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参数方程与圆锥曲线汇编


2011 年高考试题数学(理科) 一、选择题: 1. (2011 年高考安徽卷理科 5)在极坐标系中,点 ( ? , ) 到圆 ?
?

?

? 2 co s ?

的圆心

的距离为 D
?
2

(A)2

(B)

4?

9

(C)

1?

?

2

(D)

3

9

2. (2011 年高考安徽卷理科 3)在极坐标系中,圆 ? ? ? 2 sin ? 的圆心的极坐标是 B A. (1, )
2 ?

B. (1, ? )
2

?

C. (1, 0)

D. (1, ? )

二、填空题: 1.(2011 年高考天津卷理科
? x ? 8t 2 , 11)已知抛物线 C 的参数方程为 ? (t ? y ? 8t.
2 2

为参数) ,

若斜率为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点, 且与圆 ( x - 4) 2
2

? y ? r( r ? 1) 相切, r = 则

2(2011 年高考江西理科 15)若曲线的极坐标方程为 ? = 2 sin ? + 4 cos ? , 以极点为原 点,极点为 x 的轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为 答案: x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 0 。

2、 ? 2 ? x 2 ? y 2 即可。根据已知 ?
2 2 2

? 2 sin ? ? 4 cos ?

= 2?

y

?

?4

x

?

, 化简可得:

? ? 2 y ? 4 x ? x ? y , 所以解析式为:

x ? y ? 4x ? 2 y ? 0
2 2

3. (2011 年高考湖南卷理科 9)在直角坐标系 x o y 中,曲线 C1 的参数方程为
? x ? co s ? , ? ? y ? 1 ? sin ?

( ? 为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xo y 取相同的长度单位,

且 以 原点 O 为极点 , 以 x 轴 正半 轴 为极 轴 )中 ,曲 线 C2 的 方 程 为
? ? c o s? ?
s i? ? n ? ? 1 0 ,则 C 1 与 C 2 的交点个数为

。 2

4. (2011 年高考广东卷理科 14)(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方
5 2 ? ? x ? 5 co s ? ?x ? t ? 程分别为 ? (0≤ ? < ? ) 和 ? 4 ( t ? R ) ,它们的交点坐标为 ? y ? sin ? ? ?y ? t ?

.

(1,

2 5

5)

5. (2011 年高考湖北卷理科 14)如图,直角坐标系 x Oy 所在的平面为 ? ,直角坐 标系 x ' oy ' (其中 y ' 轴与 y 轴重合)所在平面为 ? , ? x o x ' ? 4 5 ? (Ⅰ)已知平面内有一点 P (2 为 ;
2) ? 2 y ' ? 2 ? 0
2 2

2 , 2)

,则点 P ' 在平面 ? 内的射影 P 的坐标

(Ⅱ)已知平面 ? 内的曲线 C ' 的方程是 ( x '?
C'

,则曲线

在平面 ? 内的射影 C 的方程是

.

答案: (2,2)

( x ? 1) ? y ? 1
2 2

6.(2011 年高考陕西卷理科 15)(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xoy 中, 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线
? x ? 3 ? co s ? C1 : ? ? y ? 4 ? sin ?

(?

为参数)和曲线 C 2 : ?

? 1 上,则 A B

的最小值为

3

7.(2011 年高考上海卷理科 5)在极坐标系中,直线 ? (2 cos ? ? sin ? ) ? 2 与直线
? co s ? ? 1 的夹角大小为

。 arcco s

2 5 5

三、解答题: 2. (2011 年高考全国新课标卷理科 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参 数方程在直角坐标系中,曲线 C 1 的参数方程为 ? M 是曲线 C 1 上的动点,点 P 满足 OP (1)求点 P 的轨迹方程 C 2 ;
? 2 OM

? x ? 2 cos ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

,( ? 为参数)



s ? x ? 4 c o? ? ? y ? 4 ? 4 s i?n

(2)在以 D 为极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ?
C2

?
3

与曲线 C 1 ,

交于不同于原点的点 A,B 求 AB

| A B |? | ? 2 ? ? 1 |? 2 3

3.(2011 年高考江苏卷 21)选修 4-4:坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xO y 中,求过椭圆 ?
? x ? 4 ? 2t ?y ? 3?t ? x ? 5 cos ? ? y ? 3 sin ?

( ? 为参数)的右焦点且与

直线 ?

( t 为参数)平行的直线的普通方程。
1 2 ( x ? 4 ), 即 x ? 2 y ? 4 ? 0

答案:所求直线方程为: y ?

