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fhyl41:无锡新领航教育咨询有限公司2013届高三数学综合问题(一)(教师版)

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课前巩固提高
1 已知函数 f ( x) ? ? 【答案】-3 【解析】因为 f ( x) ? ? a+1=-2,a=-3 2 设 f ( x) ? ?

?2 x, x ? 0, 若f (a) ? f (1) ? 0 ,则 a= ? x ? 1, x ? 0,



?2 x, x ? 0, 若f (a) ? f (1) ? 0 ,那么 f(1)=2,f(a)=-2,因此可知 ? x ? 1, x ? 0,

? ?l

2e x ?1
2 ? 3 ( x o 1)

x?2 x ?g2

,则不等式 f (x ) ? 2 的解集为____________

【 答 案 】 {x | 1 x ? 或 x ? ? 2 【 解 析 】

10}

x?2 ? ? x?2 或? ? x ?1 2 ? 2e ? 2 ?log 3 ( x ? 1) ? 2

,





? x?2 1? x ? 或? 2 ? ? x ? 或x 1 ? 2 ?x ?1 ? 9
{x |1 ? x ? 2或x ? 10} .
3 若函数 f ( x) ?

2 0 , 所 以 不 等 式 f 1x ) ? 2 的 解 集 为 (

ax 2 ? 1 的单调增区间为(0,+∞),则实数 a 的取值范围是________. x

【答案】 ?0. ? ? ? 【解析】因为函数 f ( x) ?

ax 2 ? 1 的单调增区间为(0,+∞),则导函数在给定区间上恒大 x
,故答案为

于等于零,可知实数 a 的取值范围是 ?0. ? ? ? 4 在锐角△ABC 中, A=2B , 则 【答案】 ( 2, 3) 【 解 析 】 因

?0. ? ? ?



a 的取值范围是 b



A=2B,





1

2 B ? (0, ),? B ? (0, ), 又? C ? ? ? A ? B ? ? ? 3B ? (0, ),? B ? ( , ) ,所以 2 4 2 6 3 ? ? a sin A sin 2B B ? ( , ) ,所以 ? ? ? 2cos B ? ( 2, 3) . b sin B sin B 6 4 ? ? ? ? 5 已知单位向量 a, b 的夹角为 120°,当 2a ? xb ( x ? R ) 取得最小值时 x ? .
【答案】1 【解析】因为单位向量的夹角为 120°,当 (2 a ? x b) ? 4 ? x ? 4x( ? ) ? 4 ? x ?2x ,
2 2 2 ? ?

?

?

?

? ?

1 2

那么根据二次函数的性质可知,函数的 最小值为 1. 6 在数列 {an } 中,如果存在非零的常数 T ,使 an ?T ? an 对于任意正整数 n 均成立,就称数 列 {an } 为周期数列,其中 T 叫做数列 {an } 的周期. 已知数列 { xn } 满足

xn ? 2 ?| xn ?1 ? xn | ( x ? N ? ) ,若 x1 ? 1, x2 ? a (a ? 1, a ? 0) ,当数列 { xn } 的周期为 3 时,
则数列 { xn } 的前 2012 项的和为 【 答 案 】 1342 【 解 析 】 若 数 列 的 最
1









3,





x3 ?|

1? a

|?

1? a 4

x ,

?

| a? 1 a?

|? a|? 1 x ?

2 ?

|此时该数列 ? 1 , ?a

,a ? 1

?2 a

的项为: 1,1,0,1,1,0,... . S2012 ? 670(1 ? 1 ? 0) ? 1 ? 1 ? 1342 . 7 已知实数 a ? 0且a ? 1 ,命题 p : y ? log a (2 ? ax) 在区间 [0, ] 上为减函数;命题 q : 方程 e x ? x ? a ? 3 ? 0 在 [0,1] 有解。若 p ? q 为真, p ? q 为假,求实数 a 的取值范围。 【答案】 1? a ? 4 ?e 或 2 ? a ? 4 。 【解析】本试题主要是考查了函数的性质和函数与方程的综合运用。

1 2

1 ? a ? 0 ,? t ? 2 ? ax 为 [0, ] 上的减函数. 2 1 又? y ? log a (2 ? ax) 在区间 [0, ] 上为减函数,?a ? 1 2 1 1 又? 2 ? ax ? 0 在 [0, ] 上恒成立,? 2 ? a ? 0 ,即 a ? 4 2 2

