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2014-2015学年高中数学(人教版选修1-2)课时训练第二章 2.1.1 合 情 推 理_图文

第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 合 情 推 理 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 1.了解合情推理的含义. 2.能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合 栏 情推理在数学发现中的作用. 目 链 接 www.gzjxw.net 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 基础 梳理 1.归纳推理. 由 某 类 事 物 的 部分对象 ________ 具 有 某 些 特 征 , 推 出 这 类 事 物 的 全部对象 都具有这些特征的推理, __________ 或者由个别事实概括出一般结论 ________ 的推理称为归纳推理(简称归纳). 简言之, 归纳推理是由部分到整体、 栏 由个别到一般的推理. 目 链 2.类比推理. 接 两类对象 由________具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象也具有这些特征 ________的推理称为类比推理(简称类比).简 言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. www.gzjxw.net 基础 梳理 3.合情推理. 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比 归纳、类比 ,然后提出猜想的推理,我们把它 较、联想,再进行______________ 合乎情理 ”的推 们统称为合情推理.通俗地说,合情推理是指“___________ 理. 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 基础 自测 1.已知扇形的弧长为 l,半径为 r,类比三角形的面积公式 底×高 S= ,可推知扇形面积公式 S 扇等于( ) 2 r2 l2 A. B. 2 2 栏 lr 目 C. D.不可类比 链 2 接 解析:由扇形的弧长与半径类比于三角形的底边与 高可得C.故选C. 答案:C www.gzjxw.net 基础 自测 2.从 1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52?,可得一 般规律为______________________________. 解析:猜想:第n个等式的左边是2n-1个连续整数的 和,第1个数为n,等式的右边是整数个数的平方,即一般 规律为n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2. 答案:n+(n+1)+(n+2)+?+(3n-2)=(2n-1)2 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 基础 自测 3.根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜想 第n个图形中有________个点. 栏 目 链 接 解析:第n个图有n个分支,每个分支上有(n-1)个点 (不含中心点),再加上中心1个点,则有n(n-1)+1=n2-n +1个点. 答案:n2-n+1 www.gzjxw.net 基础 自测 4.在平面几何中,△ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的 AE AC 比为EB=BC,把这个结论类比到空间:在三棱锥 ABCD 中(如图所 示),平面 DEC 平分二面角 ACDB 且与 AB 相交于点 E,则得到的类 比结论是________. 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 基础 自测 AE S△ACD 解析:把线段比类比到面积比,得 = . EB S△BCD AE S△ACD 答案: = EB S△BCD 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 1.解读合情推理 数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理常常能帮 助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前,合情推理 常常能为我们提供证明的思路和方向.合情推理的一般过程 为: 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 2.解读归纳推理 (1)归纳推理的分类. ①完全归纳推理:由某类事物的全体对象推出结论. ②不完全归纳推理:由某类事物的部分对象推出结论. 需要注意的是,由完全归纳推理得到的结论是准确的, 由不完全归纳推理得到的结论不一定准确. (2)归纳推理的特点. 由于归纳是根据部分已知的特殊现象推断未知的一般现 象,因而归纳推理具有以下特点: ①所得结论超越了前提所包含的范围; ②所得结论具有猜测性质,准确性需要证明; ③归纳的基础在于观察、实验或经验. 栏 目 链 接 www.gzjxw.net (3)归纳推理的一般步骤. ①通过观察、分析个别情况,发现某些相同特征; ②将发现的相同特征进行归纳,推出一个明确表达的一般 栏 目 性命题(猜想). 链 接 www.gzjxw.net 3.解读类比推理 (1)类比推理的特点. ①类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属 性; ②类比是以原有知识为基础,猜测新结论; 栏 ③类比能发现新结论,但结论具有猜测性,准确性需要证 目 链 接 明. (2)类比推理的一般步骤. ①明确两类对象; ②找出两类对象之间的相似性或者一致性; ③用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得到一个 明确的结论. www.gzjxw.net 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 题型一 例1 归纳推理 对于任意正整数n,猜想2n与n2的大小. 解析:当 n=1 时,21>12; 栏 当 n=2 时,22=22; 目 3 2 链 当 n=3 时,2 <3 ; 接 4 2 当 n=4 时,2 =4 ; 当 n=5 时,25>52; 当 n=6 时,26>62; 由此可以归纳得出,当 n=3 时,2n<n2;当 n=2,4 时,2n=n2; 当 n=1 或 n≥5,且 n∈N 时,2n>n2. www.gzjxw.net 点评: 这是典型的归纳推理模式,应该认真把握.只是在取 特殊值时,要多验证几个,力求探寻到一般性的规律,以 免因为片面而导致错误. 栏 目 链 接 www.gzjxw.net 跟 踪 训 练 1.对于任意正整数 n,猜想 n n+1 与(n+1)n 的

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