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北京市昌平区2015届高三上学期期末数学试卷(理科)


北京市昌平区 2015 届高三上学期期末数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. ) 1. (5 分)已知集合 A={x|(x﹣4) (x+2)=0},B={x|x≥3},则 A∩B 等于() A.{﹣2} B.{3} C.{4} D.{﹣2,4} 2. (5 分)已知 a>b>0,则下列不等式成立的是() A.a <b
2 2

B. >

C.|a|<|b|

D.2 >2

a

b

3. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出 a 的值是()

A.4

B. 8

C.16

D.32

4. (5 分)某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视 图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是()

A.8

B.

C. 4

D.

5. (5 分)已知直线 m 和平面 α,β,则下列四个命题中正确的是() A.若 α⊥β,m?β,则 m⊥α B. 若 α∥β,m∥α,则 m∥β C. 若 α∥β,m⊥α,则 m⊥β D.若 m∥α,m∥β,则 α∥β 6. (5 分)在 2014 年 APEC 会议期间,北京某旅行社为某旅行团包机去旅游,其中旅行社 的包机费为 12000 元, 旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算: 若旅行团的人数在 30 人或 30 人以下,每张机票收费 800 元;若旅行团的人数多于 30 人,则给予优惠,每多 1 人,旅行团每张机票减少 20 元,但旅行团的人数最多不超过 45 人,当旅行社获得的机票利 润最大时,旅行团的人数是() A.32 人 B.35 人 C.40 人 D.45 人 7. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c.若 a=1,A=30°,则“B=60°” 是“b= ”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 8. (5 分) 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝, 以下四人中只有一人说真话, 只有一人偷了珠宝. 甲: 我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.根据以上条件,可以判断偷珠宝 的人是 () A.甲 B. 乙 C. 丙 D.丁

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) 9. (5 分)设复数 z=1﹣2i,则|z|=. 10. (5 分) (1+2x) 的展开式中含 x 项的系数是. (用数字作答)
5 2

11. (5 分)设 x,y 满足约束条件

则 z=2x+y 的最大值为.

12. (5 分)平面向量 与 的夹角为 60°, =(1,0) ,| |=2,则|2 ﹣ |=.

13. (5 分)已知双曲线 x ﹣

2

=1(m>0)的离心率是 2,则 m=,以该双曲线的右焦点为

圆心且与其渐近线相切的圆的方程是. 14. (5 分)已知函数 f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x) ,有如下结论: ①?x∈(﹣1,1) ,有 f(﹣x)=f(x) ; ②?x∈(﹣1,1) ,有 f(﹣x)=﹣f(x) ; ③?x1,x2∈(﹣1,1) ,有 >0;

④?x1,x2∈(0,1) ,有 f(

)≤



其中正确结论的序号是. (写出所有正确结论的序号)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (13 分)已知函数 (Ⅰ) 求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)当 时,求函数 f(x)的最大值及取得最大值时的 x 值. .

16. (13 分) 从甲、 乙两班某项测试成绩中各随机抽取 5 名同学的成绩, 得到如下茎叶图. 已 知甲班样本成绩的中位数为 13,乙班样本成绩的平均数为 16. (Ⅰ) 求 x,y 的值; (Ⅲ) 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低(只需写出结论) ; (Ⅲ) 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分,再从两组 剩余成绩中分别随机选取一个成绩,求这两个成绩的和 ξ 的分布列及数学期望. (注:方差 s = ,其中 为 x1,x2,…,xn 的平均数. )
2

17. (14 分)如图,PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面,∠ADC=∠BAD=90°.F 为 PA 中点, PD= ,AB=AD= CD=1.四边形 PDCE 为矩形,线段 PC 交 DE 于点 N.

(Ⅰ)求证:AC∥平面 DEF; (Ⅱ)求二面角 A﹣BC﹣P 的大小; (Ⅲ)在线段 EF 上是否存在一点 Q,使得 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为 请求出 FQ 的长;若不存在,请说明理由. ?若存在,

18. (13 分)已知函数 f(x)=lnx﹣a x +ax(a∈R) . (1)当 a=1 时,求函数 f(x)最大值; (2)若函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围.

