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《线性代数》习题及答案

第一章习题....................................................................................................................................... 1 第二章习题....................................................................................................................................... 2 第三章习题....................................................................................................................................... 3 第四章习题....................................................................................................................................... 4 第一章习题解答............................................................................................................................... 5 第二章习题解答............................................................................................................................... 7 第三章习题解答............................................................................................................................... 9 第三章习题解答............................................................................................................................. 12

第一章习题
1 ?2 一、计算行列式 D4 ? 0 1
二、解下列矩阵方程:
? 1 2 3? ? 1 3? ? ? ? 2 1? ? ? ? 2 2 1 ? X? ? 5 3? ? ? ? 2 0 ? ,求 X . ? ? 3 1? ? 3 4 3? ? ? ? ? ? ? 1 ?1 0 ? ? ? 1 ? 1? ,AX ? 2 X ? A , 三、设矩阵 A ? ? 0 用初等变换求此矩阵方程的解 X . ??1 0 ? 1? ? ? 0 0 1 ? ? ? 四、设有三阶矩阵 A ? ? 2 0 ? 3 ? ,且存在三阶矩阵 B 满足关系式 ?? 3 1 6 ? ? ?
AB ? A ? B ,求矩阵 B .

0 ?1 2 1 3 1 2 0 ?2 3 4 ?2

? 1 ? 2 3k ? ? ? 五、设矩阵 A ? ? ? 1 2k ? 3 ? 问 k 为何值,可使(1) R( A) ? 1 , (2) R( A) ? 2 ; ? k ?2 3 ? ? ?

(六) R( A) ? 3 .
?1 ? 六、设 A 是 3 阶方阵, A* 为 A 的伴随矩阵, A ? 2 ,求 ? A ? ?2 ?
?1

及 2 A* .

第二章习题

1.试证明向量组
? 1? ?1? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? 1=?1? , ? 2 ? ? 2 ? , ? 3 ? ? 0 ? ? 1? ? 3? ? 5? ? ? ? ? ? ?

构成向量空间 R 3 的一组基,并求向量 ? ? (1 , ? 2 , 3)T 在这组基下的坐标.

2. 设有向量组
? 1? ?1? ?1? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1? , ? 2 ? ? 2 ? , ? 3 ? ? 3 ? . ? 1? ? 3? ?t? ? ? ? ? ? ?

(1) 当 t 为何值时,向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性无关? (2) 当 t 为何值时,向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性相关?当向量组线性相关时,将

? 3 用 ?1 , ? 2 线性表示.
?1? ?1? ?3? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ?0? ? ? 1? ?2? 3. 设向量组 ? 1 ? ? ? , ? 1 ? ? ? , ?1 ? ? ? , ?1 ? ? ? . 3 1 ?1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? 2? ?0? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?
求该向量组的秩和一个极大线性无关组, 并将其余向量用该极大线性无关组线 性表示.

?1? ? ?1? ? 3 ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1? ? ? 3? ? 2 ? ? ? 6? 4. 设向量组 ?1 ? ? ? , ?2 ? ? ? , ?3 ? ? , ? ? 4 ? 10 ? , 1 5 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3? ? 1 ? ? ? ? 2? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1) ? 为何值时,该向量组线性无关? (2) ? 为何值时,该向量组线性相关? 并求出它的秩和一个极大线性无关组.

?3? ?2? ?5? ?1? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2? ?3? ?5? ?2? 5. 设有向量组 ?1 ? ? ? , ? 2 ? ? ? , ? 3 ? ? ? , ? 4 ? ? ? 1 ? 2 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ?1? ?0? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?
(1) 当 ? 取何值时,该向量组的秩为 3 ? (2) 当 ? 取上述值时,求出该向量组的一个极大线性无关组,并将其它向量用 该极大无关组线性表示.

第三章习题
一、齐次方程组有非零解的条件
? 2 x2 ? 4 x3 ? 0 ?(1 ? ? ) x1 ? 2 x1 ? (3 ? ? ) x 2 ? x3 ? 0 有非零解? 当 ? 取何值时,齐次方程组 ? ? x1 ? x 2 ? (1 ? ? ) x3 ? 0 ?

