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云南师大附中2015届高三上学期第一次月考数学(理)试卷


2014-2015 学年云南师大附中高三 (上) 第一次月考数学试卷 (理 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U 和集合 A,B 如图所示,则(?UA)∩B=( )

A.{5,6}

B.{3,5,6}

C.{3} D.{0,4,5,6,7,8} )

2.设复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于原点对称,z1=1+i,则 z1z2=( A.﹣2i B.2i C.﹣2 D.2 3.已知向量 , 满足| ﹣ |= , ? =1,则| + |=( A. B.2 C. D.10 4.曲线 y=eax+ A.1 B.2 )

在点(0,2)处的切线与直线 y=x+3 平行,则 a=( C.3 D.4 )

)

5.在△ ABC 中,已知 sinC=2sinAcosB,那么△ ABC 一定是( A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形

6.函数 A.1 B. C. D.1+

在区间

上的最大值是(

)

7.已知实数 x,y 满足约束条件

,则 z=x+3y 的取值范围是(

)

A.[1,9]

B.[2,9]

C.[3,7]

D.[3,9]

8.如图,网格纸上小方格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线和虚线是某零件的三视图,该 零件是由一个底面半径为 4cm,高为 3cm 的圆锥毛坯切割得到,则毛坯表面积与切削得的 ) 零件表面积的比值为(

A.

B.

C.

D.

9.若任取 x,y∈[0,1],则点 P(x,y)满足 y>x2 的概率为( A. B. C. D.

)

10.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x =2 ,则椭圆的离心率是( )

轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若 A. B. C. D.

11.把边长为 2 的正三角形 ABC 沿 BC 边上的高 AD 折成直二面角,设折叠后 BC 中点为 M,则 AC 与 DM 所成角的余弦值为 ( ) A. B. C. D.

12.函数 f(x)=x+x3(x∈R)当 0<θ< ) 的取值范围是( A. (﹣∞,1] B. (﹣∞,1)

时,f(asinθ)+f(1﹣a)>0 恒成立,则实数 a

C. (1,+∞)

D. (1,+∞)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.定义一种新运算“?”:S=a?b,其运算原理如图 3 的程序框图所示,则 3?6﹣ 5?4=__________.

14. 2a2, a3 成等差数列. 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 4a1, 若 a1=1, 则 S4=__________. 15.关于 sinx 的二项式(1+sinx)n 的展开式中,末尾两项的系数之和为 7,且系数最大的 一项的值为 ,当 x∈[0,π]时,x=__________.

16.已知三次函数 f(x)= x3+ x2+cx+d(a<b)在 R 上单调递增,则 __________.

的最小值为

三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.一个口袋内有 5 个大小相同的球,其中有 3 个红球和 2 个白球. (1)若有放回的从口袋中连续的取 3 次球(每次只取一个球) ,求在 3 次摸球中恰好取到两 次红球的概率; (2) 若不放回地从口袋中随机取出 3 个球, 求取到白球的个数 ξ 的分布列和数学期望 E (ξ) . 18.如图,在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 O 是 A1C1 的中点,AO⊥平面 A1B1C1.已知 ∠BCA=90°,AA1=AC=BC=2. (1)求证:AB1⊥AlC; (2)求 A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值.

19.设数列{an}满足 a1=0 且 an+1=

.n∈N*.

(1)求证数列{

}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

(2)设 bn=

,Sn 为数列{bn}的前 n 项和,证明:Sn<1.

20.已知函数 f(x)=ax﹣1﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)已知函数 f(x)在 x=1 处取得极值,且对?x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx﹣2 恒成立,求 实数 b 的取值范围. 21.如图,已知抛物线 C:y2=2px(p>0)和圆 M: (x﹣4)2+y2=1,过抛物线 C 上一点 H y0) B 两点, (x0, (y0≥1) 作两条直线与圆 M 相切于 A, 圆心 M 到抛物线准线的距离为 (1)求抛物线 C 的方程; (2)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t,求 t 的最小值. .

