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2.1.1 曲线与方程 课件(人教A版选修2-1)


第二章 圆锥曲线与方程 2.1 曲线与方程

2.1.1 曲线与方程

下图为卫星绕月球飞行示意图,据图回答下面问

题:假若卫星在某一时间内飞行轨迹上任意一点到月
球球心和月球表面上一定点的距离之和近似等于定值 2a,视月球为球体,半径为R,你能写出一个轨迹的方 程吗?

1.理解曲线与方程的概念、意义.(重点、难点) 2.了解数与形结合的基本思想.(难点)

探究点1

曲线的方程与方程的曲线

问题 1 :在直角坐标系中,平分第一、三象限的直 线和方程x-y=0有什么关系?

(1)在直线上任找一点 M ( x 0 , y 0 ),则 x 0 ? y 0,即( x 0 , y 0) 是方程x-y=0的解; x-y=0 y
(2)如果 ( x 0 , y 0 ) 是 x ? y ? 0的解,那么
O

M ( x0 , y0 )

以( x 0 , y 0 )为坐标的点在直线上 .

x

问题2:方程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 表示如图的圆, 图象上的点M与此方程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2, 有什么关系?

(1)圆上任一点
M ( x 0 , y 0 )的 坐标 是 方 程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 的解.
(2)若( x0 , y0 )是方程( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2的解,则以( x0 , y0 )
为坐标的点在以( a , b )为圆心, 以 r为半径的圆上 .
0 y
( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2

.

·

M ( x0 , y0 )

x

通过探究可知,在直角坐标系建立以后,平面内

的点与数对(x,y)建立了一一对应关系.点的运动形
成曲线C,与之对应的实数对的变化就形成了方程

f(x,y)=0.


按某种规律运动 曲线C 几何对象

坐标(x,y)

x,y制约关系

代数表示

方程f(x,y)=0

曲线的方程与方程的曲线

一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一

个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做 方程的曲线.

问题3:曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解, 能否说f(x,y)=0是曲线C的方程? 解:不能,还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标 的点是不是都在曲线上,如,以原点为圆心,以2为 半径的圆上半部分和方程 x 2 ? y 2 ? 4 . 【提升总结】 由曲线的方程的定义可知,如果曲线C的方程为 f(x,y)=0,那么点 P0 ( x 0 , y0 ) 在曲线C上的充分必要 条件是 f ( x 0 , y 0 ) ? 0.

问题4:曲线的方程与方程的曲线有什么区别? 曲线的方程与方程的曲线是两个不同的概念,

“曲线的方程”强调的是图形所满足的数量关系;而
“方程的曲线”强调的是数量关系所表示的图形.两

者通过曲线上的点的坐标建立起一一对应关系,使方
程成为曲线(几何图形)的代数表示,从而将研究曲

线的性质转化到讨论相应方程的问题上.

例1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k . 证明:(1)设 M ( x 0 , y 0 ) 是轨迹上的任意一点. 因为点M与x轴的距离为 y0 ,与y轴的距离为 x0 , 所以 x 0 ? y0 ? k ,

即( x 0 , y 0 ) 是方程 xy ? ? k的解 . (2)设点 M 1的坐标 ( x1 , y1 ) 是方程 xy ? ? k的解,则 x1 y1 ? ? k ,
即 x1 ? y1 ? k .

y1 正是点M1到纵轴、横轴的距离,因 而 x1 ,
此点M1到这两条直线的距离的积是常数k,点M1是

曲线上的点.
由(1)(2)可知, xy ? ? k 是与两条坐标轴的距离的

积为常数k(k>0)的点的轨迹方程.

例2 方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是 ( C )

解析:选C.方程x2+y2=1表示以原点为圆心,半径为1 的单位圆,而约束条件xy<0则表明单位圆上点的横、 纵坐标异号,即单位圆位于第二或第四象限的部分.
故选C.

【变式练习】

方程x2+xy=x表示的曲线是( C )
A.一个点 B.一条直线

C.两条直线

D.一个点和一条直线

解析:选C.由x2+xy=x,得x(x+y-1)=0, 即x=0或x+y-1=0. 由此知方程x2+xy=x表示两条直线. 故选C.

1.若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0
的解”是正确的,则下列命题为真命题的是( D ) A.不是曲线C上的点的坐标,一定不满足方程f(x,y) =0 B.坐标满足方程f(x,y)=0的点均在曲线C上

C.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线
D.不是方程f(x,y)=0的解,一定不是曲线C上的点 [思路探索] 从定义入手,考查定义中的两个条件.

2.下面四组方程表示同一条曲线的一组是( D ) A .y 2=x 与 y = x

B.y=lg x2 与 y=2lg x
y ? 1 C. =1 与 lg (y+1)=lg (x-2) x?2 D.x2+y2=1 与 |y|= 1 ? x 2

解析:选D.主要考虑x与y的范围.

3.方程y= x 2 ? 2 x ? 1 所表示的曲线是______.

解析 : y ? ( x ? 1) ? x ? 1
2

答案:以(1,0)为端点的两条射线

4.已知曲线C的方程为x= 4 ? y 2 ,说明曲线C是什 么样的曲线,并求该曲线与y轴围成的图形的面积. 解:由x= 4 ? y 2 ,得x2+y2=4,又x≥0, 所以方程x= 4 ? y 2 表示的曲线是以原点为圆心, 2为半径的右半圆, 从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆,
1 其面积S= π· 4=2π. 2

所以所求图形的面积为2π.

在轨迹的基础上将轨迹和条件化为曲线和方程, 当说某方程是曲线的方程或某曲线是方程的曲线时 就意味着具备上述两个条件,只有具备上述两个方 面的要求,才能将曲线的研究化为方程的研究,几何 问题化为代数问题,以数助形正是解析几何的思想, 本节课正是这一思想的基础.

所有的胜利,与征服自己的胜利比起来,

都是微不足道;所有的失败,与失去自己的
失败比起来,更是微不足道.


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