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北师大版高中数学选修4-1几何证明选讲全套PPT课件_图文

北师大版高中数学选 修4-1几何证明选讲全 套PPT课件 全等与相似 1.图形变化的不变性与平移、旋转、反射 (1)图形变化的不变性 ①图形在变化过程中,有些性质改变了,有些性质仍然保持__ ___。 不 ②常见的图形变化,如平移、_____、_______、相似(包括位 似变)。 旋转 轴对称 (2)平移、旋转、反射 ①平移变换:图形的_____过程称为平移变换。 ②旋转变换:图形的_____平过移程称为旋转变换。 ③反射变换:一个图形F绕一旋条转直线l翻转______得到另外一个 图形F′,则F与F′关于l_____,这种图形的变化过程称为反 射变换,直线l称为反射轴。 180° 对称 ④平移变换、旋转变换、反射变换的性质 一个图形通过平移变换、旋转变换、反射变换变为另外一个图 形,其对应线段的长度_____,对应角的大小_____。因此,变 换前后两个图形是_____的,但不图变形的位置可能发生改变不。变 全等 2.相似与位似 (1)相似变换:两个图形的形状相同,但大小不同,这两个图 形是_________。把一个图形按一定比例_____或_____,这种图 形的变化过程称为相似变换。 相似图形 放大 缩小 (2)位似变换:把一个图形变为它的_____图形,这种图形的变 化过程称为位似变换。 位似 (3)相似与位似变换的性质 一个图形通过相似变换(或位似变换)变为另外一个图形,其 形状_____,对应角的大小_____, 但图形的_____发生了改变。 位似变换不是变一种特殊的_____变换不。变 位置 相似 3.平行线分线段成比例定理 (1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,截 得的对应线段_______。 (2)推论:平行于成三比角例形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线),截得的对应线段_______。 (3)三角形内角平分线定理:三角形的内角平分线分对边所 得的两条线段与这个角的两边_____成__比_例___。 对应成比例 4.直角三角形的射影定理 直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的____ _____,斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的_________。 比例 中项 比例中项 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)。 (1)三角形相似不具有传递性。( ) (2)相似多边形不具有面积比等于相似比的平方的性质。( ) (3)相似三角形的内切圆的半径之比等于相似比。( ) (4)两组对应边成比例,一组对应边所对的角相等的两三角形相似。( ) 【解析】(1)错误,三角形相似具有传递性,即△ABC∽△A1B1C1, △A1B1C1∽△A2B2C2,则△ABC∽△A2B2C2。 (2)错误,可以通过作辅助线将多边形转化为三角形加以证明。 (3)正确,由相似三角形的定义知,∠BAC=∠B′A′C′,∠1=∠2,由直角三角形 相似的判定方法知,Rt△ADI∽Rt△A′D′I′,可知结论正确。 (4)错误,如图,∠B=∠B′,当 当 时不相似。 AB ? AC? A?B? A?C? 时相似AB. ? AC A?B? A?C? 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× 1、平行线分线段成比例定理 【典例1】在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2, BC=5,点E,F分别在AB,CD上,且EF∥AD,若 求EF的 长度。 AE ? 3, 【思路点拨】把梯形的两腰BA,CD延长交于一点,利用平E行B 线 4 分线段成比例定理可求解。 【规范解答】如图,延长BA,CD交于点P。 ∵AD∥BC, ? PA ? AD ? 2 , PB BC 5 ? PA ? 2 . AB 3 又 AE ? 3,? AE ? 3, ∵AD∥EFE,B 4 AB 7 又A?DP=A2,? 14,? PA ? 14 . AE 9 PE 23 ? AD ? PA ? 14 . EF PE 23 ?EF ? 23. 7 【拓展提升】平行线分线段成比例定理及推论的应用 (1)利用平行线分线段成比例定理来计算或证明,首先要观察平行线组, 再确定所截直线,进而确定比例线段及比例式,同时注意合比性质、等比性 质的运用。 (2)平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据,特 别是在应用推论时,一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边,是否过一 边的中点。 【变式训练】如图,在□ABCD中,H,E分别是AD,AB延长线上一点,HE交 DC于K,交AC于G,交BC于F。求证:GH·GK=GE·GF。 【证明】要证GH·GK=GE·GF, 即证 由AD∥GGBHCF,=得GGKE . 由AB∥CD, GH=AG; GF CG 即GH·GK=GE·GF. 得 GE =AG,故 GH=GE , GK CG GF GK 2 相似三角形的判定和性质 【典例2】如图所示,在△ABC中,AD为BC边上的中线,F为AB上任意一点, CF交AD于点E. 求证:AE·BF=2DE·AF. 【思路点拨】过点D作AB的平行线交FC于点N,交AC于点M,由 △AFE∽△DNE可得对应线段成比例,再转化为乘积式即可。 【规范解答】过点D作AB的平行线DM交AC于点M,交FC于点N. 在△BCF中,D是BC的中点, DN∥BF, ∵DN∥AF, ∴?△ADFNE=∽△1DBNFE., 2 即AE·BF=2DE·AF. ? AE= DE .又DN=1 BF, AF DN 2 ? AE=2DE, AF BF 【拓展提升】 1.证明相似三角形的一般思路 (1)先找两对内角对应相等。 (2)若只有一个角对应相等,再判定这个角的两邻边是否对应成比例。 (3)若无角对应相等,就要证明三边对应成比例。 2.作平行线的方法 (1)利用中点作出中位线可得平行关系。 (2)利用已知线段

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