二、齐次方程组的通解
? x1 ? x2 ? 2 x3 ? x4 ? 0 ? 求齐次线性方程组 ?2 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 0 的一个基础解系,并写出通解. ? x ? 2 x ? 5x ? 2 x ? 0 2 3 4 ? 1

三、带有参数的齐次方程的解的讨论
? x1 ? x 2 ? x3 ? 0 ? 已知齐次线性方程组 ? x1 ? 2 x 2 ? tx3 ? 0 问: (1) t 取何值时,方程组仅有零解? ? 2 ? x1 ? 4 x 2 ? t x3 ? 0

(2) t 取何值时,方程组有无穷多解? 并用基础解系表示其通解. 四、非齐次方程组的解
?2 x1 ? 3 x 2 ? x3 ? 4 ? x ? 2 x ? 4 x ? ?5 ? 1 2 3 求非齐次线性方程组 ? 的一个解及对应齐次线性方程组的基 3 x ? 8 x ? 2 x ? 13 1 2 3 ? ? ?4 x1 ? x 2 ? 9 x3 ? ?6 础解系,并写出原方程组的通解。

五、带有参数的非齐次线性方程组的解的讨论
? x1 ? 4 x 2 ? x3 ? ?1 ? 对于非齐次线性方程组 ??x 2 ? 3 x3 ? 3 ,? 为何值时, (1)有唯一值; (2) ? x ? 3 x ? (? ? 1) x ? 0 2 3 ? 1

无解; (3)有无穷多个解?并在有无穷多解时求其通解。
? x1 ? x2 ? x3 ? 2 ? 六、 问 a 为何值时,非齐次线性方程组 ?2 x1 ? 3 x2 ? 3 x3 ? 3 ? x ? 2x ? 2x ? a 2 3 ? 1

(1) 无解?

(2) 有无穷多解? 并在有无穷多解时求出其通解.

第四章习题
1. 已知二次型
2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) ? 2x12 ? 5x2 ? 5x3 ? 4x1 x2 ? 4x1 x3 ? 8x2 x3 ,

(1) 写出此二次型 f 的矩阵; (2) 试求一正交变换 x ? Py ,将此二次型 f 化为标准形.

2. 已知二次型
2 2 f ( x1, x2 , x3 ) ? x12 ? 2x2 ? 3x3 ? 4x1x2 ? 4x2 x3 ,

(1) 写出此二次型 f 的矩阵; (2) 试求一正交变换 x ? Py ,将此二次型 f 化为标准形. 3. 已知二次型
2 f ( x1, x2 , x3 ) ? ? x12 ? x2 ? 4x1x3 ? 4x2 x3 ,

(1) 写出此二次型 f 的矩阵; (2) 试求一正交变换 x ? Py ,将此二次型 f 化为标准形.
2 2 4. 用正交变换化二次型 f ?x1, x2 , x3 ? ? 2x12 ? 3x2 ? 3x3 ? 4x2 x3 为标准形,并给出

所用的正交变换 x ? P y .
2 2 5. 用正交变换化二次型 f ?x1, x2 , x3 ? ? 4x12 ? 3x2 ? 3x3 ? 8x2 x3 为标准形,并给出

所用的正交变换 x ? P y .

第一章习题解答
1 0 D4 ? 0 0
r2 ? 2 r1 r4 ? r1

一、解

0 ?1 2 r3 ? 2 r2 1 1 5 r4 ?3r2 ? 2 0 ?2 3 5 ?4

1 0 0 0

0 ?1 2 1 0 ?1 2 1 1 5 r4 ? r3 0 1 1 5 ? ? 62 0 ?2 ?12 0 0 ?2 ?12 0 2 ?19 0 0 0 ?31

二、解

? 1 2 3? ? 1 3? ? ? ? ? ? 2 1? C ? 2 0 ? 令 A ? ? 2 2 1? , B ? ? , ? ?. ? 5 3? ? ? ? 3 4 3? ?3 1? ? ? ? ? 有 AXB ? C , 1 2 3 2 1 A ? 2 2 1 ? 2 ? 0, B ? ?1? 0 , 5 3 3 4 3

可知 A, B 可逆.于是, X ? A?1CB?1 . 经计算 A
?1

? 2 1? ? ??3 2? ? 2
?1 ?1

6 ?6 2

? 4? ? ? 3 5 ? , B ?1 ? ? ??5 ? ? 2? ?
6 ?6 2 ? 4? ? 5? ? 2? ?

? 1? ?. 2? ?
? 1? ? 2? ?



? 2 1? X ? A CB ? ? ? 3 2? ? 2

? 1 3? ? ?? 3 ? 2 0? ? ? ? 3 1? ? ? 5 ? ?

? ?2 ? X ? ? 10 ? ?10 ?

1? ? ? 4? . 4? ?