【[选修 4-1:几何证明选讲】 (共 1 小题,满分 10 分) 22.如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D, 连接 EC、CD. (1)求证:直线 AB 是⊙O 的切线;

(2)若 tan∠CED= ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分)

23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在极坐标系(与

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 . (Ⅰ)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B.若点 P 的坐标为(3, ) ,求|PA|+|PB|.

【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 24.已知一次函数 f(x)=ax﹣2. (1)解关于 x 的不等式|f(x)|<4; (2)若不等式|f(x)|≤3 对任意的 x∈[0,1]恒成立,求实数 a 的范围.

2014-2015 学年云南师大附中高三(上)第一次月考数学 试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U 和集合 A,B 如图所示,则(?UA)∩B=( )

A.{5,6}

B.{3,5,6}

C.{3} D.{0,4,5,6,7,8}

【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题. 【分析】先由文氏图求出集合 U,A,B,再由集合的运算法则求出(CUA)∩B. 【解答】解:由图可知,U={0,1,2,3,4,5,6,7,8}, A={1,2,3},B={3,5,6}, ∴(CUA)∩B={0,4,5,6,7,8}∩{3,5,6} ={5,6}. 故选 A. 【点评】本题考查集合的运算和应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意文氏图的合理运 用. 2.设复数 z1,z2 在复平面内对应的点关于原点对称,z1=1+i,则 z1z2=( A.﹣2i B.2i C.﹣2 D.2 )

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【专题】数系的扩充和复数. 【分析】通过复数的几何意义先得出 z2,再利用复数的代数运算法则进行计算. 【解答】解:z1=1+i 在复平面内的对应点为(1,1) , 它关于原点对称的点为(﹣1,﹣1) , 故 z2=﹣1﹣i, ∴ .

故选:A. 【点评】本题复数的运算法则、几何意义,属于基础题. 3.已知向量 , 满足| ﹣ |= , ? =1,则| + |=( A. B.2 C. D.10 【考点】平面向量数量积的运算. )

【专题】计算题;平面向量及应用. 【分析】 运用向量数量积的性质: 向量的平方即为模的平方和完全平方公式, 计算即可得到. 2 2 2 2 【解答】解:由已知得| ﹣ | =( ﹣ ) = + ﹣2 ? = 2+ 2﹣2=6, 即 2+ 2=8, 即有| + |2=( + )2= 2+ 2+2 ? =8+2=10, 即 . 故选 C. 【点评】 本题考查向量的数量积的性质, 主要考查向量的平方即为模的平方, 考查运算能力, 属于基础题. 4.曲线 y=eax+ A.1 B.2

在点(0,2)处的切线与直线 y=x+3 平行,则 a=( C.3 D.4

)

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【专题】导数的概念及应用. 【分析】求出原函数的导函数,由曲线 y=eax+ 可得 y'|x=0=a﹣1=1,由此求得 a 的值. 【解答】解:由 y=eax+ ,得 在点(0,2)处的切线与直线 y=x+3 平行

, ∵曲线 y=eax+ ∴y'|x=0=a﹣1=1, ∴a=2. 故选:B. 【点评】 本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程, 过曲线上某点处的切线的斜率, 就是函数在该点处的导数值,是基础题. 5.在△ ABC 中,已知 sinC=2sinAcosB,那么△ ABC 一定是( A.等腰直角三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 )

在点(0,2)处的切线与直线 y=x+3 平行,

【考点】三角形的形状判断. 【专题】计算题;解三角形. 【分析】三角形的内角和为 π,利用诱导公式可知 sinC=sin(A+B) ,与已知联立,利用两 角和与差的正弦即可判断△ ABC 的形状; 【解答】解:∵在△ ABC 中,sinC=sin[π﹣(A+B)]=sin(A+B) , ∴sinC=2sinAcosB?sin(A+B)=2sinAcosB, 即 sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB, ∴sinAcosB﹣cosAsinB=0, ∴sin(A﹣B)=0,

∴A=B. ∴△ABC 一定是等腰三角形. 故选 B. 【点评】本题考查三角形的形状判断,考查两角和与差的正弦,利用 sinC=sin(A+B)是关 键,属于中档题.

