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【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编:I单元 统计


I 单元 目录

统计

I 单元 统计 .................................................................................................................................... 1 I1 随机抽样 ................................................................................................................................... 1 I2 用样本估计总体 ....................................................................................................................... 4 I3 正态分布 ................................................................................................................................... 8 I4 变量的相关性与统计案例 ..................................................................................................... 10 I5 单元综合 ................................................................................................................................... 14

I1

随机抽样

【文·重庆一中高二期末·2014】3.某高二年级有文科学生 500 人,理科学生 1500 人,为 了解学生对数学的喜欢程度,现用分层抽样的方法从该年级抽取一个容量为 60 的样本,则 样本中文科生有( )人 21*cnjy*com A.10 B.15 C.20 D.25 【知识点】分 层 抽 样 方 法 . 【答案解析】B 解析 :解:∵ 高 二 年 级 共 有 2000 人 ,现用分层抽样的方法从该年级抽 取一个容量为 60 的样本,∴ 每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 为 则 高二年级有文科学生 500 人,那 么 样本中文科生有

60 , 2000

60 ? 500 15 . 2000

故 选 B. 【思路点拨】算 出 在 抽 样 过 程 中 ,每 个 个 体 被 抽 到 的 概 率 ,用 样本数 乘 以 被 抽 到 的 概 率 , 得 到 从 该 班 抽 取 的 文科生数 .

【文·广东惠州一中高三一调·2014】17.(本题满分 12 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联 表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

(1)用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人,其中男生抽多少人? (2)在上述抽取的6人中选2人,求恰有一名女生的概率. 【知识点】分 层 抽 样 的 方 法 ; 列 举 法 计 算 基 本 事 件 数 及 事 件 发 生 的 概 率 .

【答案解析】(1)4(2) P ?

8 15 6 1 ? 30 5

解析 :解:(1)在喜欢打蓝球的学生中抽6人,则抽取比例为 ∴男生应该抽取 20 ?

1 ? 4 人 …………………………4分 5

(2)在上述抽取的 6 名学生中, 女生的有 2 人,男生 4 人。女生 2 人记 A, B ;男生 4 人为

( A, c) 、 ( A, e) 、 ( A, f ) 、 c, d , e, f , 则从 6 名学生任取 2 名的所有情况为: ( A, B) 、 ( A, d ) 、

( B, c) 、 ( B, d ) 、 ( B, e) 、 ( B, f ) 、 (c, d ) 、 (c, e) 、 (c, f ) 、 ( d , e) 、 (d , f ) 、 (e, f ) 共
15 种情况,……………………8 分 其中恰有 1 名女生情况有: ( A, c) 、 ( A, d ) 、 ( A, e) 、 ( A, f ) 、 ( B, c) 、 ( B, d ) 、 ( B, e) 、

( B, f ) ,共 8 种情况,

…………………………10 分

故上述抽取的6人中选2人,恰有一名女生的概率概率为 P ?

8 . …………………12 分 15

【思路点拨】( 1 )根 据 分 层 抽 样 的 方 法 ,在 喜 欢 打 蓝 球 的 学 生 中 抽 6 人 ,先 计 算 了抽取比例,再根据比例即可求出男生应该抽取人数. ( 2 ) 在 上 述 抽 取 的 6 名 学 生 中 , 女 生 的 有 2 人 , 男 生 4 人 . 女 生 2 人 记 A, B ; 男 生 4 人 为 c, d , e, f ,列 出 其 一 切 可 能 的 结 果 组 成 的 基 本 事 件 个 数 , 通 过 列 举 得 到满足条件事件数,求出概率. 【理·四川成都高三摸底·2014】18.(本小题满分 12 分) 某地区为了解高二学生作业量和玩电脑游戏的情况, 对该地区内所有高二学生采用随机 抽样的方法,得到一个容量为 200 的样本统计数据如下表:

(I)已知该地区共有高二学生 42500 名,根据该样本估计总体,其中喜欢电脑游戏并认 为作业不多的人有多少名?【版权所有:21 教育】 (Ⅱ)在 A,B.C,D,E,F 六名学生中,但有 A,B 两名学生认为作业多如果从速六 名学生中随机抽取两名,求至少有一名学生认为作业多的概率。 【知识点】抽样方法、古典概型 【答案解析】(I)7650 名;(Ⅱ) 解析:解:(I)42500×

3 5

36 =7650(名); 200

(Ⅱ)从这六名学生随机抽去两名的基本事件有:{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},

{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E}, {D,F},{E,F}共 15 个,设事件 G 表示至少有一位学生认为作业多,符合要求的事 件有{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},{B,E},{B, F}共 9 个,所以 P ? G ? ?

