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亳州一中南校高三数学(理科)预测试卷(二)

亳州一中南校高三数学(理科)预测试卷(二)
命题:杨伍 审题:杨露露
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合错误! 未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。 , 则错误! 未找到引用源。 ( (A) (?2, ?1] (B) (?2,1] (C) [1,3) (D) [?1,3) 2. 已知命题 p: ?x ∈R,x-2>lgx,命题 q: ?x ∈R, x >0,则( A.命题 p∨q 是假命题 B.命题 p∧q 是真命题 C.命题 p∨( ? q )是假命题 D.命题 p∧( ? q )是真命题
2



).

3、若复数 z 满足 ? z ? 3?? 2 ? i ? ? 5 ( i 为虚数单位),则 z 为( A. 2 ? i B. 2 ? i C. 5 ? i

) D. 5 ? i ).

4. 已知向量 a,b 满足|a|=1,a⊥b,则向量 a-2b 在向量 a 方向上的投影为( A.1 B.

7 7

C.-1

D.

2 7 7

5、设 a= ( ) 2 , b ? log 2014 2015, c ? log 4 2 ,则( A. a>b>c B. b>c>a

1 2

1

) C. b>a>c ) D. a>c>b

6. 函数 y ? x cos x ? sin x 的图象大致为(

* 7. 已知数列 {an },{bn } 满足 bn ? log2 an ,n ? N , 其中 {bn } 是等差数列, 且 a8 ? a2008 ?

1 , 4

则 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b2015 ? A. ?2015



) C. log2 2015 D. 1008 )

B. 2015

8. 已知四边形 ABCD,?BAD ? 1200 ,?BCD ? 600 ,AB=AD=2,则 AC 的最大值为( A.

4 3 3

B.4

C.

8 3 3

D.8

1

9、在矩形 ABCD 中,AB= 5 ,BC= 3 ,P 为矩形内一点,且 AP=

5 ,若 2

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A P? ? A B ? ? A(D ?, ?? )则 R ,
A.

5??

的最大值为 ( 3 ?

)

5 2

B.

10 2

C.

3? 3 4

D.

6 ?3 2 4

10. 已知函数 f ?x ? ? sin ?x ? ? ? ,且 ( )

?

2? 3 0

f ?x ?dx ? 0 ,则函数 f ?x ? 的图象的一条对称轴是

7? ? ? C. x ? D. x ? 12 3 6 11. 已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则 a 的值为( ) (A) 1 (B) 2 (C) ?1 (D) ?2
A. x ?

5? 6

B. x ?

? ? ?sin( x) ? 1, x ? 0 12. 已知函数 f ( x) ? ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 ) 的图象上关于 y 轴对称的点 2 ? ?log a (? x), x ? 0
至少有 5 对,则实数 a 的取值范围是( A. ( )

7 ,1) 7

B. (0,

7 ) 7

C. (

5 ,1) 5

D. (0,

5 ) 5

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上) 13. 已 知 co? s ?

5 , ? 是 第 四 象 限 角 , 且 tan(? ? ? ) ? 1 , 则 t a n ? 的值 5

为__________. 14. 已知各项均为正数的等差数列 {a n } 的前 20 项和为 100 ,那么 a 3 ·a 1 8 的最大值 是___________. 15、已知 | a |?| b |? 2 ,对任意 x ? R ,若不等式 | a ? xb |? 1 恒成立,则 a ? b 的取值范围是

?

?

?

?

? ?

?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? 2 2 2 16. 命题 p : x , y 满足不等式组 ?2 x ? y ? 2 ? 0 , q : x ? y ? r (r ? 0) ,若 p ?x ? 2 ?
是 q 的充分不必要条件,则 r 的取值范围是 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

2

17、 (本小题满分 12 分)已知全集 U=R,非空集合 A ? x

?

x?2 < 0? , x?3

B ? ? x ? x ? a ? ? x ? a 2 ? 2 ? < 0? .
(1)当 a ?

1 时,求 ? CU B ? ? A ; 2

(2)命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,若 q 是 p 的必要条件,求实数 a 的取值范围.
科网]

18、(本小题满分 12 分) 已知正项等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且满足 a1 ? a5 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)若数列?bn ? 满足 b1 ? a1 , bn?1 ? bn ? an?1 ,求数列 ?

2 2 a3 , 7

S7 ? 63 .

?1? ? 的前 n 项和 Tn b ? n?

19、 (本小题满分 12 分)已知向量 a, b 不共线, t 为实数.

? ?

1 ? ? ( a ? b) ,当 t 为何值时, A, B, C 三点共线; 3 ? ? ? ? ? ? 1 ? (Ⅱ)若 | a |?| b |? 1 ,且 a 与 b 的夹角为 120 ,实数 x ? [ ?1, ] ,求 | a ? xb | 的取值范围. 2
(Ⅰ)若 OA ? a , OB ? tb , OC ?

??? ?

?

??? ?

?

????

20、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos x ? sin(x ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)若函数 g ( x) 与 f ( x) 关于直线 x ? 最小值.

?
3

) ? 3 cos2 x ?

