? 1)( p ? 1) ? 3 p 2 ( p ? )( p ? 1) 3 2 又 p ? 1 ? e ? ?t 所以 P2 ? P1 ? 3(1 ? e ??t ) 2 ? e ??t ? (e ??t ? ) 3 1 3 2 当 t ? ln 时, 0 ? e ??t ? , P2 ? P1 ? 0 , P2 ? P 1; ? 2 3 1 3 2 当 t ? ln 时, e ??t ? , P2 ? P1 ? 0 , P2 ? P 1; ? 2 3 1 3 2 当 t ? ln 时, e ??t ? , P2 ? P1 ? 0 , P2 ? P 1; ? 2 3 1 3 1 3 1 3 故当 t ? ln 时, 飞机 A 安全; 当 t ? ln 时, 飞机 A 与飞机 B 一样安全; 当 t ? ln ? 2 ? 2 ? 2

时,飞机 B 安全。
z
D' C'

17.(1) 证明:以 D 为坐标原点,DA 所在的直线 x

A'

B'

轴,建立空间直角坐标系如图。 设 | AB |? a, | BE |? x, | DF |? y ,则
D F C

56

y
A E B

E (a ? x, a,0) , F (0, y,0) , B ' (a, a, a) , D ' (0,0, a)
B ' F ? ( ? a , y ? a , ? a ) , D ' E ? ( a ? x, a , ? a )

又 B' F ? D' E ,所以 B ' F ? D ' E ? 0 即
? a(a ? x) ? a( y ? a) ? a 2 ? 0 ,也就是 x ? a ? y

又 | CF |? a ? y ,所以 | BE |?| CF | ,即 BE ? CF 。 (2)解:方法 1、找出二面角,再计算。

1 1 a a ? BE ? CF ? ? (a ? x) ? x ? (当且仅当 x ? 取等号) 2 2 8 2 a a 即 E、F 分别为 BC、CD 的中点,于是 E ( , a,0) , F (0, ,0) 。 2 2 a a 又 C ' (0, a, a) ,所以 EC ' ? (? ,0, a) , FC ' ? (0, , a) 2 2 ' ? ?m ? EC ? 0 ' 设 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 是平面 C EF 的一个法向量,则 ? ' ? ?m ? FC ? 0

方法 2、由(1)得: S ?CEF ?

? a ? ? x ? a ? z1 ? 0 ? ? 2 1 即 ? ?a ? y ? a ? z ? 0 1 1 ? ?2

? x1 ? 2 z1 也就是 ? ? y1 ? ?2 z1

取 m ? (2,?2,1) 易知 CC ' ? (0,0, a ) 是平面 CEF 的一个法向量,

cos ? CC , m ??
'

CC ' ? m | CC ' | ? | m |

?

a 1 ? 3a 3

18.(1) 证明:依题知得: 整理,得

2 2 2 2 2 ( x n ?1 ? x n ) 2 ? ( x n ?1 ? x n ) ? x n ? x n ?1

( xn ? xn?1 ) 2 ? (2 xn xn ?1 ) 2
57

1



0 ? xn?1 ? xn

所以

xn ? xn?1 ? 2 xn xn?1



x n ?1

?

1 ?2 xn

故 数列 {

1 } 是等差数列。 xn

(2) 由(1)得

1 1 1 ( k ? 1,2,?, n. ) ? ? 2(k ? 1) ? 2k ? 1 即 x k ? x k x1 2k ? 1

又 S k ? ? x k4

所以

Sk ? ? ?

1 (2k ? 1) 2

Tn ? S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n

1 1 1 1 1 1 1 ) ? ? (1 ? ? ??? ] = ? [ 2 ? 2 ? 2 ??? 2 3 ?1 5 ? 3 (2k ? 1)( 2k ? 3) 1 3 5 (2k ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 ? ? {1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )]} 2 1 3 3 5 2k ? 1 2k ? 3

= ? [1 ? 故 Tn ?

1 1 3 ? ]? ? 2 2(2k ? 3) 2

3 ? 2

19.解:(1) 依题知得 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3
?a ?a ?1 ? ?3 ? ?1 欲使函数 f ( x) 在 x ? ?1,??? 是增函数,仅须 ? 3 或? ? f ' (1) ? 0 ? f ' ( a ) ? 0 ? ? ? 3
?a ? ?1 即 ?3 或 ? ?3 ? a ? 0 ?a ? ?1 ?3 ?9 ? a 2 ? 0 ?

解之得

a?3

故若 f ( x) 在 x ? ?1,??? 是增函数,实数 a 的取值范围为 ?? ?,3? 。 (2) 由(1)得 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 3 ,且 x ? 3 是 f ( x) 的极值点,所以 f ' (3) ? 0 ,即
58

30 ? 6a ? 0 ,也就是

a ? 5。

1 于是 f ' ( x) ? 3x 2 ? 10 x ? 3 ? 3( x ? 3)( x ? ) 3

在区间 ?1,3? 上 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 是减函数;在区间 ?3,5? 上 f ' ( x) ? 0 , f ( x) 是增函 数。 又 f (1) ? ?1 , f (3) ? ?9 , f (5) ? 15 ,所以 f ( x) 在 ?1,5? 的最小值是-9,最大值是 15。

20.解:(1) 当直线 l 的斜率不存在时, A、B 的中点为 O , P 点的坐标为 (0,0) 。 当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k ,则直线 l 的方程为 y ? kx ? 1
?y ? kx?1 ? 联立方程组 ? 2 y 2 消 y 得: (4 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 3 ? 0 ?1 ?x ? 4 ?

设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 、 P( x, y ) ,则
x1 ? x2 ? ? x?? 2k 4? k2 y1 ? y 2 ? y? 4 4? k2 8 4? k2

k 4? k2

联立上式,消 k 得

4x 2 ? y 2 ? y ? 0

易见,当直线 l 的斜率不存在时, P 点的坐标为 (0,0) 也适合上式。 故动点 P 的轨迹方程的为 4 x 2 ? y 2 ? y ? 0
1 1 1 ,即 ? ? x ? 16 4 4 1 1 1 7 又 | NP |? ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? ?3( x ? ) 2 ? 2 2 6 12

(3)

由(1)知 x 2 ?