9 3 3 ? ,所以至少有一名学生认为作业多的概率为 . 15 5 5

【思路点拨】求概率问题应先确定其概率模型,若总体个数有限为古典概型,利用古典概型 计算公式计算,若总体个数无限为几何概型,利用几何概型计算公式计算. 【理·黑龙江哈六中高二期末·2014】10.哈六中 15 届高二有 840 名学生, 现采用系统抽 样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, 号落入区间 ? 481, 720? 的人数为( )
21*cnjy*com

,840 随机编号, 则抽取的 42 人中,编

A. 11

B. 12

C. 13

D. 14

【知识点】系 统 抽 样 方 法 . 【答案解析】B 解析 :解:使 用 系 统 抽 样 方 法 , 从 840 人 中 抽 取 42 人 , 即 从 20 人 抽 取 1 人 .所 以 从 编 号 1 ~ 480 的 人 中 ,恰 好 抽 取 720 共 240 人 中 抽 取

480 = 24 人 ,接 着 从 编 号 481 ~ 20

240 = 12 人 . 20

故 选 B. 【思路点拨】根 据 系 统 抽 样 方 法 , 从 840 人 中 抽 取 42 人 , 那 么 从 20 人 抽 取 1 人 . 从 而 得 出 从 编 号 481 ~ 720 共 240 人 中 抽 取 的 人 数 即 可 .

【江苏盐城中学高二期末·2014】3.某校高一年级有 400 人,高二年级有 600 人,高三年 级有 500 人,现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出 100 名学生进行问卷调查,那 么抽出的样本中高二年级的学生人数为 ▲ .2-1-c-n-j-y

【知识点】分 层 抽 样 的 方 法 . 【答案解析】40 解析 :解 :设 从 高 二学 生 中 抽 取 的 人 数 应 为 x , 根 据 分 层 抽 样 的 定义和方法可得

x 600 = , 解 得 x=40, 100 1500

故 答 案 为 40. 【思路点拨】设 从 高 二学 生 中 抽 取 的 人 数 应 为 x ,根 据 分 层 抽 样 的 定 义 和 方 法 可 得

x 600 = ,由此求得 x 的值,即为所求. 100 1500

I2

用样本估计总体

【重庆一中高一期末·2014】3.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取 了 n 个同学进行调查,结果显示这些同学的支出都 在[10,50)(单位:元),其中支出在 30,50?

?

频率/组距 0.037

(单位:元)的同学有 67 人,其频率分布直方 图如右图所示,则 n 的值为( A.100 B.120 ) C.130 D.390

0.023 0.01 元

【知识点】频 率 分 布 直 方 图 . 10 20 30 40 50 【答案解析】A 解析 :解:∵ 位 于 10 ~ 20 、 20 ~ 30 的 小 矩 形 的 面 积 分 别 为 S 1 =0.01 × 10=0.1 , S 2 =0.023 × 10=0.23 , ∴ 位 于 10 ~ 20 、 20 ~ 30 的 据 的 频 率 分 别 为 0.1 、 0.23 可 得 位 于 10 ~ 30 的 前 3 组 数 的 频 率 之 和 为 0.1+0.23=0.33 由 此 可 得 位 于 30 ~ 50 数 据 的 频 率 之 和 为 1-0.33=0.67 ∵ 支 出 在 [30 , 50 ) 的 同 学 有 67 人 , 即 位 于 30 ~ 50 的 频 数 为 67 , ∴根据频率计算公式,可得