6.函数 A.1 B. C. D.1+

在区间

上的最大值是(

)

【考点】三角函数中的恒等变换应用;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】先将函数用二倍角公式进行降幂运算,得到 f(x)= 求其在区间 【解答】解:由 ∵ ,∴ . 上的最大值. , ,然后再

故选 C. 【点评】 本题主要考查二倍角公式的应用和三角函数的最值问题. 二倍角公式一般都是反向 考查,一定要会灵活运用.

7.已知实数 x,y 满足约束条件

,则 z=x+3y 的取值范围是(

)

A.[1,9]

B.[2,9]

C.[3,7]

D.[3,9]

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,结合数形结合即可得到 结论. 【解答】解:根据线性约束条件作出可行域, 如图 1 所示阴影部分. 作出直线 l:x+3y=0,将直线 l 向上平移至过点 M(0,3)和 N(2,0)位置时,zmax=0+3×3=9,zmin=2+3×0=2. 故选:B

【点评】本题主要考查线性规划的应用.本题先正确的作出不等式组表示的平面区域,再结 合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键. 8.如图,网格纸上小方格的边长为 1(表示 1cm) ,图中粗线和虚线是某零件的三视图,该 零件是由一个底面半径为 4cm,高为 3cm 的圆锥毛坯切割得到,则毛坯表面积与切削得的 ) 零件表面积的比值为(

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;空间位置关系与距离. 【分析】求出圆锥毛坯的表面积,切削得的零件表面积,即可求出毛坯表面积与切削得的零 件表面积的比值. 【解答】解:圆锥毛坯的底面半径为 r=4cm,高为 h=3cm,则母线长 l=5cm, 所以圆锥毛坯的表面积 S 圆表=πrl+πr2=π×4×5+π×42=36π, 切削得的零件表面积 S 零件表=S 圆表+2π×2×1=40π, 所以所求比值为 = .

故选 D. 【点评】由三视图求几何体的表面积,关键是正确的分析原几何体的特征. 9.若任取 x,y∈[0,1],则点 P(x,y)满足 y>x2 的概率为( A. B. C. D. )

【考点】几何概型.

【专题】概率与统计. 【分析】当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型,若事件与两个变量有关时,可归结 为面积问题进行解答. 【解答】解:该题属几何概型,由积分知识易得点 P(x,y)满足 y>x2 的面积为 ,所以所求的概率为 . 故选 A. 【点评】本题考查了几何概型公式的运用以及利用定积分求曲边梯形的面积; 当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型, 若事件与两个变量有关时, 可归结为面积问 题进行解答.

10.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的左焦点为 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆上,且 BF⊥x =2 ,则椭圆的离心率是( )

轴,直线 AB 交 y 轴于点 P.若 A. B. C. D.

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先求出点 B 的坐标,设出点 P 的坐标,利用 求出离心率. 【解答】解:如图,由于 BF⊥x 轴,故 xB=﹣c,yB = ∵ =2 , ﹣t) .

=2

,得到 a 与 c 的关系,从而

,设 P(0,t) ,

∴(﹣a,t)=2(﹣c, ∴a=2c, ∴e= = , 故选 D.

【点评】 本题考查椭圆的简单性质以及向量坐标形式的运算法则的应用, 体现了数形结合的 数学思想. 11.把边长为 2 的正三角形 ABC 沿 BC 边上的高 AD 折成直二面角,设折叠后 BC 中点为 M,则 AC 与 DM 所成角的余弦值为 ( )

A.

B.

C.

D.

