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高中数学必修1公开课教案3.1.1 方程的根与函数的零点 第2课时

第 2 课时 方程的根与函数的零点

复习

提出问题

①已知函数 f(x)=mx2+mx+1 没有零点,求实数 m 的范围.

②证明函数 f(x)=x2+6x+10 没有零点.

③已知函数 f(x)=2mx2-x+ 1 m 有一个零点,求实数 m 的范围. 2
④已知函数 f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1 有两个零点,求实数 m 的范围.

活动:先让学生动手做题后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回

答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

讨论结果:①因为 Δ=m2-4m<0 或 m=0,∴0≤m<4.

②因为 Δ=36-40=-4<0,∴没有零点.

③Δ=1-4m2=0 或 m=0,∴m= 1 或 m= ? 1 或 m=0.

2

2

④Δ=16m2-8(m+1)(2m-1)=-8m+8>0 且 2(m+1)≠0,∴m<1 且 m≠-1.

导入新课

思路 1.(情景导入)

歌中唱到:再“穿过”一条烦恼的河流明天就会到达,同学们知道生活中“穿过”的含义.

请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过”x 轴的?

学生思考或讨论回答:利用函数值的符号,即 f(a)f(b)<0.

思路 2.(直接导入)

教师直接点出课题:这一节我们将进一步巩固有关方程的根与函数的零点的知识,总结求方

程的根与函数的零点的方法,探寻其中的规律.

推进新课

新知探究

提出问题

①如果函数相应的方程不易求根,其图象也不易画出,怎样讨论其零点?

②用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法.

活动:先让学生动手做题后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回

答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.

讨论结果:①在闭区间[a,b]上,若 f(a)f(b)<0,y=f(x)连续,则(a,b)内有零点.

②如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且 f(a)f(b)<0,那么函

数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根.

我们把它叫做零点存在性定理.

因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点,可以简记为:“闭端反连(脸),开内

零点.”

应用示例

思路 1

例 1 求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数.

活动:根据零点概念,学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示:

因为方程 lnx+2x-6=0 的根不易求得,函数 f(x)=lnx+2x-6 的图象不易画出,如果不借助计算

机,怎么判断零点个数?可以利用 f(a)f(b)<0,及函数单调性.

解:利用计算机作出 x,f(x)的对应值表:

x

1

2

3

4

5

6

7

8

9

f(x)

-4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9450 12.0794 14.1972

由表和图 3-1-1-15 可知,f(2)<0,f(3)>0,则 f(2)f(3)<0,这说明 f(x)在区间(2,3)内有零点.由于函 数在定义域(0,+∞)内是增函数,所以它仅有一个零点.

图 3-1-1-15

图 3-1-1-16

变式训练

证明函数 f(x)=lgx+x-8 有且仅有一个零点.

证明:如图 3-1-1-16,因为 f(1)=-7,f(10)=3,

∴f(1)f(10)<0.

∴函数 f(x)=lgx+x-8 有一个零点.

∵y=lgx 为增函数,y=x-8 是增函数,

∴函数 f(x)=lgx+x-8 是增函数.

∴函数 f(x)=lgx+x-8 有且仅有一个零点.

点评:判断零点的个数:(1)利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性.

例 2 已知函数 f(x)=3x+ x ? 2 , x ?1

(1)判断函数零点的个数.

(2)找出零点所在区间.

解:(1)设 g(x)=3x,h(x)= x ? 2 , x ?1
作出它们的图象(图 3-1-1-17),两函数图象交点的个数即为 f(x)零点的个数.

所以两函数图象有且仅有一个交点,即函数 f(x)=3x+ x ? 2 有且仅有一个零点. x ?1

图 3-1-1-17 (2)因为 f(0)=-1,f(1)=2.5,所以零点 x∈(0,1). 变式训练

证明函数 f(x)=2x+4x-4 有且仅有一个零点.

证明:利用计算机作出 x,f(x)的对应值表:

x

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

f(x) -7.5

-3

2

8

16

28

48

84

172

图 3-1-1-18 由表和图 3-1-1-18 可知,f(0)<0,f(1)>0,则 f(0)f(1)<0,这说明 f(x)在区间内有零点.下面证明函 数在定义域(-∞,+∞)内是增函数. 设 x1,x2∈(-∞,+∞),且 x1<x2, f(x1)-f(x2)=2 x1 +4x1-4-(2 x2 +4x2-4)=2 x1 -2 x2 +4(x1-x2)=2 x2 (2 x1 -x2-1)+4(x1-x2).

∵x1<x2,∴x1-x2<0,2 x1 -x2-1<0,2 x2 >0.

∴f(x1)-f(x2)<0. ∴函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数. 则函数 f(x)=2x+4x-4 有且仅有一个零点.
例 1 证明函数 y=2|x|-2 恰有两个零点.

思路 2

图 3-1-1-19 证明:如图 3-1-1-19,∵f(-2)=2,f(0)=-1,f(2)=2, ∴f(-2)f(0)<0,f(0)f(2)<0. ∴函数 y=2|x|-2 有两个零点. 要证恰有两个零点, 需证函数 y=2|x|-2 在(0,+∞)上为单调的,函数 y=2|x|-2 在(-∞,0)上为单调的. ∵在(0,+∞)上,函数 y=2|x|-2 可化为 y=2x-1, 下面证明 f(x)=2x-1 在(0,+∞)上为增函数. 证明:设 x1,x2 为(0,+∞)上任意两实数,且 0<x1<x2,
∵f(x1)-f(x2)=2 x1 -2-(2 x2 -2)=2 x1 -2 x2 =2 x2 (2 x1 -x2-1),
∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,2 x1 -x2<1.
∴2 x2 >0,2 x1 -x2-1<0.
∴2 x2 (2 x1 -x2-1)<0.