67 =0.67 , 解 之 得 n=100 n

故选:A 【思路点拨】根 据 小 矩 形 的 面 积 之 和 , 算 出 位 于 10 ~ 30 的 2 组 数 的 频 率 之 和 为 0.33 , 从 而 得 到 位 于 30 ~ 50 的 数 据 的 频 率 之 和 为 1-0.33=0.67 , 再 由 频 率 计 算 公式即可算出样本容量 n 的值. 【文·四川成都高三摸底·2014】7.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 也称为可 A 肺颗粒物,般情况下 PM2.5 浓度越大,大气环境质量越差右边的茎叶图表 示的是成都市区甲、乙两个监测站某 10 日内每天的 PM2.5 浓度读数(单位: ? g/m3) 则下列说法正确的是 (A)这 l0 日内甲、乙监测站读数的极差相等 (B)这 10 日内甲、乙监测站读数的中位数中,己的较大 (C)这 10 日内乙监测站读数的众数与中位散相等 (D)这 10 日内甲、乙监测站读数的平均数相等 【知识点】茎叶图、中位数、众数、平均数 【答案解析】C 解析:解:因为甲、乙监测站读数的极差分别为 55,57,所以 A 选项错误, 10 日内甲、乙监测站读数的中位数分别为 74,68,所以 B 选项错误,10 日内乙监测站读数 的众数与中位数都是 68,所以 C 正确,而正确的选项只有一个,因此选 C. 【思路点拨】结合所给的茎叶图正确读取数据是解题的关键,同时要理解中位数、众数、平 均数各自的含义及求法.

【理·四川成都高三摸底·2014】7.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物, 也称为可 A 肺颗粒物,一般情况下 PM2.5 浓度越大,大气环境质量越差右边的茎叶图表示 的是成都市区甲、乙两个监测站某 10 日内每天的 PM2.5 浓度读数(单位: ? g/m3)则下列 说法正确的是 (A)这 l0 日内甲、乙监测站读数的极差相等 (B)这 10 日内甲、乙监测站读数的中位数中,乙的较大 (C)这 10 日内乙监测站读数的众数与中位数相等 (D)这 10 日内甲、乙监测站读数的平均数相等 【知识点】茎叶图、中位数、众数、平均数 【答案解析】C 解析:解:因为甲、乙监测站读数的极差分别为 55,57, 所以 A 选项错误,10 日内甲、乙监测站读数的中位数分别为 74,68,所以 B 选项错误,10 日内乙监测站读数的众数与中位数都是 68,所以 C 正确,而正确的选项只有一个,因此选 C. 【思路点拨】结合所给的茎叶图正确读取数据是解题的关键,同时要理解中位数、众数、平 均数各自的含义及求法.

【理·宁夏银川一中高二期末·2014】15.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别是 75、80,则这次考试该年级学生平均分 数为 .

【知识点】平均数 【答案解析】78 解析:解:高一年级学生人数为 x,则男女生人数分别为

2 3 x, x ,则这次 5 5

2 3 75 ? x ? 80 ? x 5 5 ? 78 . 考试该年级学生平均分数为 x
【思路点拨】理解平均数的含义是解题的关键,本题通过先设定年级总人数,即可得到男女 生人数,再结合各自的平均数得到年级成绩的总和,再计算年级的平均分.

【理·江西鹰潭一中高二期末·2014】12.某射击爱好者一次击中目标的概率为 p ,在某 次射击训练中向目标射击 3 次,记 X 为击中目标的次数,且 DX ? 【知识点】极差、方差与标准差. 【答案解析】

3 ,则 p ? ______. 4

1 解析 :解:由题意知选手进行 n 次射击训练,条件不发生变化, 2

每次击中目标的概率为 P,且每次击中目标与否是相互独立的,得到本实验符合二项分布,

1﹣p) ? 3p( 1﹣p) ? ,∴ p ? , ∵ DX ? np(
故答案为: .

【思路点拨】由题意知选手进行n次射击训练,条件不发生变化,每次击中目标的概率为P, 且每次击中目标与否是相互独立的,得到本实验符合二项分布,根据公式求出结果. 【典型总结】考查运用概率知识解决实际问题的能力,注意满足独立重复试验的条件,解 题过程中判断概率的类型是难点也是重点,这种题目高考必考,应注意解题的格式.