.

4.(2011 年高考福建卷理科 21)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直接坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程为

? x ? 3co s ? ? ( ? 为 参 数 ). ? ? y ? sin ? ?

(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极 点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为(4, ) ,判断点 P 与
2 π

直线 l 的位置关系; (II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.
最小值为 2

2010 年高考数学
一、选择题: 1. (2010 年高考安徽卷理科 7)设曲线 C 的参数方程为 ?
? x ? 2 ? 3 co s ? ? y ? ? 1 ? 3 sin ?
7 10 10

( ? 为参数) ,直

线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则曲线 C 上到直线 l 距离为 A、1 B、2 C、3

的点的个数为 B D、4

4. (2010 年高考北京卷理科 5)极坐标方程(p-1) ? ? ? )=(p ? 0)表示的图形是 ( (A)两个圆 (C)一个圆和一条射线 【答案】C (B)两条直线 (D)一条直线和一条射线

5(2010 年高考上海市理科 16)直线 l 的参数方程是 ? 可以是 【答】 (C)

? x=1+2t ? y= 2 -t

( t ? R ) ,则 l 的方向向量是 d

?

(A)(1,2) 【答案】C

(B)(2,1)

(C)(-2,1)

(D)(1,-2)

6. (2010 年 高 考 重 庆 市 理 科 8) 直 线 y ?
?x ? 3 ? 3 c? s o ? , ? ? ( ? 3 s ?i n ?y ? 1? ?

3 3

x?

2 与 圆 心 为

D 的 圆

[ 0 , 2 ) A、B 两点,则直线 AD 与 BD 的倾斜角之和为 ? 交于 )

(A)

7 6

π

(B)

5 4

π

(C)

4 3

π

(D)

5 3

π

【答案】C 二、填空题: 1.(2010 年高考天津卷理科 13)已知圆 C 的圆心是直线 ? 且圆 C 与直线 ? ? ? ? 3 ? 0 相切。则圆 C 的方程为 【答案】 ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

?? ? t ?? ? 1 ? t

( t 为参数) ? 轴的交点, 与



2. (2010 年高考广东卷理科 15)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ ,θ ) (0 ≤ θ <2π )中,曲线 ρ = 2 sin ? 与 p co s ? ? ? 1 的交点的极坐标为______. 【答案】 ( 2 ,
3? 4 )

3. (2010 年高考陕西卷理科 15) (坐标系与参数方程选做题 )已知圆 C 的参数方程
? x ? cos ? ( ? 为参数),以原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐 ? ? y ? 1 ? sin ?

标方程为 ? sin ? ? 1 ,则直线 l 与圆 C 的交点的直角坐标为 __________ 【答案】 ? ? 1,1 ?, ?1,1 ?

__ .

三、解答题: 1. (2010 年高考福建卷理科 21) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) 。在极坐标系(与直 2 ? y ? 5? t ? ? 2

角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方 程为 ? ? 2 5 sin ? 。 (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程;

(Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5 ) , 求|PA|+|PB|。
3 2

2. (2010 年高考江苏卷试题 21)选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在极坐标系中,已知圆 ? = 2 cos ? 与直线 3 ? cos ? + 4 ? sin ? + a = 0 相切,求实数 a 的值。 答案: a ? 2 ,或 a ? ? 8 。

3. (2010 年全国高考宁夏卷 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 ?
?
3

? x ? 1 ? t co s ? ? y ? t sin ?

(t 为参数) 2 ? ,C

? x ? co s ? ? y ? sin ?

( ? 为参数) ,

(Ⅰ)当 ? =

时,求 C1 与 C2 的交点坐标; (1,0) ?

?1 3? , ? ?。 ?2 2 ? ? ?

(Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当 ? 变化时,求 P 点的轨迹的 参数方程,并指出它是什么曲线。
1? 1 ? 2 ?x? ? ? y ? 4? 16 答案: ?
2

4. (2010 年高考辽宁卷理科 23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程,已知 P

为半圆 C ?

? x = co s ? ? y = sin ?

( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )上的点,点 A 的坐标为(1,0) 为坐标原 ,O
?
3

点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

的长度均为



(I)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (II)求直线 AM 的参数方程。 1、 (09 安徽)以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴, 并在两种坐标系中取相 同的长度单位,已知直线的极坐标方程为 ? ? 为参数)相交于两点 A 和 B,则|AB|= .
? x ? 1 ? 2t, ? y ? 2 ? kt .