三、解:由 AX ? 2 X ? A 得 ( A ? 2E ) X ? A

? A ? 2E

? ?1 ? A? ? ? 0 ? ?1 ?

?1 ?1 0

0 ?1 ?1

1 0 ?1

?1 1 0

0 ? ?1 ?r? ?1? ~ ? 0 ? 1? ? ?0

0 1 0

0 0 1

0 ?1 1

1 0 ?1

?1? ? 1? 0? ?

? 0 1 ? 1? ? ? 故 X ? ??1 0 1 ? ? 1 ?1 0 ? ? ?

四、 [解] 由 AB ? A ? B ? ( A ? E ) B ? A .? A ? E ? 1 ? 0 , ? A ? E 可逆.
? ?1 0 1 0 0 1 ? ? ? 由 ( A ? E A ) ? ? 2 ?1 ? 3 2 0 ? 3? ??3 1 5 ?3 1 6 ? ? ?
r3 ? r2 r1 ? r3

? 1 0 ? 1 0 0 ? 1? ? ? ~ ?0 1 1 ? 2 0 1 ? r3 ? 3 r1 ? r2 ?( ?1) 0 1 2 ?3 1 3 ? ? ?
r1 ?( ?1) r2 ? 2 r1

? 1 0 0 ?1 1 1 ? ? ? ~ ? 0 1 0 ?1 ?1 ?1 ? , r2 ? r3 ? 0 0 1 ?1 1 2 ? ? ?
从而

? ?1 1 1 ? ? ? B ? ? ? 1 ? 1 ? 1? . ? ?1 1 2? ? ? ?2 3k ? ?2 3k ?1 ?1 ? ? ? r3 ? r2 ? ? A ?? ??? 0 2(k ? 1) 3(k ? 1) ? ?? ??? 0 2(k ? 1) 3(k ? 1) ? ? 0 2(k ? 1) 3(1 ? k 2 ) ? ?0 0 ? 3(k ? 2)(k ? 1) ? ? ? ? ?
r2 ? r1 r3 ? kr1

五、解

?2( k ? 1) ? 0 ? 要使 R( A) ? 1 必有 ?3( k ? 1) ? 0 即k ?1 ?? 3( k ? 2)(k ? 1) ? 0 ?

?2( k ? 1) ? 0 ? 要使 R( A) ? 2 必有 ?3( k ? 1) ? 0 即 k ? ?2 ?? 3( k ? 2)(k ? 1) ? 0 ? ?2( k ? 1) ? 0 ? 要使 R( A) ? 3 必有 ?3( k ? 1) ? 0 即 k ? 1且k ? ?2 ?? 3( k ? 2)(k ? 1) ? 0 ?

六、解

?1 ? ? A? ?2 ?

?1

?1 ?2A ? 8 A ? 4

?1

2 A? ? 2 A A?1 ? 4 A?1 ? 64 A

?1

? 32

第二章习题解答

1.




r1 ? 2 r3


?1 0 0 8 ? ? ? ~ ? 0 1 0 ? 5? r2 ? r3 ?0 0 1 2 ? ? ?

??1 , ? 2 , ? 3 , ? ?
?1 1 ? 1 1 ? r ? r ? 1 1 ? 1 1 ? r ? r ? 1 0 ? 2 4 ? ? ? 2 1? ? 3 2? ? ? ?1 2 0 ? 2 ? ~ ? 0 1 1 ? 3 ? ~ ? 0 1 1 ? 3 ? r3 ? r1 r3 ? 2 ?1 3 5 ? ? 3 ? 1 ? 2 ? ? ? r3 ?2 ? 0 1 3 ? r1 ? r2 ? 0 0 1 ?

所以向量组 ?1 , ? 2 , ? 3 线性无关, 故向量组 ?1 , ? 2 , ? 3 构成 ? R(?1 , ? 2 , ? 3 ) ? 3 ,
R 3 的一组基,且 ? 在该组基下坐标为 ?8 , ? 5 , 2? .
T

1 ? 1 ? ?1 1 1 ? r ? r ? 1 1 ?1 1 ? ? i 1? ? r3 ?2 r2 ? ? 2 ? ~ ?0 1 2 ? ,知 2.【解】由 (?1 , ? 2 , ? 3 ) ? ?1 2 3? ~ ? 0 1 i ?2 , 3 ?1 3 t ? ? 0 2 t ? 1? ? 0 0 t ? 5? ? ? ? ? ? ?

