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【备课参考】高中数学(人教)必修5同课异构课件:3.2一元二次不等式及其解法(1)_图文

第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 一、基础知识讲解 定义:只含有一个未知数,未知数的最高次数是2的 不等式,叫一元二次不等式。 一元二次不等式的基本形式: ax2+bx+c>0(a≠0) ax2+bx+c<0(a≠0) ax2+bx+c≥0(a≠0) ax2+bx+c≤0(a≠0) 一、基础知识讲解 引例1:解不等式 2x-7>0 o y 3.5 x 思考:一元一次方程的解与一次函数的图象有什么关 系? 一元一次不等式的解集与一次函数的图象又有什 么关系? 答:方程的解即函数图象与x轴交点的横坐标; 不等式的解集即函数图象在x轴下方或上方所对应x 的范围。 一、基础知识讲解 引例2:解不等式 x2-x-6>0 什么关系? ? x x ? ?2, 或x ? 3? y 思考:不等式x2-x-6>0的解与二次函数y=x2-x-6图像又有 y=x2-x-6 解: 因为△=1+24>0 ∴方程x2-x-6=0的解是:x1=-2,x2=3 由函数y=4x2-4x+1的图像 -2 o 3 x 可得不等式的解集为{x|x<-2或x>3} 解不等式 x2-x-6<0 ( 1 , ? 25) 2 4 一、基础知识讲解 练习:1二次函数 y=ax2+bx+c的对应值表如下: x y -3 6 -2 0 -1 -4 0 -6 1 -6 2 -4 3 0 4 6 则ax2+bx+c>0解集是 ? x x ? ?2, 或x ? 3.? (2) -6x2 +x-2≤0 2.解不等式 (1) 4x2-4x+1>0 解: 因为△=16-16=0 方程4x2-4x+1=0的解是:x1=x2=0.5 而函数y=4x2-4x+1的开口向上 所以原不等式的解集为{x|x≠0.5} 一、基础知识讲解 1.一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系: ⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 方程 ax2+bx+c=0 的根 ⊿>0 y ⊿=0 y ⊿<0 y x1 x2 x x1(x2) x x 有两个 有两个不等实 相等实根 根 x1,x2(x1<x2) x1=x2 ax2+bx+c>0(a>0) {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} 的解集 ax2+bx+c<0 (a>0) {x|x1<x<x2} ? 的解集 无实根 R ? 一、基础知识讲解 小结:解一元二次不等式ax2+bx+c>0的步骤: ① 将二次项系数化为“+”(a>0); ② 计算ax2+bx+c=0判别式;并求其根 ③ 画出y=ax2+bx+c的图象; 记忆口诀: (前提a>0). ④ 由图象写出解集. 大于取两边,小于取中间 练习 口答: (1) (x-1)(x-3)>0的解集是 {x∣x<1或x>3}. (2) x2<9的解集是 {x∣-3<x<3 } . (3) x2-3x-4≥0的解集是 {x∣x≤-1或x≥4} . (4) (x-1)(2-x) ≥0的解集是 {x∣1≤ x≤ 2.} (5) (x-1)2≤0的解集是 {1} . 二、例题分析 例1.解不等式x 2 ? 5ax ? 6a 2 ? 0(a ? 0) 解: 原不等式可化为: 相应方程 的两根为 二、例题分析 例2.已知一元二次不等式ax2+bx+6>0的解集为{x∣-2<x<3} 求a,b的值。 解:由题意得,a<0,且方程ax2+bx+6=0的两根分别为-2和3, ∴ 练习. (1)已知不等式x2+ax+b>0的解集为{x|x<-2或x>3}, -6 -1 b=_____. 则实数a=____, ? 1 1? ?x ? ? x ? ? ? 2 3? ? 二、例题分析 例3. 若函数y ? x 2 - 6kx ? k ? 8的定义域为R,求k的取值 范围. 解:依题意可知,对任意x∈R,不等式x2-6kx+k+8≥0 应恒成立,所以 k应满足:△=(-6k)2-4(k+8)≤0 9 解得 ? ≤k≤1 8 二、例题分析 变式若函数 . y ? kx 2 - 6kx ? k ? 8的定义域为R,求k的取值 范围. 解:依题意可知,对任意x∈R,不等式kx2-6kx+k+8≥0 应恒成立,所以 (1)若k=0,则可得8>0,满足题意 (2)若k≠0,则应满足 k>0 k>0 解得 2 △=(-6k) -4k(k+8)≤0 -1≤k≤1 ∴0<k≤1 综上所述,k∈[0,1] 三、巩固练习 不等式ax? +bx+c>0的解集是全体实数的条件是 a=b=0且c>0,或a>0且△=b? -4ac<0 _________________________________. 应用 题1.一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线, 这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间有 如下的关系: y = -2 x2 + 220x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000 元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车? 解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意,得 到: -2x2 + 220x > 6000 移项整理,得 x2 - 110x + 3000 < 0. 因为△=100>0,所以方程 x2-110x+3000=0 有两个实数根 x1=50, x2=60. 由函数y=x2-110x+3000的图象, 得不等式的解集为{x|50<x<60}. 因为x只能取整数,所以当这条摩托 车整车装配流水线在一周内生产的摩托 车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂 能够获得6000元以上的收益. 题2.某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车 1 1 2 车速x km/h有如下关系: s ? x? x . 20 180 在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那 么这辆汽车刹车前的车速至少为多少?(精确到

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