?

? x ? 1 ? 2 cos? ( ? ? R ) ,它与曲线 ? (α 4 ? y ? 2 ? 2 s in ?

1、 (09 广东) (坐标系与参数方程选做题)若直线 l 1 : ?
? x ? s, l2 : ? ( s 为参数)垂直,则 k ? ? y ? 1 ? 2 s.

( t 为参数)与直线



2、 (09 上海)在极坐标系中,由三条直线 ? ? 0 , ? ? 的面积是________.

?
3

, ? cos ? ? ? sin ? ? 1 围成图形

3、 (09 天津) 设直线 l1 的参数方程为 ? 与 l 2 的距离为_______

?x ? 1? t ? y ? 1 ? 3t

(t 为参数) 直线 l 2 的方程为 y=3x+4 则 l1 ,

1.(海南宁夏卷) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。 已知曲线 C 1 : ?
? x ? ? 4 ? co s t , ? y ? 3 ? sin t ,

(t 为参数) C 2 : ? ,

? x ? 8 co s ? , ? y ? 3 sin ? ,

( ? 为参数),

(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ?
?
2

,Q 为 C 2 上的动点,求 P Q 中点 M 到直线

? x ? 3 ? 2t, C3 : ? (t 为参数)距离的最小值。 ? y ? ?2 ? t

(Ⅰ) C 1 : ( x ? 4 ) ? ( y ? 3) ? 1, C 2 :
2 2

x

2

?

y

2

?1

64

9

(2)

8 5 5

2.(2009 江苏)满分 10 分,选修 4 - 4:坐标系与参数方程
? x? t ? ? ? 已知曲线 C 的参数方程为 ? ? y ? 3( t ? ? ?
3x ? y ? 6 ? 0 .
2

1 t 1 t ) , ( t 为参数, t ? 0 ).求曲线 C 的普通方程。

3.(本小题满分 10 分)选修 4-4 :坐标系与参数方程 在直角坐标系 xO y 中,以 O 为极点, x 正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程 为 ? co s(? ?
?
3 ) ? 1 , M , N 分别为 C 与 x 轴, y 轴的交点。

(Ⅰ)写出 C 的直角坐标方程,并求 M,N 的极坐标; (Ⅱ)设 MN 的中点为 P,求直线 OP 的极坐标方程。 【解析】 (Ⅰ)由 ? co s(? ?
?
3 ) ?1得 ?(
1 2 co s ? ? 3 2 sin ? ) ? 1

从而 C 的直角坐标方程为

1 2

x?

3 2

y ? 1 ,即 x ?

3y ? 2

? ? 0时 , ? ? 2, 所 以 M ( 2, 0 ); ? ?

?
2

时,? ?

2 3 3

,所以N(

2 3 ? , ) 3 2

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(2,0) 点的直角坐标为 ( 0 , ,N

2 3 3

) ,

所以 P 点的直角坐标为 (1,

3 3

), 则 P 点的极坐标为 (

2 3 ? , ), 3 6

所以直线 OP 的极坐标方程为 ? ? ? , ? ? ( ? ? , ? ? ) ?

4.(2009 福建理) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l : 3 x ? 4 y ? 1 2 ? 0 与圆 C: ? 个数
? x ? ? 1 ? 2 co s ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

( ? 为参数 )试判断他们的公共点

圆锥曲线参数方程
1 椭圆参数方程
x a
2 2 2 2

?

y b

? x ? a co s ? ?1 的常用参数方程 ? ( ? ? [0, 2 ? )) ? y ? b sin ?

例题:

2 双曲线的参数方程问题
x a
2 2

?

y b

2 2

? x ? a sec ? ? 3? ?1 的常用参数方程 ? ( a ? [0, 2 ? ) 且 ? ? , ? ? ) 2 2 ? y ? b tan ?

例题:

3 抛物线的参数方程
? x ? 2 pt 2 2 y ? 2 px 的 参 数 方 程 ? (t ? R ) y ? 2 pt ?

参数方程的几何意义:

例题

进一步思考:

椭圆、双曲线、抛物线的练习

思考:

例题 1

例题 2:

思考:1 线段 A B 的长怎么求? 2 若将例题 2 中条件改成 M 为线段 AB 的三等份点,直线 l 方程又该如何求?

例题 3

思考:若将上题的已知条件椭圆改为双曲线,那么 | P A | ? | P B |? | P C | ? | P D | 是否都成立?


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