21 1 1 所以,当 x ? ? 时,| NP | 取得最大值,最大值为 ;当 x ? 时,| NP | 取得最 6 6 4
59

小值,最小值为

1 。 4

2007 年高考数学知识与能力测试题参考答案(三)
(理
一、答案 1-4,AABD ;5-8,DCCC 1. A ? B ? {1,2,3,4,5} ,1+2+3+4+5=15。
1 1 ? 1 ,而 q: ? 1不能推出 x ? 1。 x x 3 2 81 3 3 3 3. C52 ( ) 2 ? ? C3 ( ) ? 5 5 5 125

科)

2. ?p:x ? 1 ?

4. 略 5. 由函数是奇函数排除 A、B,由 x ? ?1 时, y ? 0 排除 C。 6. cos ? a, b ??
? a, b ??|
? sin ? ? cos( ? ? ) 2 | a |?|b| a?b

?

?
2

?? |

7.由 f (0) ? c , f (?1) ? ?1 得 a ? 0 , b ? ?4c , f ( x) ? x 3 ? 4 x( x ? [?2,2])
f ' ( x) ? 3x 2 ? 4 易得函数有两个极值,又函数是奇函数, [ f ( x)] max ? [ f ( x)] min ? 0 。

故①③正确,②错误。 8.略 二、答案:9. 5,5; 10. ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 2 ? 0 ;11. a n ? 12. ? ? 提示: 9.由 ((((3x ? 4 x) x ? 6) x ? 2) x ? 5) x ? 2 知需 5 次乖法,5 次加法。 10、 ?x ? R, x 2 ? 2 x ? 2 ? 0
60

5 2n ? 1 ? ; 4 2n(n ? 1)

3? ; 13. A?B ? ?? 3,0? ? (3,??) ; 14. ②③。 4

11、由 an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 得: a n ?
f (1 ? 2 x) ? f (1) f (1) ? f (1 ? 2 x) ? ?1 ? ?2 得: lim x ?0 (1 ? 2 x) ? 1 x

5 2n ? 1 。 ? 4 2n(n ? 1)

12.由 lim
x ?0

即 f ' ( x) ? ?1 , tan? ? ?1 , ? ?

3? 。 4

13. A ? ?0,?? ? , B ? [?3,3] , A ? B ? (3,??) , B ? A ? ?? 3,0? ,
A?B ? ?? 3,0? ? (3,??)

14. (1)提示:设圆的半径为 R,由 PA ? PB ? PC ? PD 得 3 ? (3 ? 4) ? (5 ? R)(5 ? R) 解得 R=2 (2)提示:转化为直角坐标来解,直线方程化为 x ? y ? 1 ? 0 ,点 A 化为 用公式可求得点到直线的距离为 (3) (1, ? ?)
2 2

?

2, ? 2 ,再

?

三、 15.解: f ( x) ? (1)由 2k? ? 2 x ?
2a ? a sin(2 x ? ) ? ? b 2 4 2

3? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 4 2 8 8 3? ? 又 a ? 0 ,故 f ( x) 的单调递增区间为 [k? ? , k? ? ]( k ? Z ) 8 8 ? 2k? ?

?

?

得: k? ?

? ? ? 5? (2) 由 x ? [0, ] 得: ? 2x ? ? 4 4 4 2
又 a ? 0 ,所以

-

2 ? ? sin(2 x ? ? 1 2 4

2a 2a ? a ? sin(2 x ? ) ? ? , 2 2 4 2

61

2a a 2a ? a a a ? ?b ? sin(2 x ? ) ? ? b ? ? ? ? b 2 2 2 4 2 2 2



2 ?1 a ? b ? f ( x) ? b 2

? 2 ?1 a ? b ? 3 ?a ? 2 ? 2 2 ? 由已知 f ( x) 的值域为 [3,4] ,所以 ? 2 即? ?b ? 4 ?b ? 4 ?

16.解: (1)因为 AB ? AC , D 是 BC 的中点,所以 AD ? BC . 又 平面CC1 B1 B ? 平面ABC ,所以 AD ? 平面CC1 B1 B 又 B1 F ? 平面CC1 B1 B ,所以 AD ? B1 F 在 Rt?B1C1 F 中 在 Rt?DCF 中
tan ?C1 B1 F ? tan ?CFD ? 1 2 1 , 。 2

所以 ?C1 B1 F ? ?CFD , ?C1 FB1 ? ?CFD ?
?B1 FD ? ? ? (?C1 FB1 ? ?CFD) ?

?
2

? ?C1 B1 F ? ?CFD ?

?
2

?
2

即 FD ? B1 F

所以 B1 F ? 平面ADF 。 (2)延长 FD、B1 B 交于 G ,则 AG 为所求二面角的棱. 由 Rt?FCD ≌ Rt?GBG 得: CF ? GB ? 2a 。 过 B1 作 B1 H ? AG ,且 B1 H 与 AG 交于 H ,又 B1 F ? 平面ADF , FH ? AG ,
?B1 HF 为所求二面角的平面角.

由 Rt?ABG ≌ Rt?B1 HD ,得: B1 H ?

15a 13


65 。 15

又 B1 F ? B1C12 ? C1 F 2 ? 5a ,所以 sin ?B1 HF ?

62

即所求二面角的正弦值是

65 . 15

17.解:设供水 t 小时,水池中存水 y 吨,则 (1)
y ? 400 ? 60t ? 120 6t ? 60( t ? 6 ) 2 ? 40 ( 1 ? t ? 24)

当 t ? 6 时, y min ? 40 (吨) 故从供水开始到第 6 小时,蓄水池中的存水量最少,最少存水 40 吨。
?60 ( t ? 6 ) 2 ? 40 ? 80 (2) 依条件知 ? ?1 ? t ? 24

8 32 解得: ? t ? 3 3

32 8 ? ?8 3 3

故:一天 24 小时内有 8 小时出现供水紧张.
2 2 18.解: (1)设椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) , F (c,0) ,

a

b

则直线 AB 的方程为 y ? x ? c ,
?y ? x ? c ? 联立方程组 ? x 2 y 2 消 x 得, (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 cx ? a 2 c 2 ? a 2 b 2 ? 0 . ? 2 ? 2 ?1 b ?a

? 2a 2 c x ? x ? 2 ? ? 1 a2 ? b2 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) ,则 ? 2 2 2 2 ?x x ? a c ? a b 1 2 ? a2 ? b2 ?