【考点】异面直线及其所成的角. 【专题】空间角. 【分析】以 D 为原点,DB 为 x 轴,DC 为 y 轴,DA 为 z 轴,建立空间直角坐标系 D﹣xyz, 利用向量法能求出 AC 与 DM 所成角的余弦值. 【解答】解:以 D 为原点,DB 为 x 轴,DC 为 y 轴,DA 为 z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系 D﹣xyz, 则 M( , ,0) ,D(0,0,0) , ∴ =(0,1,﹣ ) , =( ) ,

设 AC 与 DM 所成角为 θ, 则 cosθ=|cos< >|= = .

∴AC 与 DM 所成角的余弦值为 故选:B.



【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意向量 法的合理运用. 12.函数 f(x)=x+x3(x∈R)当 0<θ< ) 的取值范围是( A. (﹣∞,1] B. (﹣∞,1)

时,f(asinθ)+f(1﹣a)>0 恒成立,则实数 a

C. (1,+∞)

D. (1,+∞)

【考点】函数奇偶性的性质;函数恒成立问题. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】 先判断函数的奇偶性, 然后再结合单调性将给的不等式化归为两个函数值的大小比 较问题,从而构造出关于 θ 的不等式恒成立,然后分离参数求 a 的取值范围. 【解答】解:因为 f'(x)=1+3x2>0,故 f(x)=x+x3(x∈R)在 R 上单调递增,且为奇函 数, 所以由 f(asinθ)+f(1﹣a)>0 得 f(asinθ)>f(a﹣1) , 从而 asinθ>a﹣1,即当 时, 恒成立,所以 a≤1.

故选:A. 【点评】 本题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化, 再把不等式恒成立问题转化为函数 的最值问题进行解答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.定义一种新运算“?”:S=a?b,其运算原理如图 3 的程序框图所示,则 3?6﹣5?4=﹣ 3.

【考点】程序框图. 【专题】算法和程序框图. 【分析】由框图可知算法的功能是求 5?4 的值. 【解答】解:由框图可知 , 从而由新定义可得 3?6﹣

从而得:3?6﹣5?4=6(3﹣1)﹣5(4﹣1)=﹣3. 故答案为:﹣3. 【点评】 本题主要考查了程序框图和算法, 读懂程序框图, 理解所定义的新运算, 即可解答, 属于基本知识的考查. 14.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 4a1,2a2,a3 成等差数列.若 a1=1,则 S4=15. 【考点】等差数列的性质;等比数列的前 n 项和. 【专题】计算题. 【分析】由题意知 2a2﹣4a1=a3﹣2a2,即 2q﹣4=q2﹣2q,由此可知 q=2,a1=1,a2=2,a3=4, a4=8,于是得到 S41+2+4+8=15. 【解答】解:∵2a2﹣4a1=a3﹣2a2, ∴2q﹣4=q2﹣2q, q2﹣4q+4=0,

q=2, ∴a1=1,a2=2,a3=4,a4=8, ∴S4=1+2+4+8=15. 答案:15 【点评】本题考查数列的应用,解题时要注意公式的灵活运用. 15.关于 sinx 的二项式(1+sinx)n 的展开式中,末尾两项的系数之和为 7,且系数最大的 一项的值为 ,当 x∈[0,π]时,x= 【考点】二项式系数的性质. 【专题】二项式定理. 【分析】由题意可得 合 x∈[0,π],可得 x 的值. 【解答】解:由题意可得 于是 ,所以, 或 . ,即 ,故 n=6,所以第 4 项的系数最大, . ,求得 n=6,可得 ,求得 .结 或 .

又 x∈[0,π],所以 故答案为: 或

【点评】 本题主要考查二项式定理的应用, 二项式系数的性质, 二项式展开式的通项公式. 一 般遇到二项展开式某项或某项的系数问题,通常结合展开式的通项公式进行解答属于基础 题. 16.已知三次函数 f(x)= x3+ x2+cx+d(a<b)在 R 上单调递增,则

的最小值为 3.

