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平面向量中的三角形四心问题教师版


平面向量中的三角形四心问题
向量是高中数学中引入的重要概念, 是解决几何问题的重要 工具。本文就平面向量与三角形四心的联系做一个归纳总结。在 给出结论及证明结论的过程中, 可以体现数学的对称性与推论的 相互关系。 一、重心(barycenter) 三角形重心是三角形三边中线的交点。 重心到顶点的距离与 重心到对边中点的距离之比为 2:1。 结论 1:

若G为?ABC所在平面内一点,则 GA ? GB ? GC ? 0 ? G是三角形的重心
证明:设BC中点为D,则2GD ? GB ? GC GA ? GB ? GC ? 0 ? ?GA ? GB ? GC ? ?GA ? 2GD, 这表明,G在中线AD上 同理可得G在中线BE, CF上 故G为?ABC的重心
结论 2:
1 若P为?ABC所在平面内一点,则 PG ? ( PA ? PB ? PC) 3 ? G是?ABC的重心 1 证明: PG ? ( PA ? PB ? PC) ? ( PG ? PA) ? ( PG ? PB) ? ( PG ? PC) ? 0 3 ? GA ? GB ? GC ? 0 ? G是?ABC的重心
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二、垂心(orthocenter) 三角形的三条高线的交点叫做三角形的垂心。 结论 3:

若H为?ABC所在平面内一点,则 HA ? HB ? HB ? HC ? HC ? HA ? H是?ABC的垂心

证明: HA ? HB ? HB ? HC ? HB ? ( HA ? HC) ? 0 ? HB ? AC ? 0 ? HB ? AC 同理,有HA ? CB, HC ? AB 故H为三角形垂心

结论 4:
若H为?ABC所在平面内一点,则 HA ? BC ? HB ? AC ? HC ? AB ? H是?ABC的垂心 证明:由HA ? BC ? HB ? CA 得, HA ? ( HB ? HC ) 2 ? HB ? ( HC ? HA) 2 ? HB ? HC ? HC ? HA 同理可证得, HA ? HB ? HB ? HC ? HC ? HA 由结论3可知命题成立
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

三、外心(circumcenter) 三角形三条边的垂直平分线(中垂线)的相交点。用这个点 做圆心可以画三角形的外接圆。 结论 5:
若O是?ABC所在平面内一点,则 OA ? OB ? OC ? O是?ABC的外心 证明:由外心定义可知 命题成立
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结论 6:

若O是?ABC所在平面内一点,则 (OA ? OB) ? BA ? (OB ? OC) ? CB ? (OC ? OA) ? AC ? O是?ABC的外心
证明: ? (OA ? OB) ? BA ? (OA ? OB)(OA ? OB) ? OA ? OB ? (OB ? OC) ? CB ? OB ? OC (OC ? OA) ? AC ? OC ? OA
2 2 2 2 2 2 2 2 2

故 OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA ? OA ? OB ? OC 故O为?ABC的外心

2

2

2

四、内心(incenter) 三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心,即内切圆的圆 心。 结论 7:
若P为?ABC所在平面内一点,则 ? ? ? ? ? ? ? AB AC ? ? BA BC ? ? CA CB ? OP ? OA ? ?1 ? ? ? ? ? ? OB ? ? 2 ? ? ? OC ? ?3 ? ? ( ? ? 0) CB ? AB AC ? ? BA BC ? ? CA ? ? ? ? ? ? ? ? P是?ABC的内心

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证明:记AB, AC方向上的单位向量分别 为e1 , e2 ? ? ? AB AC ? OP ? OA ? ?1 ? ? ? ? AP ? ?1 (e1 ? e2 ) ? AB AC ? ? ? 由平行四边形法则知, (e1 ? e2 )在AB, AC边夹角平分线上 即P在?A平分线上 同理可得,P在?B, ?C的平分线上 故P为?ABC的内心
结论 8:

若P是?ABC所在平面内一点,则 a PA ? b PB ? c PC ? 0 ? P是?ABC的内心
证明:不妨设PD ? ? PC a PA ? b PB ? c PC ? 0 ? a( PD ? DA) ? b( PD ? DB) ? c PC ? 0 ? (?a ? ?b ? c) PC ? (a DA ? b DB) ? 0 由于PC与DA, DB不共线,则

?a ? ?b ? c ? 0, a DA ? b DB ? 0
即 DA DB ? b a

由角平分线定理, CD是?ACB的平分线 同理可得其他的两条也 是平分线 故P是?ABC的内心

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