2 2

19. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,经过点 P(1,

) ,离心率是



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且以 AB 为直径的圆过椭圆右顶点 M,求证:直 线 l 恒过定点.

20. (13 分)已知数列{an}满足 a1= ,an+1= 和为 Sn,bn=a2n,其中 n∈N . (Ⅰ) 求 a2+a3 的值; (Ⅱ) 证明:数列{bn}为等比数列; (Ⅲ) 是否存在 n(n∈N ) ,使得 S2n+1﹣ 请说明理由.
* *

,数列{an}的前 n 项

=b2n?若存在,求出所有的 n 的值;若不存在,

北京市昌平区 2015 届高三上学期期末数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. ) 1. (5 分)已知集合 A={x|(x﹣4) (x+2)=0},B={x|x≥3},则 A∩B 等于() A.{﹣2} B.{3} C.{4} D.{﹣2,4} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求解一元二次方程化简集合 A,然后 直接利用交集运算得答案. 解答: 解:∵A={x|(x﹣4) (x+2)=0}={﹣2,4}, B={x|x≥3}, ∴A∩B={﹣2,4}∩{x|x≥3}={4}. 故选:C. 点评: 本题考查了交集及其运算,考查了一元二次方程的解法,是基础题. 2. (5 分)已知 a>b>0,则下列不等式成立的是() A.a <b
2 2

B. >

C.|a|<|b|

D.2 >2

a

b

考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 考察指数函数 y=2 的单调性即可得出. 解答: 解:∵a>b>0, ∴2 >2 , 故选:D. 点评: 本题考查了指数函数的单调性、不等式的性质,属于基础题. 3. (5 分)执行如图所示的程序框图,输出 a 的值是()
a b x

A.4

B. 8

C.16

D.32

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,依次写出每次循环得到的 n,a 的值,当 n=4 时,满足条件 n>3, 退出循环,输出 a 的值为 8. 解答: 解:执行程序框图,有 a=1,n=1 n=2,a=2 不满足条件 n>3,n=3,a=4 不满足条件 n>3,n=4,a=8 满足条件 n>3,退出循环,输出 a 的值为 8. 故选:B. 点评: 本题主要考察了程序框图 和算法,正确理解循环结构的功能是解题的关键,属于 基本知识的考查. 4. (5 分)某四棱锥的三视图如图所示,其中正(主)视图是等腰直角三角形,侧(左)视 图是等腰三角形,俯视图是正方形,则该四棱锥的体积是()

A.8

B.

C. 4

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 由三视图可知,几何体是一个底面是正方形的四棱锥,且一条侧棱垂直于底面.求 出底面面积和高,即可求出体积. 解答: 解: 由三视图可知, 几何体是一个底面是正方形的四棱锥, 且一条侧棱垂直于底面. 底面对角线的长为 2,底面面积是 S= ×2 =2, 四棱锥高为 h=2, 所以它的体积是 ×2×2= , 故选:D 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积, 解决本题的关键是得到该几何体的 形状.
2