又 OA ? OB ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) , a ? (3,?1) ,且 OA ? OB 与 a 共线 所以得: 3( y1 ? y 2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0
3 又 y1 ? x1 ? c, y2 ? x2 ? c ,所以 3( x1 ? x2 ? 2c) ? ( x1 ? x2 ) ? 0 即 x1 ? x2 ? c 2

也就是

2a 2 c 3c 6a 2 2 。 ? ,所以 a ? 3b , c ? a 2 ? b 2 ? 2 2 2 3 a ?b

故离心率 e ?

c 6 ? . a 3
63

(2) 证明:由(1)知 a 2 ? 3b 2 ,所以椭圆

x2 y2 ? 2 ? 1 可化为 x 2 ? 3 y 2 ? 3b 2 . 2 a b

设 OM ? ( x, y ) ,则由 OM ? ? OA ? ? OB (? , ? ? R) 得:
? x ? ?x1 ? ?x 2 , ? ? y ? ?x1 ? ?x 2 .

又 M ( x, y) 在椭圆上,所以 (?x1 ? ?x2 ) 2 ? 3(?y1 ? ?y 2 ) 2 ? 3b 2 即
2 2 ?2 ( x12 ? 3 y12 ) ? ? 2 ( x2 ? 3 y2 ) ? 2?? ( x1 x2 ? 3 y1 y 2 ) ? 3b 2 .

也就是 b 2 ?2 ? ?? ( x1 x2 ? 3 y1 y 2 ) ? 3b 2 由(1)得
a2 ?

????①

3c 2 3 2 1 3c , x1 x 2 ? , c , b 2 ? c 2 , x1 ? x2 ? 8 2 2 2

y1 y 2 ? ( x1 ? c)( x2 ? c) ? x1 x2 ? c( x1 ? x2 ) ? c 2 ?
x1 x2 ? 3 y1 y 2 ? 0

3c 2 3c 2 c2 ? ? c2 ? ? 8 2 8

????②

联立①、②得: ?2 ? ? 2 ? 1 故 ?2 ? ? 2 为定值,定值为 1. 19.解:(1) 设切线斜率为 k ,则 k ? f ' ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 当 x ? 1时, k 取最小值-4, 又 f (1) ? ? (2)
20 20 , 所以,所求切线方程为 y ? ? ?4( x ? 1) ,即 12 x ? 3 y ? 8 ? 0 3 3

由 f ' ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,解得: x ? ?1 或 x ? 3 。

函数 f ( x) 在 ?? ?,?1? 和 ?3,??? 上是增函数,在 ?? 1,3? 上是减函数。 所以
?0 ? a ? 3a ? 3 ? ? f (3a ) ? 0 ?0 ? a ? 3 ? 3a 或 ? ? f (3) ? 0 ?a ? 3 或 ? ? f (a) ? 0

解得 a ? 6 故 a 的取值范围是 ?6,??? 。 20.解:(1) f (?1) ? f (?1) ? f (0) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1,所以 f (0) ? 1
64

当 x ? 0 时, ? x ? 0 , f (? x) ? 1 , f (0) ? f ( x) ? f (? x) ? 1, 0 ? f ( x) ? 1 对于 x ? R , f ( x) ? 0 。 设 x1 ? x2 ,则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f [ x ? ( x2 ? x1 )] ? f ( x1 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 )
? f ( x1 ) ? [ f ( x2 ? x1 ) ? 1]

又 x1 ? x2 ,所以 x 2 ? x1 ? 0 , 0 ? f ( x2 ? x1 ) ? 1, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , 即 f ( x2 ) ? f ( x1 ) 故函数 f ( x) 在 R 上是减函数。 (2) 由 f (a n ?1 ) ?
1 得: f (a n ?1 ) ? f (?2 ? a n ) ? 1 , f (?2 ? a n )

于是: f (a n ?1 ? 2 ? a n ) ? f (0) 又函数 f ( x) 在 R 上是减函数,所以 an?1 ? 2 ? an ? 0 ,即 an?1 ? an ? 2 故: {a n } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列, a n ? 2n ? 1 (3) 若存在正数 k ,使使 (1 ?
(1 ?
1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) ? k 2n ? 1 成立 a1 a2 an
F( n ?1) F( n ) 2( n ? 1) 4(( n ? 1) 2 ? 1

记 F ( n) ?

1 1 1 )((1 ? ) ? (1 ? ) a1 a2 an 2n ? 1

(n ? N * )



?

?1

F (n) 单调递增, F (1) 为 F (n) 的最小值,

欲使 F (n) ? k 对于 n ? N * 恒成立,仅须 k ?
2 3 。 3
65

2 2 。 3

故 k 的最大值为

2007 年高考数学知识与能力测试题参考答案(四)
(理 科)

一、答案:1-4,CABB;5-8,BBDB

提示:
1 1. x 3 ? 2 , x ? 2 3 , f (2) ? lg 2 3 ? lg 2 3
1
1

2.检验 a ? b ? 0 3. a ?| b |? 0 ; 4.略;
1 5.先求 a ? ?1,所以 f (?1) ? ? ; 3

6.求得 r ? 3 , S ? 4? ? r 2 ? 36? ;
( 7. lim ?
x? 2

sin x 1 1 k ? tan 2 x) ? , log 4 ? , k ? 2 ; 2 2 cos x 2
?1

8. f (9) ? 2 , a ? 3 , f

( x) ? 3 x , f

?1

(log 9 ) ? 3log9 ? 2

2

2

3 ? 二、9. ( ,1) ;10. 81,36;11. ;12. S 20 ? S10 , S 30 ? S 20 , S 40 ? S 30 ;300; 5 4

13. 2;14. ①、 [?1,1] 提示:

? x ? 2 ? 3 cos? ;②、 ? 其中 ? 为参数; ? y ? 1 ? 3 sin ?

③、5。

9. 数形结合, log a 4 ? 1 ,
2 3 ? A3 ? 36 10. 3 4 ? 81 , C 4

?

?
4

? a ?1

11. ? ~ (2,

3 3 3 ) , E? ? 2 ? ? 10 10 5
66

12. 略 13.由对称性 ( PN ? PM ) max ? 2 14.略 三、 15.解: f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a
? 2 sin(2 x ?

?
6

) ? a ?1 2? ?? 2 ? ? 5? 2 x ? ? [? , ] 6 6 6

(I) f ( x) 的最小正周期 T ? (II)由 x ? [? , ] 得 6 3

? ?

?

? 1 ? 2 sin(2 x ?

?