(1) 当 t ? 5 时,向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性无关. (2) 当 t ? 5 时,向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性相关,
? 1 1 1 ? ? 1 0 ? 1? ? ? ? ? 且由 (?1 , ? 2 , ? 3 ) ~ ? 0 1 2 ? ~ ? 0 1 2 ? ,得 ?3 ? ??1 ? 2? 2 . ?0 0 0? ?0 0 0 ? ? ? ? ?

?1 ?2 3.【解】 (?1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 ) ? ? ?3 ?4 ?

1 3 1 ? ?1 1 3 1 ? ?0 ? 2 ? 7 0 ? 0 ?1 2 ? ?~? ? 1 ? 1 0 ? ? 0 ? 2 ? 10 ? 3 ? ? ? 2 0 ? 1? ? ? 0 ? 2 ? 12 ? 5 ?

3 1 ? ?1 ?1 1 ? ? ? ?0 ? 2 ? 7 0 ? ?0 ~? ~ 0 0 ? 3 ? 3? ? 0 ? ? ? ? 0 0 ? 5 ? 5? ? 0 ? ? ? ?1 1 0 ? 2? ?1 0 0 ?0 1 0 ? 7 ? ? 2 ? ?0 1 0 ~? ~ ?0 0 1 1 ? ?0 0 1 ?0 0 0 0 ? ?0 0 0 ? ? ?
即知 R(?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ) ? 3 ,
7 . ?4 ? 3 2 ?1 ? 2 ? 2 ? ? 3

1 3 ?2 ?7 0 1 0 0
? ? ?7 2? 1 ? 0 ? ?
3 2

1? 1 1 ? ? 0? ?0 ? 2 ~? 1? ?0 0 ? ?0 0 0? ? ?

0 ? 2? 0 7 ? ? 1 1 ? 0 0 ? ?

?1 , ? 2 , ? 3 是一个极大无关组,且

3 ? 2? ? 1 ?1 3 ?2 ? ?1 ?1 ? ? ? ? 2 ? 6 ? ? 0 ? 2 ?1 ?4 ? ?1 ? 3 4. 【解】令 A ? (?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ) ? ? ~ 1 5 ? 1 10 ? ? 0 6 ?4 12 ? ? ? ? ? ?3 1 ? ? 2 ? ? ?0 4 ? ? 7 ? ? 6? ? ? ? ? 3 ? 2 ? ? 1 ?1 3 ? 2 ? ? 1 ?1 3 ?2 ? ? 1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? 4 ? ? 0 ? 2 ?1 ? 4 ? ? 0 ? 2 ?1 ? 4 ? ? 0 ? 2 ?1 ~? ~ ~ 0 0 ?7 0 ? ?0 0 1 0 ? ?0 0 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 0 ? ? 9 ? ? 2? ? 0 0 ? ? 9 ? ? 2? ? 0 0 0 ? ? 2? ? ? ? ? ? ?
(1) 当 ? ? 2 时,由于 R( A) ? 4 ,故该向量组线性无关. (2) 当 ? ? 2 时,由于 R( A) ? 3 ? 4 ,故该向量组线性相关,此时向量组的秩为 3 ,且

?1 , ? 2 , ? 3 是一个极大线性无关组.
?1 ? ?1 5. 【解】( ?1 , ? 2 , ? 3 , ? 4 ) ? ? 2 ? ?3 ? 1 ?1 3 2 2 3 1 ? 0? ? 5? ~ 5? ? 2? ? ?1 ?1 1 ? 3 ?0 2 ?0 0 5 ? ?0 ? 2 ? ? 3 ? 0? ?1 ? ? 5? ?0 ~ 5? ?0 ? ? ? 2? ? ?0 1 ?1 0 ? ? 2 3 5 ? 0 1 1 ? ? 0 0 1? ? ? ?

(1)当 ? ? 1 时,该向量组的秩为 3 . (2)当 ? ? 1 时,

?1 ? ?0 (?1 , ?2 , ?3 , ?4 ) ~ ? 0 ? ?0 ?

1 ?1 0? ? 2 3 5? ~ 0 1 1? ? 0 0 0? ?

?1 ? ?0 ?0 ? ?0 ?

0 1 0 0

0 0 1 0

0? ? 1? ,即 ?4 ? ?2 ? ?3 . 1? ? 0? ?

第三章习题解答
1? ? ?2 4

一、解

要使方程组有非零解,必有系数行列式 D ?

2 1

3?? 1 ?0 1 1? ?

