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函数的奇偶性及其应用举例


函数的奇偶性及其应用举例
(湖北省红安县职教中心 金哲、曾诚)

【摘要】
函数是贯穿于初中、高中、大学数学教学的一条主线,也是高中数学的核心 内容,那么真正掌握函数,其中最主要的就是掌握函数的基本性质。函数的奇偶 性是函数重要性质之一。 近几年高职统考以及技能高考对于函数的奇偶性一直都 是热点问题。本文将通过对函数的奇偶性及其应用进行一个系统研究。

【关键词】 函数的奇偶性,判定,应用
一、奇、偶函数的定义:
若函数 f ( x) ,在其定义域内,任取 x 都有 f (? x) ? ? f ( x)(或者f (? x) ? f ( x)) , 则称函数 f ( x) 在区间 I 上是奇函数(或者偶函数)

二、函数的奇偶性分类
奇函数 : f (? x) ? ? f ( x) ? ? 偶函数 : f (? x) ? f ( x) ? ? ? 非奇非偶函数: f (? x) ? ? f ( x)且f (? x) ? f ( x) ? f (? x) ? ? f ( x)且f (? x) ? f ( x) ?既奇且偶函数:

三、奇、偶函数的图象:
奇函数 ? 图象关于原点成中心对称的函数 偶函数 ? 图象关于 y 轴对称的函数。

四、函数奇偶性的性质:
①具有奇偶性的函数,其定义域关于原点对称 ②若 f(x)是奇函数,且 x 在 0 处有定义,则 f(0)=0 ③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反 ④任意定义在 R 上的函数 f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个 偶函数的和。

五、 判断函数奇偶性的方法:
(1)定义法:欲判断函数 f ( x) 在给定区间或者定义域内的奇偶性:

第一步:先判断给定区间或者定义域是否关于原点对称,若 不对称,则函数 f ( x) 一定是非奇非偶函数。 第二步:若对称,再判断 f (? x) 与 f ( x) 的关系: ①若 f (? x) =- f ( x) ,则 f ( x) 是奇函数 ②若 f (? x) = f ( x) ,则 f ( x) 是偶函数 ③若 f (? x) =- f ( x) 且 f (? x) = f ( x) ,则 f ( x) 是既奇且偶函数 ④若 f (? x) ? - f ( x) 且 f (? x) ? f ( x) ,则 f ( x) 是非奇非偶函数 (2)图象法:图象关于原点成中心对称的函数是奇函数; 图象关于 y 轴对称的函数是偶函数。,

六、函数奇偶性的应用:
(1)函数奇偶性的判断
例 1、(2011 年高职统考第 4 题)下列函数为奇函数的为
1 1 1 1

A. y ? x 5 ( x ? 0)

B. y ? x 7 ( x ? 0)

C. y ? x 2

D. y ? x 3
1 1

析:A,B,C 这三个函数的定义域都不关于原点对称,故均为非奇非偶函数, 只有 D 选项,定义域为 ?? ?,??? ,关于原点对称,并且 ?? x ?3 ? ? x 3 ,故 D 项所在函数为奇函数。 例 2、(2014 年文化综合第 25 题改编)下列函数中为奇函数的是
A. f ( x) ? x2 ? 1 B. f ( x ) ? x 3
?5? C. f ( x ) ? ? ? ?3?
x

D. f ( x) ? log

2

x

析:A 项 f ( x) ? x2 ? 1 的定义域为 ?? ?,??? 关于原点对称,但
2 ?5? f (? x) ? ?? x? ?1 ? x 2 ?1 , f (? x) ? f ( x) 故为偶函数; C 项 f ( x) ? ? ? 定义域
x

?3?

?5? 为 ?? ?,???关于原点对称,但 f (? x) ? ? ? , f (? x) ? f ( x)且f (? x) ? ? f ( x) , ? 3?
故为非奇非偶函数;D 项 f ( x) ? log 2 x ,定义域为 ?0,??? ,不关于原点对称, 故为非奇非偶函数,只有 B 项符合。 例 3、判断函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1的奇偶性:
? ?) , 析:(法 1-定义法) f ( x ) 函数的定义域是 (? ? ,
∵ f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 ,

?x

∴ f (? x) ? (? x)2 ? 2 ? x ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? f ( x ) , ∴ f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 1 为偶函数。 (法 2—图象法):画出函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 1 的图 象如下:由函数 f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? 1 的图象可知,
2 f ( x )? x ? 2 x ? 为偶函数 1 说明 :判断函数的奇偶性:一般情况下,若采用定 义法,先考察函数的定义域是否关于原点“对称”然后 判断 f(-x) 与 f(x)的关系。左为有些函数,