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6

6

)?2

f ( x) max ? 2 ? a ? 1 , f ( x) min ? ?1 ? a ? 1

2a ? 3 ? 3 ,解得 a ? 0
3 16.解: (1)从 10 人中任取 3 人,共有 C10 种,最小号码为 5,相当于从 6,7,8,9,

10 共五个中任取 2 个,则共有 C 52 种结果。 则最小号码为 5 的概率为 P ?
C 52 1 1 ? = 3 C10 12 12

(2)选出 3 个号码中至多有一个是偶数,包括没有偶数和恰有一个偶数两种情况,
3 1 2 ? C5 C 5 种.所以满足条件的概率为 P ? 共有 C 5

3 1 2 C5 ? C5 C5 1 ? 3 2 C10

(3)3 个号码之和不超过 9 的可能结果有: (1,2,3) ,1,2,4) ,1,2,5) , (1,2,6) , (1,3,4) , (1,3,5) , (2,3,4) 则所求概率为 P ?
7 7 ? 。 3 C10 120

17.解: (1) 连结 AC 交 DE 于 F ,连结 PF ,
67

∵ CD // AB 又 ∵ AD ? CD

∴ ?BAC ? ?ACD ∴ ?DAC ? ?ACD ,即 CA 平分 ?BAD ,

∵ ?ADE 是等边三角形 ∴ AC ? DE , CF ? DE , DE ? 平面PCF , DE ? PC 。 (2) 过 P 作 PO ? AC 于 O ,连接 OP ,设 AD ? DC ? CB ? a ,则 AB ? 2a ∵ DE ? 平面PCF ∴

DE ? PO , PO ? 平面BCDE

?PDO 就是直线 PD 与平面 BCDE 所成的角

∵ ?PFC 是二面角 P ? DE ? C 的平面角 在 Rt?POD 中 sin ?PDO ? (3) ∵ DE // BC
PO 3 ? PD 4

∴ ?PFO ? 60 0

DE 在平面 PBC 外, ∴

DE // 平面PBC

D 点到平面 PBC 的距离即为点 F 到平面 PBC 的距离,
过点 F 作 FG ? PC ,垂足为 G , ∵ DE // 平面PCF ∴
BC ? 平面PCF , 平面PBC ? 平面PCF

FG ? 平面PBC , FG 的长即为点 F 到平面 PBC 的距离。

在菱形 ADCE 中

AF ? FC , PF ? CF ?
1 3 PF ? a 2 4

3 a , ?PFC ? 120 0 2

?FPC ? ?FCP ? 30 0 , FG ?

18.解:(1) f ( x) ? x 3 ? (1 ? a) x 2 ? ax
1 3 (a ? ) 2 ? 1? a 2 (1 ? a) 1? a 2 2 4 f ' ( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a ? 3( x ? ) ?a? ? 3( x ? ) ? 3 3 3 3
2

所以方程 f ' ( x) ? 0 有两个不同的实数解 x1 , x 2 , f ' ( x) ? 3( x ? x1 )( x ? x2 ) 不妨设 x1 ? x2 ,则在区间 (??, x1 ) 和 ( x 2 ,??) 上, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 是增函数;在区间
68

( x1 , x 2 ) 上, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 是减函数;

故 x1 是极大值点, x 2 是极小值点。
3 2 (2) 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 得: x13 ? x2 ? (1 ? a)( x12 ? x2 ) ? a( x1 ? x2 ) ? 0

即 ( x1 ? x2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 3x1 x2 ] ? (1 ? a)[( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ] ? a( x1 ? x2 ) ? 0
2 ? x1 ? x 2 ? (1 ? a) ? ? 3 又 ? 且a ?1 ?x x ? a ? 1 2 3 ?

2 4 4 2a 2(1 ? a)a 所以 (1 ? a)[ (1 ? a) 2 ? a] ? (1 ? a)[ (1 ? a) 2 ? ] ? ?0 3 9 9 3 3

整理得

2a 2 ? 5a ? 2 ? 0

解得 a ? 2 所以当 a ? 2 时,不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 成立。 19.(1)由题意 S n ? 于是 a n?1
n n ?1 a n 得 S n?1 ? a n?1 2 2 n ?1 n ? S n?1 ? S n ? a n?1 ? a n 即 (n ? 1)an?1 ? nan 2 2
a n ?1 n ? an n ?1 a n a n ?1 a n ?1 n ? 2 2 ? ? ? ? 3 ? a2 ? ? ? ? ? ?1 ? n ? 1 a n ?1 a n ? 2 a2 n?2 n?3 1

当 n ? 2 时,

当 n ? 3 时, a n ? 又 a1 ? S1 ? 又 a2 ? 1

1 a1 ,所以 a1 ? 0 , 2

可见, a1 , a 2 也适合 an ? n ? 1 , S n ? 故 Sn ?
n(n ? 1) ( n ? N * ). 2

n(n ? 1) 2

69

(2) 由(1)得: (1 ?

1 n 1 1 1 1 0 1 r n ) ? (1 ? ) n ? C n ? Cn ? ? ? ? Cn ? ( ) r ? ? ? Cn ? ( )n 2a n ?1 2n 2n 2n 2n

①当 n ? 1时, (1 ?

1 n 3 ) ? ; 2a n ?1 2

r ②当 n ? 2 时, C n ?(

1 r n(n ? 1) ? ? ? (n ? r ? 1) 1 r 1 r 1 ) ? ? ( ) ? ( ) ? ( ) r (r ? 2,3,4,?, n) 2n n!?r! n 2 2

1 1 1 1 1 1 1 r n ? ? ? Cn ? ( ) r ? ? ? Cn ? ( )n ? 1 ? ? 2 ? ? ? r ? ? ? n 2n 2n 2n 2 2 2 2 1 1 1? n ? 2 2 ? 2? 1 ? 2 ? 1 2n 1? 2 1 1 1 1 1 0 1 r n 0 1 而 (1 ? ) n ? C n ? Cn ? ? ? ? Cn ? ( ) r ? ? ? Cn ? ( ) n ? Cn ? Cn ? 2n 2n 2n 2n 2n 3 ? 2
0 1 Cn ? Cn ?

