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4.1.6空间直角坐标系


空间直角坐标系

1.数轴Ox上的点M,用代数的方法怎样表示呢? 数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示; x 2.直角坐标平面上的点M,怎样表示呢?
O M x

直角坐标平面上的点M,可用一对有序实数(x,y) 表示. y

y O

A(x,y) x x

下图是一个房间的示意图,我们 来探讨表示电灯位置的方法.
z
4 3

墙 墙 地面
4

1

(4,5,3)
5

O 1

y

x

从空间某一个定点0 引三条互相垂直且有相 同单位长度的数轴,这 样就建立了空间直角坐 标系0-xyz.

z

o

y

x 点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做 坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面,分别称为xoy平面、 yoz平面、和 Zox 平面.

在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向, 食指指向y轴的正方向,若中 指指向z轴的正方向,则称这 个坐标系为右手直角坐标系.

说明: ☆本书建立的坐标系
都是右手直角坐标系.
x

z

o

y

空间直角坐标系的画法:
z

1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 而z轴垂直于y轴.
1350 o 2.y轴和z轴的单位长度相同,

x轴上的单位长度为y轴(或z 轴)的单位长度的一半.

1350

y

x

合作探究:
有了空间直角坐标系,那空间中的 任意一点A怎样来表示它的坐标呢?
z

z

A(x,y,z)

o
x

y

y

经过A点作三个平面 分别垂直于x轴、y轴和z轴, 它们与x轴、y轴和z轴分别 交于三点,三点在相应的 坐标轴上的坐标x,y,z组成 的有序实数对(x,y,z)叫做 点A的坐标

x

记为:A(x,y,z)

空间直角坐标系
这样空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y, z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M 在此空 间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z).其中x 叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的 竖坐标. z
R

M

P

O
M’

Q

y

x

例1
在空间直角坐标系中,作出点(5,4,6). z 分析:
从原点出发沿x轴 O P1 正方向移动5个单位 沿与y轴平行的方向 5o P1 P P1 向右移动4个单位
2


P(5,4,6)


y
P2

P 沿与z轴平行的方向 P x 向上移动6个单位
2

例2、如图,在长方体OABC ? D?A?B?C ?中, ? 3, OA OC ? 4, D? ? 2,写出D?,C,A?,B?四点的坐标。 O

z
2 D '(0, 0, 2)

C'

(3,0,2)
3

A' B ' (3, 4, 2)
4

y

o

C (0, 4, 0)

x A

B (3, 4, 0)

例3: 结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食 盐晶胞示意图(可看成是八个棱长为1/2 的小正方体堆积成的正方体),其中红 色点代表钠原子,黑点代表氯原子,如 图:建立空间直角
坐标系 O ? xyz 后, 试写出全部钠原子 所在位置的坐标。
y x

z

解:把图中的钠原子分成上、中、下三层来写 z

它们所在位置的坐标.
下层的原子全部在平面上,它们所 在位置的竖坐标全是0,所以这五个钠 原子所在位置的坐标分别是(0,0,0), (1,0,0),(1,1,0),(0,1,0), y 1 1 ( , ,0). 2 2 x 中层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为, 所以,这四个钠原子所在位置的坐标分别是

1 1 1 1 1 1 1 1 ( ,0, ),(1, , ),( ,1, ),(0, , ); 2 2 2 2 2 2 2 2

上层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为 1,所以,这五个钠原子所在位置的坐标分别是: (0,0,1),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),

1 1 ( , ,1). 2 2

复习知识:

平面直角坐标系对称点
横坐标相反, 纵坐标不变。

y

P2 (-x0 ,y0)

y0

P (x0,y0) x0 x

-x0

O

P3 (-x0 , -y0) -y0
横坐标相反, 纵坐标相反。

P1 (x0 , -y0)
横坐标不变, 纵坐标相反。

空间直角坐标系对称点
? 一般的P(x , y , z) 关于:

? (1)x轴对称的点P1为__________;

( x, ? y, ? z )

(? x, y, ? z ) ? (2)y轴对称的点P2为__________; (? x, ? y, z ) ? (3)z轴对称的点P3为__________;
z
关于谁对称谁不变

o
x

y

关于坐标平面对称
? 一般的P(x , y , z) 关于:

(x,y,-z) ? (1)xoy平面对称的点P1为__________; (-x,y, z) ? (2)yoz平面对称的点P 为__________;
2

(x, -y, z) ? (3)xoz平面对称的点P3为__________; 关于谁对称谁不变

z o x

y

练习3:
? 在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于

(-1,2,-3) y轴的对称点是_________
? 在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于

(1,-2,-3) x轴的对称点是_________
? 在空间直角坐标系中,点P(1,2,3)关于

z轴的对称点是________ (-1,-2,3)


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