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衡水中学自用精品课件第一章 2综合法与分析法_图文

第一章 推理与证明 §2 综合法与分析法 内容 索引 01 明目标 知重点 填要点 记疑点 02 03 探要点 究所然 当堂测 查疑缺 04 明目标、知重点 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法. 2. 理解综合法和分析法的思考过程、特点,会用综合 法和分析法证明数学问题. 明目标、知重点 91taoke.com 填要点·记疑点 1.综合法的含义 从 命题的条件 出发,利用定义、公理、定理及运算法则, 通过演绎推理 ,一步一步地接近要证明的 结论,直到完成 命题的证明,这样的思维方法称为 综合法 . 填要点·记疑点 91taoke.com 2.分析法的含义 从求证的结论 出发,一步步地探索保证前一个结论成立的 充分条件 ,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定 义、公理、定理等.这样的思维方法称为 分析法 . 填要点·记疑点 91taoke.com 探要点·究所然 情境导学 证明对我们来说并不陌生,我们在上一节学习的合情推理, 积累了较多的证明数学问题的经验,但这些经验是零散的、 不系统的,这一节我们将通过熟悉的数学实例,对证明数学 所得结论的正确性就是要证明的,并且我们在以前的学习中, 问题的方法形成较完整的认识. 探要点·究所然 91taoke.com 探究点一 综合法 思考 1 请同学们证明下面的问题,总结证明方法有什么 特点? 已知a,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 证明 因为b2+c2≥2bc,a>0,所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+a2≥2ac,b>0,所以b(c2+a2)≥2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 探要点·究所然 91taoke.com 小结 此证明过程运用了综合法.一般地,利用已知条件和某 些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后 推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法. 探要点·究所然 91taoke.com 例1 在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c, 且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,求证: △ABC为等边三角形. 证明 由A,B,C成等差数列,有2B=A+C, 由于A,B,C为△ABC的三个内角, ① ② ③ 91taoke.com 所以A+B+C=π. π 由①②,得 B= , 3 探要点·究所然 由a,b,c成等比数列,有b2=ac, 由余弦定理及③, 可得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac, 再由④,得a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0, 从而a=c,所以A=C. π 由②③⑤,得 A=B=C= , 3 ④ ⑤ 所以△ABC为等边三角形. 探要点·究所然 91taoke.com 反思与感悟 综合法的证明步骤如下: (1) 分析条件,选择方向:确定已知条件和结论间的联 系,合理选择相关定义、定理等; (2) 转化条件,组织过程:将条件合理转化,书写出严 密的证明过程. 探要点·究所然 91taoke.com 跟踪训练 1 AC cos B 在△ABC 中, AB=cos C ,证明:B=C. 证明 在△ABC中,由正弦定理及已知条件得 sin B cos B = . sin C cos C 于是sin Bcos C-cos Bsin C=0, 即sin(B-C)=0,因为-π<B-C<π, 从而B-C=0,所以B=C. 探要点·究所然 91taoke.com 探究点二 分析法 思考 1 a+b 回顾一下:基本不等式 2 ≥ ab(a>0,b>0)是怎 样证明的? a+b 答 要证 ≥ ab, 2 只需证 a+b≥2 ab, 只需证 a+b-2 ab≥0, 探要点·究所然 91taoke.com 只需证( a- b)2≥0, 因为( a- b)2≥0 显然成立, 所以原不等式成立. 探要点·究所然 91taoke.com 思考2 证明过程有何特点? 答 从结论出发开始证明,寻找使证明结论成立的充分条件, 最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件. 探要点·究所然 91taoke.com 小结 分析法定义:一般地,从要证明的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明 的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定 理、定义、公理)为止,这种证明方法叫做分析法. 探要点·究所然 91taoke.com 思考3 综合法和分析法的区别是什么? 答 综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步寻找 的是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已知, 每步寻找的是充分条件. 探要点·究所然 91taoke.com 例 2 求证: a- a-1< a-2- a-3(a≥3). 证明 方法一 要证 a- a-1< a-2- a-3, 只需证 a+ a-3< a-2+ a-1, 只需证( a+ a-3)2<( a-2+ a-1)2, 只需证 2a-3+2 a2-3a<2a-3+2 a2-3a+2, 91taoke.com 探要点·究所然 只需证 a2-3a< a2-3a+2, 只需证 0<2,而 0<2 显然成立, 所以 方法二 a- a-1< a-2- a-3(a≥3). 因为 a+ a-1> a-2+ a-3>0, 1 1 所以 < , a+ a-1 a-2+ a-3 所以 a- a-1< a-2- a-3. 探要点·究所然 91taoke.com 反思与感悟 当已知条件和结论联系不够明显、直接,证明 中需要用哪些知识不太明确具体时,往往采用从结论出发, 结合已知条件,用结论反推的方法. 探要点·究所然 91taoke.com 跟踪训练 2 求证: 3+ 7<2 5. 证明 因为 3+

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