可用图象法判断函数的奇偶性。

(2)利用函数的奇偶性求值
例 4、 已知函数 f ( x ) ?
ax 2 ? 1 又 f (1) ? 2 , f (2) ? 3 , (a , b , c ? Z ) 是奇函数, bx ? c

求 a , b , c 的值. 解:由 f ( ? x ) ? ? f ( x ) 得 ?bx ? c ? ?(bx ? c ) ,∴ c ? 0 。 4a ? 1 ? 3, 又 f (1) ? 2 得 a ? 1 ? 2 b ,而 f (2) ? 3 得 2b 4a ? 1 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 2 。 ∴ a ?1 又 a ? Z ,∴a ? 0 或 a ? 1 . 1 若 a ? 0 ,则 b ? ? Z ,应舍去;若 a ? 1 ,则 b ? 1 ? Z b=1∈ Z. 2 ∴a ? 1, b ? 1, c ? 0 。 说明:本题从函数的奇偶性入手,利用函数的思想(建立方程或不等式,组 成混合组),使问题得解.有时也可用特殊值,如 f(-1)=-f(1),得 c =0。 例 5、已知 f(x)=ax2+bx+3a+b 是偶函数,且定义域为[a-1,2a],则

a=_____________,b=____________.
解析:定义域关于原点对称,故 a-1=-2a, a ? 又对于 f(x)有 f(-x)=f(x)恒成立,∴b=0.
1 , 3

(3)利用函数的奇偶性解不等式:
例 6、若 f(x)是偶函数,当 x∈ [0,+∞)时,f(x)=x -1,求 f(x-1)<0 的解集。
分析:偶函数的图象关于 y 轴对称,可先作出 f(x) 的图象,利用数形结合的方法. 解:画图可知 f(x)<0 的解集为 {x|-1<x<1},

∴ f(x-1)<0 的解集为{x|0<x<2}.

答案:{x|0<x<2}

说明: 本题利用数形结合的方法解题较快、 简捷.本题也可先求 f(x)的表达式, 再求 f(x-1)的表达式,最后求不等式的解也可得到结果.

(4)利用函数奇偶性求函数解析式
例 7、若 f(x)是 R 上的奇函数,且 x∈ (-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x). 分析:先设 x>0,求 f(x)的表达式,再合并. 解:∵ f(x)为奇函数,∴ f(0)=0. 当 x>0 时,-x<0,f(-x)=xlg(2+x),即-f(x)=xlg(2+x), ∴ f(x)=-xlg(2+x) (x>0).

? ? x lg(2 ? x ) ( x ? 0) ∴ f ( x) ? ? 。 ? ? x lg(2 ? x ) ( x ? 0)
说明:注意自变量在区间上的转化,分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相 连。 3 例 8、设函数 f ( x ) 是偶函数,函数 g ( x ) 是奇函数,且 f (x ) ? g(x ) ? , x?3 求 f ( x ) 和 g ( x ) 的解析表达式。 3 解:∵ f ( x ) ? g( x ) ? (1) , x?3 3 ∴ f ( ? x ) ? g( ? x ) ? , ?x ? 3 又∵ 函数 f ( x ) 是偶函数,函数 g ( x ) 是奇函数, ∴ f ( ? x ) ? f ( x ) , g( ? x ) ? ? g( x ) , 3 ∴ 上式化为 f ( x ) ? g( x ) ? (2) ?x ? 3 解 (1) ,(2) 组成的方程组得 9 3x f ( x )? ( x? R , x ? ?, 3 ) g( x ) ? 2 ( x ? R , x ? ?3) 。 2 9? x x ?9

【参考文献】
1、高中数学同步导学大课堂. 任志鸿主编 . 2007 2、全日制普通高级中学教科书必修---数学第一册(下). 人民教育出版社 . 2003 3、瞿连林.高中数学专题教学[M]. 光明日报出版社. 1992 4、 中等职业教育课程改革国家规划新教材数学 (基础模块) 上册 . 高等教育出版社 . 2009 5、湖北省高职统考复习丛书数学第一轮 . 华中科技大学出版社 . 2010 6、普通高校对口招生复习丛书数学知识点精讲精练 . 上海科学技术文献出版社 . 2012


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