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天津市河北区2016届高三数学总复习质量检测试题(二)理


天津市河北区 2015-2016 学年度高三年级总复习质量检测(二) 数学(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟.第 Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页. 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 注意事项: 1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴 考试用条形码。 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,在选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3. 本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式: · 如果事件 A,B 互斥,那么 · 球的表面积公式 S= 4 ?R 2 P(A∪B)=P(A)+P(B) 4 球的体积公式 V= ?R 3 · 如果事件 A,B 相互独立,那么 3 P(AB)=P(A) ? P(B) 其中 R 表示球的半径

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合 A ? {x x 2 ? 3x ? 0,x ? R} ,集合 B ? {x x ? 2,x ? R} ,则 A ? B ? (A) (?2, 0) (2)若复数 z ? (A) - 2 (B) (?2, 3) (C) (2, 3) (D) (0, 2)

a-i 是纯虚数 (i 是虚数单位),则实数 a 的值为 1- i
(B) -1 (C) 1 (D) 2

(3)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A) 16 + 2π (B) 16 + π (C) 8 + 2π (D) 8 + π

(4)设 a,b ? R ,则“ 2a ? 2b ? 2a ? b ”是“ a ? b ≥ 2 ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
1

(5)已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,若其渐近线与圆 x2 ? y2 ? 4 y ? 3 ? 0 相 切,则此双曲线的离心率为
1 2

(A)

(B) 2 (D) 2

(C) 3

? x ≥ 0, (6)若实数 x,y 满足条件 ? ( k 为常数) ,且 z ? x+ 3y 的最大值为 12 ,则 ? y ≤ x, ?2 x + y +k ≤ 0, ?

实数 k 的值为 (A) 0 (B) -24 (C) -12 (D) -9

+ ?) 时,都有 (7)已知函数 y = f ( x) 是 R 上的偶函数,当 x1,x2 ? (0,

1 ( x1 - x2 )[ f ( x1 ) - f ( x2 )] < 0 成立,若 a = ln ,b = (lnπ)2,c = ln π ,则 π

(A) f ( a ) > f (b) > f (c ) (C) f (b) > f ( a ) > f (c )

(B) f (c ) > f ( a ) > f (b ) (D) f (c ) > f (b ) > f ( a )

(8)若至少存在一个 x( x ≥ 0) ,使得关于 x 的不等式 x 2 ≤ 4 - 2 x - m 成立,则实数 m 的取 值范围是

5] (A) [-4,

5] (B) [-5,

5] (C) [4,

4] (D) [-5,

河北区 2015-2016 学年度高三年级总复习质量检测(二) 数 学(理工类) 第Ⅱ卷 注意事项: 1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2. 用钢笔或圆珠笔答在答题纸 上。 ... 3. 本卷共 12 小题,共 110 分。

题 号 分 数



(15)

(16)

(17)

三 (18)

(19)

(20)

总 分

2

得 分

评卷人

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填 在题中横线上.

(9)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是



(10)如图,切线 PA 切圆 O 于点 A ,割线 PBC 与圆 O 交于点 B,C ,且 PC = 2 PA , 3 D 为线段 PC 的中点, AD 的延长线交圆 O 于点 E .若 PB ? ,则 AD ? DE 的 4 值为_______________.
开始

S ? 0, n ? 1

S ? S ?2 ?n

n

n ? n ?1 S ≥15?
是 输出 S 结束 否

(第 9 题图)

(第 10 题图)

(11) ( x -

1 6 ) 的展开式中的常数项为 2x

. .

(12)由曲线 y = 3 x 2 与直线 y ? 3 所围成的封闭图形的面积是 (13)设 x, y 是正实数,且 x ? y ? 1 ,则

x2 y2 的最小值为______________. ? x+2 y +1 ??? ? ??? ? ???? ? ???? (14)在 ΔABC 中, AB = 3 , BC = 5 , M 为 BC 的中点, AM = λMP (λ ? R) . ??? ? ???? ???? AB AC 若 MP = ??? ,则 ΔABC 的面积为______________. + ???? ? AB cosB AC cosC

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 得 分 评卷人

(15) (本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) = 4cosωx ? sin(ωx + ) + a (ω > 0) 图象上最高点的纵坐标为 2 ,且 图象上相邻两个最高点的距离为 π .
3

π 6

(Ⅰ)求 a 和 ω 的值; (Ⅱ)求函数在 f ( x) 在区间 [0, π] 上的单调递减区间.

