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2011届高考数学第一轮复习课件之等差数列


第2课时

等差数列

基础知识梳理
1.等差数列的定义 . 如果一个数列从第2项起 项起, 如果一个数列从第 项起,每一项与 它的前一项的差都等于 同一个常数 ,那么 这个数列就叫做等差数列. 这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做 表示, 等差数列的 公差,通常用 d 表示,其符号 语言为: 为常数). 语言为: an-an-1=d (n≥2,d为常数 . , 为常数 -

基础知识梳理
2.等差数列的通项公式 . 若等差数列{a 的首项为 的首项为a 若等差数列 n}的首项为 1,公差 - 是d,则其通项公式为 an=a1+(n-1)d . ,

基础知识梳理
已知等差数列{a 的第 项为a 的第m项为 已知等差数列 n}的第 项为 m, 公差为d,则其第n项 能否用a 公差为 ,则其第 项an能否用 m与d表 表 示? 【思考提示】 能,an=am+(n 思考 提示】 提示 -m)d.

基础知识梳理
3.等差中项 . 如果三个数a, , 成 如果三个数 ,A,b成 等差数列 , 叫做a和 的等差中项 的等差中项, 则A叫做 和b的等差中项,且有 叫做 a+b + A= 2 . =

基础知识梳理
4.等差数列的前n项和公式 .等差数列的前 项和公式 n(n-1) - n(a1+an) na1+ d 2 S n= 2 = .

三基能力强化
1.(2009 年高考辽宁卷改编 n}为等 . 年高考辽宁卷改编){a 为等 1 差数列, =-1, =- 差数列,且 a7-2a4=- ,d=- ,则 a3 2 ) =( A.- .-2 B.0 .- . 1 C. D.1 . 2

答案: 答案:B

三基能力强化
2.{an}是首项 1=1,公差 =3的 . 是首项a 是首项 ,公差d= 的 等差数列, 等差数列,若an=292,则序号 等于 ,则序号n等于 ( ) A.98 B.99 . . C.100 D.101 . . 答案: 答案:A

三基能力强化
3.在等差数列{an}中,a3+a21= .在等差数列 中 4,则其前 项的和为 项的和为( ) ,则其前23项的和为 A.10 B.12 . . C.46 D.52 . . 答案: 答案:C

三基能力强化
4. . (2009 年高考全国卷Ⅱ)设等差数 年高考全国卷Ⅱ 设等差数 列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a5=5a3,则 的前 S9 =________. S5

三基能力强化
解析:设等差数列的公差为d, 解析:设等差数列的公差为 , 首项为a 首项为 1, 3 则由 a5=5a3 知 a1=- d. 2 S9 9(a1+ 4d) ∴ = =9. S5 5(a1+ 2d) 答案:9 答案:

三基能力强化
5.(教材习题改编 已知 n}为等 . 教材习题改编 已知{a 为等 教材习题改编)已知 差数列, 差数列,a3+a8=22,a6=7,则a5= , , ________. 答案:15 答案:

课堂互动讲练
考点一 等差数列的判定

证明一个数列{a 是等差数列的 证明一个数列 n}是等差数列的 基本方法有两种: 基本方法有两种:一是利用等差数列 的定义法,即证明a + 的定义法,即证明 n+1-an= d(n∈N*),二是利用等差中项法,即 ∈ ,二是利用等差中项法, 证明: + ∈ . 证明:an+2+an=2an+1(n∈N*).在 +

课堂互动讲练
选择方法时, 选择方法时,要根据题目条件的特 如果能够求出数列的通项公式, 点,如果能够求出数列的通项公式, 则可以利用定义法,否则, 则可以利用定义法,否则,可以利用 等差中项法. 等差中项法.

课堂互动讲练
例1 已知数列{a 的通项公式 的通项公式a 已知数列 n}的通项公式 n=pn2 为常数). +qn(p,q∈R且p,q为常数 . , ∈ 且 , 为常数 (1)当p和q满足什么条件时,数列 满足什么条件时, 当 和 满足什么条件时 {an}是等差数列; 是等差数列; 是等差数列 (2)求证:对任意实数 和q,数列 求证: 求证 对任意实数p和 , {an+1-an}是等差数列. 是等差数列. 是等差数列 +

课堂互动讲练
【思路点拨】 由等差数列的定义知 思路点拨】 {an}是等差数列的充要条件是 n+1-an是 是等差数列的充要条件是a 是等差数列的充要条件是 + 一个与n无关的常数 无关的常数. 一个与 无关的常数. 【解】 (1)an+1-an=[p(n+1)2+q(n + + +1)]-(pn2+qn)=2pn+p+q. - = + + 要使{a 是等差数列 是等差数列, 要使 n}是等差数列,则2pn+p+q应 + + 应 是一个与n无关的常数 无关的常数, 只有2p= , 是一个与 无关的常数,∴只有 =0,即 p=0. = 故当p=0时,数列{an}是等差数列. 故当 = 时 数列 是等差数列. 是等差数列