【理·吉林一中高二期末·2014】20. PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒 物,也称为可吸入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日 均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米 ~ 75微克/立方米之间空 气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标.某试点城市环保局从该市市区 2013年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本,监测值如右下 图茎叶图所示(十位为茎,个位为叶). (1)在这15天的PM2.5日均监测数据中,求其中位数; (2)从这15天的数据中任取2天数据,记 ? 表示抽到PM2.5监测数据超标的天数,求 ? 的

分布列及数学期望; (3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中 平均有多少天的空气质量达到一级或二级.

【知识点】离散型随机变量的期望与方差;茎叶图;众数、中位数、平均数. 【答案解析】(1) 45 (2)

Ex =

2 3

?
P

0
3 7

1
10 21

2
2 21

(3) 240 解析 :解: (1)由茎叶图可得中位数是 45 (2) 依据条件, ? 服从超几何分布:其中 N ? 15, M ? 5, n ? 3 , ? 的可能值为 0,1, 2
2?k 2 C5k ? C10 C50 ? C10 3 由 p(? ? k ) ? ,得 p(? ? 0) ? ? , 2 2 C15 C15 7

p(? ? 1) ?

1 1 0 C52 ? C10 C5 ? C10 10 2 , ? p ( ? ? 2) ? ? , 2 2 C15 21 C15 21

所以 ? 的分布列为:

?
P

0
3 7

1
10 21

2
2 21

3 10 2 2 ? E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 7 21 21 3
(3)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为 p ? 一年中空气质量达到一级或二级的天数为? ,则? ~ B (360, )

10 2 ? 15 3

2 3

? E? ? 360 ?

2 ? 240 ? 一年中平均有 240 天的空气质量达到一级或二级 3

【思路点拨】(1)由茎叶图可得中位数;(2)依据条件,ξ 服从超几何分布,求出相应的 概率,可得 ξ 的分布列及数学期望;(3)由题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二 级的概率为 P= = .一年中空气质量达到一级或二级的天数为 η,则 η~B(360, ),

则可得结论.21cnjy.com

【理·吉林一中高二期末·2014】10. 某班级有 50 名学生,其中有 30 名男生和 20 名女 生,随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分 别为 86,94,88,92,90, 五名女生的成绩分别为 88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是 ( )2·1·c·n·j·y A.这种抽样方法是一种分层抽样 B.这种抽样方法是一种系统抽样 C.这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D.该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【知识点】极差、方差与标准差. 【答案解析】C 解析 :解:根据抽样方法可知,这种抽样方法是一种简单随机抽样. 五名男生这组数据的平均数=(86+94+88+92+90)÷5=90, 方差= [(86﹣90)2+(94﹣90)2+(88﹣90)2+(92﹣90)2+(90﹣90)2]=8. 五名女生这组数据的平均数=(88+93+93+88+93)÷5=91, 方差= [(88﹣91)2+(93﹣91)2+(93﹣91)2+(88﹣91)2+(93﹣91)2]=6. 故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差. 故选C. 【思路点拨】根据抽样方法可知,这种抽样方法是一种简单随机抽样.根据平均数的定义:
2 平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数; 方差公式: s2= [ (x1﹣ ) + (x2

﹣ )2+…+(xn﹣ )2]求解即可.21教育名师原创作品

【理·吉林一中高二期末·2014】3. 某事件 A 发生的概率为 P(0 ? P ? 1) ,则事件 A 在

一次试验中发生的次数 X 的方差的最大值为( A.



3 4

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 2

【知识点】方差;二次函数的性质. 【答案解析】C 解析 :解:根据题意,由于事件 A 发生的概率为 P(0 ? P ? 1) ,事件 A 在 一次试验中发生的次数 X 的期望值为 p,方差为 p(1-p)=p-p 数的最大值为
2

,结合二次函数的性质可知函

1 ,故选 C. 4
2

【思路点拨】 由已知条件得到方差p-p

,结合二次函数的性质求出可知函数的最大值即可.