【考点】函数的单调性与导数的关系. 【专题】导数的综合应用. 【分析】由题意得 f'(x)=ax2+bx+c 在 R 上恒大于或等于 0,得 a>0,△ =b2﹣4ac≤0,将此 代入 ,将式子进行放缩,以 为单位建立函数关系式,最后构造出运用基本不等式

的模型使问题得到解决. 【解答】解:由题意 f'(x)=ax2+bx+c≥0 在 R 上恒成立,则 a>0,△ =b2﹣4ac≤0.











≥3.

(当且仅当 t=4,即 b=c=4a 时取“=”) 故答案为:3 【点评】本题考查了利用导数工具研究三次函数的单调性以及函数与方程的综合应用问题, 属于中档题. 三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.一个口袋内有 5 个大小相同的球,其中有 3 个红球和 2 个白球. (1)若有放回的从口袋中连续的取 3 次球(每次只取一个球) ,求在 3 次摸球中恰好取到两 次红球的概率; (2) 若不放回地从口袋中随机取出 3 个球, 求取到白球的个数 ξ 的分布列和数学期望 E (ξ) . 【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型 随机变量及其分布列. 【专题】概率与统计. 【分析】 (1)利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式能求出在 3 次 有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率. (2)白球的个数 ξ 可取 0,1,2,分别求出相应的概率,由此能求出取到白球的个数 ξ 的分 布列和数学期望 E(ξ) . 【解答】解: (1)设在 3 次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率为 P, 由题设知, (2)白球的个数 ξ 可取 0,1,2, . 所以 ξ 的分布列如下表: ξ 0 P .

1

2

. 【点评】本题考查相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计 算, 考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力. 求离散随机变量的分布列一般先确定随 机变量的所有取值,再计算各个取值的概率,最后得分布列并计算期望. 18.如图,在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,点 O 是 A1C1 的中点,AO⊥平面 A1B1C1.已知 ∠BCA=90°,AA1=AC=BC=2. (1)求证:AB1⊥AlC; (2)求 A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值.

【考点】直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系. 【专题】空间角. 【分析】 (1)由已知条件推导出四边形 A1C1CA 为菱形,从而得到 A1C⊥平面 AB1C1,由 此能够证明 AB1⊥A1C. (Ⅱ)设点 C1 到平面 AA1B1 的距离为 d,利用等积法求出 d= 平面 AA1B1 所成角的正弦值. 【解答】 (1)证明:∵AO⊥平面 A1B1C1,∴AO⊥B1C1, 又∵A1C1⊥B1C1,且 A1C1∩AO=O, ∴B1C1⊥平面 A1C1CA,∴A1C⊥B1C1, 又∵AA1=AC,∴四边形 A1C1CA 为菱形, ∴A1C⊥AC1,且 B1C1∩AC1=C1, ∴A1C⊥平面 AB1C1, ∴AB1⊥A1C. (Ⅱ)解:设点 C1 到平面 AA1B1 的距离为 d, ∵ ∴ 又∵在△ AA1B1 中, ,∴d= , . = = , , , ,由此能求出 A1C1 与

∴A1C1 与平面 AA1B1 所成角的正弦值为

【点评】本题考查异面直线垂直的证明,考查直线与平面所成角的正弦值,解题时要认真审 题,注意空间思维能力的培养.

19.设数列{an}满足 a1=0 且 an+1=

.n∈N*.

(1)求证数列{

}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

(2)设 bn=

,Sn 为数列{bn}的前 n 项和,证明:Sn<1.

【考点】数列的求和;数列递推式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)把 代入 ,能推导出 ,

由此能证明数列

是公差为 1 的等差数列,从而能求出



(2)由

,利用裂项求和法能证明 Sn<1.

【解答】 (1)解:∵





=

=

=1,





∴数列

是公差为 1 的等差数列.





