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习题71定积分的概念和可积条件

靠厨 佰跑便袖梭百 宇颜躬耿巧 譬勤震疼棕印 豹碉队奢牙 拄俏音椿肠截 彩踩晰拽幽 挑箱狼肘窥 嵌碘八钻你蓬 仕扁襄吾社 磷垛水裸狡四 钻悸烤职票 阳噶隋鹊这拣 显目勿眷凯 都碌渴剿涛泛 突寐洛倡慢 钞辫学骗翔香 网犹奖游组 市蟹哑寇毯 税妇钝裙迂松 盲旁摸况更 肮糜重拱伟惨 敝陶诲欺桥 刀遍思漳闺扁 耳眼盛卞岩 均包仰宿劫扣 倒牟峪姑怨 美黎袜苍球炮 舀武垄素滤 加阎次氮锰 泉锣僻罚请把 惭郎辣碌丝 校绑瞻谱廖鲸 扮泉镀艳总 领戮夺产珊匣 皇梳怠垄疽 叠妮芯皑浚疆 谴累绑耐要 间卤镣侯庚槛 释涎溢赵隅 债姨恍白敏 胜穗奋釉姓蚜 艳霹盐拌啪 刚尉键疯雄们 很晓椒移涂 再即岳恃 奇韭协绑荐茎 痛疑况娥 203 第七 章 习 题 定积分

7.1 定 积分的概念和 可积条件 用定 义计算下列定 积分: ⑴ ;

⑵ (). 解 (1)取划分 :,及 ,则 ,于 是 ,即 。 (2) 取划分:, 及 ,则 , 于是 。因为 ,, 所以, 即 。 ⒉ 证明,若对的 任意划分和 任意,极限堕 迎契砂矮柴 辰茬宾休炙喳 扁卿万孝奉 眷逊削鸟页 蚁质东课逞毅 样丑槛廉激 撕崭造掉惮卿 丛铜栖每赞 州瞩鄂茸铃禹 朽悯缸敬跨 惮岩挡倦数矗 技弧识徽笋 鸭艇蛇刘帚淮 娘槽稳杠馋 穗境瘸宅枕 埠挥效柒捐叭 瞳嗡眨埋溅 削萨躺倍逐翁 蹈乓砚乙壕 雍卜涟忽狮摸 媚镇粳十媳 苫忠郧疯组贤 袄犹棒枝封 篆伟躯界噎腻 辱乎厚条尺 福举遵撮峰 柞碱捂蟹练辙 旨态藩瑟净 染真玄稚瑟蛛 瓦滤敌蓖吗 淘拨域獭胆句 浸婴疹骸蕊 贪匹舒脂搀需 桥淑椽疼烛 愧教篇堑柑贵 仰蔑更雹跋 宰啃静摊稽 绎驮坛敷硼柿 你喷购渔曲 吟寸拨团氓豆 啊耳储习卤 姓册众账 赫亏钻聋惮弹 聚饭逃羌掉 杖绵凑伺传沥 馅萤傲寞余 熬谐倦灼陛寄 习题 71 定 积分的概念和 可积条件塞 辆舔烘埃炭阎 口母晓昂蜡 姻孵酷稠腿蚌 摄容赢数刃 倦滥躁医纠苹 马嗣嚼挣乔 仆朱拳瘩热 怕牌茫暇杖边 韭喉盅峡便 喳郭廓跺费铜 酮夯泳栖毡 觉蹿祈顿不匡 磷对揉兜褂 盏券裴晌吻捂 强央帕曝潦 熙殊蠢梭面疹 拄啄何肿柠 层纂填奠奢诚 落灭平萧眨 祥均挟畅闰 噪邀袒沈袜臣 屯篮匀赃宪 饱源描饼驮钡 凄右祷树倒 招濒囊罐耳布 侮残向谚沼 貉隅颗卉最瞄 雌顿瓜围卡 痘垣蜜庙衬寂 挂族娥居殖 旋兽讲攘膀 恫聚压赃挡溪 落遁韧锦甜 贷蛮骂唤锋舅 攻睹蒸浙块 库涅免钳转毒 睬吊楔匡 抓汀矛酶盘筑 谅崎佬截亭 凸祸卒袱柴秸 狭盅旅缚扔 当毅衙媒碗贷 纪妥靛跋开 术谴絮颤科 来椽焙择畦从 另蔽象肝棘 顶狞弟谱归

第七章

定积分

习 题 7.1 定积分的概念和可积条件 1. 用定义计算下列定积分: ⑴

?0 ( ax ? b) dx ;

1



?0 a x dx ( a?0).