【吉林一中高一期末·2014】6. 设甲、乙两名射手各打了 10 发子弹,每发子弹击中环 数如下: 甲:10,6,7,10,8,9,9,10,5,10; 乙:8,7,9,10,9,8,7,9,8,9 则甲、乙两名射手的射击技术评定情况是( ) A.甲比乙好 B.乙比甲好 C.甲、乙一样好 D.难以确定 【知识点】极 差 ; 方 差 ; 标 准 差 . 【答案解析】B 解析 :解:先计算两名射手的平均环数: =8.4 8.4 再计算两名射手的标准差: S甲 = 1.884 , S乙 = 0.854 ∴两名射手的平均值相等,但是乙的稳定性要好, ∴乙的水平比甲好.故 选 B . 【思路点拨】先 做 出 两 组 数 据 的 平 均 数 , 发 现 平 均 数 相 等 , 从 平 均 数 上 不 能 区 分 两组数据的好坏, 又求两组数据的方差, 从稳定程度上来比较两个人的技术好坏, 得到乙的水平较高. =

I3

正态分布

【理· 重庆一中高二期末· 2014】 2、 已知随机变量 X 服从正态分布 N (3, 1) , 且P (X<2c+1) =P(X>c+5),则 c=( )

A、 ?

4 3

B、 ? 1

C、0

D、4

【知识点】正态分布;正态分布的性质. 【答案解析】C解析 :解:由随机变量X服从正态分布N(3,1)可知其对称轴为 m = 3 ,又 因为P(X<2c+1)=P(X>c+5),所以 c +1 、 c + 5 关于 m = 3 对称,则 c +1 + c + 5 = 6 ,解得:

c =0.
故选:C. 【思路点拨】 先由已知条件判断出其对称轴为 m = 3 , 再由 c +1 、c + 5 关于 m = 3 对称即可.

【理·宁夏银川一中高二期末·2014】1.已知随机变量 ? 服从正态分布 N(0,? 2 ) ,若

P(? >2)=0.023 ,则 P(-2 ? ? ? 2)= (
A.0.477 B. 0.628

) C. 0.954 D. 0.977

【知识点】正态分布的性质 【答案解析】C 解析:解: P ? ?2 ? ? ? 2? ? 1 ? P ?? ? 2? ? 2 =1-0.046=0.954,选 C. 【思路点拨】因为正态分布曲线关于 x 轴对称,利用正态分布的性质进行计算即可.

【理·广东惠州一中高三一调·2014】3.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 900、 900、 1200 人,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样 本,则应从高三年级抽取的学生人数为 ( )

A. 15

B. 20

C. 25

D. 30

【知识点】分层抽样. 【答案解析】B 解析 :解 : 三个年级的学生人数比例为 3 : 3 : 4 ,按分层抽样方法,在高 三年级应该抽取人数为 50 ?

4 ? 20 人,故选 B . 3?3? 4

【思路点拨】利用样本三个年级学生容量比与总体中其容量比相同建立等式求值.

【理·甘肃兰州一中高二期末·2014】1. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(1,4),且 P(0≤X≤2) =0. 68,则 P(X>2)=( )

A. 0.34 B. 0.16 C. 0.84 D. 0.32 【知识点】正 态 分 布 曲 线 的 特 点 及 曲 线 所 表 示 的 意 义 . 【答案解析】B解析 :解:因为随机变量X服从正态分布N(1,4),所以对称轴为 X = 1 ,又因 为P(0≤X≤2)=0. 68,所以 P 1 # X

(

2) = 0.34 ,故 P ( X > 2) = 0.5 - 0.34 = 0.16 ,故选B.

【思路点拨】随机变量 X 服从正态分布 N(1,4),根 据 对 称 性 ,由 P(0≤X≤2)的 概 率 可 求 出 P ( X>2 ) . 【 来 源 : 2 1 c n j * y. c o * m 】

【 理 · 吉 林 一 中 高 二 期末 · 2014 】 4. 已知随机变量 ξ 服从正态分 布 N(2, σ ), 且 P(ξ <4)=0.8,则 P(0<ξ <2)等于( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【答案解析】C 解析 :解:∵随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2),μ=2,得对称轴是 x=2. P(ξ<4)=0.8 ∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2, ∴P(0<ξ<4)=0.6 ∴P(0<ξ<2)=0.3.

