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【创新大课堂】高三数学(文)一轮复习活页作业:7.3空间点、直线、平面之间的位置关系(含答案解析)

课时活页作业(三十七) [基础训练组] 1.已知空间三条直线 l,m,n,若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则( A.m 与 n 异面 B.m 与 n 相交 C.m 与 n 平行 D.m 与 n 异面、相交、平行均有可能 [解析] 在如图所示的长方体中,m,n1 与 l 都异面,但是 m∥n1, 所以 A,B 错误;m,n2 与 l 都异面,且 m,n2 也异面,所以 C 错误. [答案] D 2.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,这 四个点不共面的一个图是( ) ) [解析] 在 A 图中分别连接 PS,QR,易证 PS∥QR,∴P,Q,R,S 共面;在 C 图中 分别连接 PQ,RS,易证 PQ∥RS,∴P,Q,R,S 共面;在 B 图中过 P,Q,R,S 可作一 正六边形,故四点共面;D 图中 PS 与 QR 为异面直线,∴四点不共面,故选 D. [答案] D 3.(2016· 山西重点中学联考)已知 l,m,n 是空间中的三条直线,命题 p:若 m⊥l,n ⊥l,则 m∥n;命题 q:若直线 l,m,n 两两相交,则直线 l,m,n 共面,则下列命题为真 命题的是( A.p∧q C.p∨(? q) D.(? p)∧q ) B.p∨q [解析] 命题 p 中,m,n 可能平行、还可能相交或异面,所以命题 p 为假命题;命题 q 中,当三条直线交于三个不同的点时,三条直线一定共面,当三条直线交于一点时,三条直 线不一定共面,所以命题 q 也为假命题.所以? p 和? q 都为真命题,故 p∨(? q)为真命题.选 C. [答案] C 4.(2016· 临沂模拟)过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB,AD, AA1 所成的角都相等,这样的直线 l 可以作( A.1 条 B.2 条 ) C.3 条 D.4 条 [解析] 如图,连接体对角线 AC1,显然 AC1 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都相等,所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体对角 线,如连接 BD1,则 BD1 与棱 BC,BA,BB1 所成的角都相等,∵BB1 ∥AA1,BC∥AD,∴体对角线 BD1 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都 相等,同理,体对角线 A1C,DB1 也与棱 AB,AD,AA1 所成的角都 相等,过 A 点分别作 BD1,A1C,DB1 的平行线都满足题意,故这样的直线 l 可以作 4 条. [答案] D 5.如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2 是两条侧面对角 线,则在正方体中,l1 与 l2( A.互相平行 B.异面且互相垂直 π C.异面且夹角为 3 π D.相交且夹角为 3 [解析] 将侧面展开图还原成正方体如图所示,则 B,C 两点重 合.故 l1 与 l2 相交,连接 AD,△ABD 为正三角形,所以 l1 与 l2 的 π 夹角为 .故选 D. 3 [答案] D 6.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,P、Q、R 分别是 AB、AD、 B1C1 的 中 点 . 那 么 , 正 方 体 的 过 P 、 Q 、 R 的 截 面 图 形 是 ______________边形. [解析] 延长 PQ 或(QP)分别交 BC 延长线于 E,交 CD 延长线 于 F,取 C1D1 中点 M,连接 RM,连接 RE 交 BB1 于 S,连接 MF 交 DD1 于 N,连接 NQ, PS,则六边形 PQNMRS 即为正方体 ABCD—A1B1C1D1 的过 P、Q、R 三点的截面图形. [答案] 六 7.如图所示,在三棱锥 A-BCD 中,E,F,G,H 分别是棱 AB, BC, CD, DA 的中点, 则当 AC, BD 满足条件________时, 四边形 EFGH 为菱形,当 AC,BD 满足条件________时,四边形 EFGH 是正方形. 1 [解析] 易知 EH∥BD∥FG,且 EH= BD=FG,同理 EF∥AC∥ 2 1 HG,且 EF= AC=HG,显然四边形 EFGH 为平行四边形.要使平行四边形 EFGH 为菱形 2 需满足 EF=EH, 即 AC=BD; 要使平行四边形 EFGH 为正方形需满足 EF=EH 且 EF⊥EH, ) 即 AC=BD 且 AC⊥BD. [答案] AC=BD AC=BD 且 AC⊥BD 8. (2016· 揭阳模拟)如图所示,在正三棱柱 ABCA1B1C1 中,D 是 AC 的中点,AA1∶AB = 2∶1,则异面直线 AB1 与 BD 所成的角为________. [解析] 如图, 取 A1C1 的中点 D1, 连接 B1D1, 因为 D 是 AC 的中点, 所以 B1D1∥BD,所以∠AB1D1 即为异面直线 AB1 与 BD 所成的角.连接 AD1,设 AB=a,则 AA1= 2a,所以 AB1= 3a,B1D1= 1 2 3 a +2a2= a.所以, 4 2 2 2 AB1 +B1D2 1-AD1 3 a,AD1= 2 在△AB1D1 中,由余弦定理得,cos∠AB1D1= 2AB1· B1D1 3 9 3a2+ a2- a2 4 4 1 = = ,所 2 3 2× 3a× a 2 以∠AB1D1=60° . [答案] 60° 9.已知空间四边形 ABCD 中,E,H 分别是边 AB,AD 的中点,F,G 分别是边 BC, CD 的中点. (1)求证:BC 与 AD 是异面直线; (2)求证:EG 与 FH 相交. [证明] (1)假设 BC 与 AD 共面, 不妨设它们所共平面为 α, 则 B, C,A,D∈α.所以四边形 ABCD 为平面图形,这与四边形 ABCD 为空 间四边形相矛盾.所以 BC 与 AD 是异面直线. (2)如图,连接 AC,BD,则 EF∥AC,HG∥AC,因此 EF∥HG; 同理 EH∥FG,则 EFGH 为平行四

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