即 ? (3 ? ? )(? ? 2) ? 0 二、解:系数矩阵做初等行变换

故 ? ? 0, 2,3 .

? 1 1 2 ?1 ? ? ? A ? ? 2 1 1 ?1 ? ? 1 2 5 ?2 ? ? ?

? 1 1 2 ?1? ? 1 1 2 ?1? ? 1 0 ?1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ?1 ?3 1 ? ~ ? 0 1 3 ?1? ~ ? 0 1 3 ?1? ? 0 1 3 ?1? ? 0 0 0 0 ? ? 0 0 0 0 ? ? ? ? ? ? ?

? x1 ? x3 同解方程组为 ? ? x 2 ? ? 3 x3 ? x 4 ? x3 ? ?1? ?0? ? x1 ? ? 1 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? 或 令? ,相应地 ? x ? ? ? ?3 ? 或 ? 1 ? ? x ? ?0? ?1? ? 4? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ?

?1? ?0? ? ?3 ? ?1? ? ? 基础解系为 ?1 ? , ?2 ? ? ? ?1? ?0? ? ? ? ? ?0? ?1?

通解为 X ? c1?1 ? c2? 2

( c1 , c 2 为任意常数).

三、解:

1 ?1 1 1 ? ?1 1 ? ? ? 行变换 ? ? t ?1 系数矩阵 A ? ?1 2 t ? ????? 0 1 ? ?1 4 t 2 ? ? 0 0 (t ? 1)(t ? 2) ? ? ? ? ?

要使方程组有零解必有 R( A) ? 3 即 (t ? 1)(t ? 2) ? 0 即 t ? 1且t ? 2 要使方程组有非零解必有 R( A) ? 3 则 (t ? 1)(t ? 2) ? 0 即 t ? 1或t ? 2
? 1 1 1? ?1 0 1? ? ? 行变换 ? ? ? x1 ? ? x 3 此时,当 t ? 1 时 A ? ?1 2 1? ????? 0 1 0 ? 同解方程组为 ? ? x2 ? 0 ? 1 4 1? ?0 0 0? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? 则基础解系为 ? ? ? 0 ? 通解为 X ? k1? ?1? ? ?

(k1 ? R)

?1 1 1 ? ?1 0 0? ? ? 行变换 ? ? ? x1 ? 0 当 t ? 2 时 A ? ?1 2 2 ? ????? 0 1 1 ? 同解方程组为 ? ? x 2 ? ? x3 ?1 4 4 ? ?0 0 0? ? ? ? ? ?0? ? ? 则基础解系为 ? ? ? ? 1? 通解为 X ? k 2? ?1? ? ?

( k 2 ? R)
?1 ? ?0 ?0 ? ?0 0 2 ?1 ? ? 1 ?1 2 ? 0 0 0? ? 0 0 0?
T

4? ?2 3 1 ? ? 1 ?2 4 ?5 ? ? 四、[解]: 增广矩阵 B ? ( A, b) ? ? 3 8 ?2 13 ? ? ? ? 4 ?1 9 ?6 ?
? x1 ? ?1 ? 2 x3 同解方程组为 ? ? x 2 ? 2 ? x3

则此方程组的一个解为? ? ?? 1, 2 , 0?
T

对应齐次方程组的基础解系为 ? ? ?? 2 ,1,1?

故原方程组的解为 X ? ? ? k? ? k (?2,1,1)T ? (?1, 2,0)T (k ? R) 五、 [解]

增广矩阵

?1 ?1? ? 1 4 ?1 ?1 ? ? 1 4 ?1 ?1 ? ? 1 4 ? ? ? ? ? ? B ? ? 0 ? ?3 3 ? ?0 ? ?3 3 ? ? 0 ?1 ??2 1 ? ? 1 3 ? ? 1 0 ? ? 0 ?1 ? ? 2 1 ? ? 0 0 (? ? 3)(? ? 1) ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ?

( 1 ) 要 使 方 程 组 有 唯 一 解 必 有 R( A) ? R( B) ? 3 则 (? ? 3)(? ? 1) ? 0 即

? ? ?3且? ? 1
?(? ? 3)(? ? 1) ? 0 (2)要使方程组无解必有 R( A) ? R( B) 则 ? ?? ? 3 ? 0
即? ? 1

?(? ? 3)(? ? 1) ? 0 ( 3 )要使方程组有无穷多解必有 R( A) ? R( B) ? 3 则 ? ?? ? 3 ? 0



? ? ?3
此时增广矩阵 B ? ? 0 ? ?
?1 ? ? ?3 3? ? 1 3 ? ?1 0 ? ? ? ?1 4 ?1 ? 1 4 ?1 ?1? ? 1 0 ?5 3 ? ? ? ? ? ? 0 ?1 ?1 1 ? ? 0 1 1 ?1? ?0 0 0 0 ? ?0 0 0 0 ? ? ? ? ?

