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高中数学课件 2.2.1 向量减法运算及其几何意义


练习:判断下列命题是否正确。

??? ??? ??? ? ? ? ? ②△ABC中,必有 AB ? BC ? CA ? 0 ; ??? ??? ??? ? ? ? ? ③若 AB ? BC ? CA ? 0 ,则A、B、C为一个三角形的三个顶点;

? ? ①如果模不相等的非零向量 a 与 b 的方向相同或相反,那么 ? ? ? ? a ? b 的方向必与 a, b 其中之一的方向相同;

? ? ? ? ? ? ④若 a, b 均为非零向量,则 | a ? b | 与 | a | ? | b | 一定相等.

? ? 与向量 a长度相等,方向相反的向量,叫做 a 的相反向量, ? 记作 ? a .
注:1.零向量的相反向量仍是零向量; 2.任一向量与其相反向量的和是零向量;
B

? b
A

??? ? ??? ? 重要提示 : AB ? ? BA
C

? a

? ?b
D E

? ? ? ? ???? ???? ??? ??? ? ? a ? b ? a ? (?b) ? AC ? AD ? AE ? BC

??? ??? ??? ? ? ? 即 AC ? AB ? BC

向量的减法:
? a

? b
B

? b

O

? a
? ? a ?b

A

起 点 相 同

? ? ??? ? ??? ? ? ? 已知向量 a 、 , 在平面内任取一点O,作OA ? a, OB ? b, b ??? ? ? ? ? ? 则向量 BA叫做 a与b 的差,记作 a ? b, 即 ? ? ??? ??? ??? ? ? ? a ? b ? OA ? OB ? BA 这种求向量差的方法,叫做向量减法的三角形法则。

指向被减向量

? ? ? ? 思考:若向量a、 共线,则应怎样作出 a ? b 呢? b

? a
b
(1)
O A B

? a
b
(2)

?? ? ? ? ? 若 a,方向相反, | a ? b |?| a | ? | b | b ? ?? ? ? ? ? ? ? 若 a,方向相同, | a ? b |?| a | ? | b (或 | b | ? | a |) b ? | ?? ? ? ? ? 若a,不共线,则 | a ? b |?| a | ? | b | b ?? ? ? ? ? ? ? 对任意两个向量a, b ,有|| a | ? | b || ?| a ? b |?| a | ? | b |

? ? a ?b

B

? ? a ?b

O

A

例1.已知向量 a , b, c , d , 求作向量 a ? b, c ? d . B D C A

b a
作法 :

d

c a

b
O?

d

c

1.在平面上任取点 O , 作OA ? a , OB ? b, OC ? c , OD ? d . 2.作 BA, DC , 则BA ? a ? b, DC ? c ? d为所求.

例2.已知平行四边形ABCD, AB ? a , AD ? b, 用 a , b 表示向量 AC , DB
解:有向量加法的平行四边形法则, A 得 ???? ? ?

D

C

b a
B

AC ? a ? b;

由向量的减法可得,

??? ??? ???? ? ? ? ? DB ? AB ? AD ? a ? b.

??? ??? ? ? ???? ??? ? 例3.化简: ( AB ? CD) ? ( AC ? BD)

??? ? ??? ? 重要提示 : AB ? ? BA


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