?1 ? a ? 4 ?对于 ?x ? [0,1] ,e x ? x ? a ? 3 ? 0 有解,即 a ? ?e x ? x ? 3 在 [0,1] 上有解,
分离参数法得到结论。 解:? a ? 0 ,? t ? 2 ? ax 为 [0, ] 上的减函数. 又? y ? log a (2 ? ax) 在区间 [0, ] 上为减函数,?a ? 1 ……………………2 分

1 2

1 2

2

又? 2 ? ax ? 0 在 [0, ] 上恒成立,? 2 ?

?1 ? a ? 4 …………………………………………………………………………4 分
?对于 ?x ? [0,1] , e x ? x ? a ? 3 ? 0 有解,即 a ? ?e x ? x ? 3 在 [0,1] 上有解.
令 f ( x) ? ?e ? x ? 3, x ? [0,1]
x

1 2

1 a ? 0 ,即 a ? 4 2

? f / ( x ) ? ?e x ? 1
当 0 ? x ? 1 时,? f ( x) ? ?e ? 1 ? 0
/ x

? f (1) ? f ( x) ? f (0) ,即 4 ? e ? f ( x) ? 2

?4?e ? a ? 2

………………………………………………………………8 分

又? p ? q 为真, p ? q 为假

?1 ? a ? 4 ? e 或 2 ? a ? 4 ……………………………………………………12 分
8(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 5(a ? 1) .
2

(1) 若函数 f ( x) 的定义域和值域均为 [1, a ] ,求实数 a 的值; (2) 若 f ( x) 在区间 ? ??, 2 ? 上是减函数,且对任意的 x1 , x2 ? ?1, a ? 1? , 总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4 ,求实数 a 的取值范围; (3) 若 f ( x) 在 x ? ?1,3? 上有零点,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1) a ? 2 ; (2) 2 ? a ? 3 ; (3) 5 ? a ? 3 。 【解析】本试题主要是考查了函数的定义域和值域以及函数单调性以及函数零点的综合运 用。 (1)因为函数 f ( x) 的定义域和值域均为 [1, a ] ,而? f ( x) ? x ? 2ax ? 5 在 (??, a ] 上的
2

减函数 ? f ( x) ? x ? 2ax ? 5 在 [1, a ] 上单调递减,得到参数 a 的值
2

?a ? 2 ? f (x) 在 [1, a ] 上单调递减, [a, a ? 1] (2) f ( x) 在区间 ? ??, 2 ? 上是减函数, 在 ?
上单调递,然后分析对任意的 x1 , x2 ? ?1, a ? 1? ,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4

? f ( x) max ? f ( x) min ? 4 ,得到结论。
2 ( 3 ) ? f ( x) 在 x ? ?1,3? 上 有 零 点 , ? f ( x) ? x ? 2ax ? 5 ? 0 在 [1,3] 上 有 解 。

3

?a ?

1 5 ( x ? ) 在 [1,3] 上有解,得到参数 a 的范围。 2 x
2

解: (1)? f ( x) ? x ? 2ax ? 5 在 (??, a ] 上的减函数,

? f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 5 在 [1, a ] 上单调递减
? f ( x) max ? f (1) ? a 且 f ( x) min ? f (a) ? 1 ………………………………2 分

?a ? 2

……………………………………………………………………4 分

(2)? f ( x) 在区间 ? ??, 2 ? 上是减函数,?a ? 2

? f (x) 在 [1, a ] 上单调递减,在 [a, a ? 1] 上单调递增

? f ( x) min ? f (a) ? 5 ? a 2 , f ( x) max ? max? f (1), f (a ? 1)?………6 分 f (1) ? f (a ? 1) ? 6 ? 2a ? (6 ? a 2 ) ? a 2 ? 2a ? a(a ? 2) ? 0 ? f ( x) max ? f (1) ? 6 ? 2a