? x1 ? ? 3 ? ? 5 ? ? ? ? ? ? ? ? x1 ? 3 ? 5 x3 同解方程组 ? . 令 x3 ? k ,则通解为 ? x 2 ? ? ? ? 1? ? k ? ? 1? . ? x 2 ? ?1 ? x 3 ?x ? ? 0 ? ? 1 ? ? 3? ? ? ? ?

六、 [解]:设系数矩阵为 A ,增广矩阵为 B ,且对 B 施行初等行变换如下:
2 ? ?1 1 1 2 ? ? 1 1 1 2 ? r ?2 r ? 1 1 1 ? ? 2 1? ? r3 ? r2 ? ? B ? ? 2 3 3 3? ~ ?0 1 1 ? 1 ? ~ ?0 1 1 ? 1 ? . r ?r ? 1 2 2 a ? 3 1 ? 0 1 1 a ? 2 ? ? 0 0 0 a ? 1? ? ? ? ? ? ?

(1) 当 a ? 1 时, R( A) ? R( B) ,方程组无解. (2) 当 a ? 1 时, R( A) ? R( B) ? 2 ? 3 ,方程组有无穷多解.此时有
? 1 1 1 2 ? r ?r ? 1 0 0 3 ? ? ? 1 2? ? B ~ ? 0 1 1 ? 1? ~ ? 0 1 1 ? 1? . ?0 0 0 0 ? ?0 0 0 0 ? ? ? ? ?

故原方程组的通解为 ( x1 , x2 , x3 )T ? (3 , ? 1 , 0)T ? k (0 , ? 1 , 1)T

(k ? R) .

第三章习题解答
2 ? 2? ? 2 ? ? 5 ? 4? 1. [解] (1)此二次型 f 的矩阵为 A ? ? 2 ?? 2 ? 4 5 ? ? ? 2?? 2 5?? ?4 2 5?? 1 ?2 ?4 ? 5?? ?2 ? 4 ? ?(? ? 1) 2 (? ? 10) ? 0 . 1 2?? 2 0 2 5?? ?2 ?4

(2) 令 A ? ?E ?

2 ?2

1? ? 1? ?

2?? ? (1 ? ? ) 2 0

所以矩阵 A 有特征值 ?1 ? ?2 ? 1, ?3 ? 10 .
2 ? 2? ?1 2 ? 2? ? 1 ? ? ? ? 4 ? 4? ~ ?0 0 0 ? , 当 ?1 ? ?2 ? 1 时, A ? E ? ? 2 ?? 2 ? 4 4 ? ?0 0 0 ? ? ? ? ? ?0? ? 4? ? 0? ? 4? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 基础解系为 ? 1 ? ? 1 ? , ? 2 ? ? ? 1? ,单位化得 p1 ? ? 1 ? , p2 ? ? ? 1? . 2? ? 18 ? ? ?1? ?1? ? ? ? ? ?1? ?1? ? ? 8 2 ? 2? ? 2 ? 5 ? 4? ? 2 0 1? ? ? ? ? ? ? 1 ? ~ ?0 1 1? , 当 ? ? 10 时, A ? 10 E ? ? 2 ? 5 ? 4 ? ~ ? 0 1 ? ? 2 ? 4 ? 5? ? 0 0 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 0 0 0? ? 1 ? ? 1 ? ? ? 1? ? 基础解系为 ? 3 ? ? 2 ? ,单位化得 p3 ? ? 2 ? . 3? ? ? ? 2? ? ? ? ? 2?

? ? ? ? 令正交矩阵 P ? ? ? ? ? ?

0 1 2 1 2 ?

4 18 1 18 1 18

1 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? ? 2? ? ? 3?

则在正交变换 x ? Py 下,二次型的标准形

2 2 为 f ( y1, y2 , y3 ) ? y12 ? y2 . ? 10y3

2.

? 1 ?2 0 ? ? ? [解] (1) 此二次型 f 的矩阵为 ? ? 2 2 ? 2 ? . ? 0 ?2 3 ? ? ? 1? ? ?2 2?? ?2 0 ? 2 ? ?(? ? 1)(? ? 2)(? ? 5) ? 0 3??