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

(16) (本小题满分 13 分)

已知盒中有 4 个红球, 4 个黄球, 4 个白球,且每种颜色的四个球均按 . A ,B,C,D 编号.现从中摸出 4 个球(除颜色与编号外球没有区别) (Ⅰ)求恰好包含字母 A ,B,C,D 的概率; (Ⅱ)设摸出的 4 个球中出现的颜色种数为 X ,求随机变量 X 的分布列和期望 E( X ) . 请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

(17) (本小题满分 13 分)

如图,在四棱锥 S - ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, SA ? 底面 ABCD , SA ? AB ,
M 为 SD 的中点, AN ? SC ,且交 SC 于点 N .

(Ⅰ)求证: SB ∥平面 ACM ; (Ⅱ)求证:平面 SAC ? 平面 AMN ; (Ⅲ)求二面角 D ? AC ? M 的余弦值.

4

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

(18) (本小题满分 13 分)

设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? λSn ? 1 (n ? N*,λ ? ?1) , 且 a1,2a2,a3 ? 3 为等差数列 {bn } 的前三项. (Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an bn } 的前 n 项和 Tn .

请将答案写在答题纸上

5

得 分

评卷人 (19) (本小题满分 14 分)

已知椭圆 C :

x a

2 2

+

y b

2 2

一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形. = 1 ( a > b > 0) 的焦距为 2 ,

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设椭圆 C 的右焦点为 F , 过 F 点的两条互相垂直的直线分别为 l1, l2 , 直线 l1 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,直线 l2 与直线 x= 4 交于 T 点. (i)求证:线段 PQ 的中点在直线 OT 上( O 为坐标原点) ; (ii)求
TF PQ

的取值范围.

请将答案写在答题纸上

6

得 分

评卷人

(20) (本小题满分 14 分)

已知关于 x 的函数 f ( x) =

2 - alnx ,其中 a ? R , g ( x) = x 2 + f ( x) . x

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间;
1) 内有极值,求 a 的取值范围; (Ⅱ)若函数 g ( x) 在区间 (0,

(Ⅲ)当 a ? 0 时,若 g ( x) 有唯一零点 x0 ,试求 [ x0 ] . (注: [ x] 为取整函数,表示不超过 x 的最大整数,如 [0.3] ? 0 , [2.6] ? 2 , [?1.4] ? ?2 ; 以下数据供参考: ln2 = 0.693 , ln3 =1.099 , ln5 =1.609 , ln7 =1.946 )

请将答案写在答题纸上

7

河北区 2015-2016 学年度高三年级总复习质量检测(二) 数 学 答 案(理) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 D 6 D 7 B 8 A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) 20 ; (12) 4 ; (10) 9 ;
8 1 (13) ; 4

(11) ? 5 ;

2 5 11 (14) . 4

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (15) (本小题满分 13 分)

π 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? 4cosωx ? sin(ωx + ) + a 6 3 1 ? 4cos ωx ? ( sin ωx ? cos ωx) ? a 2 2
? 2 3sin ωx cos ωx ? 2cos2 ωx ? a

∴ ymax

? 3 sin 2ωx ? cos 2ωx ? 1 ? a π ? 2sin(2ωx+ ) ? 1 ? a , 6 ? 2 ? 1 ? a ? 2 ,∴ a ? ?1 .

???? 3 分 ???? 5 分 ???? 7 分

∵ ? ? 0 ,∴ T ?

2π ? π , 解得 ? ? 1 . 2?

π (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? 2sin(2 x + ) . 6 π π 3π 由 2kπ ? ≤ 2x ? ≤ 2kπ ? ,k ? Z , ???? 9 分 2 6 2 π 2π 得 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ,k ? Z . ???? 10 分 6 3 π 2π 令 k ? 0 , ≤ x ≤ , ???? 12 分 6 3
∴ f ( x) 在区间 [0, π] 上的单调递减区间为 [ , ] .
6 3 ? 2?

????13 分

(16) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) P ?
1 1 1 1 C3 C3C3C3 9 ? . 4 C12 55

???? 4 分

2 3 . ???? 5 分 (Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 1,,

∵ P( X ? 1) ?

C3

1

4 C12

=

1 165
1 3


2 2 3 1

P( X ? 2) ?

C3 (C4C4 ? C4 C4 ? C4 C4 )
4 C12

2

=

68 165



8

P( X ? 3) ?