课堂互动讲练
(2)证明:∵an+1-an=2pn+p+q, 证明: 证明 + + , + ∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q. + + + + + 而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为 = 为 + + - + 一个常数, 一个常数, 是等差数列. ∴{an+1-an}是等差数列. 是等差数列 + 误区警示】 【误区警示】 在(2)中,要证明 n 中 要证明(a 是一个与n无关的 是一个与 + - + +2-an+1)-(an+1-an)是一个与 无关的 是一个常数. 常数,而不是证a + 常数,而不是证 n+1-an是一个常数.

课堂互动讲练
考点二 等差数列的基本运算

1. . 等差数列的通项公式 an=a1+(n n(a1+an) -1)d 及前 n 项和公式 Sn= = 2 n(n-1) - na1+ d,共涉及五个量 a1,an, , 2 d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个, 知其中三个就能求另外两个, ,, 体现了用方程的思想解决问题. 体现了用方程的思想解决问题.

课堂互动讲练
2.数列的通项公式和前n项和公 .数列的通项公式和前 项和公 式在解题中起到变量代换作用, 式在解题中起到变量代换作用,而a1 是等差数列的两个基本量, 和d是等差数列的两个基本量,用它 是等差数列的两个基本量 们表示已知和未知是常用方法. 们表示已知和未知是常用方法.

课堂互动讲练
例2 已知等差数列 n}中,a15=33, 已知等差数列{a 中 , a61=217,试探究 ,试探究153是不是这个数列 是不是这个数列 的项,如果是,是第几项?若不是, 的项,如果是,是第几项?若不是, 说明理由. 说明理由.

课堂互动讲练
【思路点拨】 求出通项公式, 思路点拨】 求出通项公式, 代入判断. 将153代入判断. 代入判断 设等差数列{a 的首项 【解】 设等差数列 n}的首项 为a1,公差为d, 公差为 , 则an=a1+(n-1)d. -

课堂互动讲练
a1+ (15-1)d=33 - = 由已知 , - = a1+ (61-1)d=217 a1=-23 =- . ∴ = d= 4

=-23+ - × = - ∴an=- +(n-1)×4=4n-27. 令an=153,即4n-27=153, , - = , ∴n=45. = 是等差数列的项, ∴153是等差数列的项,是第 是等差数列的项 是第45 项.

课堂互动讲练
【名师点评】 在等差数列的五 名师点评】 个基本量a 个基本量 1,d,an,Sn,n中,"知三 , 中 知三 求二"是一种基本运算 是一种基本运算, 求二 是一种基本运算,一般方法是 利用通项公式和前n项和公式,通过 利用通项公式和前 项和公式, 项和公式 列方程组求解. 列方程组求解.判断是否是数列中的 项的问题,一般有两种解法: 项的问题,一般有两种解法:一是对 所要判断的式子进行变形, 所要判断的式子进行变形,看其是否 与通项公式一致; 与通项公式一致;二是假设其是数列 的项,列出等式解出n,看所解出的n 的项,列出等式解出 ,看所解出的 是否为正整数. 是否为正整数.

课堂互动讲练
互动探究 若题目条件不变, 若题目条件不变,设p,q∈N*. , ∈ 试判断apaq是否仍为数列{an}中的 试判断 是否仍为数列 中的 并说明理由. 项,并说明理由. 解:因an=4n-27. - apaq=(4p-27)(4q-27)=16pq- - - = - 108(p+q)+272 + + =4[4pq-27(p+q)+189]-27, - + + - , ∵4pq-27(p+q)+189∈N*, - + + ∈ 仍为数列{a 中的项 中的项. ∴apaq仍为数列 n}中的项.

课堂互动讲练
考点三 等差数列的性质

已知数列{a 是等差数列 是等差数列, 已知数列 n}是等差数列,Sn是 其前n项和 项和. 其前 项和. (1)若m+n=p+q,则am+an=ap 若 + = + , + a q. 若m+n=2p,则am+an=2ap. + = , (2)am,am+k,am+2k,am+3k,… + + + 仍是等差数列,公差为kd. 仍是等差数列,公差为

课堂互动讲练
(3)数列 m,S2m-Sm,S3m- 数列S 数列 S2m,…也是等差数列. 也是等差数列. 也是等差数列 (4)S2n-1=(2n-1)an. - -
n (5)若 n 为偶数, S 偶-S 奇 = d. 若 为偶数, 则 2 n为奇数 为奇数, (中 若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中 间项). 间项 . (6)数列 数列{can},{c+an},{pan+ 数列 , + , qbn}也是等差数列,其中 ,p,q均为 也是等差数列, 也是等差数列 其中c, , 均为 是等差数列. 常数, 是等差数列 常数,{bn}是等差数列.