(2)

令 A ? ?E ? ? 2 0

得特征值 ?1 ? ?1, ?2 ? 2 , ?3 ? 5 . 当 ?1 ? ?1时,
? 2 ? 2 0 ? ?1 ?1 0 ? ? 2? ? ? ? ? ? ? A ? E ? ? ? 2 3 ? 2 ? ~ ? 0 1 ? 2 ? 得 特 征 向 量 ?1 ? ? 2 ? , 单 位 化 得 ? 0 ? 2 4 ? ?0 0 ?1? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 1? ? p1 ? ? 2 ? , 3? ? ?1?

当 ?2 ? 2 时,
? ?1 ? 2 0 ? ?1 2 0? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? A ? 2 E ? ? ? 2 0 ? 2 ? ~ ? 0 ? 2 1 ? 得特征向量 ? 2 ? ? 1 ? ,单位化得 ? 0 ? 2 1 ? ?0 0 0? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? 1? ? p2 ? ? 1 ? , 3? ? ? 2 ?

当 ?2 ? 5 时,
? ? 4 ? 2 0 ? ? 2 1 0? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? A ? 5E ? ? ? 2 ? 3 ? 2 ? ~ ? 0 1 1 ? 得特征向量 ? 3 ? ? ? 2 ? ,单位化得 ? 0 ? 2 ? 2? ? 0 0 0? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1? ? p3 ? ? ? 2 ? , 3? ? ? 2 ?

故所求二次型在正交变换

? 2 ? 2 1 ?? y1 ? ?? ? 1? x ? Py ? ? 2 1 ? 2 ?? y2 ? 3? ? ? 2 ? ?1 2 ?? y3 ?

下的标准形为 f ? ? y1 ? 2 y2 ? 5 y3 .

2

2

2

3. [解]

? ?1 0 2? 0 1 2? (1) 二次型的矩阵为 A ? ? . ? ? 2 2 0? ? ? ?

?1? ?

0 1? ? 2

2 2 ? ? (9 ? ?2 ) ? ? (3 ? ? )(3 ? ? ) ? 0 , ??

(2) 令 A ? ?E ?

0 2

解得 A 的特征值为: ?1 ? ?3 , ?2 ? 0 , ?3 ? 3 . ① 当 ?1 ? ?3 时,由于

1 0 1? ? 2 0 2 ? r3 ?r1 ? 2 0 2 ? r2 ?r3 ? 2 0 2 ? r2 ?2? ? ? ~ ? 0 4 2? ~ ? 0 2 1? ~ ? 0 1 1 ? A ? 3E ? ? 0 4 2 ? ? 2? ? 2 2 3? ? ? ?0 2 1? ? r2 ?r3 ? ? 0 0 0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 0 ?
得方程 ( A ? 3E ) X ? 0 的基础解系 ?1 ? (?2 , ? 1 , 2)T ,即对应于特征值 ?1 ? ?3 的特
1 征向量为 ξ1 ? (?2 , ? 1 , 2)T ,单位化得 p1 ? (?2 , ? 1 , 2)T ; 3

② 当 ?2 ? 0 时,由于
? ? 1 0 2 ? r3 ? 2 r1 ? ? 1 0 2 ? r3 ? 2 r2 ? ? 1 0 2 ? r1?( ?1)? 1 0 ? 2 ? A?? 0 1 2? ~ ? 0 1 2? ~ ? 0 1 2? ~ ? 0 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 0? ? 0 2 4? ? 0 0 0? ?0 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

故方程 AX ? 0 的基础解系为 ?2 ? (2 , ? 2 , 1)T ,即对应于特征值 ?2 ? 0 的特征向量
1 为 ?2 ? (2 , ? 2 , 1)T ,单位化得 p2 ? (2 , ? 2 , 1)T ; 3

③ 当 ?3 ? 3 时,由于
1? ? r3 ? r2 ? 1 0 ? ? ? 4 0 2 0 0 0 ? ? r1 ? 2 r3 ? ? r1 ? r3 ? 2 ? ~ ?0 ? 2 2 ? ~ 0 1 ?1 ? A ? 3E ? ? 0 ? 2 2 ? ? ? 1 ?2 ? 2 2 ? 3? ? r1 ? 2 r2 ? ? 2 2 ? 3? ? r r? 0 0 0 ? ? ? ? ? 2 ( ?2)? ? ? ? ?