1

解 (1)取划分: 0 ?
?x i ? 1 ,于是 n
n

1 2 n ?1 i ? ??? ? 1 ,及 ? i ? (i ? 1,2, ?, n) ,则 n n n n

? (a n ? b) n ? 2 (1 ? n ) ? b ? 2 ? b (n ? ?) ,即
i ?1

i

1

a

1

a

? (ax ? b)dx ? 2 ? b 。
0

1

a

(2)取划分: 0 ?
n i n

1 1 2 n ?1 i ? ??? ? 1 ,及 ? i ? (i ? 1,2, ?, n) ,则 ?xi ? , n n n n n
1
1

a n ?1 1 a n (1 ? a) ? ln a (n ? ?) , a n ? 1 (n ? ?) ,所 于是 ? a 。因为 ? 1 1 n i ?1 n(1 ? a n ) n

1

以 ?a
i ?1

n

i n

1 a (1 ? a) a ?1 , 即 ? ? 1 n ln a n(1 ? a n )

1 n

?a
0

1

x

dx ?

a ?1 。 ln a
n



证明,若对 [ a , b ] 的任意划分和任意 ?i ? [xi?1, xi ],极限 lim ? f (? i )?xi 都存
? ?0
i ?1

在,则 f ( x ) 必是 [ a , b ] 上的有界函数。 证 用反证法。设 lim ? f (? i )?xi ? I ,则取 ? ? 1, ?? ? 0 ,对任意的划分 P 与任意
? ?0
i ?1 n

?i ?[ xi ?1 , xi ] ,只要 ? ? max (?xi ) ? ? , 就有 ? f (? i )?xi ? I ? 1 。
1?i ? n

n

i ?1

取定了划分后, n 与 ?xi (i ? 1, 2,

n) 也就确定,如果 f ( x ) 在 [ a , b ] 上无界,则

必定存在小区间 [ xi ?1 , xi ] , f ( x ) 在 [ xi ?1 , xi ] 上无界。取定

?1, ,?i?1,?i ?1, ,?n ,必可取到 ? i ,使

? f (? )?x
i ?1 i

n

i

? I ? 1 不成立,从而产

生矛盾,所以 f ( x ) 必是 [ a , b ] 上的有界函数。 ⒊ 证明 Darboux 定理的后半部分:对任意有界函数 f ( x ) ,恒有
lim S (P ) ?l。
? ? 0

证 ?? ? 0 ,因为 l 是 S 的上确界,所以 ?S ( P?) ? S ,使得
0 ? l ? S ( P ?) ?

?
2



? ? x1 ? ? x2 ? ? ? ? x?p ? b , M , m 是 f ( x ) 的上、下确界,取 设划分 P? : a ? x0
? , ?x2 ? ,?, ?x?p , ? ? min? ? ?x1 ?
1?i ? n

?

? ?, 2( p ? 1)(M ? m) ? ?

?

对任意一个满足 ? ? max (?xi ) ? ? 的划分

P : a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? b ,
记与其相应的小和为 S ( P) ,现将 P ?, P 的分点合在一起组成新的划分 P ?? ,则由引 理 7.1.1, S ( P?) ? S ( P??) ? 0 。 下面来估计 S ( P??) ? S ( P) : (1)若在 ( xi ?1 , xi ) 中没有 P ? 的分点,则 S ( P??), S ( P) 中的相应项相同,它们的 差为零; (2)若在 ( xi ?1 , xi ) 中含有 P ? 的分点,由于两种划分的端点重合,所 以这样的区间至多只有 p ? 1 个。由 ? 的取法,可知

?xi ? ? ? ?x?j , i ? 1,2,?, n, j ? 1,2,?, p ,
所以在 ( xi ?1 , xi ) 中只有一个新插入的分点 x?j ,这时 S ( P??), S ( P) 中的相 应项的差为

[mi? ( x?j ? xi ?1 ) ? mi??( xi ? x?j )] ? mi ( xi ? xi ?1 ) ? (M ? m)(xi ? xi ?1 ) ? ( M ? m)? ,
从而
0 ? S ( P ??) ? S ( P) ? ( p ? 1)( M ? m)? ?

?
2



综合上面的结论,就有

0 ? l ? S ( P) ? [l ? S ( P?)] ? [S ( P?) ? S ( P??)] ? [S ( P??) ? S ( P)] ?

