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2018版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第5讲两角和与差的正弦余弦和正切理


第 5 讲 两角和与差的正弦、余弦和正切
一、选择题

?π ? 1. 已知锐角 α 满足 cos 2α =cos ? -α ?,则 sin 2α 等于( ?4 ?
1 A. 2 C. 2 2 B.- D.- 1 2 2 2

)

?π ? 解析 由 cos 2α =cos ? -α ? ?4 ?
得(cos α -sin α )(cos α +sin α )= 由 α 为锐角知 cos α +sin α ≠0. ∴cos α -sin α = 1 ∴sin 2α = . 2 答案 A 1+cos 2α 1 2.若 = ,则 tan 2α 等于 sin 2α 2 5 A. 4 解析 5 B.- 4
2

2 (cos α +sin α ) 2

2 1 ,平方得 1-sin 2α = . 2 2

( 4 D.- 3

).

C.

4 3

1+cos 2α 2cos α cos α 1 = = = , sin 2α 2sin α cos α sin α 2

2tan α 4 4 ∴tan α =2,∴tan 2α = = =- ,故选 D. 2 1-tan α 1-4 3 答案 D 3.已知 α ,β 都是锐角,若 sin α = A. C. π 4 π 3π 和 4 4 5 10 ,sin β = ,则 α +β = ( 5 10 3π B. 4 π 3π D.- 和- 4 4 ).

2 5 2 2 解析 由 α ,β 都为锐角,所以 cos α = 1-sin α = ,cos β = 1-sin β = 5 3 10 2 π .所以 cos(α +β )=cos α ·cos β -sin α ·sin β = ,所以 α +β = . 10 2 4

1

答案 A π? 4? 4.已知 sin θ +cos θ = ?0<θ < ?,则 sin θ -cos θ 的值为 4? 3? A. 2 3 B.- 2 3 C. 1 3 1 D.- 3 ( ).

4 16 7 2 解析 ∵sin θ +cos θ = ,∴(sin θ +cos θ ) =1+sin 2θ = ,∴sin 2θ = , 3 9 9 又 0<θ < π 2 , ∴ sin θ <cos θ . ∴ sin θ - cos θ = - ?sin θ -cos θ ? = - 4 2 . 3

1-sin 2θ =- 答案 B

π ?1? 5.若 tan α =lg(10a),tan β =lg? ?,且 α +β = ,则实数 a 的值为 4 ?a? ( A.1 B. 1 10 1 C.1 或 10 tan α +tan β = 1-tan α tan β D.1 或 10 ).

解析 tan(α +β )=1?

?a? 2 =1? lg a+lg a=0, 1 ? ? 1-lg?10a?·lg? ? ?a?

?1? lg?10a?+lg? ?

1 所以 lg a=0 或 lg a=-1,即 a=1 或 . 10 答案 C π? 7π ? 4 3 ? ? 6.已知 cos?α - ?+sin α = ,则 sin?α + ?的值是( 6? 6 ? 5 ? ? 2 3 A.- 5 2 3 B. 6 4 C.- 5 4 D. 5 ).

π? 4 3 3 3 ? 解析 cos?α - ?+sin α = ? sin α + cos α 6? 5 2 2 ? π? 4 4 3 ? = ? sin?α + ?= , 6? 5 5 ? 7π ? π? 4 ? ? 所以 sin?α + ?=-sin?α + ?=- . 6 6 5 ? ? ? ? 答案 C 二、填空题 π? 1 ? ? π? 7.已知 cos ?α + ?= ,α ∈?0, ?,则 cos α =________. 4 2? ? ? 3 ?

