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2018届高考数学二轮复习三角恒等变换与解三角形 学案含答案(全国通用)

【2018 年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有: (1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是 C 级要求,二倍角的正弦、余弦及正切是 B 级要求,应 用时要适当选择公式,灵活应用. (2)正弦定理、余弦定理及其应用,要求是 B 级,能够应用定理实现三角形中边和角的转化, 以及应用定理解决实际问题. 试题类型一般是填空题,同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查,构成中档题. 【重点、难点剖析】 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)=cos αcos β?sin αsin β. tan α±tan β (3)tan(α±β)=1?tan αtan β. 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α=2sin αcos α. (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 2tan α (3)tan 2α= . 1-tan2α 3.正弦定理 a b c sin A=sin B=sin C=2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. a b c sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R. a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 4.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cos A= 2bc ,cos B= 2ac , cos C= a2+b2-c2 2ab . [来源: ] 5.三角形面积公式 1 1 1 S△ABC=2bcsin A=2acsin B=2absin C. 6.三角恒等变换的基本思路 (1)“化异为同”, “切化弦”,“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧.如 1=cos2θ+sin2θ=tan 45°等. “化异为同”是指“化异名为同名”,“化异次为同次”,“化异角为同角”. β? α+β ? (2)角的变换是三角变换的核心,如 β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β), 2 = α-2 - ? ? ?α-β?等. ?2 ? 7.解三角形的四种类型及求解方法 (1)已知两角及一边,利用正弦定理求解. (2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解. (4)已知三边,利用余弦定理求解. 8.利用解三角形的知识解决实际问题的思路 把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中, 通过解这样的三角形即可求出 实际问题的答案.注意要检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,从而得出正 确结果. 【题型示例】 题型 1、三角变换及应用 【例 1】 【2017 山东,文 7】函数 y ? A. 3 sin 2 x ? cos 2 x 最小正周期为 D. 2π π 2 B. 2π 3 C. π 【答案】C ? π? 3 则 tan?θ-π?= 【变式探究】 (1)(2016· 高考全国乙卷)已知 θ 是第四象限角, 且 sin θ+4 =5, 4 ? ? ? ? ________. π ? π? π 解析:基本法:将 θ-4转化为 θ+4 -2. ? ? ? π? 3 由题意知 sin θ+4 =5,θ 是第四象限角,所以 ? ? ? π? ? π? cos θ+4 >0,所以 cos θ+4 = ? ? ? ? ? π? 4 1-sin2 θ+4 =5. ? ? 1 ? π? ? π π? tan θ-4 =tan θ+4-2 =- ? ? ? ? ? π? tan θ+4 ? ? 4 ? π? cos θ+4 5 ? ? 4 =- =-3=-3. π ? ? sin θ+4 5 ? ? 4 答案:-3 π π 速解法:由题意知 θ+4为第一象限角,设 θ+4=α, π ∴θ=α-4, ? π? ? π? ?π ? ∴tan θ-4 =tan α-2 =-tan 2-α . ? ? ? ? ? ? 3 如图,不妨设在 Rt△ACB 中,∠A=α,由 sin α=5可得, BC=3,AB=5,AC=4, π 4 ∴∠B=2-α,∴tan B=3, 4 ∴tan B=-3. 4 答案:-3 (2)若 tan α>0,则( A.sin α>0 ) B.cos α>0 C.sin 2α>0 D.cos 2α>0 答案:C 【举一反三】 (2015· 新课标全国Ⅰ,2)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=( 3 A.- 2 3 B. 2 1 C.-2 1 D.2 ) 1 解析 sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin 30°=2. 答案 D 【变式探究】(2015· 四川,12)sin 15°+sin 75°的值是________. 6 解析 sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°= 2sin(15°+45°)= 2sin 60°= 2 . 答案 6 2 1 【举一反三】(2015· 江苏,8)已知 tan α=-2,tan(α+β)=7,则 tan β 的值为________. 答案 3 【感悟提升】 (1)此类问题的着眼点是“一角、二名、三结构”,即一看角的差异,二看名称的差异,三看结 构形式的差异,然后多角度使用三角公式求解. (2)对于三角函数中角的求值问题,关键在于“变角”,将“目标角”变换成“已知角”.若角所在 象限没有确定,则应分情况讨论,要注意三角公式的正用、逆用、变形运用,掌握其结构特 征,还要注意拆角、拼角等技巧的运用. (3)求三角函数的化简求值问题的一般思路:“

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