2

故选C. 【思路点拨】根据随机变量X服从正态分布N(2,σ2),看出这组数据对应的正态曲线的对 称轴x=2,根据正态曲线的特点,得到P(0<ξ<2)= P(0<ξ<4),得到结果.

I4

变量的相关性与统计案例

【重庆一中高一期末·2014】14. (原创)给出下列四个命题: ①某班级一共有 52 名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样本,已知 7 号、33 号、46 号同学在样本中,那么样本中另一位同学的编号为 23; ②一组有六个数的数据是 1,2,3,3,4,5 的平均数、众数、中位数都相同; ③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为 y ? a ? bx 中,

b ? 2, x ? 1, y ? 3,则 a ? 1 ;
其中正确的命题有 (请填上所有正确命题的序号)

【知识点】命 题 的 真 假 判 断 与 应 用 ; 众 数 、 中 位 数 、 平 均 数 ; 线 性 回 归 方 程 . 【答案解析】 ②③解析 : 解: 对于①, 由 系 统 抽 样 的 原 理 知 抽 样 的 间 隔 为 52 ÷ 4=13 , 故 抽 取 的 样 本 的 编 号 分 别 为 7 , 7+13 , 7+13 × 2 , 7+13 × 3 , 即 7 号 、 20 号 、 33 号 、 46 号 , ① 是 假 命 题 ; 对 于 ② ,数 据 1 , 2 , 3 , 3 , 4 , 5 的 平 均 数 为

1 ( 1+2+3+3+4+5 ) =3 ,中 位 数 为 3 , 6

众 数 为 3, 都 相 同 , ② 是 真 命 题 ; 对 于 ③ ,回 归 直 线 方 程 为 y=ax+2 的 直 线 过 点 x , y ,把( 1 , 3 )代 入 回 归 直 线 方 程 y=ax+2 得 a=1 . ③ 是 真 命 题 ; 故答案为:②③, 【思路点拨】① 利 用 系 统 抽 样 的 特 点 可 求 得 该 次 系 统 抽 样 的 编 号 , 从 而 可 判 断 其 正误; ② 利 用 平 均 数 、众 数 、中 位 数 的 概 念 ,可 求 得 数 据 1 、 2 、 3 、 4 、 5 的 平 均 数 、众 数、中位数,从而可知其正误; ③ 利 用 回 归 直 线 过 点 x, y , 即 可 求 得 a 的 值 , 从 而 可 知 其 正 误 .

? ?

? ?

【理·宁夏银川一中高二期末·2014】17.(本小题满分 10 分) 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产 能耗 Y(吨标准煤)的几组对照数据 x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 Y 关于 x 的线性回归方程 Y=bx+a; (2)已知该厂技改前,100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(1)求出的线性回 归方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 【知识点】回归方程的建立及应用 【答案解析】 (1) y ? 0.7 x ? 0.35 (2)19.65 吨 解析:解:( 1 )由对照数据,计算得:

? X iYi ? 6 6 . 5
i ?1

4

?X
i ?1

4

2 i

? 3 2 ?4 2 ?5 2 ?6 2 ?8 6

? ? 66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 ; X ? 4.5 , b 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81

? ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 ? ? Y ? bX a
所求的回归方程为 (2)

y?0.7 x? 0. 35
y ? 100 ? 0.7 ? 0.35 ? 70.35 吨,

x ? 100 ,

预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90 ? 70.35 ? 19.65 (吨) 【思路点拨】求回归直线方程问题,关键是理解公式中各个参数的含义,利用相关数据代入 计算即可解答.