2

π ? π 3π ? ? π? 解析 ∵α ∈?0, ?,∴α + ∈? , ?, 2? 4 ? 4 ?4 ? π? 2 2 ? ∴sin ?α + ?= . 4? 3 ? π? π ? 故 cos α =cos [?α + ?- ] 4? 4 ? π? π π? π ? ? =cos ?α + ?cos +sin ?α + ?sin 4? 4? 4 4 ? ? 1 2 2 2 2 4+ 2 = × + × = . 3 2 3 2 6 答案 4+ 2 6

π? 4 ? 8.设 α 为锐角,若 cos?α + ?= ,则 6? 5 ? π? ? sin?2α + ?的值为________. 12? ? π? 4 ? 解析 ∵α 为锐角且 cos?α + ?= , 6? 5 ? π? 3 π ?π 2π ? ? ∴α + ∈? , ?,∴sin?α + ?= . 6 3 6? 5 6 ? ? ? π? π? π? ? ? ? ∴sin?2α + ?=sin?2?α + ?- ? 6? 4? 12 ? ? ? ? π? π? π π ? ? =sin 2?α + ?cos -cos 2?α + ?sin 6 6 4 4 ? ? ? ? π? ? π? π? ? 2? ? 2? = 2sin?α + ?cos?α + ?- ?2cos ?α + ?-1? 6 6 6? ? ? ? ? ? 2? ? 3 4 2? ?4?2 ? 12 2 7 2 17 2 = 2× × - ?2×? ? -1?= - = . 5 5 2 ? ?5? 50 50 ? 25 答案 17 2 50
2

9.函数 f(x)=2cos x+sin 2x 的最小值是________. 解析 π? ? 2 ∵f(x)=2cos x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=1+ 2sin?2x+ ?,∴f(x)min 4? ?

=1- 2. 答案 1- 2

? π π? 2 10.方程 x +3ax+3a+1=0(a>2)的两根为 tan A,tan B,且 A,B∈?- , ?,则 A+B ? 2 2?
=________.
3

解析 由题意知 tan A+tan B=-3a<-6, tan A·tan B=3a+1>7, ∴tan A<0, tan B<0, tan A+tan B -3a tan(A+B)= = =1. 1-tan Atan B 1-?3a+1?

? π π? ? π ? ∵A,B∈?- , ?,∴A,B∈?- ,0?, 2 2 ? ? ? 2 ?
3π ∴A+B∈(-π ,0),∴A+B=- . 4 3π 答案 - 4 三、解答题 π? π? ? ? 2 11.已知函数 f(x)=sin?2x+ ?+sin?2x- ?+2cos x-1,x∈R. 3? 3? ? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求函数 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4?
π π π π 解 (1)f(x)=sin 2x·cos +cos 2x·sin +sin 2x·cos -cos 2x·sin +cos 3 3 3 3 π? ? 2x=sin 2x+cos 2x= 2sin?2x+ ?. 4? ? 2π 所以,f(x)的最小正周期 T= =π . 2

? π π? ?π π ? ? π? (2)因为 f(x)在区间?- , ?上是增函数,在区间? , ?上是减函数.又 f?- ?= ? 4 8? ?8 4? ? 4? ?π ? ?π ? ? π π? -1,f? ?= 2,f? ?=1,故函数 f(x)在区间?- , ?上的最大值为 2,最小值为 ?8? ?4? ? 4 4?
-1. 12.已知 sin α +cos α = π? 3 3 5 ? π? ? ?π π ? ,α ∈?0, ?,sin?β - ?= ,β ∈? , ?. 4? 4? 5 5 ? ? ?4 2?

(1)求 sin 2α 和 tan 2α 的值; (2)求 cos(α +2β )的值. 9 2 解 (1)由题意得(sin α +cos α ) = , 5 9 4 即 1+sin 2α = ,∴sin 2α = . 5 5 3 ? π? 2 又 2α ∈?0, ?,∴cos 2α = 1-sin 2α = , 2 5 ? ? sin 2α 4 ∴tan 2α = = . cos 2α 3

4

π? 3 π ? π? ?π π ? ? (2)∵β ∈? , ?,β - ∈?0, ?,sin?β - ?= , 4? 4? 5 4 ? ?4 2? ? π? 4 ? ∴cos?β - ?= , 4? 5 ? π? π? ? π ? 24 ? ? 于是 sin 2?β - ?=2sin?β - ?cos?β - ?= . 4 4 4 ? 25 ? ? ? ? ? π? 24 ? 又 sin 2?β - ?=-cos 2β ,∴cos 2β =- , 4 25 ? ? 7 ?π ? 又 2β ∈? ,π ?,∴sin 2β = , 25 ?2 ? 1+cos 2α 4 ? π? 2 又 cos α = = ,α ∈?0, ?, 4? 2 5 ? 2 5 5 ∴cos α = ,sin α = . 5 5 ∴cos(α +2β )=cos α cos 2β -sin α sin 2β 2 5 ? 24? 5 7 11 5 = ×?- ?- × =- . 5 25 ? 25? 5 25 13.函数 f(x)=6cos
2