3 , x?R . 4

?
4

对称,求 g ( x) 在闭区间 [?

? ?

, ] 上的最大值和 4 2

21. (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? ax2 ? ln( x ? 1) .

(Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 x ?[0, ??) 时,函数 y ? f ( x) 图像上的点都在 ? 内,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)求证:
3

1 4

? x ? 0, 所表示的平面区域 ?y ? x ? 0

2 4 8 2n (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ? ? ? [1 ? n ?1 ] ? e (其中 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)
n ? N * ,e 是自然对数的底数) .

选做题:从以下三题中选择其中一题解答

22、 (本小题满分 10 分) 已知函数

?cx ? 1 ? f ( x) ? ? ? x c2 ? ?2 ? 1

(0 ? x ? c) (c ≤ x ? 1)
满足

f (c2 ) ?

9 . 8

(Ⅰ)求常数 c 的值 ; (Ⅱ)解不等式 f ( x) ?

2 ?1. 8

23、 (本小题满分 10 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sinA+sinB= 2sinC,a=2b. (Ⅰ)证明:△ABC 是钝角三角形; (Ⅱ)若 S ?ABC=

4 15 ,求 c 的值. 3

24、 (本小题满分 10 分)已知 a+b=1,对 ? a ,b∈(0,+∞) , x+1|恒成立, (Ⅰ)求

1 4 + ≥|2x-1|-| a b

1 4 + 的最小值; a b

(Ⅱ)求 x 的取值范围。

4

理科答案:2015.12.26
1、 C 2、 D 3、 D 14、25 4、A 5、C 6、D 7、A 8、B 9、B 10、 A 11、B12、B 15、 ? 2 3,2 3 16、 0 ? r ?

13、-3

?

?

2 5 5

17、 (1) ? ,3 ?, (2)a ? ?1or1 ? a ? 2. 18、Ⅰ)法一:设正项等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d , an ? 0 ,

?9 ? ?4 ?

2 ? 2 ?a1 ? a1 ? 4d ? (a1 ? 2d ) 则? 7 ? 7a1 ? 21d ? 63 ?

得?

? a1 ? 3 ?d ? 2

?an ? 3 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 1 .

法二: Q ?an ? 是等差数列且 a1 ? a5 ? 又 Q an ? 0,? a3 ? 7.

?d ? a4 ? a3 ? 2 , (Ⅱ) Q bn?1 ? bn ? an?1 ,且 an ? 2n ? 1,?bn?1 ? bn ? 2n ? 3 . 当 n ? 2 时, bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? L ? (b2 ? b1 ) ? b1 ? (2n ? 1) ? (2n ? 1) ? L ? 5 ? 3 ? n(n ? 2) , 当 n ? 1 时, b1 ? 3 满足上式, bn ? n(n ? 2) . 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ). bn n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 1 ?Tn ? ? ? L ? ? b1 b2 bn?1 bn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) L ? ( ? )?( ? )] 2 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1 n n?2 1 1 1 1 3 1 1 1 ? (1 ? ? ? )? ? ( ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 4 2 n ?1 n ? 2
[ 来源:学科网]

2 2 2 a3 ,? 2a3 ? a3 2 , 7 7 7(a1 ? a7 ) Q S7 ? ? 7 a4 ? 63 ,? a4 ? 9 , 2 ?an ? a3 ? (n ? 3)d ? 2n ? 1 .

19、 (Ⅰ) A, B, C 三点共线,则存在实数 ? ,使得 OC ? ?OA ? (1 ? ? )OB , 即 ( a ? b) ? ? a ? (1 ? ? )tb ,则 ? ?
? (Ⅱ)由 a ? b ?| a | ? | b | ? cos120 ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 ? 3

?

?

?

? ?

?

?

1 1 , t? 3 2
[来源:学科网 ZXXK]

? ? ?2 ?2 ? ? | a ? xb |2 ? a ? x2 ? b ? 2 xa ? b ? x 2 ? x ? 1 , ? ? 1 3 1 因为 x ? [ ?1, ] , 当 x ? ? 时, | a ? xb | 的最小值为 , 2 2 2 ? ? ? ? 7 3 7 1 , ]. 当 x ? 时, | a ? xb | 的最大值为 , 所以 | a ? xb | 的取值范围是 [ 2 2 2 2

1 ,则 2

5

3 3 4 ? ? 3 ? cos x ? (sin x ? cos ? cos x ? sin ) ? 3 cos 2 x ? 3 3 4 ? 1 3 3 1 3 3 1 ? sin(2 x ? ) ? sin x ? cos x ? cos2 x ? ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 2 3 2 2 4 4 4 4 2? ?? (Ⅰ)函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? 2 ? ? (Ⅱ)设 g ( x) 图像上任意一点为 ( x, y ) ,点 ( x , y ) 关 于 x ? 对称的点 ( ? x , y ) 在函数 2 4 ? 1 ? ? 1 2? 1 2? f ( x) 上,即 g ( x) ? f ( ? x) ? sin[2( ? x) ? ] ? sin( ? 2 x) ? ? sin(2 x ? ) 2 2 2 3 2 3 2 3 ? ? 7? 2? ? 1 1 2? 3 ? 2x ? ? ,则 ? ? sin(2 x ? ) ? 又 ? ? x ? ,所以 ? 4 2 6 3 3 2 2 3 4 1 3 1 3 故 g ( x) ? [? ; g ( x ) max ? . , ] 所以 g ( x) min ? ? 2 4 2 4
20、解:由 f ( x) ? cos x ? sin( x ?