5. (5 分)已知直线 m 和平面 α,β,则下列四个命题中正确的是() A.若 α⊥β,m?β,则 m⊥α B. 若 α∥β,m∥α,则 m∥β C. 若 α∥β,m⊥α,则 m⊥β D.若 m∥α,m∥β,则 α∥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用面面垂直、面面平行、线面平行的判定定理和性质定理分别分析解答. 解答: 解:对于选项 A,若 α⊥β,m?β,则 m 与 α 可能平行或者斜交;故 A 错误; 对于选项 B,若 α∥β,m∥α,则 m∥β 或者 m?α;故 B 错误; 对于选项 C,若 α∥β,m⊥α,则由面面平行的性质定理可得 m⊥β;故 C 正确; 对于选项 D,若 m∥α,m∥β,则 α 与 β 可能相交;故 D 错误; 故选 C. 点评: 本题考查了面面垂直、 面面平行的性质定理和判定定理的运用, 关键是熟练掌握定 理,正确分析. 6. (5 分)在 2014 年 APEC 会议期间,北京某旅行社为某旅行团包机去旅游,其中旅行社 的包机费为 12000 元, 旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算: 若旅行团的人数在 30 人或 30 人以下,每张机票收费 800 元;若旅行团的人数多于 30 人,则给予优惠,每多 1 人,旅行团每张机票减少 20 元,但旅行团的人数最多不超过 45 人,当旅行社获得的机票利 润最大时,旅行团的人数是() A.32 人 B.35 人 C.40 人 D.45 人 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设旅行团的人数为 x 人,每张机票收费为 m 元,旅行社获得的机票利润为 y,根据 条件建立函数关系,利用一元二次函数的性质即可得到结论. 解答: 解:设旅行团的人数为 x 人,每张机票收费为 m 元,旅行社获得的机票利润为 y, 当 1≤x≤30 且 x∈N 时,m=800,ymax=800×30﹣12000=12000, 当 30<x≤45 且 x∈N 时,m=800﹣20(x﹣30)=1400﹣20x, 则 y=(1400﹣20x)x﹣12000=﹣20x +1400x﹣12000,对应的抛物线开口向下, 因为 x∈N,所以当 x= =35,函数取得最大值.
2

所以当旅行社人数为 35 时,旅行社可获得最大利润. 故选:B 点评: 本题考查函数的应用问题,考查函数的最大值的应用,根据条件建立函数关系,利 用一元二次函数的最值性质是解决本题的关键. 7. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c.若 a=1,A=30°,则“B=60°” 是“b= ”的() A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断.

专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义结合正弦定理进行判断即可. 解答: 解:在三角形中由正弦定理得 若 B=60°,则 ,解得 b= ,即充分性成立, ,

若 b=

,则

,解得 sinB=

,解得 B=60°或 B=120°,

故“B=60°”是“b= ”充分不必要条件, 故选:A 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断, 根据三角函数的正弦定理是解决本题的 关键. 8. (5 分) 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝, 以下四人中只有一人说真话, 只有一人偷了珠宝. 甲: 我没有偷;乙:丙是小偷;丙:丁是小偷;丁:我没有偷.根据以上条件,可以判断偷珠宝 的人是() A.甲 B. 乙 C. 丙 D.丁 考点: 进行简单的合情推理. 专题: 综合题;推理和证明. 分析: 此题可以采用假设法进行讨论推理,即可得出结论. 解答: 解:假如甲:我没有偷是真的,乙:丙是小偷、丙:丁是小偷是假的,丁:我没有 偷就是真的,与他们四人中只有一人说真话矛盾, 假如甲:我没有偷是假的,那么丁:我没有偷就是真的,乙:丙是小偷、丙:丁是小偷是假 的,成立, 故选:A. 点评: 本题考查进 行简单的合情推理,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. ) 9. (5 分)设复数 z=1﹣2i,则|z|= . 考点: 专题: 分析: 解答: ∴|z|= 复数求模. 数系的扩充和复数. 直接由复数模的定义计算. 解:∵z=1﹣2i, .

故答案为: . 点评: 本题考查了复数模的求法,是基础题. 10. (5 分) (1+2x) 的展开式中含 x 项的系数是 40. (用数字作答)
5 2

考点: 二项式定理的应用. 专题: 计算题. 分析 : 本题是求系数问题,故可以利用通项公式 Tr+1=Cn a b 来解决,在通项中令 x 的 2 指数幂为 2 可求出含 x 是第几项,由此算出系数为 40 r n﹣r r 2 r 5﹣r 解答: 解:由二项式定理的通项公式 Tr+1=Cn a b 可设含 x 项的项是 Tr+1=C5 1 (2x) r r r r =2 C5 x , 可知 r=2, 所以系数为 2 C5 =40 所以答案应填 40 点评: 本题主要考查二项式定理中通项公式的应用,属于基础题型,难度系数 0.9.一般 地通项公式主要应用有求常数项,有理项,求系数,二项式系数等.
2 2 r n﹣r r

11. (5 分)设 x,y 满足约束条件

则 z=2x+y 的最大值为 2.