ωx + 2

3sin ω x-3(ω >0)在一个周期内的图象如图所示,A 为图

象的最高点,B、C 为图象与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; 8 (2)若 f(x0)=

? 10 2? ,且 x0∈?- , ?,求 f(x0+1)的值. 5 ? 3 3?
3 3sin ω x

解 (1)由已知可得,f(x)=3cos ω x+ π? ? =2 3sin?ω x+ ?, 3? ?

又正三角形 ABC 的高为 2 3,从而 BC=4, 2π π 所以函数 f(x)的周期 T=4×2=8,即 =8,ω = . ω 4 函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3]. 8 3 (2)因为 f(x0)= , 5 由(1)有 f(x0)=2 3sin? 即 sin?

?π x0+π ?=8 3, 3? ? 4 ? 5

?π x0+π ?=4. 3? ? 4 ? 5

π x0 π ? π π ? ? 10 2? 由 x0∈?- , ?,知 + ∈?- , ?, 3 3 4 3 ? 2 2? ? ?
5

所以 cos?

?π x0+π ?= ? 3? ? 4

?4?2 3 1-? ? = . ?5? 5

故 f(x0+1)=2 3sin? =2 3sin?? =2 3?sin?

?π x0+π +π ? 4 3? ? 4 ?

??π x0+π ?+π ? 3? ? 4? ?? 4 ? ?π x0+π ?cosπ +cos?π x0+π ?sinπ ? ? 4 ? 3? 3? 4 4? ? 4 ? ? ?

? ?

2 3 2? 7 6 ?4 =2 3×? × + × ?= . ?5 2 5 2 ? 5 14.(1)①证明两角和的余弦公式 C(α +β ):cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β ; ②由 C(α +β )推导两角和的正弦公式 S(α +β ):sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β . 3 ? 4 1 ? ?π ? (2)已知 cos α =- ,α ∈?π , π ?,tan β =- ,β ∈? ,π ?, 2 ? 5 3 ? ?2 ? 求 cos(α +β ). 解 (1)证明 ①如图,在直角坐标系 xOy 内作单位圆 O,并作出角 α ,β 与-β ,使角 α 的始边为 Ox 轴非负半轴,交⊙O 于点 P1,终边交⊙O 于点 P2;角 β 的始边为 OP2,终 边交⊙O 于点 P3,角-β 的始边为 OP1,终边交⊙O 于点 P4. 则 P1(1,0), P2(cos α , sin α ), P3(cos(α +β ), sin(α +β )), P4(cos(-β ), sin(- β )). 由 P1P3=P2P4 及两点间的距离公式,得 [cos(α +β )-1] +sin (α +β )=[cos(-β )-cos α ] +[sin(-β )-sin α ] , 展开并整理,得 2-2cos(α +β )=2-2(cos α cos β -sin α sin β ). ∴cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β . ②由①易得,cos? sin?
2 2 2 2

?π -α ?=sin α , ? ?2 ?

?π -α ?=cos α . ? ?2 ?

?π ? sin(α +β )=cos ? -?α +β ?? ?2 ? ??π ? ? =cos?? -α ?+?-β ?? ?? 2 ? ? ?π ? ?π ? =cos? -α ?cos(-β )-sin? -α ?sin(-β ) ?2 ? ?2 ?
=sin α cos β +cos α sin β .
6

∴sin(α +β )=sin α cos β +cos α sin β . 3 ? 4 3 ? (2)∵α ∈?π , π ?,cos α =- ,∴sin α =- . 2 ? 5 5 ? 1 ?π ? ∵β ∈? ,π ?,tan β =- , 3 ?2 ? 3 10 10 ∴cos β =- ,sin β = . 10 10 cos(α +β )=cos α cos β -sin α sin β

? 4? ? 3 10?-?-3?× 10=3 10. =?- ?×?- ? ? ? 10 ? 5? ? 10 ? ? 5? 10

7


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