课堂互动讲练
例3 (1)设等差数列 n}的前 项和为 n, 设等差数列{a 的前 项和为S 的前n项和为 设等差数列 已知前6项和为 项和为36, 已知前 项和为 ,Sn=324,最后 项的 ,最后6项的 和为180(n>6),求数列的项数 及a9+ 和为 > ,求数列的项数n及 a10; (2)等差数列 n},{bn}的前 项和分别 等差数列{a , 的前n项和分别 等差数列 的前 - Sn 3n-1 a8 的值. 为 Sn,Tn,且 = ,求 的值. Tn 2n+3 b8 +

课堂互动讲练
可利用前6项 【思路点拨】 (1)可利用前 项 思路点拨】 可利用前 与后6项的和及等差数列的性质求出 项的和及等差数列的性质求出a 与后 项的和及等差数列的性质求出 1 的值,然后利用前n项和公式求出 +an的值,然后利用前 项和公式求出 项数n. 项数 (2)可利用中项公式求解. 可利用中项公式求解. 可利用中项公式求解

课堂互动讲练
由题意可知a 【解】 (1)由题意可知 1+a2 由题意可知 +…+a6=36① + ① an+an-1+an-2+…+an-5=180 + - - - ② ①+②得 (a1+an)+(a2+an-1)+…+(a6+ + + - + an-5)=6(a1+an)=216, = , - = ∴a1+an=36.

课堂互动讲练
n(a1+ an) 又 Sn= = 324, , 2 ∴18n=324. = n= ∴n=18. ∴a1+a18=36. ∴a9+a10=a1+a18=36.

课堂互动讲练
- Sn 3n- 1 (2)∵ = ∵ , Tn 2n+ 3 + × - S15 3×15-1 44 4 ∴ = = = . T15 2×15+3 33 3 × + 15(a1+ a15) ∵S15= =15a8, 2 15(b1+ b15) T15= =15b8, 2 a8 15a8 S15 4 ∴ = = = . b8 15b8 T15 3

课堂互动讲练
【名师点评】 (1)中解法运用了 名师点评】 中解法运用了 倒序求和的方法和等差数列的性质, 倒序求和的方法和等差数列的性质, 若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则 + = + , , , ∈ , am+an=ap+aq,从中我们可以体会 运用性质解决问题的方便与简捷, 运用性质解决问题的方便与简捷,应 注意运用; 注意运用; (2)小题中,直接得出 n=(3n- 小题中, 小题中 直接得出S - 1)k,Tn=(2n+3)k,然后求 8,b8.这 + ,然后求a 这 , 种做法是错误的. 种做法是错误的.

课堂互动讲练
考点四 等差数列前n项和的最值 等差数列前 项和的最值

求等差数列前n项和 求等差数列前 项和Sn的最值问 项和 主要有以下方法: 题,主要有以下方法: (1)二次函数法:将Sn看作关于 二次函数法: 看作关于n 二次函数法 的二次函数,运用配方法, 的二次函数,运用配方法,借助函数 的单调性及数形结合,使问题得解; 的单调性及数形结合,使问题得解; (2)通项公式法:求使 n≥0(或 通项公式法: 通项公式法 求使a 或 an≤0)成立的最大 值即可得 n的最大 成立的最大n值即可得 成立的最大 值即可得S (或最小 值; 或最小)值 或最小

课堂互动讲练

(3) 不 等 式 法 : 借 助 Sn 最 大 时 , 有
Sn≥ Sn- 1, 的范围, 解此不等组确定 n 的范围,进 Sn≥ Sn+ 1,

的值(即 的最值). 而确定 n 的值和对应 Sn 的值 即 Sn 的最值 .

课堂互动讲练
例4 (解题示范 本题满分12分) 解题示范)(本题满分 分 解题示范 本题满分 在等差数列{a 中 在等差数列 n}中, (1)若a1=20,前n项和为 n,且 项和为S 若 , 项和为 S10=S15,求当 取何值时,Sn最大, 求当n取何值时 取何值时, 最大, 并求出它的最大值; 并求出它的最大值; (2)若a1<0,S9=S12,则该数列 若 , 前多少项的和最小? 前多少项的和最小?