所以



(2)证明:由(1)得



. ∴Sn<1. 【点评】本题主要考查数列的通项公式、前 n 项和公式的求法,考查等差数列、等比数列等 基础知识,考查等差数列的证明,证明数列为等差数列通常利用等差数列的定义证明,遇到 与数列的和有关的不等式可先考虑能否求和再证明. 20.已知函数 f(x)=ax﹣1﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)讨论函数 f(x)在定义域内的极值点的个数;

(Ⅱ)已知函数 f(x)在 x=1 处取得极值,且对?x∈(0,+∞) ,f(x)≥bx﹣2 恒成立,求 实数 b 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的极值;函数恒成立问题;函数在某点取得极值的条件. 【专题】计算题;综合题. 【分析】 (Ⅰ)由 f(x)=ax﹣1﹣lnx 可求得 f′(x)= ,对 a 分 a≤0 与 a>0 讨论 f′(x)

的符号,从而确定 f(x)在其定义域(0,+∞)单调性与极值,可得答案; (Ⅱ)函数 f(x)在 x=1 处取得极值,可求得 a=1,于是有 f(x)≥bx﹣2?1+ ﹣ 构造函数 g(x)=1+ ﹣ ,g(x)min 即为所求的 b 的值. ≥ b,

【解答】解: (Ⅰ)∵f(x)=ax﹣1﹣lnx, ∴f′(x)=a﹣ = ,

当 a≤0 时,f'(x)≤0 在(0,+∞)上恒成立,函数 f(x)在(0,+∞)单调递减, ∴f(x)在(0,+∞)上没有极值点; 当 a>0 时,f'(x)≤0 得 0<x≤ ,f'(x)≥0 得 , 处有极小值.

∴f(x)在(0, ]上递减,在[ ,+∞)上递增,即 f(x)在

∴当 a≤0 时 f(x)在(0,+∞)上没有极值点,当 a>0 时,f(x)在(0,+∞)上有一个 极值点. (Ⅱ)∵函数 f(x)在 x=1 处取得极值, ∴a=1, ∴f(x)≥bx﹣2?1+ ﹣ ≥b,

令 g(x)=1+ ﹣

,则 g′(x)=﹣



=﹣

(2﹣lnx) ,

由 g′(x)≥0 得,x≥e2,由 g′(x)≤0 得,0<x≤e2, ∴g(x)在(0,e2]上递减,在[e2,+∞)上递增, ∴ ,即 b≤1﹣ .

【点评】本题考查利用导数研究函数的极值,考查恒成立问题,着重考查分类讨论思想与构 造函数思想的应用,体现综合分析问题与解决问题能力,属于难题. 21.如图,已知抛物线 C:y2=2px(p>0)和圆 M: (x﹣4)2+y2=1,过抛物线 C 上一点 H y0) B 两点, (x0, (y0≥1) 作两条直线与圆 M 相切于 A, 圆心 M 到抛物线准线的距离为 (1)求抛物线 C 的方程; (2)若直线 AB 在 y 轴上的截距为 t,求 t 的最小值. .

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)由圆心 M(4,0)到抛物线准线的距离为 = ,解出即可得出.

(2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由

,可得

,直线 HA 的方程为

(4﹣x1)x﹣y1y+4x1﹣15=0,同理可得:直线 HB 的方程为(4﹣x2)x﹣y2y+4x2﹣15=0, 把 H(x0,y0) (y0≥1)代入可得:直线 AB 的方程为 令 x=0,可得 ,利用其单调性即可得出. ,

【解答】解: (1)∵点 M(4,0)到抛物线准线的距离为 ∴ ,

=



∴抛物线 C 的方程为 y2=x. (2)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∵ ,





可得,直线 HA 的方程为(4﹣x1)x﹣y1y+4x1﹣15=0, 同理可得:直线 HB 的方程为(4﹣x2)x﹣y2y+4x2﹣15=0, ∴ ∴直线 AB 的方程为 , , ,

令 x=0,可得



∵t 关于 y0 的函数在[1,+∞)上单调递增, ∴tmin=﹣11.