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;压轴题;数形结合. 分析: 先画出对应的可行域, 结合图象求出目标函数取最大值时对应的点, 代入即可求出 其最值.

解答: 解:约束条件

对应的可行域如图:

由图得,当 z=2x+y 位于点 B(1,0)时,z=2x+y 取最大值, 此时:Z=2×1+0=2. 故答案为:2.

点评: 本题主要考查简单线性规划.线性目标函数求最值的步骤简单记为:1,作图;2, 平移;3,求值.

12. (5 分)平面向量 与 的夹角为 60°, =(1,0) ,| |=2,则|2 ﹣ |=2.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 求得向量 a 的模,运用向量的数量积的坐标表示和向量的平方即为模的平方,计算 即可得到. 解答: 解: =(1,0) ,即| |=1, =| |?| |?cos60°=1× 则|2 ﹣ |= = =2, = =1,

故答案为:2. 点评: 本题考查向量的数量积的坐标表示和性质, 考查向量的平方即为模的平方, 考查运 算能力,属于基础题.

13. (5 分)已知双曲线 x ﹣

2

=1(m>0)的离心率是 2,则 m=3,以该双曲线的右焦点为
2 2

圆心且与其渐近线相切的圆的方程是(x﹣2) +y =3. 考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的 a,b,c,由离心率公式,计算即可得到 m,求出双曲线 都将揭晓 方程,再由直线和圆相切的条件可得 d=r,运用点到直线的距离公式,计算即可得到. 解答: 解:双曲线 x ﹣ c= ,则 e= =
2

=1(m>0)的 a=1,b=



=2,解得,m=3;

则有双曲线的方程为 x ﹣

2

=1, x,

其右焦点为(2,0) ,渐近线方程为 y= 由题意可得,d=r= =
2


2

则所求圆的方程为(x﹣2) +y =3. 2 2 故答案为:3, (x﹣2) +y =3 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查直线和圆相切的条 件,考查运算能力,属于 基础题. 14. (5 分)已知函数 f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x) ,有如下结论: ①?x∈(﹣1,1) ,有 f(﹣x)=f(x) ;

②?x∈(﹣1,1) ,有 f(﹣x)=﹣f(x) ; ③?x1,x2∈(﹣1,1) ,有 >0;

④?x1,x2∈(0,1) ,有 f(

)≤



其中正确结论的序号是②③④. (写出所有正确结论的序号) 考点: 对数函数的图像与性质;对数的运算性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)是定义域(﹣1,1)上的奇函数,判断①错误,②正确; 根据 f(x)是定义域(﹣1,1)上的增函数,判断③正确, 根据 f(x)的图象在(0,1)上是向下凹的增函数,判断④正确. 解答: 解:∵函数 f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x)=ln ,x∈(﹣1,1) ;

∴?x∈(﹣1,1) ,有 f(﹣x)=ln ∴①错误,②正确; 又设 x1,x2∈(﹣1,1) ,且 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)=ln ﹣ln

=ln

=﹣ln

=﹣f(x) ;

=ln



∵1﹣x1>1﹣x2>0,1+x2>1+x1>0, ∴0< <1,

∴ln

<0,

∴f(x1)<f(x2) , ∴f(x)是定义域(﹣1,1) 上的增函数, 即?x1,x2∈(﹣1,1) ,有 又 f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x) , 求导得:f′(x)= + = + = >0, >0,③正确;

设 g(x)=

,x∈(0,1) ,

再求导得:g′(x)= ∴f(x)是向下凹的增函数, ∴?x1,x2 ∈(0,1) ,有 f(

>0,

)≤

,④正确.