综上所证:

3 1 n ? (1 ? ) ?2 2 2a n ?1

20. 解: (Ⅰ)设抛物线方程为 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,将 M (1,2) 代入方程得 p ? 2 所以抛物线方程为 y 2 ? 4 x 。 由题意知椭圆、双曲线的焦点为 F1 (?1,0) 、 F2 (1,0) 。 设椭圆的方程为
x2 y2 ? ? 1(a ? 1) ,则 a2 a2 ?1

2a ?| MF1 | ? | MF2 |? 2 ? 2 2 , a ? 1 ? 2 , a 2 ? 3 ? 2 2 , a 2 ? 1 ? 2 ? 2 2

椭圆的方程为

x2 3? 2 2

?

y2 2?2 2

? 1。

设双曲线的方程为

x2 y2 ? ? 1(0 ? m ? 1) ,则 m2 1 ? m2
70

2m ?|| MF1 | ? | MF2 ||? 2 2 ? 2 , m ? 2 ? 1, m 2 ? 3 ? 2 2 , 1 ? m 2 ? 2 2 ? 2

椭圆的方程为

x2 3?2 2

?

y2 2 2 ?2

? 1。

(Ⅱ)设 AP 的中点为 C ,l ' 的方程为:x ? a ,以 AP 为直径的圆交 l ' 于 D、E 两 点, DE 中点为 H 。 设 A( x1 , y1 ) ,则 C (
x1 ? 3 y1 , ) 2 2 | CH |?| x1 ? 3 1 ? a |? | ( x1 ? 2a) ? 3 | 2 2

| DC |?

1 1 | AP |? ( x1 ? 3) 2 ? y12 2 2

1 1 | DH | 2 ?| DC | 2 ? | CH | 2 ? [( x1 ? 3) 2 ? y12 ] ? [( x1 ? 2a) 2 ? 3] 4 4
? (a ? 2) x1 ? a 2 ? 3a

当 a ? 2 时, | DH | 2 ? 2 , | DE |? 2 | DH |? 2 2 ,此时, x ? 2 。

2007 年高考数学知识与能力测试题参考答案(五)
(理
一、答案:1-4, DACB, 5-8, ADCC 提示 1. C I A ? {4} , C I B ? {0,1,2,3} , C I A ? C I B ? {0,1,2,3,4} 2.略 3. 4.
2 ? bi ?2 ? bi?(1 ? 2i ) 2 ? 2b ? (b ? 4)i ? ? 1 ? 2i (1 ? 2i )(1 ? 2i ) 5

科)

2 ? 2b ? b ? 4 b ? ?

2 3

1- P(? ? 0) =2 P(? ? 0) ,即 P(? ? 0) =

1 3
a 2 ? a 4 ? a6 ? a8 ? a10 ? 15 即 5a6 ? 15

5. 设 这 个 数 列 为 {a n } (n ? 1,2,?,10) , 则
71

a6 ? 3

6.比如,先消费 600 元,获赠 120 元的购物卷,连同剩余的 80 元现金,又可以消 费 200 元,实际获得的购物卷为 120+40=160(元)。当然也可以采取其它方法,达到 同样的效果。
b x2 y2 bx 7.双曲线 2 ? 2 ?1 的渐进线方程是 y ? ? ,又 ? a a a b
e ? [ 2 ,2] ,所以 1 ?

c2 ? a2 ? e2 ?1 , 且 2 a

b ? 2? 。 ? 3 ?? ? a 2 3 x 8 . 由 题 知 f ( x) ? f 2 ( ) ? 0 , 于 是 f (0) ? f 2 (0) , f (0) ? 1 ( 否 则 , 有 2
f ( x) ? f (0) ? f ( x) ? 0 与题知矛盾), f ( x) ? 0( x ? 0) 。

当 x ? 0 时, ? x ? 0 , f (? x) ? 1 ,又 f ( x) ? 二、答案:9.①,②,③,④; 10. ?

f (0) 1 ,所以 0 ? f ( x) ? 1。 ? f (? x) f (? x)

5 a?b ; 11. x ? ; 12. 3 2

18;
1 。 14

13. f { f [ f ( x)]} ? x ; 14.(1)75 0 或 15 0 , (2) 3x ? y ? 2 ? 0 , (3) 提示:

9. lim f ( x ) 不存在;在频率分布直方图中,各个长方形的面积表示相应各组的频率;
x?2

函数 f ( x) ? x 2 ( x ? [?2,3]) 对于定义域中的任意 x ,都有 f ( x ) ? f ( x) ,但函数 f ( x) 不 是偶函数;对于可导函数,若某一点是极值点,则这点附近两侧的导数值异号。

10. a ? b ? (2 ? ? ,3 ? 2? ) , a ? b ? (1,1) , (a ? b) ? (a ? b) ? 0

5 ? 3? ? 0

11.设 P(a ? x0 , y0 ) 是函数 y ? f (a ? x) 图象上的任意一点,则 y 0 ? f ( x0 ) 也就是
y 0 ? f [( x0 ? b) ? b] ,即 Q( x0 ? b, y0 ) 是函数 y ? f ( x ? b) 图象上的任意一点。又点 P(a ? x0 , y0 ) 与 点 Q( x0 ? b, y0 ) 始 终 关 于 直 线 x ?

a?b 对称,故直线 l 的方程为 2

72

x?

a?b 。 2

12. E? ? np ? 12 , D? ? np(1 ? p) ? 4 13.由题知 f ( x) ? x 对于一切 x 都成立,于是 f { f [ f ( x)]} ? f [ f ( x)] ? f ( x) ? x 。 14.略

三、15.解:(1) 依题知得 也就是 cosC ? (2) S ?

m ? n ?| m | ? | n | ? cos

?
3



cos2

1 ? ,又 0 ? C ? ? ,所以 C ? 2 3

C C 1 ? sin 2 ? 2 2 2

1 3 3 3 ab sin C ? ab ,且 S ? ,所以 ab ? 6 2 4 2

又 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ? a 2 ? b 2 ? ab ? (a ? b) 2 ? 3ab ? (a ? b) 2 ? 18 ,且 c ? 所以 (a ? b) 2 ? 18 ?
49 11 , 即 a?b ? 4 2

7 , 2

16. 解: (1) 这个命题的逆命题是: 在等比数列 {a n } 中, 前 n 项和为 S n , 若 am , am? 2 , am?1 成等差数列,则 S m , S m ? 2 , S m?1 成等差数列。 (2) 设等比数列 {a n } 的公比为 q ,则当 q ? 1 时,这个命题的逆命题为假,理由如下: 因 a m ? a m? 2 ? a m?1 ? a1 , 若 am , am? 2 , am?1 成 等 差 数 列 , 则 S m? 2 ? S m ? 2a1 ,
S m?1 ? S m? 2 ? ?a1 ,

显然 S m? 2 ? S m ? S m?1 ? S m? 2 。 当 q ? 1 时, 这个命题的逆命题为真, 理由如下: 因 a m ? a1 q m ?1 ,am? 2 ? a1q m?1 ,
a m ?1 ? a1 q m ,若 am , am? 2 , am?1 成等差数列,则 a1q m?1 ? a1 q m ? 2a1q m?1 ,即 1 ? q ? 2q 2 ,

