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数学讲义(拋物线第一回)
【1】 拋物线的定义:平面上给定一固定直线 L , 及固定点 F ,则所有满足 的 P 点所成图形称为 称为准线, F 称为焦点。 设 F(0,c),L: y ? ? c 则 , 其中 L

【4】 已知一拋物线的准线是 x=-1,焦点是 C(3,0),求此拋物线的方程式、顶点、对 称轴、焦距、正焦弦长。 Ans: y 2 ? 8?x ? 1?, (1, 0), y ? 0 ,焦距=2, 正焦弦长=8

【5】 已知一拋物线的准线是 y-1=0,焦点是 (0,-1),求此拋物线的方程式、顶点、对 【2】 (1)焦点: F (2)准线: L (3)顶点: V (4)对称轴: VF (5)焦距: VF = (6)弦: AB (7)焦弦: CD (8)正焦弦: EH = 【6】 已知一拋物线的顶点是(2,0),焦点是(2, -3), 求此拋物线的方程式、 准线、 对称轴、 焦距、正焦弦长。
2 2 Ans: ?x - 2? ? ?12y , y ? 3 , x ? 2 ,焦距

称轴、焦距、正焦弦长。 Ans: x 2 ? ?4 y , (0, 0), x ? 0 ,焦距=1,正 焦弦长=4

【3】 标准式: (A) ? y ? k ? ? ?4c?x ? h? (1)顶点:(h,k) (3)开口方向:+ c:向右 - c:向左 (2)焦距:c

=3,正焦弦长=12

(B) ?x ? h? ? ?4c( y ? k )
2

(1)顶点:(h,k) (3)开口方向:+ c:向上 - c:向下

(2)焦距:c

【7】 已知一拋物线的顶点是(0, -3), 焦点是(2, -3), 求此拋物线的方程式、 准线、 对称轴、 焦距、正焦弦长。

Ans: ? y ? 3? ? 8x , x ? ?2 , y ? ?3 ,焦距=2,
2

正焦弦长=8 【11】拋物线 ( x ? 2 y ? 4) 2 ? 5[(x ? 4) 2 ? ( y ? 1) 2 ] , 求(1)焦点为 为 。 ,(2)准线

【8】 拋物线 x 2 ? 4x ? 2 y ? 2 ? 0 ,求此拋物线的

Ans:(1) (4,?1) ,(2) x ? 2 y ? 4 ? 0

顶点、焦点、正焦弦长、正焦弦两端点、对 【12】已知一拋物线的焦点为 F(2,0),顶点为 称轴、准线。 Ans:顶点(2,-1),焦点(2, ? =2、正焦弦两端点(3, ? 称轴 x ? 2 ,准线 y ? ?
3 2 1 ),正焦弦长 2

V(0,2),试求其方程式,正焦弦长,对称 轴,准线。 Ans: x 2 ? 2xy ? y 2 ? 20x ? 12y ? 28 ? 0 ,正 焦弦长 8 2 ,对称轴 y ? ? x ? 2 ,准线
y ? x?6

1 1 ), (1, ? ),对 2 2

【9】 已知一拋物线的焦点 F(-1,1),准线平行 【13】若拋物线为 2 y ? 4x ? 2 y ? 7 ? 0 ,求此拋物 y 轴,正焦弦长 8,求此拋物线的方程式 线的顶点、对称轴、焦点、正焦弦长、正焦 2 2 Ans: ? y ? 1? ? 8?x ? 3? 或 ? y ? 1? ? ?8?x ? 1? 弦两端点、准线 Ans:顶点(-2,1),对称轴 y ? 1 ,焦点(- 1,1),正焦弦长 4、正焦弦两端点(-1,3), (-1,-1),准线 x ? ?3 【10】焦点为 F (?1,2) ,准线 L : x ? y ? 3 ? 0 的拋 物线方程式为? Ans: x 2 ? 2xy ? y 2 ? 2 x ? 14y ? 1 ? 0

Ans: ? y ? 3? ? 8( x ? 2) 或
2

【14】一拋物线之轴平行 x 轴,且过(1,1),(3, 2),(3,-1)三点,试求其方程式。 Ans: x ? y 2 ? y ? 1

? y ? 3?2 ? ?32( x ? 8)

【18】求过(7,8)且与拋物线 y 2 ? 4 x 共轴共焦点 之拋物线方程式 【15】一拋物线之轴平行 y 轴, 且过(-1, 0),(- 9,0),(0,9)三点,试求其方程式。 Ans: y ? x 2 ? 10x ? 9 Ans: y 2 ? 8?x ? 1?或 y 2 ? ?32?x ? 9?

【16】有一拋物线的拱桥,当水面在 l 线时,拱顶 离水面 2 公尺, 水面宽 4 公尺, 问水面下降 1 公尺后,水面宽多少公尺? Ans: 2 6
l

【17】求过(6,5)且与拋物线 y 2 ? 4x ? 6 y ? 5 ? 0 共轴共焦点之拋物线方程式


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