1 1 2 3C4 C4C4 4 C12

=

32 55



???? 10 分

∴随机变量 X 的分布列为:

X

1
1 165

2
68 165

3
32 55

P

????11 分

85 ? 2? ? 3? ? ∴ E ( X ) ? 1? . 165 165 55 33

1

68

32

???? 13 分

(17) (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)连结 BD ,交 AC 于点 E ,连结 ME . ∵ ABCD 是正方形, ∴ E 是 BD 的中点. 又 M 是 SD 的中点, ∴ ME ∥ SB . ????2 分 又 ME ? 平面 ACM , SB ? 平面 ACM , ∴ SB ∥平面 ACM . ????4 分 (Ⅱ)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 由已知,设 SA= AB=1,

1 1 得 A(0,, 0 0),B(0, 1 , 0),C(1, 1, 0),D(1,, 0 0),S ( 0,,, 0 1) M ( ,, 0 ), 2 2 ??? ???? 1 1 1, - 1) , AM ? ( ,, 0 ) , SC = (1, 2 2
∵ AM ? SC ?

???? ???
????

1 2

?

1 2

? 0,

∴ AM ? SC ,即 AM ? SC .????6 分 又 AN ? SC , AM ? AN = A , ∴ SC ? 平面 AMN . ∴平面 SAC ? 平面 AMN . (Ⅲ)解:∵ SA ? 平面 ABCD ,
0 1) . ∴平面 ABCD 的法向量为 n ? (0,,

???

???? 7 分 ????8 分

????9 分

y z) , 设平面 ACM 的法向量为 m ? ( x,,

??? ? ???? 1 1 ∵ AC ? (1, 1, 0) , AM ? ( ,, 0 ), 2 2
???? ? ?m ? AC ? 0, ∴ ? ???? ? ? ?m ? AM ? 0,
? x ? y ? 0, ? 即 ?1 1 x ? z ? 0. ? ?2 2

1, 1) . 令 x ? ?1 ,则 m ? (-1,

????11 分
9

∵ cos m,n ?

m?n 3 ? , m?n 3
3 . 3

∴二面角 D ? AC ? M 的余弦值为 (18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵ an+1 = λS n + 1 , ∴ an = λS n-1 +1 (n ≥ 2) .

????13 分

∴ an ?1 ? an ? λan ,即 an ?1 ? ( λ ? 1) an (n ≥ 2) , λ +1 ? 0 ,???? 2 分 又 a1 = 1 , a2 ? λS1 ? 1 ? λ ? 1 , ????3 分 ∴数列 {an } 是以 1 为首项, λ ? 1 为公比的等比数列. ???? 4 分 2a2,a3 ? 3 为等差数列 {bn } 的前三项. ∵ a1, ∴ 4( λ ? 1) ? 1 ? ( λ ? 1) 2 ? 3 ,整理得 λ 2 ? 2λ ? 1 ? 0 .解得 λ ? 1 . ∴ an ? 2n ?1 , bn ? 1 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得 an bn ? (3n ? 2) ? 2 n ?1 , ????6 分

. ????7 分

∴ Tn ? 1? 20 ? 4 ? 21 ? 7 ? 22 ? ? ? (3n ? 2) ? 2n?1 .
2Tn ? 1? 21 ? 4 ? 22 ? ? ? (3n ? 5) ? 2n?1 ? (3n ? 2) ? 2n ..???9 分

两式相减得,
?Tn ? 1 ? 3(21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? (3n ? 2) ? 2n
?1? 3? 2 ? (1 ? 2n?1 ) ? (3n ? 2) ? 2 n . 1? 2

.??.??10 分 .??.??11 分

∴ Tn ? (3n ? 5) ? 2n ? 5 . ????13 分 (19) (本小题满分 14 分) ? 2c = 2, 解: (Ⅰ)由已知得 ? ? a = 2c,

????2 分

∴ c ? 1,a ? 2 . 又 a 2 ? b 2 +c 2 ,∴ b ? 3 . 2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 x + = 1 . ???? 4 分 4 3 (Ⅱ) (i)设直线 l1 的方程为 x ? my ? 1 , x2 y 2 ? ? 4 ? 3 ?1 由? 消去 x 并整理得, (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 . ? ? x ? my ? 1 ? ? 36m2 ? 4(3m2 ? 4) ? 9 ? 0 . 设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) , PQ 的中点 G ( x0,y0 ) , ?6m ?9 ∴ y1 ? y2 ? 2 . ???? 6 分 ,y1 y2 ? 2 3m ? 4 3m ? 4 y ? y2 4 ?3m ∴ y0 ? 1 , x0 ? my0 ? 1 ? 2 , ? 2 3m ? 4 2 3m ? 4
10

4 ?3m ???? 7 分 , 2 ). 3m ? 4 3m ? 4 ?3m 3m2 ? 4 ?3m . kOG ? 2 ? ? 3m ? 4 4 4 ? 3m) . 设直线 l2 的方程为 y ? ?m( x ? 1) ,则 T (4, ?3m ∵ kOT ? , 4 ∴ kOG ? kOT ,线段 PQ 的中点在直线 OT 上. ???? 9 分 (ii) 0) . ① 当 m ? 0 时, PQ 的中点为 F , T (4,

即 G(

2

TF ? 3, PQ ?