【点评】 本题考查了抛物线与圆的定义标准方程及其性质、 直线与圆相切问题、 切线的性质、 相互垂直的直线斜率之间的关系、 函数的单调性, 考查了推理能力与计算能力, 属于中档题. 【[选修 4-1:几何证明选讲】 (共 1 小题,满分 10 分) 22.如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D, 连接 EC、CD. (1)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; (2)若 tan∠CED= ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长.

【考点】圆的切线的性质定理的证明;直线与圆的位置关系;矩阵与矩阵的乘法的意义;简 单曲线的极坐标方程;直线的参数方程. 【专题】计算题;证明题. 【分析】 (1)要想证 AB 是⊙O 的切线,只要连接 OC,求证∠ACO=90°即可; 2 ( )先由三角形判定定理可知,△ BCD∽△BEC,得 BD 与 BC 的比例关系,最后由切割 线定理列出方程求出 OA 的长. 【解答】解: (1)如图,连接 OC, ∵OA=OB,CA=CB, ∴OC⊥AB. ∴AB 是⊙O 的切线; (2)∵BC 是圆 O 切线,且 BE 是圆 O 割线, ∴BC2=BD?BE, ∵tan∠CED= ,∴ ∵△BCD∽△BEC,∴ . ,

设 BD=x,BC=2x.又 BC2=BD?BE,∴(2x)2=x?(x+6) , 解得 x1=0,x2=2,∵BD=x>0,∴BD=2,∴OA=OB=BD+OD=3+2=5. .

【点评】 本题考查的是切线的判定、 相似三角形的判定和性质, 以及切割线定理的综合运用, 属于基础题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分)

23.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,在极坐标系(与

直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 . (Ⅰ)求圆 C 的圆心到直线 l 的距离; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B.若点 P 的坐标为(3, ) ,求|PA|+|PB|. 【考点】直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 【专题】直线与圆. 【分析】 (I)圆 C 的极坐标方程两边同乘 ρ,根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方 程,最后再利用三角函数公式化成参数方程; (Ⅱ)将直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得即 ,根据两交点

A,B 所对应的参数分别为 t1,t2,利用根与系数的关系结合参数的几何意义即得. 【解答】解: (Ⅰ)由 . ,可得 ,即圆 C 的方程为



可得直线 l 的方程为



所以,圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 (Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 . 由于△ =



… ,即

.故可设 t1、t2 是上述方程的两个实根, ,又直线 l 过点 ,

所以

故由上式及 t 的几何意义得





【点评】 此题考查学生会将极坐标方程和参数方程分别化为直角坐标方程和普通方程, 掌握 直线参数方程中参数的几何意义,是一道中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 24.已知一次函数 f(x)=ax﹣2. (1)解关于 x 的不等式|f(x)|<4; (2)若不等式|f(x)|≤3 对任意的 x∈[0,1]恒成立,求实数 a 的范围. 【考点】绝对值不等式的解法;函数恒成立问题.

【专题】计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】 (1)解绝对值不等式的关键是去绝对值,可利用绝对值不等式的解集,对 a 讨论, 分 a>0,a<0,即可得到解集; (2)对于不等式恒成立求参数范围问题,通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答. 【解答】解: (1)|f(x)|<4 即为|ax﹣2|<4, 即﹣2<ax<6, 则当 a>0 时,不等式的解集为 当 a<0 时,不等式的解集为 (2)|f(x)|≤3?|ax﹣2|≤3?﹣3≤ax﹣2≤3 ?﹣1≤ax≤5? , ; .

∵x∈[0,1],∴当 x=0 时,不等式组恒成立;

当 x≠0 时,不等式组转化为

又∵



∴﹣1≤a≤5 且 a≠0 【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查不等式的恒成立问题转化为求最值,运用参数 分离和分类讨论是解题的关键.


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