也就是 1 ? q 2 ? q 2 ? q 又 S m? 2 ? S m ?
a1 (1 ? q m? 2 ) a1 (1 ? q m ) a1 (1 ? q 2 )q m ? ? 1? q 1? q 1? q
73

S m?1 ? S m? 2 ?

a1 (1 ? q m?1 ) a1 (1 ? q m? 2 ) a1 (q 2 ? q)q m a1 (1 ? q 2 )q m ? ? ? 1? q 1? q 1? q 1? q

即 S m? 2 ? S m ? S m?1 ? S m? 2

17. 证明: (1)解:以 O 为原点,以垂直 AB 的直线为 x 轴,垂直 BC 的直线为 y 轴,
z

以 OS 所在的直线为 z 轴建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图。 由正方形 ABCD 长为 4,且 O 到 AB、AD 的距离分别为 2、1,得: A(2,?1,0) , B(2,3,0) ,C (?2,3,0) , S (0,0, t )
P

S

AB ? (0,4,0) , SC ? (?2,3,?t )
Q D O A x B C y

AB ? SC ? 12

1 1 9 (2) 在棱 SA 上是否存在一点 Q( ,? , ) , 使异面 2 4 4

直线 OP 与 BQ 所成的角为 90 0 。
3 3 3 3 由 SO ? 3 和(1)知: P(?1, , ) , OP ? (?1, , ) , SA ? 14 2 2 2 2

设 在 棱 SA 上 是 否 存 在 一 点 Q , 且 AQ ? t ? SA ? 14t ( 0 ? t ? 1 ), 则
Q(2 ? 2t , t ? 1,3t ) ,

3 9t 3 BQ ? (?2t , t ? 4,3t ) ,因 OP ? BQ ,所以 OP ? BQ ? 0 ,即 2t ? (t ? 4) ? ? 0 , t ? 2 2 4 1 1 9 3 故 Q( ,? , ) , AQ ? 14 。 2 4 4 4
2 (1 ? x ? 98, x ? N * ) ,日产量 x 件中次品有 xp , 100 ? x a 3x 正品有 x ? px 件,日盈利额 T ? a( x ? px) ? px ? a( x ? ) 2 100 ? x

18.解:(1) 依题意可知: p ?

(2) 设 t ? 100 ? x ,则: x ? 100 ? t (t ? N * ,2 ? t ? 99) ,
74

3(100 ? t ) 300 ] ? a[103 ? (t ? )] t t 300 289 11 11 当 2 ? t ? 17, t ? N * 时, t ? ?t? ? ? 34 ? (当且仅当 t ? 17 时等号成 t t t 17 T ? a[100 ? t ?

立); 当 18 ? t ? 99, t ? N * 时, t ? 成立); 又 36 ?
24 12 11 ? 34 ? ? 34 ? ,所以,当 t ? 17 即 x ? 83 时, T 取最大值。 18 18 17
300 324 24 24 ( 当且仅当 t ? 18 时等号 ?t? ? ? 36 ? t t t 18

故,日产量为 83 件时,日盈利额 T 取最大值。
1 x2

19. (1) 解:依题知,得: f ' ( x) ? ?

l 的方程为 y ?
(2) ①

1 ? ax1 1 ? ? 2 ( x ? x1 ) x1 x1



2 ? ax1 1 ?x? y? ?0 2 x1 x1

证明:由(1)得 x2 ? x1 (2 ? ax1 ) 又 0 ? x1 ?
2 所以 ax1 ? 2 , x2 ? x1 (2 ? ax1 ) ? 0 a

又 x2 ? ②

1 1 a 2 x 2 ? 2ax ? 1 (ax ? 1) 2 1 ? x1 (2 ? ax1 ) ? ? ? ?? ? 0 ,所以 0 ? x 2 ? a a a a a

因 x2 ? x1 ? x1 (2 ? ax1 ) ? x1 ? x1 ? ax12 ? x1 (1 ? ax1 ) 且 0 ? x1 ?

1 , a

所以 x 2 ? x1 ? 0 ,即 x1 ? x2 。 又 x2 ? 2 x1 ? x1 (2 ? ax1 ) ? 2 x1 ? ?ax12 ? 0 ,所以 x 2 ? 2 x1 故当 0 ? x1 ?
1 时,有 x1 ? x2 ? 2 x1 a

20.解:(1) 设点 N ( x, y ) , P(0, y1 ) , M ( x2 ,0) 则 PM ? ( x 2 ,? y1 ) , PF ? (a, y1 ) , PN ? ( x, y ? y1 ) ,
75

?ax2 ? y12 ? 0 ? ? x ? x2 ? 0 ?? 2 y ? y ? 0 1 ?

消 x 2 , y1 得 y 2 ? 4ax

所以点 N 的轨迹 C 的方程为

y 2 ? 4ax ( 解答省略)

(2) 依题意直线 l 的方程可设为: y ? kx ? ka(k ? 0)
?y ? kx? ka 联立方程组 ? 2 消 x 得: ky2 ? 4ay ? 4a 2 k ? 0 ? y ? 4ax

设 A(

y12 y2 y2 , y1 ) , B ( 2 , y 2 ) ,则 KA ? ( 1 ? a, y1 ) 4a 4a 4a
2 y12 y 2 1 2 ? ( y12 ? y 2 ) ? a 2 ? y1 y 2 2 4 16 a

KB ? (

2 y2 ? a, y 2 ) 4a

KA ? KB ? ?

?(

y1 y 2 y y 1 ? a) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 0 (当且仅当 1 2 ? a ? 0 和 y1 ? y 2 ? 0 同时成立时取等 4 4a 4a

号) 又直线 l 不与 x 轴垂直,所以 y1 ? y 2 ? 0 , cos? ?
KA ? KB KA ? KB ? 0 ,0 ?? ?

?
2

故: 0 ? ? ?

?
2



2007 年高考数学知识与能力测试题参考答案(六)
(理
一、答案:1-4,CABB ;5-8, CCDA. 提示: 1. M ? {x | ?2 ? x ? 2} N ? {x | ?1 ? x ? 3} , M ? N ? {x | ?1 ? x ? 2}

科)

76

2.