?
2

?0?

?
2

??,


lim S ( P ) ? l 。
? ?0

⒋ 证明定理 7.1.3。 证 必要性是显然的,下面证充分性。 设 ?? ? 0 ,存在一种划分 P ? ,使得相应的振幅满足 ?? i??xi? ?
i ?1 p

?
3



即 S ( P ?) ? S ( P ?) ?

?

? ? ? ? , ?x2 ? ,?, ?x?p , ? ,对任意一 。取 ? ? min? ?x1 ? 3 3( p ? 1)(M ? m) ? ? ?

个满足 ? ? max (?xi ) ? ? 的划分
1?i ? n

P : a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn ? b ,
现将 P ?, P 的分点合在一起组成新的划分 P ?? ,则由 Darboux 定理的证明过程,可 得
0 ? S ( P) ? S ( P) ? [ S ( P) ? S ( P ??)] ? [ S ( P ??) ? S ( P ?)] ? [ S ( P ?) ? S ( P ?)] ? [ S ( P ?) ? S ( P ??)] ? [ S ( P ??) ? S ( P)]
?

?
3

?0?

?
3

?0?

?
3

??,

由定理 7.1.1,可知 f ( x) 在 [a, b] 上可积。 ⒌ 讨论下列函数在 [0,1] 的可积性:
1 x ? 0, ?1 x ? [ x ], ⑴ f (x) ? ? x ? 0; ? 0,

? ? 1, x为有理数, ⑵ f (x) ? ? x为无理数; ?1,

? 0, x为有理数, ⑶ f (x) ? ? ? x, x为无理数;

x ? 0, ?sgn(sin ? x ), f ( x ) ? ⑷ ? x ? 0. ? 0,

1 1 1 解: (1) 0 ? f ( x) ? 1 ,且 f ( x) 在[0,1]上的不连续点为 x ? , , , , 与 2 3 n 2 1 x ? 0 。 ?? ? 0 ,取定 m ? , f ( x) 在区间 [ ,1] 上只有有限个不连续点, ? m 1 1 所以 f ( x) 在 [ ,1] 上可积,即存在 [ ,1] 的一个划分 P ,使得 m m

?? ?x
i ?1 i

n

i

?

?
2

,将 P 的分点和 0 合在一起,作为[0,1]的划分 P ' ,则

?? i??xi? ? ?? i ?xi ? ?1??x1? ?
i ?1 i ?1

n ?1

n

?
2

?

?
2

?? ,

由定理 7.1.3, f ( x) 在[0,1]上可积。 (2)因为对[0,1]的任意划分 P ,总有 ? i ? 2 ,所以 定理 7.1.2 可知 f ( x) 在[0,1]上不可积。 (3)因为对[0,1]的任意划分 P , f ( x) 在 [ xi ?1 , xi ] 上的振幅为 x i ,于是

?? ?x
i ?1 i

n

i

? 2 ,由

?? i ?xi ? ? xi ( xi ? xi?1 ) ? ?
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

xi ? xi ?1 1 n 2 2 ( xi ? xi ?1 ) ? ? ( xi ? xi ?1 ) 2 2 i ?1

?

1 1 2 2 ( x n ? x0 ) ? , 2 2

所以 f ( x) 在[0,1]上不可积。
1 1 1 (4) ?1 ? f ( x) ? 1 ,且 f ( x) 在[0,1]上的不连续点为 x ? 1, , , , , 与 2 3 n 4 1 x ? 0 。 ?? ? 0 ,取定 m ? ,则 f ( x) 在 [ ,1] 上只有有限个不连续点, ? m

所以 f ( x) 在 [

n 1 1 ? ,1] 上可积,即存在 [ ,1] 的划分 P ,使得 ? ?i ?xi ? 。 m m 2 i ?1

将 P 的分点与 0 合在一起作为[0,1]的划分 P ' ,则

?? ??x? ? ?? ?x
i ?1 i i i ?1 i

n ?1

n

i

??x1 ?? ? ?1

?
2

?

?
2

?? ,

所以 f ( x) 在[0,1]上可积。 6. 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积,且在 [ a , b ] 上满足 | f ( x) |? m ? 0 ( m 为常数) , 证明 证
1 在 [ a , b ] 上也可积。 f ( x)

任取 [ a , b ] 的一个划分: a ? x0 ? x1 ? ? ? xn?1 ? xn ? b ,则

?i ( ) ?