综上,正确结论的序号是②③④. 故答案为:②③④. 点评: 本题考查了判断函数的奇偶性与单调性的应用问题, 也考查了导数的应用问题, 是 综合性题目. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (13 分)已知函数 (Ⅰ) 求函数 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)当 时,求函数 f(x)的最大值及取得最大值时的 x 值. .

考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)根据倍角公式化简可得解析式 f(x)= 公式可求解. (Ⅱ)由已知可得 最大值及取得最大值时的 x 值. 解答: (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 = 所以 (Ⅱ)因为 所以 所以当 即 .…(9 分) 时, …(6 分) .…(7 分) , , …(4 分) ,从而根据正弦函数的图象和性质可求函数 f(x)的 ,从而根据周期

函数 f(x)的最大值是 2.…(13 分) 点评: 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用, 三角函数的图象与性质, 属于基本知 识的考查.

16. (13 分) 从甲、 乙两班某项测试成绩中各随机抽取 5 名同学的成绩, 得到如下茎叶图. 已 知甲班样本成绩的中位数为 13,乙班样本成绩的平均数为 16. (Ⅰ) 求 x,y 的值; (Ⅲ) 试估计甲、乙两班在该项测试中整体水平的高低(只需写出结论) ; (Ⅲ) 从两组样本成绩中分别去掉一个最低分和一个最高分,再从两组 剩余成绩中分别随机选取一个成绩,求这两个成绩的和 ξ 的分布列及数学期望. (注:方差 s = ,其中 为 x1,x2,…,xn 的平均数. )
2

考点: 极差、方差与标准差;茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: (I)根据中位数与平均数的概念,求出 x、y 的值; (II)根据甲、乙两班的平均数与方差,比较得出结论; (III)根据题意,求出这两班测试成绩的和 ξ 的可能值,计算概率值,列出 ξ 的分布列,求 出期望值. 解答: 解: (I)根据题意,得; 甲班数据依次为 9,12,10+x,20,26, ∴中位数为 10+x=13,即 x=3; 乙班的平均数是 , 解得 y=8;…(4 分) (II)乙班整体水平高, ∵甲班的平均数与方差为 ,

, 乙班的平均数与方差为 ,

; ,∴乙班的整体水平稳定些;…(7 分) (III) 从甲、乙两班测试中分别去掉一个最低分和最高分, 则甲班为:12,13,20, 乙班为:15,18,18;

这两班测试成绩的和为 ξ,则 ξ=27,28,30,31,35,38; ∴ ; 所以 ξ 的分布列为 ξ 27 P 所以 ξ 的期望为 =32. … (13 分) , , , , ,

28

30

31

35

38

点评: 本题考查了茎叶图的应用问题, 也考查了中位数与平均数以及离散型随机变量的分 布列和期望的应用问题,是基础性题目. 17. (14 分)如图,PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面,∠ADC=∠BAD=90°.F 为 PA 中点, PD= ,AB=AD= CD=1.四边形 PDCE 为矩形,线段 PC 交 DE 于点 N.

(Ⅰ)求证:AC∥平面 DEF; (Ⅱ)求二面角 A﹣BC﹣P 的大小; (Ⅲ)在线段 EF 上是否存在一点 Q,使得 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为 请求出 FQ 的长;若不存在,请说明理由. ?若存在,

考点: 二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)连接 FN,证明 FN∥AC,然后利用直线与平面平行的判定定理证明 AC∥ 平面 DEF. (Ⅱ)以 D 为原点,分别以 DA,DC,DP 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系 D ﹣xyz,求出平面 PBC 的法向量,平 积求解二面角 A﹣BC﹣P 的大小. (Ⅲ) 设存在点 Q 满足条件.设 成角的大小为 ,通过直线 BQ 与平面 BCP 所 ,通过向量的数量

,列出关系式,求出 λ,然后求解 FQ 的长.

