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02集合的运算


第一章 函数
集合的运算
复习回顾 ( 1 )回答概念:集合、元素、有限集、无限集、空集、列 举法、描述法、文氏图、子集、真子集. (2)集合中元素的特性是什么?

一、交集与并集 观察下面五个图 :

A

B

A

B

(1) 图⑴给出了两个集合A、B. 图⑵阴影部分是集合A、B的公共部分.

(2)

A A B

B

B (3) (4)

A (5)

图⑶阴影部分是由集合A、B组成. 图⑷集合A是集合B的真子集. 图⑸集合B是集合A的真子集.

强调: 图⑵阴影部分叫做集合A与B的交集. 1、交集的定义

A

B

(2) 一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合, 叫做A与B的交集. 记作A∩B(读作:“A交B”) 即A∩B={ x| x?A,且x? B}

A

B

(3) 图⑶阴影部分叫做集合A与B的并集. 2、并集的定义 一般地,由所有属于A或属于B的元素所组成的集 合,叫做A与B的并集. 记作A∪B(读作:“A并B”),即A∪B={ x| x?A,或x? B}

3、交集、并集的性质 从图中观察分析、思考、讨论, 完全归纳以下性质: (1)交集的性质
A (B)

A

B

B

A

B

A

1) A ? A=A
2) A ?Φ=Φ 3) A ? B ?A,A ?B ? B
A

B

3) 交换律:A ? B=B ? A
? C =A ? ( B? C) =A ? B ? C 5) 结合律:(A ? B)

(2)并集的性质
A
B
B A

1)A ? A = A

2)A ? Φ = A
3)A ? A ? B,B ? A ? B 4)交换律:A ? B = B ? A 5)结合律: (A ? B) ? C = A ?(B ? C) = A ?B ? C
A
A (B)

B

A

B

[例1]设A={ x | x >-2}, B={ x | x <3},求A∩B. 解析:此题涉及不等式问题,运用数轴即利用数形结合是最 佳方案 解:在数轴上作出A、B对应部分,如图A∩B.为阴影部分

A∩B.= { x | x >-2}∩{ x | x <3}={ x |-2< x <3}.

-2

0

1

3

[例2]设A={ x | x 是等腰三角形}, B={ x | x 是直角 三角形},求A∩B. 解:如右图表示集合A、集合B,其阴影为A∩B.

A

B

A∩B={ x | x 是等腰三角形}∩{ x | x 是直角三角 形}={ x | x 是等腰直角三角形}.

[例3]设A={ 4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B. 解:如右图表示集合A、集合B,其阴影为A∪B

A

B

则A∪B={ 4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}

[例4]设A={ x | x 是锐角三角形}, B={ x | x 是钝角三 角形},求A∪B. 解:A∪B={ x | x 是锐腰三角形}∪{ x | x 是钝角三角形}={ x | x 是斜三角形} [例5]设A={ x |-1< x <2}, B={ x |1< x <3},求A∪B. 解:将A={ x |-1< x <2}及B={ x |1< x <3}在数轴上表示出 来,如图阴影部分即为所求.

A∪B={ x |-1< x <2}∪{ x |1< x <3}={ x |-1< x <3}

-2

-1

0

1

2

3

二、全集与补集 事物都是相对的,集合中的部分元素与集合之间关系就是部分 与整体的关系. 例:A={班上所有参加足球队同学} B={班上没有参加足球队同学} Ω={全班同学} 那么Ω、A、B三集合关系如何? 集合B就是集合Ω中除去集合A之后余下 来的集合.
Ω A

1、补集 一般地,设 Ω 是一个集合, A 是 Ω 的一个子集(即 A?Ω ), 由Ω中所有不属于A元素组成的集合,叫做Ω中集合A的补集 (或余集)

A 记作 A ,读作“A补”即

={x| x ?Ω且x ?A}

性质: A ? A , ? ? ? , ? ? ?

德?摩根公式(反演律):

A B? A B
(并的补等于补的交)

Ω

A B

A B? A B
(交的补等于补的并)

2、全集 在研究某些集合时,这些集合常常都是一个给定的子集,这个 给定的集合叫做全集,记为Ω 全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素. 解决某些数学问题时,要把实数集看作是全集Ω,那么有理 数集Q的补集就是全体无理数的集合.

填充: (1)若Ω={2,3,4},A={4,3},则 {直角三角形或钝角三角形} {2} A =_______.

(2)若Ω={三角形},A={锐角三角形},则 A = .

(3)若Ω={1,2,4,8},A=?,则

Ω A =_______.

(4)若Ω={1,3,a2+2 a +1},A={1,3},而 A = {4}, 则a =1或-3. (5)设全集Ω={2,3,m2+2 m -3},A={|m+1|,2}, = -4或2 而 A ={5},求m_____

(6)设全集Ω={1,2,3,4},A={ x | x 2-5 x +m=0,x? Ω}, 求 A 、m.

解:将x =1,2,3,4代入 x 2-5 x +m=0中,得m=4或m=6
当m=4时,x 2-5 x +4=0,即A={1,4} 当m=6时,x 2-5 x +6=0,即A={2,3} 故满足条件:即={2,3},m=4;={1,4},m=6.

小结: 1、在求解问题过程中要充分利用数轴、文氏图,无论求解 交集问题,还是求解并集问题,关键还是寻求元素. 2、能熟练求解一个给定集合的补集. 3、注意一些特殊结论在以后解题中的应用.


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