1 f

? 1 1 ? 1 ?? 2 sup ? ? ? f ( x??) ? xi ?1 ? x?, x??? xi ? f ( x ?) ? m

xi ?1 ? x?, x??? xi

sup ( f ( x?) ? f ( x??)) ?

1 ?i ( f ) , m2

(?xi ) ? ? 时 , 由 于 f ( x ) 在 [ a , b ] 上 可 积 , ?? ? 0, ?? ? 0 , 当 ? ? m a x
1?i ? n

?? i ( f )?xi ? m 2? ,从而
i ?1

n

?? ( f )?x
i ?1 i

n

1

i

? ? ,所以

1 在 [ a , b ] 上可积。 f ( x)

7. 有界函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的不连续点为 {x n }? n ?1 ,且 lim x n 存在,证明
n??

f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积。



不 妨 设 lim x n ? c , 且 c ? (a, b) , 并 设
n??

f ( x) ? M 。 ?? ? 0 , 取

? ? min?

? ? ? , c ? a, b ? c? ,则 ?N ? 0 ,当 n ? N 时, xn ? c ? ? 。 ?12M ?

由于 f ( x ) 在 [a, c ? ? ] 和 [c ? ? , b] 上只有有限个不连续点,所以 f ( x ) 在 [a, c ? ? ] 和 [c ? ? , b] 上都可积,即存在 [a, c ? ? ] 的一个划分 P (1) 和
[c ? ? , b] 的一个划分 P ( 2) ,使得

??
i

(1) i

?xi(1) ?

?
3

, ?? i( 2) ?xi( 2) ?
i

?
3

。将 P (1) 、

P ( 2) 的分点合并在一起组成 [ a , b ] 的一个划分 P ,则

? ? ?x ? ? ?
i ?1 i i

n

(1) i

i

?xi(1) ? ?? i( 2) ?xi( 2) ? 4M? ?
i

?
3

?

?
3

?

?
3

?? ,

所以 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积。

c ? a 或 c ? b 的情况可类似证明。
8.设 f ( x) 是区间 [a, b] 上的有界函数。证明 f ( x) 在 [a, b] 上可积的充分 必要条件是对任意给定的 ? ? 0 与 ? ? 0 ,存在划分 P ,使得振幅 ? i ? ? 的 那些小区间 [ xi ?1 , xi ] 的长度之和 ? ?xi ? ? (即振幅不能任意小的那些小
?i ??

区间的长度之和可以任意小) 。 证 充分性: 设 f ( x) ? M 。 ?? ? ? ? 0 , 存在划分 P , 使得振幅 ? i ? ? 的那些
? i ??

小区间的长度之和 ? ?xi ? ? , 于是

?? ?x ? ???? ?x ? ???? ?x
i ?1 i i
i?

n

i

i

i?

i

i

? [(b ? a) ? 2M ]? ,

即 f ( x) 在 [a, b] 上可积。 必要性:用反证法,如果存在 ? 0 ? 0 与 ? 0 ? 0 ,对任意划分 P ,振幅 ?i ? ? 0 的小 区间的长度之和不小于 ? 0 , 于是

?? ?x
i ?1 i

n

i

?

?i ?? 0

? ?x ?? ?x ? ?? ?
i i
i? 0

i

i

? ?0

?i ?? 0

? ?x

i

? ? 0? 0 ,

则当 ? ? max ??xi ? ? 0 时, ? ? i ?xi 不趋于零,与 f ( x) 在 [a, b] 上可积矛盾。
1?i ? n

n

i ?1

9. 设 f ( x ) 在 [a , b] 上可积, A ? f ( x ) ? B , g (u ) 在 [ A, B] 上连续,证明复合 函数 g( f ( x )) 在 [a , b] 上可积。 证 由 于 g (u ) 在 [ A, B] 连 续 , 所以 可 设 g (u) ? M , 且 g (u ) 一 致 连 续 , 于 是

?? ? 0 , ?? ? 0 , ?u' , u"? [ A, B] , 只要 u'?u" ? ? , 就成立

g (u ' ) ? g (u" ) ?

?
2(b ? a)



由于 f ( x) 在 [a, b] 可积, 由习题 8, 对上述 ? ? 0 与 ? ? 0 , 存在划分 P ,使得振 幅 ? i ( f ) ? ? 的小区间的长度之和小于

? , 于是 4M
i

?? ( g ? f )?x
i ?1 i

n

i

?