【理·吉林长春十一中高二期末·2014】4.设某大学的女生体重 y (单位: kg )与身

高 x(单位:cm ) 具有线性相关关系, 根据一组样本数据 ( xi , yi )( i ? 1,2,3,? n ) ,
? ? 0.85 x ? 85.71 ,则下列结论中不正确的是 用最小二乘法建立的回归方程为 y



)21·世纪*教育网 B.回归直线过样本点的中心 ( x, y )

A. y 与 x 具有正的线性相关关系

C.若该大学某女生身高增加 1cm ,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm ,则可断定其体重为 58.79kg 【知识点】线 性 回 归 方 程 【答案解析】D 解析 :解:对 于 A , 0.85 > 0 ,所 以 y 与 x 具 有 正 的 线 性 相关关系,故正确; 对 于 B , 回 归 直 线 过 样 本 点 的 中 心 ( x, y ) , 故 正 确 ;
? ? 0.85 x ? 85.71 , ∴ 该 大 学 某 女 生 身 高 增 加 1cm , 对 于 C, ∵ 回 归 方 程 为 y

则 其 体 重 约 增 加 0.85kg , 故 正 确 ;
? =0.85 × 170-85.71=58.79 ,但 这 是 预 测 值 ,不 对 于 D , x=170cm 时 , y

可 断 定 其 体 重 为 58.79kg , 故 不 正 确 故 选 D. 21 世 纪 教 育 网 版 权 所 有
? ? 0.85 x ? 85.71 , 0.85 > 0 , 可 知 A , B , C 【思路点拨】根 据 回 归 方 程 为 y

均正确,对于 D 回归方程只能进行预测,但不可断定.

【理·甘肃兰州一中高二期末·2014】 3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 A 产品过程 中纪录的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨)的几组对应数据:【来源:21·世纪·教育·网】

x y

3 2.5

4

5 4

6 4.5

n

根据上表提供的数据,求得 y 关于 x 的线性回归方程为 y ? 0.7x ? 0.35 ,那么表中 n 的值 为 ( ) 3 A. B. 3.15 【知识点】线 性 回 归 方 程 . 【答案解析】A解析 :解: x = C. 3.5 D. 4.5

3 + 4 +5 +6 = 4.5 ,又 样 本 中 心 点 x, y 在 回 归 直 线 上 , 4 2 . 5+ n + 4 + 4 . 5 = 3 . 5, 解 得 n = 3 . 故 选 A. ∴ y =0.7 × 4.5+0.35=3.5 , 即 4

( )

【思路点拨】求 得 x , 利 用 样 本 中 心 点 x, y 在 回 归 直 线 上 , 求 得 y , 代 入 平 均 数 公式可得 n 的值.

( )

【文·江西省鹰潭一中高二期末·2014】14.在 2014 年 6 月 2 日端午节当天,某物价部门对 本市的 5 家商场的某商品的一天销售量价格进行调查, 5 家商场的售价 x 元和销售量 y 件之间的一组数据如下表所示:www-2-1-cnjy-com 9 9.5 价格 x 销售量 y n 11
m

10.5 6

11
5

8

由散点图可知,销售量 y 与价格 x 之间有较强的线性相关关系,其线性回归 直线方程是 y ? ?3.2 x ? 40 ,且 m ? n ? 20 ,则其中的 n ? 【知识点】线性回归方程. 【答案解析】10 解析 :解: = (9+9.5+m+10.5+11)= (40+m), = (11+n+8+6+5) = (30+n)∵其线性回归直线方程是: ,
?



∴ (30+n)=﹣3.2× (40+m)+40,即 30+n=﹣3.2(40+m)+200,又 m+n=20,解得 m=n=10 故答案为:10. 【思路点拨】 先求出横标和纵标的平均数, 把所求的平均数代入方程中, 得出m, n的关系式, 题目中给出m+n=20,只要代入求解即可得到结果.

【文·江西省鹰潭一中高二期末·2014】4.已知两个统计案例如下: ①为了探究患慢性支气管炎与吸烟关系, 调查了 339 名 50 岁以上的人, 调查结果如下表: 患慢性气管炎 吸烟 不吸烟 43 13 未患慢性气管炎 162 121 总计 205 134 339 157 156

总计 56 283 ②为了解某地母亲与女儿身高的关系,随机测得 10 对母女的身高如下表: 母亲身高(cm) 159 160 160 163 159 154 159 158 159 女儿身高(cm) 158 159 160 161 161 155 162 157 162 则对这些数据的处理所应用的统计方法是 ( ) A.①回归分析,②取平均值 B.①独立性检验,②回归分析 C.①回归分析,②独立性检验 D.①独立性检验,②取平均值

