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(江西版)2013年高考数学总复习 第十一章11.5 数学归纳法 理 北师大版(含详解)

2013 年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章 11.5 学归纳法练习



一、选择题 1.用数学归纳法证明 1+2+?+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证 n=1 成立时,左 边所得的代数式是( ). A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4 1 1 1 2.用数学归纳法证明“1+ + +?+ n <n(n∈N+,n>1)”时,由 n=k(k>1)不等 2 3 2 -1 式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是( ). k-1 k k k A.2 B.2 -1 C.2 D.2 +1 1 1 1 127 3. 用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n-1> 成立时, 起始值 n 至少应取为( ). 2 4 2 64 A.7 B.8 C.9 D.10 n n 4.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”的第二步是( ). A.假设 n=2k+1 时正确,再推 n=2k+3 时正确(其中 k∈N+) B.假设 n=2k-1 时正确,再推 n=2k+1 时正确(其中 k∈N+) C.假设 n= k 时正确,再推 n=k+1 时正确(其中 k∈N+) D.假设 n≤k(k≥1)时正确,再推 n=k+2 时正确(其中 k∈N+) 1 5. 在数列{an}中, 1= , Sn=n(2n-1)an, a 且 通过求 a2, 3, 4, a a 猜想 an 的表达式为( ). 3 1 1 A. B. (n-1)(n+1) 2n(2n+1) 1 1 C. D. (2n-1)(2n+1) (2n+1)(2n+2) n+1 6.设函数 f(n)=(2n+9)·3 +9,当 n∈N+时,f(n)能被 m(m∈N+)整除,猜想 m 的最 大值为( ). A.9 B.18 C.27 D.36 二、填空题 n+2 1-a 2 n+1 7.用数学归纳法证明“1+a+a +?+a = (a≠1,且 n∈N+)”,在验证 n=1 1-a 时,左边计算所得的结果是__________. n(3n+1) 8.用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+?+(n+n)= (n∈N+)的第二步中, 2 当 n=k+1 时等式左边与 n=k 时等式左边的差等于__________. 1 1 1 9 1 1 1 1 16 9.在△ABC 中,不等式 + + ≥ 成立;在四边形 ABCD 中,不等式 + + + ≥ 成 A B C π A B C D 2π 1 1 1 1 1 25 立;在五边形 ABCDE 中,不等式 + + + + ≥ 成立?? A B C D E 3π 猜想在 n 边形 A1A2?An 中,有不等式__________成立. 三、解答题 1 2 2 2 2 2 10.用数学归纳法证明:1 +3 +5 +?+(2n-1) = n(4n -1). 3 n 2 11.试比较 2 +2 与 n 的大小(n∈N+),并用数学归纳法证明你的结论. 12. 如图, 1(x1, 1), 2(x2, 2), Pn(xn, n)(0<y1 <y2<?<yn)是曲线 C: =3x(y≥0) P y P y ?, y y2 上的 n 个点,点 Ai(ai,0)(i=1,2,3,?,n)在 x 轴的正半轴上,且△Ai-1AiPi 是正三角形(A0 是坐标原点). (1)写出 a1,a2, a3; (2)求出点 An(an,0)(n∈N+)的横坐标 an 关于 n 的表达式并证明.
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参考答案 一、选择题 1.C 解析:左边表示从 1 开始,连续 2n+1 个正整数的和,故 n=1 时,表示 1+ 2+3 的和. 1 1 2.C 解析:左边的特点:分母逐渐增加 1,末项为 n ;由 n=k,末项为 k 到 n=k 2 -1 2 -1 1 1 k +1 末项为 k+1 = k k,显然增加的项数为 2 . 2 -1 2 -1+2