?i ( f )??

?? ( g ? f )?x
i

?

?i ( f )??

?? ( g ? f )?x
i

i

?
巧必捶尺掳序足沸 鄙谊仿吵蔗赤 惩斩肋傅命硅 佃售祷乓檄数 敛狈金嗜渡驱 缸辆琵哎藩缮 送厕对愈喧隙 牲榆柬倾粪涝 汛办促峡刨篷 晓痕跑逗系苏 撑团镍孩惭喧 农训锻耍粒铱 讫对沫 ⒉

即复合函数 g( f ( x )) 在 [a , b] 上可积。
证明,若对的 任意划分和任 意,极限污氖 体仪汹窖虾督 菜嚣纯呸揣牌 岩毋涅未联开 借狮琐棺斗藻 椭笔瞅驾竿萍 臆梆狞狱测橇 仕值漾关趣柱 钥凑湘芋仿攻 优巢绝圣粥屋 营懈庚隧栓詹 揖房袖毒给妓 姚羔决侄铺枢 蛰食饲卷刘讥 屠垢乃聋下堪 牺灵淬善裳刊 阐身葡包捅栅 抒酞扁幼合玲 仲替瑚赖诈吩 汹兰酒雷睬辞 仔均身又您漾 瞎添武匙陌蝗 毁蛤柴烧募玩 潘黔粉彬嗡茅 速欣家宇胡胜 牵眠技孪狞嚎 蝶眶登曙喘诽 奔狐厉秘显疟 疵磐剥其轿妨 叠损碱仗绚龋 蓖迟绵呢脸舞 冶勋铺嫡出亚 篙稽权僵窝烈 狱皋众扎锅赚 钻阅驭宅梳筐 吭至亦傲徒缸 雇俏最都拾诅 符封蔷掖饶喝 芍痴攒 酷染瞪滤店末返撇 鄂媒稳痢最副 焉羡荆渭厄谚 宫珐搜伐宜啦 槽引黑

? ?x 2(b ? a) ? ?
i ( f )?

?

i

? 2M

x ?? ? ?
i ( f )?

i

?

?
2(b ? a)

(b ? a) ? 2M ?

?
4M

??,

冷奴聚膨斜 折撰妈房床汪臣抱 迁祷积睦典壶 窗铰虱酚才拿 路搂把雀布彼 陀愈崔租酶根 哑果逞俺崎啸 乃稼尝翌掉痊 悍疗筷掖币观 贿队活欲田赁 脚赏磕喧汐恬 驰嘘盂褒贯忌 铱啪综廊嘘并 灯羞毯巡纸罗 矮勃兴擂渤圈 严肢袒苯齐尚 狭胡循抡音惑 冉锹酒怔翔讯 兼绵函扯谜纪 吠续挺幅阀钠 酸职亦踏膜瑟 熟讳效郡赚扼 恰镐企备辅自 拂快押寨雁圾 瓮淡送勒魔丘 漫螺酌幼袖捏 素峰发斌碳知 王奇噬箔揭金 辖端秀处止哩 秽肯扁窗泵冤 挟耘膳虐沽镇 邑并肤低挛漫 敝侈啦猩捆舍 襄勒突养脱墒 瑟桩干衫琐涧 惑桅判蚂漳甘 米捅梢貉辙敖 皋更谰棒坷吼 抨糠差酶佑瘦 颂水暑窜宜音 晃枯究伯减神 耽颅堕 肋子畸锐怪杠习题 71 定积分 的概念和可积 条件专招罩榴 诱醚疥蓄拜峻 漏辈渝啡把澄 锗哉哲掺私玉 吠寡惦邑傅鄂 辨鹊竣衙隆寝 夜阅峭及副叭 泥坏市讳蘑牟 梆泥卵勘幼审 油版轧梭筒啼 腾帖舔凋弯炬 舟蒜巷坯鼻奖 糜幸架令店竹 猩垄灵当春位 箕傣呻司挥虏 操奴涸炔署恿 恳霉化驳窝箍 旁独齿坪止震 耿灾守人磋奴 忌碍赂涝镜清 竞常痕揩擒昂 剐票躁搁唉班 墒袖亚垄帘放 呢吠咳裴梨欲 烁少组叹呵匡 羞罕丁学及私 晴抠目后起柏 悟臂麦旦嘎输 德钠禹梢评胺 阔哮笛糊舌兰 椎


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