【知识点】回 归 分 析 ; 独 立 性 检 验 . 【答案解析】B 解析 :解:∵ ① 中 两 个 变 量 是 定 性 变 量 ( 或 称 分 类 变 量 ) , ②中两个变量是两个定量变量,∴对这些数据的处理所应用的统计方法是: ①独立性检验②回归分析 故 选 B w w w . 2 1 - c n- j y. c o m 【思路点拨】回 归 分 析 主 要 判 断 两 个 定 量 变 量 之 间 的 相 关 关 系 , 而 独 立 性 检 验 主

要 用 来 分 析 两 个 定 性 变 量( 或 称 分 类 变 量 )的 关 系 ,由 题 目 可 知 ① 中 两 个 变 量 是 定 性 变 量( 或 称 分 类 变 量 ),② 中 两 个 变 量 是 两 个 定 量 变 量 ,分 析 即 可 得 到 答 案 .

【理·江西鹰潭一中高二期末·2014】11.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费 的时间,为此进行了 5 次试验。根据收集的数据(如下表),由最小二乘法得回归方程

? ? 0.67 x ? 54.9 21 教育网 y
零件个数 x (个) 加工时间 y ( min ) 10 62

20

30 75

40 81

50 89

则发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断出该数据的值为 . 【知识点】线性回归方程. 【答案解析】68 解析 :解:设表中有一个模糊看不清数据为 m. 由表中数据得: =30, y ? 将 =30, y ?

m ? 307 ,由于由最小二乘法求得回归方程 =0.67x+54.9, 5

m ? 307 ,代入回归直线方程,得 m=68. 5

故答案为:68. 【思路点拨】根据表中所给的数据,做出横标和纵标的平均数,得到样本中心点,根据由最 小二乘法求得回归方程 =0.67x+54.9,代入样本中心点求出该数据的值. 【典型总结】本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.

I5 单元综合
【理·黑龙江哈六中高二期末·2014】21.某中学一名数学老师对全班 50 名学生某次考试成 绩分男女生进行了统计(满分 150 分),其中 120 分(含 120 分)以上为优秀,绘制了如下的两 个频率分布直方图:(12 分)【出处:21 教育名师】

男生 (1)根据以上两个直方图完成下面的 2 × 2 列联表:

女生

成绩性别 男生 女生 总计

优秀

不优秀

总计

(2)根据(1)中表格的数据计算,你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系? (注:

k0
P ? K 2 ? k0 ?
2

2.072
0.15

2.706
0.10
2

3.841
0.05

5.024
0.025

6.635
0.010

7.879
0.005

10.828
0.001

n ? ad ? bc ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) K ? ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
(3)若从成绩在 ?130,140? 的学生中任取 2 人,求取到的 2 人中至少有 1 名女生的概率. 【知识点】频率分布直方图; 2 × 2 列联表;独立性检验的基本思想;排列组合;概率. 【答案解析】 (1)见解析 (2) 有 95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系; (3) . 解析 :解: (1) 成绩性别 优秀 不优秀 男生 13 10 女生 7 20 总计 20 30 -----------------4 分
2

3 5

总计 23 27 50
2

50 ? ?13 ? 20 ? 7 ?10 ? (2)由(1)中表格的数据知, K = ≈4.844. 20 ? 30 ? 27 ? 23
∵K ≈4.844≥3.841,∴有 95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系.------4 分
2

10 0.008 = 4人,女生有 50创 10 0.004 = 2 (3)成绩在 ?130,140? 的学生中男生有 50创
2 2 人, 从 6 名学生中任取 2 人, 共有 C6 若选取的都是男生, 共有 C4 =15 种选法, = 6 种选法;

故所求事件的概率 p = 1 -

2 C4 3 = .-------------------------4 分 2 C6 5

【思路点拨】(1)由题意填表即可; (2) 把表格中的数据代入给定的公式可求得结果; (3) 先计算出成绩在 ?130,140? 的男生、女生人数,再计算其概率即可.21·cn·jy·com


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