课堂互动讲练
【思路点拨】 我们可以通过分 思路点拨】 析数列中各项的正, 析数列中各项的正,负号确定前多少 项的和最大, 项的和最大,也可以利用二次函数求 最大值. 最大值.

课堂互动讲练
【解】 (1)由a1=20,S10=S15, 由 , 5 1分 解得公差 d=- . =- 3 ∵S10=S15, ∴S15-S10=a11+a12+a13+a14+ a15=0. 3分 分 ∵a11+a15=a12+a14=2a13, ∴a13=0. ∵公差d<0,a1>0, 公差 < , ,

课堂互动讲练
均为正数, ∴a1,a2,…,a11,a12均为正数, , 及以后各项均为负数. 而a14及以后各项均为负数. ∴当n=12或n=13时, = 或 = 时 Sn有最大值为S12=S13=130. 6分 有最大值为 分

课堂互动讲练
(2)设数列 n}的公差为 ,则由题意得 设数列{a 的公差为 的公差为d, 设数列
1 1 9a1 + ×9×(9 - 1)d = 12a1 + × 2 2 ×12×(12-1)d, × - ,

=-30d,∴a1=- =-10d. 即3a1=- , ∵a1<0,∴d>0. , >

8分 分

课堂互动讲练
1 1 2 21 ∴Sn= na1+ n(n-1)d= dn - dn - = 2 2 2 d 21 2 441d . 10 分 = (n- ) - - 2 2 8 有最小值, ∴Sn 有最小值,又 n∈N*, ∈ 取最小值. ∴n=10 或 n=11 时,Sn 取最小值 = =

12 分

课堂互动讲练
d 误区警示】 【误区警示】 (2)小题中 Sn= (n- 小题中 - 2 21 2 441d )- 要注意 n∈N*,而不能答成 n ∈ 2 8 21 时取最小值. = 时取最小值. 2

课堂互动讲练
高考检阅 (本题满分 分)设等差数列 n} 本题满分12分 设等差数列 设等差数列{a 本题满分 的首项a 及公差d都为整数 都为整数, 的首项 1及公差 都为整数,前n项和 项和 为 S n. (1)若a11=0,S14=98,求数列 若 , , {an}的通项公式; 的通项公式; 的通项公式 (2)若a1≥6,a11>0,S14≤77,求所 若 , , , 的通项公式. 有可能的数列{a 的通项公式 有可能的数列 n}的通项公式.

课堂互动讲练
解:(1)由S14=98得2a1+13d= 由 得 = 14,又a11=a1+10d=0, , = , 故解得d=- =-2, 2分 故解得 =- ,a1=20. 分 因此,{an}的通项公式是 因此, 的通项公式是 an=22-2n,n=1,2,3,….5分 - , = , 分

课堂互动讲练
S14≤ 77, , , (2)由a11>0, 由 a1≥ 6. 2a1+ 13d≤ 11, 13d≤11, , 得a1+ 10d>0, , a1≥ 6,

7分

课堂互动讲练
2a1+ 13d≤11,① ≤ , , 即-2a1-20d<0,② ③ - 2a1≤- 12.③

11 由①+②得-7d<11,即 d>- . , - 7 1 由①+③得 13d≤- 1,即 d≤- . ≤ , ≤ 13 1 11 于是- ≤ 于是- <d≤- . 13 7

8分 9分

课堂互动讲练
=-1.④ 又d∈Z,故d=- ④ ∈ , =- 代入①② ①②得 将④代入①②得10<a1≤12.11分 分 又a1∈Z,故a1=11或a1=12. , 或 所以,所有可能的数列{an}的通 所以,所有可能的数列 的通 项公式是a 项公式是 n=12-n和an=13-n,n= - 和 - , = 1,2,3,….12分 , 分

规律方法总结
1.等差数列的单调性 . 是递增数列. 当d>0时,{an}是递增数列. > 时 是递增数列 是常数列. 当d=0时,{an}是常数列. = 时 是常数列 当d<0时,{an}是递减数列. < 时 是递减数列. 是递减数列

规律方法总结
2.等差数列的前n项和 n .等差数列的前 项和 项和S (1)等差数列的前 项和 n是用倒 等差数列的前n项和 等差数列的前 项和S 序相加法求得的. 序相加法求得的.注意这种思想方法 在数列求和中的应用. 在数列求和中的应用.

规律方法总结
(2)等差数列的通项公式 an= a1+ (n 等差数列的通项公式 n(a1+an) -1)d 及前 n 项和公式 Sn= =na1 2 n(n-1) - d,共涉及五个量 a1,an,d,n, + , , , 2 Sn,知其三就能求另二,体现了用方程的 知其三就能求另二, 思想解决问题. 思想解决问题.

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