?

) ? 3 cos2 x ?

21、

(Ⅱ)因函数 f ( x) 图象上的点都在 ?

? x ? 0, 所表示的平面区域内,则当 x ?[0, ??) ?y ? x ? 0

时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,即 ax2 ? ln( x ? 1) ? x ? 0 恒成立,设 g ( x) ? ax2 ? ln( x ? 1) ? x ( x?0) ,只需 g ( x)max ? 0 即可.
1 x[2ax ? (2a ? 1)] , ?1 ? x ?1 x ?1 ?x (ⅰ)当 a ? 0 时, g ?( x) ? ,当 x ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (0, ??) 上 x ?1 单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立. 1 x[2ax ? (2a ? 1)] (ⅱ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ? ?1 , ? 0 ,因 x ? [0, ??) ,所以 x ? 2a x ?1 1 1 ①若 ? 1 ? 0 ,即 a ? 时,在区间 (0, ??) 上, g ?( x) ? 0 ,则函数 g ( x) 在 (0, ??) 2 2a 上单调递增, g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值(或:当 x ? ?? 时, g ( x) ? ?? ) ,此时不

由 g ?( x) ? 2ax ?

满足条件; ②若
( 1 1 1 ? 1 ? 0 ,即 0 ? a ? 时,函数 g ( x) 在 (0, ? 1) 上单调递减,在区间 2a 2 2a

1 ? 1, ??) 上单调递增,同样 g ( x) 在 [0, ??) 上无最大值,不满足条件. 2a

6

x[2ax ? (2a ? 1)] ,∵ x ?[0, ??) ,∴ 2ax ? (2a ? 1) ? 0 , x ?1 ∴ g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 在 [0, ??) 上单调递减,故 g ( x) ? g (0) ? 0 成立.

(ⅲ)当 a ? 0 时,由 g ?( x) ?

综上所述,实数 a 的取值范围是 (??,0] . (Ⅲ) 据 (Ⅱ) 知当 a ? 0 时,ln( x ? 1) ? x 在 [0, ??) 上恒成立 (或另证 ln( x ? 1) ? x 在区间 (?1, ?? ) 上恒成立) , 又
2n 1 1 ? 2( n ?1 ? n ), n ?1 n (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1
2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? ) ? ? ? [1 ? n ?1 ]} 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

∵ ln{(1 ?
? ln(1 ?
?

2 4 8 2n ) ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? ) ? ? ? ln[1 ? n ?1 ] 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

2 4 8 2n ? ? ? ? ? n ?1 2 ? 3 3? 5 5? 9 (2 ? 1)(2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2[( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( n?1 ? )] 2 3 3 5 5 9 2 ? 1 2n ? 1 1 1 ? 2[( ? n )] ? 1 , 2 2 ?1 2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? ) ? ? ? [1 ? n ?1 ]?e. ∴ (1 ? 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

22



23、Ⅰ)因为 sin A ? sin B ? 2sin C ,由正弦定理得 a ? b ? 2c , 又 a ? 2b ,可得 b ?

2 c, 3

3分

7

4 2 2 16 2 c ?c ? c b ?c ?a 1 9 9 所以 cos A ? ? ?? ?0, 2 2bc 4 2 ? c2 3 所以 A 为钝角,故 ?ABC 为钝角三角形. 6分 1 15 (Ⅱ)由 cos A ? ? ,得 sin A ? , 9分 4 4 1 1 2 15 4 所以 S?ABC ? bc sin A ? ? c 2 ? ? 15 ,解得 c ? 4 . 10 分 2 2 3 4 3
2 2 2

24、解析: (Ⅰ)∵ a ? 0, b ? 0 且 a ? b ? 1 ,

1 4 1 4 b 4a ? ? ( ? )(a ? b) ? 5 ? ? ?9, 3分 a b a b a b b 4a 1 2 当且仅当 ? ,即 a ? , b ? 时, a b 3 3 1 4 ? 取最小值 9. 5分 a b 1 4 (Ⅱ)因为对 a, b ? (0, ??) ,使 ? ? 2 x ? 1 ? x ? 1 恒成立, a b
∴ 所以 2x ?1 ? x ? 1 ? 9 , 7分 当 x ? ?1 时,不等式化为 2 ? x ? 9 , 解得 ?7 ? x ? ?1 ; 1 1 当 ?1 ? x ? 时,不等式化为 ?3x ? 9 ,解得 ?1 ? x ? ; 2 2 1 1 当 x ? 时,不等式化为 x ? 2 ? 9 , 解得 ? x ? 11 ; 2 2 ∴ x 的取值范围为 ?7 ? x ? 11 . 10 分

8

9


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