解答: (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)证明:连接 FN,在△ PAC 中,F,N 分别为 PA,PC 中点,所以 FN∥AC,

因为 FN?平面 DEF,AC?平面 DEF, 所以 AC∥平面 DEF…(4 分) (Ⅱ)如图以 D 为原点,分别以 DA,DC,DP 所在直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标 系 D﹣xyz.…(5 分)



. 设平面 PBC 的法向量为 ,则





,解得



令 x=1,得

,所以

.…(7 分)

因为平



所以



由图可知二面角 A﹣BC﹣P 为锐二面角, 所以二面角 A﹣BC﹣P 的大小为 (Ⅲ) 设存在点 Q 满足条件. 由 .设 , .…(9 分)

整理得

, ,…(11 分)

因为直线 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为



所以 则 λ =1,由 0≤λ≤1 知 λ=1,即 Q 点与 E 点重合. 故在线段 EF 上存在一点 Q,且 .…(14 分)
2

,…(13 分)

点评: 本题考查二面角的平面角的求法, 直线与平面平行的判定定理的应用, 考查空间想 象能力以及逻辑推理能力. 18. (13 分)已知函数 f(x)=lnx﹣a x +ax(a∈R) . (1)当 a=1 时,求函数 f(x)最大值; (2)若函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性 . 专题: 综合题. 分析: (1)把 a=1 代入函数,利用导数判断出函数的单调性,进而可求出函数 f(x)最 大值; (2)对参数 a 进行讨论,然后利用导数 f′(x)≤0(注意函数的定义域)来解答,方法一是 先解得单调减区间 A,再与已知条件中的减区间(1,+∞)比较,即只需要(1,+∞)?A 即可解答参数的取值范围;方法二是要使函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,我们可 以转化为 f′(x)≤0 在区间(1,+∞)上恒成立的问题来求解,然后利用二次函数的单调区 间于对称轴的关系来解答也可达到目标. 2 解答: 解: (1)当 a=1 时,f(x)=lnx﹣x +x,其定义域是(0,+∞) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣(1 分) ∴ 分) 令 f'(x)=0,即 ∵x> 0,∴ 舍去. ,解得 或 x=1. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(2
2 2

当 0<x<1 时,f'(x)>0;当 x>1 时,f'(x)<0. ∴函数 f(x)在区间( 0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减 2 ∴当 x=1 时,函数 f(x)取得最大值,其值为 f(1)=ln1﹣1 +1=0.﹣﹣﹣(6 分) 2 2 (2)法一:因为 f(x)=lnx﹣a x +ax 其定义域为(0,+∞) ,

所以 ①当 a=0 时, ,

∴f(x)在区间(0,+∞)上为增函数,不合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) ②当 a>0 时,f'(x)<0(x>0)等价于(2ax+1) (ax﹣1)>0(x>0) ,即 此时 f(x)的单调递减区间为 . .

依题意,得

解之得 a≥1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

③当 a<0 时,f'(x)<0(x>0)等价于(2ax+1) (ax﹣1)>0(x>0) ,即 此时 f(x)的单调递减区间为 ,

?





(14 分) ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (16 分)

综上, 实数 a 的取值范围是 法二:∵f(x)=lnx﹣a x +ax,x∈(0,+∞) ∴
2 2

由 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,可得﹣2a x +ax+1≤0 在区间(1,+∞)上恒成立.﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8 分 ①当 a=0 时,1≤0 不合题意﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10

2 2

②当 a≠0 时,可得





﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14 分



﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣16 分 点评: 本题以函数为载体, 综合考查利用函数的导数来解决有关函数的单调性、 最值等问 题的能力,考查已知函数的单调性的条件下怎样求解参数的范围问题,考查分类讨论,函数 与方程,配方法等数学思想与方法.