?1? 1? ? ? 7 1 1 1 ? 2 ? =2- 1 =2 -1=127, 3.B 解析:∵1+ + +?+ 7-1= 6 6 2 4 2 2 2 64 1 1? 2
1 1 1 127 而 1+ + +?+ 8-1> ,故起始值 n 至少取 8. 2 4 2 64 4.B 解析:∵n 为正奇数, ∴n=2k-1(k∈N+). 1 1 1 1 1 1 1 5.C 解析:由 a1= ,Sn=n(2n-1)an 求得 a2= = ,a3= = ,a4= = . 3 15 3×5 35 5×7 63 7×9 1 猜想 an= . (2n-1)(2n+1) n+2 n+1 n+1 6.D 解析:f(n+1)-f(n)=(2n+11)·3 -(2n+9)·3 =4(n+6)·3 , 当 n=1 时,f(2)-f(1)=4×7×9 为最小值,据此可猜想 D 正确. 二、填空题 2 7.1+a+a 解析:首先观察等式两边的构成情况,它的左边是按 a 的升幂顺序排列的, 2 共有 n+2 项.因此当 n=1 时,共有 3 项,应该是 1+a+a . 8.3k+2 解析:当 n=k 时,左边=(k+1)+(k+2)+?+(k+k),当 n=k+1 时, 左边=(k+1+1)+(k+1+2)+?+(k+1+k+1)=(k+2)+(k+3)+?+2k+(2k+1) +(2k+2), 所以其差为(2 k+1)+(2k+2)-(k+1)=3k+2. 1 1 1 n2 9. + +?+ ≥ A1 A2 An (n-2)π 三、解答题 1 2 10.证明:(1)当 n=1 时,左边=1 =1,右边= ×1×(4-1)=1, 等式成立. 3 1 * 2 2 2 2 2 (2)假设当 n=k(k∈ N )时等式成立,即 1 +3 +5 +?+(2k-1) = k(4k -1). 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 则当 n=k+1 时,1 +3 +5 +?+(2k-1) +(2k+1) = k(4k -1)+(2k+1) = k(4k 3 3 2 -1)+4k +4k+1 1 1 2 2 = k[4(k+1) -1]- k·4(2k+1)+4k +4k+1 3 3 1 1 2 2 2 = k[4(k+1) -1]+ (12k +12k+3 -8k -4k) 3 3 1 1 2 2 = k[4(k+1) -1]+ [4(k+1) -1] 3 3 1 2 = (k+1)[4(k+1) -1]. 3 即当 n=k+1 时等式也成立. 由(1),(2)可知,对一切 n∈N+,等式都成立.
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11.解:当 n=1 时,2 +2=4>n =1, 2 2 当 n=2 时,2 +2=6>n =4, 3 2 当 n=3 时,2 +2=10>n =9, 4 2 当 n=4 时,2 +2=18>n =16, n 2 * 由此可以 猜想,2 +2>n (n∈N )成立. 下面用数学归纳法证明: 1 (1)当 n=1 时,左边=2 +2=4,右边=1,左边>右边,所以原不等式成立. 2 当 n=2 时,左边=2 +2=6, 2 右边=2 =4,左边>右边; 3 2 当 n=3 时,左边=2 +2=10 ,右边=3 =9,左边>右边. * (2)假设 n=k (k≥3 且 k∈N )时,不等式成立, k 2 即 2 +2>k .那么 n=k+1 时, k+1 k k 2 2 +2=2·2 +2=2(2 +2)-2>2·k -2. 2 2 2 又因为 2k -2-(k+1) =k -2k-3=(k-3)(k+1)≥0, 2 2 k+1 2 即 2k -2≥(k+1) ,故 2 +2>(k+1) 成立. * 根据(1)和(2),可知原不等式对于任何 n∈N 都成立. 12.解:(1)a1=2,a2=6,a3=12. (2)依题意,得 xn=

1

2

an-1+an
2

,yn= 3·

an-an-1
2

a ? an ?1 ? ? ,由此及 yn =3·xn 得 ? 3 ? n ? = 2 ? ?
2
2

3 (an+an-1), 2 2 即(an-an-1) =2(an-1+an). 由(1)可猜想:an=n(n+1)(n∈N+). 下面用数学归纳法予以证明: ①当 n=1 时,命题显然成立. ②假设当 n=k(k∈ N+)时命题成立,即有 ak=k(k+1),则当 n=k+1 时,由归纳假设及 2 2 2 (ak+1-ak) =2(ak+ak+1),即 ak+1 -2(k +k+1)ak+1+[k(k-1)]·[(k+1)(k+2)]=0,解之, 得 ak+1=(k+1)(k+2)〔ak+1=k(k-1)<ak 不合题意,舍去〕 , 即当 n=k+1 时,命题成立. 由①、②可知,命题 an=n(n+1)(n∈N+)成立.

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