∴f(x1)-f(x2)<0. ∴f(x1)<f(x2). ∴函数 y=2|x|-2 在(0,+∞)上为增函数. 同理可证函数 y=2|x|-2 在(-∞,0)上为减函数. ∴函数 y=2|x|-2 恰有两个零点.

变式训练

证明函数 f(x)=x+ 1 -3 在(0,+∞)上恰有两个零点. x

证明:∵f( 1 )= 1 ,f(1)=-1,f(3)= 1 ,

33

3

∴f( 1 )f(1)<0,f(1)f(3)<0. 3

∴函数 f(x)=x+ 1 -3 在(0,+∞)上有两个零点. x

要证恰有两个零点,

需证函数 f(x)=x+ 1 -3 在(0,1)上为单调的,函数 f(x)=x+ 1 -3 在(1,+∞)上为单调的.

x

x

证明:设 x1,x2 为(0,1)上的任意两实数,且 x1<x2.

∵f(x1)-f(x2)=x1+

1 x1

-3-(x2+

1 x2

-3)=(x1-x2)+(

1 x1

?

1 x2

)

=(x1-x2)+

x2 ? x1 x1 x2

=(x1-x2)(

x1x2 ?1 ), x1x2

∵0<x1<x2<1,∴x1-x2<0,

x2 ? x1 x1 x2

<0.∴(x1-x2)(

x1x2 ?1 x1x2

)>0.

∴f(x1)-f(x2)>0.
∴函数 f(x)=x+ 1 -3 在(0,1)上为减函数. x
同理函数 f(x)=x+ 1 -3 在(1,+∞)上为增函数. x
∴函数 f(x)=x+ 1 -3 在(0,+∞)上恰有两个零点(如图 3-1-1-20). x

图 3-1-1-20 点评:证明函数零点的个数是一个难点和重点,对于基本初等函数可以借助函数图象和方程 来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有 n 个零点,先找出有 n 个,再利用单调性证明仅有 n 个.

例 2 已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 有三个零点,分别是 0、1、2,如图 3-1-1-21, 求证:b<0.

图 3-1-1-21 活动:根据零点概念,学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示: 方法一:把零点代入,用 a、c 表示 b. 方法二:用参数 a 表示函数. 证法一:因为 f(0)=f(1)=f(2)=0, 所以 d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.

所以 a= ? b ,c= ? 2 b. 33

所以 f(x)= ? b x(x2-3x+2)= ? b x(x-1)(x-2).

3

3

当 x<0 时,f(x)<0,所以 b<0.

证法二:因为 f(0)=f(1)=f(2)=0,所以 f(x)=ax(x-1)(x-2).

当 x>2 时,f(x)>0,所以 a>0.比较同次项系数,得 b=-3a.所以 b<0.

变式训练

函数 y=ax2-2bx 的一个零点为 1,求函数 y=bx2-ax 的零点. 答案:函数 y=bx2-ax 的零点为 0、2. 点评:如果题目给出函数的零点,这涉及到零点的应用问题. (1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题. (2)利用零点的特殊性把解析式的设法简单化. 知能训练

1.函数 f(x)=lgx-2x2+3 的零点一定位于下列哪个区间?( )

A.(4,5)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)

2.若函数 f(x)=2mx+4 在[-2,1]上存在零点,则实数 m 的取值范围是( )

A.[ ? 5 4] 2

B.(-∞,-2]∪[1,+∞)

C.[-1,2]

D.(-2,1)

3.已知函数 f(x)=-3x5-6x+1,有如下对应值表:

x

-2

-1.5

0

1

2

f(x)

109

44.17

1

-8

-107

函数 y=f(x)在哪几个区间内必有零点?为什么? 答案:1.B 2.B 3.(0,1),因为 f(0)·f(1)<0. 点评:结合函数图象性质判断函数零点所在区间是本节重点,应切实掌握. 拓展提升

方程 lnx+2x+3=0 根的个数及所在的区间,能否进一步缩小根所在范围? 分析:利用函数图象(图 3-1-1-22)进行探索分析.

图 3-1-1-22

解:(1)观察函数的图象计算 f(1)、f(2),知 f(x)=lnx+2x+3 有零点.

(2)通过证明函数的单调性,知 f(x)=lnx+2x+3 有一个零点 x∈(1,2).

请同学们自己探究能否进一步缩小根所在范围?借助计算机可以验证同学们判断,激发学生

学习兴趣.

课堂小结

(1)学会由函数解析式讨论零点个数,证明零点个数.

(2)思想方法:函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.

作业

课本 P88 练习 2.

设计感想

如何用数学语言描述“穿过”是本节的关键,本节从导入开始让学生体会数学语言与文字语言

的区别,并进一步让学生学会应用数学语言描述零点存在性定理.本节多次用计算机作图来感

知函数零点,在零点证明题中又经常用到函数的单调性进行严格证明,所以本节是数与形的

完美统一.


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