故方程 ( A ? 3E ) X ? 0 的基础解系为 ?2 ? (1 , 2 , 2)T , 即对应于特征值 ?3 ? 3 的特征
1 向量为 ?2 ? (1 , 2 , 2)T ,单位化得 p3 ? (1 , 2 , 2)T . 3

取 P ? ( p1 , p2 , p3 ) ,则 P 为正交矩阵,且经过正交变换 x ? Py ,即
? x1 ? ?x ? ? 2 ? ?x ? ? ? 3? ? 2 2 1 ?? y ? 1? ? ? 1 ? 2 2 ?? y 1 ? 2 3? ? 2 1 2? ?? ?y ? ? ? ?? 3 ?

2 原二次型可化为标准形 f ? ?3 y12 ? 3 y3 .

? 2 0 0? ? ? 4. [解]二次型 f 的矩阵 A ? ? 0 3 2 ? , ? 0 2 3? ? ? 2?? A ? ?E ? 0 0 0 0 3?? 2 ? (2 ? ? )(1 ? ? )(5 ? ? ) 2 3??

则 A 的特征值为 ?1 ? 1 , ?2 ? 2 , ?3 ? 5 当 ?1 ? 1 时,解方程组 ( A ? E ) x ? 0
?1 0 0? ?1 0 0? ?0? ? ? r? ? ? ? A ? E ? ? 0 2 2 ? ~? 0 1 1 ? ,解得对应的特征向量为 ?1 ? ? ? 1? , ?0 2 2? ?0 0 0? ?1? ? ? ? ? ? ?

1 1 ? ? 单位化得 p1 ? ? 0 , ? , ? . 2 2? ?
当 ?2 ? 2 时,解方程组 ( A ? 2 E ) x ? 0
?0 0 0? ?0 0 0? ?1? ? ? r? ? ? ? A ? 2 E ? ? 0 1 2 ? ~? 0 1 0 ? ,解得对应的特征向量为 ? 2 ? ? 0 ? , ?0 2 1? ?0 0 1? ?0? ? ? ? ? ? ?

T

单位化得 p2 ? ?1, 0 , 0? .
T

当 ?3 ? 5 时,解方程组 ( A ? 5E ) x ? 0

0 ? ?1 0 0 ? ??3 0 ?0? ? ? r? ? ? ? A ? 5E ? ? 0 ? 2 2 ? ~? 0 1 ? 1? ,解得对应的特征向量为 ? 3 ? ? 1 ? , ? 0 ? ? ?1? 2 ? 2? ? ? ?0 0 0 ? ? ?

1 1 ? ? 单位化得 p3 ? ? 0 , , ? . 2 2? ?
? 0 ? 故在正交变换 x ? Py ? ? ? 12 ? ? 1 ? 2 1 0 0 0 ? ? y1 ? ?? ? 1 ? y 下, 2 ? 2? 1 ? ?? y ? 2 ?? 3 ?

T

2 2 二次型的标准形为 f ? y1, y2 , y3 ? ? y12 ? 2 y2 . ? 5 y3

? 4 0 0? ? ? 5. 【解】二次型的矩阵为 A ? ? 0 3 4 ? . ? 0 4 3? ? ? 4?? 0 3?? 4 0 4 3?? ? (4 ? ? )(? ? 7)(? ? 1) ? 0 ,得 A 的特征值为

由 A ? ?E ?

0 0

?1 ? 4 , ?2 ? 7 , ?3 ? ?1 .
当 ?1 ? 4 时,由 ( A ? ?E ) x ? 0 ,得对应特征向量为 ?1 ? (1 , 0 , 0)T ; 当 ?2 ? 7 时,由 ( A ? ?E ) x ? 0 ,得对应特征向量为 ?2 ? (0 , 1 , 1)T ; 当 ?3 ? ?1 时,由 ( A ? ?E ) x ? 0 ,得对应特征向量为 ?3 ? (0 , ?1 , 1)T . 将 ?1 , ? 2 , ?3 单位化,有 p1 ? (1 , 0 , 0)T , p2 ?
1 1 (0 , 1 , 1)T , p3 ? (0 , ? 1 , 1)T . 2 2

?1 ? 令 P ? ?0 ? ?0 ?

0
1 2 1 2

0 ? ? 则 x ? Py 为所求正交变换, 且在此变换下可将原二次 ? 12 ? , 1 ? ? 2 ?

2 2 型化为标准形 f ? 4 y12 ? 7 y2 . ? y3


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