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2019年最新-第一节微分方程基本概念-精选文档_图文

第一节 微分方程的基本概念
? 内容提要
1. 微分方程的定义 ; 2. 微分方程的阶; 3. 微分方程的解(通解和特解); 4. 微分方程的初始条件和初值问题。
? 教学要求
理解和掌握基本概念,特别是通解和特解的定义

一、两个实例
例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(x,y) 处的切线的斜率为 2 x, 求这曲线的方程.
解 设所求曲y线 ?f为 (x)
则由导数的 ,知d几 y?2何 x 意(1义 ) dx
当 x ? 1 时 , y ? 2 , 即 y | x ? 1 ? 2 ( 2 )
由 (1)式积y? 分 ?2x得 d?x2?C (3)
将 (2 )代 (3 )得 入 C ? 1 ,故 y?x2?1 (4 )

例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 ?0.4米/秒2, 问
(1)开始制动后多少时间列车才能停住? (2)在这段时间内列车行驶了多少路程?

解 设制动 t秒后 钟行 s米 ,驶 s?s(t)

dd22st??0.4? ? ?(1) s|t?0?0

(2)

v |t?0

?

ds dt

|t?0

?20

(3)

由(1)式积分得 v?d d? s t?0.4t?C 1 (4)

再s 积 ? ? 0 .2 t2 分 ? C 1 t? C 2 得 ( 5 )

将(3)代入条件(4)得 C1 ?20,

将(2)代入条件(5)得 C2 ? 0.

故 v?ds??0.4t?20, s??0.2t2?2t0 ,
dt

令 v?ds??0.4t?20=0 dt

得 t ?20?50(秒), 0.4

s? ? 0 .2 ? 52? 0 2? 5 0? 0 5(米 0)0

所以,开始制动到列车完全停住共需 50(秒). 在这段时间内列车行驶了500(米).

二、微分方程的定义
1.定义 凡含有未知函数的导数(或微分)的方 程叫做 微分方程(方程).
例如 y??xy, y???2y??3y?ex,
(t2?x )d? txd ?0 等 x,都是微分方程。
微分方程的实质: 联系自变量,未知函数以及未 知函数的导数(或微分)之间的关系式.
注意:微分方程中必需含有未知函数的导(或 微分)

2. 微分方程分类1: 常微分方程; 偏微分方程.
微分方程中的未知函数只含一个自变量,这样 的微分方程称为 常微分方程。
否则,称为偏微分方程。
3. 微分方程中的几个概念: (1)微分方程的阶:微分方程中出现的未知
函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶.
例如 y??xy, 和 (t2?x)d? txd ?0 x ,
是 一? 阶微分方程.
y???2y??3y?ex,是二? 阶微分方程.

分类2:一阶微分方程 F (x ,y,y?)?0 , y??f(x,y); 高阶(n)微分方程 F (x ,y ,y ?,? ,y (n ))? 0 , y (n )? f(x ,y ,y ?,? ,y (n ? 1 )).

(2)微分方程的解:如果将一个函数代入微分方

程能使方程成为恒等式 , 这个函数就称这个微分

方程的解.

例 y ? x 如 2 ? 1 和 y ? x 2 ? C 都是 dy?2x的解 . dx

微分方程的解有两种形式

?(1)含任意常 C;数 ??(2)不含任意C 常. 数

解的分类:

①通解: 微分方程的解中含有任意常数C,且任意
常数的个数与微分方程的阶数相同.
如: y?x2 ?C是dy?2x的通.解 dx

②特解: 不含任意常数C的解.

如 y?x2?1是 dy?2x的特 . 解 dx

d2s dt2

?

?0.4

的特s? 解 ?0.2为 t2?2t0 ,

特解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族.
这就是微分方程的几何意义.

(3)初始条件: 用来确定通解中任意常数的条件. (如例1,例2)

初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.

一阶:

?y? ? f (x, y)

? ?

y

x?x0

?

y0

过定点的积分曲线;

二阶:

?y???f(x,y,y?) ??yx?x0 ?y0,y?x?x0 ?y0?

过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.

例3 验y证 ?C2x(C为任意 )为常 方 y?数 ?程 2y的通 .
x 并求满足y初 ?2始 的条 特 . 件 解
x?1

解 由 y?C2x 得 :y??2Cx

将y?和y的表达式代入原, 方程
右边= 2y?2C2x?2Cx?y??左.边
xx
故y ?Cx2 是原方程的 . 解

?y ?2, x?1

?C?2.

所求特解为 y ? 2x2.

例4 验证函y?数C1ex ?C2e2x(C1,C2为任意常 )
为 二阶 微 分y??方 ?3程 y? ?2y ?0的 通,解 并 求方 程 满足 初 y(0始 ) ?条 0, y?件 (0) ?1 的特.解
解 y ?? C 1 e x? 2 C 2 e 2 x y ??? C 1 e x? 4 C 2 e 2 x
将 y ,y ?,y ??代y 入 ??? 3 y ?? 2 方 y ? 0 左 程 , 边 C 1ex?4C 2e2x? 3 (C 1 ex? 2 C 2 e 2 x)? 2 (C 1 ex? C 2 e2x) ? ( C 1 ? 3 C 1 ? 2 C 1 ) e x ? ( 4 C 2 ? 6 C 2 ? 2 C 2 ) e 2 x ? 0 故y?C1ex?C2e2x是所给微分.方 (特 通程 解?.)) 的

y?C 1 ex?C 2 e2x (1) y ?? C 1 e x? 2 C 2 e 2 x (2) 将 y ( 0 )? 0 代 ( 1 )y ?, ( 入 0 )? 1 代 ( 2 ) 入

???CC11??2CC22??01

解 ;C 2? 之 1 ,C 1? ? 1

故满足初始条件 为y的 ??特 ex ?解 e2x

思考: 设C1,C2分别为任意常数
y ? C 1 e x ? 3 C 2 e x 是 y ??? 3 y 否 ?? 2 y ? 0 的 ?通
y ? C 1 C 2 e x ? e 2 x 是 y ??? 3 否 y ?? 2 y ? 0 的 ?通

小结
微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 通解; 初始条件; 特解; 思考: 函 数 y ? 3 e 2 x 是 微 分 方 程 y ? ?? 4 y ? 0
的什么解?
思考题解答
?y??6e2x, y???1e22x, y???4y?1e2 2 x? 4?3 e2x?0 ,
?y?3e2x 中不含任意常数,
故为微分方程的特解.


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