100 ? 50 ? 5 1000

3. 略 4. 由 z ? 5. 略 6.由 (| a ? b |) 2 ? | a | 2 ?| b | 2 ?2 | a | ? | b | cos ? a, b ?? 37 7. Tr ?1 ? C5r (ax) 5?r ? (?1) r ? (?1) r ? a 5?r ? C5r ? x 5?r 由5 ? r ? 3得 r ? 2,
3 ? 80 得 由 a3 ? C 5
a ? 2

1 1 1 1 1 ? ? i,z ? ? i 1? i 2 2 2 2



8. 输出的数是 2+4+6+?+98=2450。

二、答案:9. {x | x ? 0,或x ? 2} , (2,??) ; 10. ? ; 11.
88 ; 12. 8; 13. x ? ?2 ; 14.(1) a 2 ? b 2 ,(2) 41
3 ? 1 ,(3) x ? 2 。

提示: 9.由 x 2 ? 2 x ? 0 得 x ? 0 或 x ? 2 ,定义域为 {x | x ? 0,或x ? 2} ;
2 ? 2 x2 设 2 ? x1 ? x 2 ,则 0 ? x12 ? 2 x1 ? x2
2 ( x1 ? 2 x1 ) 2 ( x2 ? 2 x2 )

log 1
2

? log 1
2

10.原函数化简得 y ?

5 sin(2 x ? ? ) , T ? ? 2
S n 5n ? 3 ? Tn 2n ? 7

{bn } ,前 n 项和为 S n、Tn ,则 11. 设两个等差数列分别为 {a n }、

77

a1 ? a17 ? 17 a9 a1 ? a17 S 88 2 ? ? ? 17 ? b1 ? b17 b9 b1 ? b17 T17 41 ? 17 2

12. ? (4 ? 2 x)( 4 ? 3x 2 )dx ?? (16 ? 8 x ? 12 x 2 ? 6 x 3 )dx ?(16 x ? 4 x 2 ? 4 x 3 ?
0 0

2

2

3 4 2 x ) |0 ? 8 2

13. 略 14. (1) a 2 ? b 2
易证线段 BD 即为两条异面直线 AD与BC 的公垂线段,从而异 直线 AD与BC 间的距离等于 a ? b
2 2

(2)化为直角坐标,得 P( 3,?1) ,直线 l:x ? 3 y ? 2 ? 0 ,由点到直线的距离为
d? | 3? 3?2| 1? 3 ? 3 ?1 。

(3) 略 15. 解: (1)∵ tan

?
2

?2

∴ tan? ?

2 tan

?
2

1 ? tan 2

?
2

??

4 3

4 ? tan? ? 1 ? ? 1 ? 1 ? tan? 4 7 1 ? tan? ? tan 4 4 (2)由(1)知, tan ? ? ? , 3 6 sin ? ? cos? 6 tan? ? 1 7 所以 ? ? . 3 sin ? ? 2 cos? 3 tan? ? 2 6 tan(? ? )?
16. 解:因为 ? 为抽到的 2 球的钱数之和,则 ? 可能取的值为 2,6,10.
P (? ? 2) ?
1 1 2 C82 28 C8 C 2 16 C2 1 ? P ( ? ? 6 ) ? ? P ( ? ? 10 ) ? ? , , 2 2 2 45 C10 45 C10 C10 45

?

tan? ? tan

?

E? ? 2 ?

28 16 1 162 18 ? 6 ? ? 10 ? ? ? 45 45 45 45 5

78

设 ? 为抽奖者获利的可能值,则? ? ? ? 5 ,抽奖者获利的数学期望为
18 7 ?5 ? ? 5 5 7 故,抽奖人获利的期望为- . 5 E? ? E (? ? 5) ? E? ? 5 ?

17. 解: f ( x) ? a ? b ? x 2 (1 ? x) ? t (1 ? x) ? ? x 3 ? x 2 ? tx ? t
f ' ( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? t

欲使函数 f ( x) 在 (?1,1) 上是增函数,仅须在 (?1,1) 上 f ( x) ? 0 ,
' ? ?t ? 5 ? 0 ? f ( ?1) ? 0 即 ? ' 也就是 ? 解得 t ? 5 ? ?t ? 1 ? 0 ? f (1) ? 0

故 t 的取值范围是 ?5,??? 。 18. 方法 1(坐标法解答前两问) (1)证明:以 D 为原点, DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴建立直角坐 标系,设正方体的棱长为 2a ,则
D(0,0,0) , A(2a,0,0) , C (0,2a,0) , D1 (0,0,2a) E (2a,2a, a) , F (0, a,0) , A1 (2a,0,2a)
AD ? (?2a,0,0) , D1 F ? (0, a,?2a) AD ? D1 F ? ?2a ? 0 ? a ? 0 ? 0 ? (?2a) ? 0 AD ? D1 F ,即 AD ? D1 F

(2)解:由(1)得

AE ? (0,2a, a) , D1 F ? (0, a,?2a )

AE ? D1 F ? 0 ? 0 ? 2a ? a ? a ? (?2a) ? 0 即 AE ? D1 F

故直线 AE 与 D1 F 所成的角为 90 0 。 (3)证明:由(1) 、 (2)得: D1 F ? AD , D1 F ? AE , D1 F ? 平面AED
79

平面A1 D1 F ? 平面AED ,即 平面AED ? 平面A1 D1 F

方法 2(综合法) (1) 证明:∵ ABCD ? A1 B1C1 D1 是正方体 ∵ DF1 ? 平面DCC1 D1 ∴ AD ? D1 F ∴ AD ? 平面DCC1 D1

(2) 设 G 为 AB 的中点,连接 A1G 、 FG , 因为 F 是 CD 的中点,所以 GF // AD ,且 GF ? AD 。 又 A1 D1 // AD ,且 A1 D1 ? AD ,所以四边形 GFD1 A1 是平行四边形, A1G // D1 F 。 设 A1G 与 AE 相交于 H ,则 ?A1 HA 是 AE 与 D1 F 所成的角。 因为 E 是 BB1 的中点,所以 ?A1 AG ≌ ?ABE , ?GA1 A ? ?GAH ,从而 ?A1 HA ? 90 0 , 故直线 AE 与 D1 F 所成的角为 90 0 。 (3)与上面解法相同。
2 a12 a2 ? a 2 ? 2a1 , ? a1 ? 2a 2 19.(1) 证明: ∵ a1 , a 2 是正数,∴ a2 a1

a12 a2 ? a 2 ? 2 ? a1 ? 2a1 ? 2a 2 a2 a1



2 a12 a 2 ? ? a1 ? a 2 a 2 a1

(2) 若 a1 , a 2 ,?, a n 都是正数,

2 a2 a2 a12 a 2 ? ? ? n ? n ? a1 ? a 2 ? ? a n a 2 a3 a n ?1 a1 2 a12 a2 ? a 2 ? 2a1 , ? a1 ? 2a 2 ∴ a2 a1