19. (14 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,经过点 P(1,

) ,离心率是



(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,且以 AB 为直径的圆过椭圆右顶点 M,求证:直 线 l 恒过定点. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (I)通过将点 P 代入椭圆方程并利用离心率为 ,计算即得结论; ,通过

(II)通过对直线的斜率进行讨论,不妨设直线 l 的方程,利用韦达定理及 将直线方程代入向量数量积的坐标运算中,计算即得结论.

解答: (I)解:由

,解得:



所以椭圆 C 的方程是:



(II)证明: (方法一) (1)由题意可知,直线 l 的斜率为 0 时,不合题意. (2)不妨设直线 l 的方程为 x=ky+m.
2 2 2



,消去 x 得(k +4)y +2kmy+m ﹣4=0,

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则有

…①,

.…②

∵以 AB 为直径的圆过点 M,∴ 由 将 x1=ky1+m,x2=ky2+m 代入上式, 得

. ,得(x1﹣2) (x2﹣2)+y1y2=0.

.…③

将①②代入③,得 解得 或 m=2(舍) .



综上,直线 l 经过定点

. .

(方法二) (1)当 k 不存在时,易得此直线恒过点

(2)当 k 存在时.设直线 l 的方程为 y=kx+m,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,M(2,0) . 由 ,可得(4k +1)x +8kmx+4m ﹣12=0.
2 2 2

△ =16(4k ﹣m +1)>0,

2

2

…①,

.…② ,y1=kx1+m,

由题意可知



y2=kx2+m. 可得 (x1﹣2)?(x2﹣2)+y1y2=0. 整理得 …③

把①②代入③整理得: 由题意可知 12k +16km+5m =0, 解得 .
2 2



(i) 当 m=﹣2k 时,即 y=k(x﹣2) ,直线过定点(2,0)不符合题意,舍掉. (ii) ,即 ,直线过定点 . ,经检验符合题意.

综上所述,直线 l 过定点

点评: 本题是一道直线圆锥曲线的综合题,考查求椭圆方程、直线过定点问题,考查运算 求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

20. (13 分)已知数列{an}满足 a1= ,an+1= 和为 Sn,bn=a2n,其中 n∈N . (Ⅰ) 求 a2+a3 的值; (Ⅱ) 证明:数列{bn}为等比数列; (Ⅲ) 是否存在 n(n∈N ) ,使得 S2n+1﹣ 请说明理由. 考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法.
* *

,数列{an}的前 n 项

=b2n?若存在,求出所有的 n 的值;若不存在,

分析: (Ⅰ) 根据数列的递推关系即可求 a2+a3 的值; (Ⅱ) 根据等比数列的定义即可证明数列{bn}为等比数列; (Ⅲ) 求出 S2n+1,b2n,解方程即可得到结论. 解答: 解: (I) 因为 a2=1,a3=﹣3,所以 a2+a3=﹣2. (或者根据已知 a2n+1+a2n=﹣2n,可 得 a3+a2=﹣2. ) …(3 分) (II) 证明:bn+1=a2n+2=2a2n+1+4n=2(﹣a2n﹣2n)+4n=﹣2a2n=﹣2bn,b1=a2=2a1=1, 故数列{bn}是首项为 1,公比为﹣2 的等比数列.…(7 分) (III)由 (II) 知 所以 设 , . , .

又 S2n+1=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2n+a2n+1)=a1+c1+c2+…+cn= 则由
x 2

,得 2n +2n+40=4 ,

2

n

设 f(x)=4 ﹣2x ﹣2x﹣40(x≥2) , x x 2 则 g(x)=f′(x)=4 ln4﹣4x﹣2,g′(x)=4 ln 4﹣4>0(x≥2) ,所以 g(x)在[2,+∞)上 单调递增,g(x)≥g(2)=f'(2)>0,即 f′(x)>0,所以 f(x)在[2,+∞)上单调递增 又因为 f(1)<0,f(3)=0, 所以仅存在唯一的 n=3,使得 成立.…(13 分)

点评: 本题主要考查递推数列的应用以及等比数列的证明,考查学生的运算和推理能力.


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