TF 2b2 ? 1. ?3, ∴ PQ a

????10 分

② 当 m ? 0 时,

TF ? (4 ? 1)2 ? (?3m)2 ? 3 m2 ? 1 ,
PQ ? 1 ? 1 ? y1 ? y2 ? 1 ? m 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 , 2 k
?6m 2 ?9 m2 ? 1 ) ? 4? 2 ? 12 ? 2 , 2 3m ? 4 3m ? 4 3m ? 4

? 1 ? m2 (

3 m2 ? 1 3m2 ? 4 1 1 ? ? (3 m2 ? 1 ? ). 2 PQ (m ? 1) 12 4 m2 ? 1 TF 1 1 令 t ? m2 ? 1 ,则 ? (3t ? ) (t ? 1) . PQ 4 t



TF

?

????11 分

1 1 令 g (t ) ? (3t ? ) (t ? 1) , 4 t ? ?) 上为增函数, ∵ g (t ) 在 (1, ∴ g (t ) ? g (1) ? 1 . ???? 13 分

综合①②,

TF PQ

的取值范围是 [1, ? ?) .

????14 分

注:其他解法可参照评分标准酌情给分 (20) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意, f ( x) 的定义域为 (0, ? ?) , 2 a ax + 2 又 f ?( x) = - 2 - ? - 2 , ????1 分 x x x (1)当 a ≥ 0 时, ∵ f ?( x) ? 0 恒成立, ∴ f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减; (2)当 a ? 0 时, 由 f ?( x) ? 0 得 , 0 ? x ? ? ;由 f ?( x) ? 0 得, x ? ? , ∴ f ( x) 在 (0,? 2 ) 上单调递减,在 (? ,? ?) 上单调递增. ????4 分
a

2 a

2 a

2 a

(Ⅱ)∵ g ( x) = x 2 + f ( x) , ∴ g ( x) 的定义域为 (0, ? ?) . ∴ g ?( x) = 2 x -

ax + 2 2x3 ? ax ? 2 . ????5 分 ? x2 x2
11

x ? (0, ? ?) . 令 h( x) = 2x3 ? ax ? 2,
∴ h?( x) = 6 x ? a . ( ? ? ) (1)当 a ? 0 时, ∵ h?(x) ? 0 恒成立,
2

(?)

∴ h( x) 在 (0, ? ?) 上单调递增,又 h(0) = -2 < 0,h(1) = -a > 0 , ∴ h( x) 在 (0, 1) 内存在一个零点,也是 g?( x) 的零点. ∴ g ( x) 在 (0, 1) 内有极值; (2)当 a ≥ 0 时, 当 0 < x < 1 时, h( x) = 2( x3 ? 1) ? ax < 0 ,即 g ?( x ) ? 0 恒成立, ∴ g ( x) 在 (0, 1) 内无极值. 综上所述,若 g ( x) 在 (0, 0) .?8 分 1) 内有极值,则实数 a 的取值范围是 (??, (Ⅲ)当 a ? 0 时, 由(Ⅱ)知 g ( x) 在 (0, 1) 上单调递减,又 g (1) = 3 , ∴当 x ? (0, 1] 时, g ( x ) > 0 . ∴ x0 ? 1 . 又由( ? )及( ? ? )知, g ( x) 在 (1,? ? ) 上只有一个极小值点,记为 x1 , 且当 x ? (1,x1 ) 时, g ( x) 单调递减,当 x ? ( x1,+?) 时, g ( x) 单调递增, 由题意, x1 即为 x0 .

? g ( x0 ) ? 0, ∴? ? g ?( x0 ) ? 0. ? 2 2 ? x0 + x ? a ln x0 ? 0, ∴ ? 0 ?2 x 3 ? ax ? 2 ? 0. 0 ? 0 3 消去 a ,得 2 ln x0 ? 1+ 3 . x0 ? 1

3 , x ?1 则当 x ? (1,+?) 时, t1 ( x ) 单调递增, t2 ( x ) 单调递减, 7 10 ? t2 (2) , 且 t1 (2) ? 2ln 2 ? 2 ? 0.7 ? ? 5 7 t1 (3) ? 2ln 3 ? 2 ? 1 ? 3 ? t2 (3) . 26 ∴ 2 < x0 ? 3 , ∴ [ x0 ] ? 2 . ????14 分 t2 ( x) ? 1+ 令 t1 ( x) ? 2ln x,
3

12


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