证明: ∵ a1 , a 2 ,?, a n 都是正数

???,

2 an a2 ?1 ? a n ? 2a n ?1 , n ? a1 ? 2a n an a1

2 a2 a2 a12 a 2 ? ? ? n ? n ? a1 ? a 2 ? ? a n a 2 a3 a n ?1 a1

80

20. 解:(1) 椭圆 C1 的焦点 F1 (? 3 ,0) 、 F2 ( 3,0) ,左右顶点 D1 (?2,0) 、 D2 (2,0) 。 设双曲线 C 2 的方程为 则
x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2

a ? 3 , a2 ? b2 ? 4 , b2 ? 1

故 C 2 的方程为

x2 ? y2 ? 1。 3

?y ? kx? 2 ? (2)联立方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?3

消 y 得: (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0

2 ? ?1 ? 3k ? 0 由直线 l 与双曲线 C 2 交于不同的两点得: ? 2 2 ? ?(6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 0

? 2 1 ?k ? 即 ? 3 ?k 2 ? 1 ?

于是 k 2 ? 1 ,且 k 2 ?

1 3

??????①

? 6 2k x1 ? x 2 ? ? ? 1 ? 3k 2 设 A( x1 , kx1 ? 2 ) 、 B( x2 , kx2 ? 2 ) ,则 ? ?x x ? ? 9 1 2 ? 1 ? 3k 2 ?
OA ? OB ? x1 x2 ? (kx1 ? 2 )( kx2 ? 2 ) ? (1 ? k 2 ) x1 x 2 ? 2k ( x1 ? x 2 ) ? 2

?

? 9 ? 9k 2 12 k 2 3k 2 ? 9 ? ? 2 ? ?2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 3k 2 ? 9 1 ? 0 ,解得 ? k2 ? 3 2 3 1 ? 3k

又 OA ? OB ? 2 ,所以

?????②

由①和②得

1 ? k2 ?1 3



3 3 ? k ? 1 或 ?1 ? k ? 3 3

81

故 k 的取值范围为 (?1,

3 3 ) ? ( ,1) 。 3 3

82


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2007年高考数学(理科)试卷及答案(江苏卷) - 2007 年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.本...
2007年高考理科综合试题及参考答案(北京卷).doc
2007年高考理科综合试题及参考答案(北京卷) - 页眉内容阅读使人充实,会谈使人敏捷,写作使人精确。培根 2007 年普通高等学校招生全国统一考试 理科综合能力测试...
2007年天津高考理科数学试卷含答案.doc
2007年天津高考理科数学试卷含答案_高考_高中教育_...6 小题,每小题 4 分,共 24 分,把答案填在题...选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分...
2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案).doc
2018年全国各地高考数学(理科试卷及答案) - 2018 年高考数学理科试卷(江苏卷) 数学Ⅰ 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案...
人教版最新高考数学复习知识与能力测试题(二)附参考答案.doc
教学资料参考参考范本人教版最新高考数学复习知识与能力测试题(二)附参考答案 ___年___月___日 ___部门 1 / 11 (附参 教学资料参考参考范本...
山东省2019年高考数学试卷(理科)以及答案解析.doc
6 页(共 22 页) 山东省 2019 年高考理科数学试卷答案解析 一、选择题:本题...B. 【点评】本题考查简单的推理估算,考查运算能力和推理能力,属于中档题. ...
2007年高考数学(理科)试卷及答案(安徽卷).doc
{B 2007 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数学(理科) 参考答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 55 分。 1.D 7.A 2....
2005年高考理科数学全国卷Ⅲ试题及答案.doc
2005年高考理科数学全国卷Ⅲ试题及答案_高考_高中...第6页 (共 9 页) 2005 年高考数学试卷及答案 ...与抛物线等基础知识,考察逻辑推理能力和综合分析、...
2006年高考理科数学试题及答案(福建卷).doc
2006年高考理科数学试题及答案(福建卷) - 2006 年高考试题理科数学(福建卷) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个...
2006年福建高考数学试题(理科)及答案解析.doc
2006年福建高考数学试题(理科)及答案解析 - 2006 年福建高考数学试题(理科) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个...
2006年湖北高考数学试题(理科)及答案.doc
2006年湖北高考数学试题(理科)及答案 - 2006 年湖北高考数学试题(理科) 一、选择题:本大题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,...
999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案.doc
999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案_...? 5 ? 轴对称 6 (C)点(2, ? ) 中心对称...本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给了...
1999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案.doc
1999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案_...? 5 ? 轴对称 6 (C)点(2, ? ) 中心对称 (...本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给了...
2015年新课标1高考数学试题及答案(理科)【解析版】.doc
2015年新课标1高考数学试题及答案(理科)【解析版】 - 2015 年全国统一高考数学试卷(理科) (新课标 1) 一.选择题(共 12 小题) 1. 【2015 新课标 1】设...
2007年全国高考理科综合二试题卷物理部分及解析(word版本).doc
y E A C O y 2007 年普通高等学校招生全国统一考试试题卷理科综合能力测试(Ⅱ) 物理部分试题解析 解析: 14。答案:A 解析:当气体体积增大时,气体一定对个做功...
2007全国卷1理综物理部分试卷和答案.doc
2007全国卷1理综物理部分试卷和答案_高考_高中教育_教育专区。2007 全国卷 1 理综物理部分试卷和答案 2007 年普通高等学校夏季招生考试理科综合能力测试(全国Ⅰ) 一...
2019年山东省济南市高考数学一模试卷及参考答案(理科).pdf
6 页(共 19 页) 2019 年山东省济南市高考数学一模试卷(理科) 参考答案与...不等式性质等基础知识,考查运算求解 能力,是基础题. 3.【解答】解:{an}为...
江苏省高考数学试题及答案(理科)【解析版】.doc
江苏省高考数学试题及答案(理科)【解析版】 - 2015 年江苏省高考数学试卷 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分) 1.(5 分)(2015?...
1999年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答案.doc
1999 年全国统一高考数学试卷(理科)及其参考考答 案本试卷分第 I 卷(选择题)...6 参考答案说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给了一种...