?对任意的 x1 , x2 ? ?1, a ? 1? ,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4
? f ( x) max ? f ( x) min ? 4 ,……………………………………………………8 分
即 ? 1 ? a ? 3 又? a ? 2 ,? 2 ? a ? 3 ………………………………………9 分 (3)? f ( x) 在 x ? ?1,3? 上有零点,? f ( x) ? x ? 2ax ? 5 ? 0 在 [1,3] 上有解。
2

1 5 ( x ? ) 在 [1,3] 上有解……………………………………………11 分 2 x 1 5 ? 5 ? ( x ? ) ? 3 ? 5 ? a ? 3 ……………………………………13 分 2 x ?a ?
9.(本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ( x ? 0) ,函数 g ( x) ? (I)当 x ? 0 时,求函数 y ? g ( x) 的表达式; (II)若 a ? 0 ,且函数 y ? g ( x) 在 (0, ??) 上的最小值是 2 ,求 a 的值; (III)对于(II)中所求的 a 值,若函数 h( x) ? 点,求 b 的取值范围。 【答案】 (Ⅰ)当 x ? 0 时,函数 y ? g ( x) ? x ? (III) b ? (??,0) ? (0, ) ? (3,??) 。

1 ? af ?( x)( x ? 0) f ?( x)

1 3 b ?1 2 x ? x ? bx, x ? R ,恰有三个零 3 2a

a . (II)1; x

1 3

4

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。利用导数求解最值和方程的解,以 及解析式的求解的综合运用。 (1)∵ f ( x) ? ln x ,去掉绝对值然后分情况求解导数得到结论。 ∴当 x ? 0 时, f ( x) ? ln x ; 当 x ? 0 时, f ( x) ? ln(? x)

1 1 1 ; 当 x ? 0 时, f ?( x) ? ? (?1) ? . x ?x x a ∴当 x ? 0 时,函数 y ? g ( x) ? x ? . x a (2)由⑴知当 x ? 0 时, g ( x) ? x ? , x
∴当 x ? 0 时, f ?( x) ? ∴当 a ? 0, x ? 0 时, g ( x) ≥ 2 a 当且仅当 x ?

a 时取等号.由 2 a ? 2 ,得 a=1 (8 分)

h / ( x) ? x 2 ? (b ? 1) x ? b ? ( x ? 1)( x ? b)
分析导数的运用。 (3)构造函数 h( x) ? 所以,方程

1 3 b ?1 2 1 x ? x ? bx ? x[2 x 2 ? 3(b ? 1) x ? 6b] 3 2 6

2 x 2 ? 3(b ? 1) x ? 6b ? 0 ,有两个不等实根,且不含零根。等价转化后得到。

解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? ln x , ∴当 x ? 0 时, f ( x) ? ln x ; 当 x ? 0 时, f ( x) ? ln(? x)

1 1 1 ; 当 x ? 0 时, f ?( x) ? ? (?1) ? . x ?x x a ∴当 x ? 0 时,函数 y ? g ( x) ? x ? . (4 分) x a (Ⅱ)∵由⑴知当 x ? 0 时, g ( x) ? x ? , x
∴当 x ? 0 时, f ?( x) ? ∴当 a ? 0, x ? 0 时, g ( x) ≥ 2 a 当且仅当 x ?

a 时取等号.由 2 a ? 2 ,得 a=1 (8 分)

h / ( x) ? x 2 ? (b ? 1) x ? b ? ( x ? 1)( x ? b)
令 h ( x) ? 0 ,得 x ? 1或 x=b
/

若 b>1,则当 0<x<1 时, h ( x) ? 0
/ /

,当 1<x<b,时 h ( x) ? 0 ,当 x>b 时, h ( x) ? 0 ;
/ / / /

若 b<1,且 b ? o 则当 0<x<b 时,h ( x) ? 0 , b<x<1 时,h ( x) ? 0 , x>1 时,h ( x) ? 0 当 当 所以函数 h(x)有三个零点的充要条件为 ?

? f (1) ? 0 ? f (1) ? 0 1 或? 解得 b ? 或 b ? 3 3 ? f (b) ? 0 ? f (b) ? 0

5

1 3 1 3 b ?1 2 1 另解: h( x) ? x ? x ? bx ? x[2 x 2 ? 3(b ? 1) x ? 6b] 3 2 6
综合: b ? (??,0) ? (0, ) ? (3,??) (13 分) 所以,方程

2 x 2 ? 3(b ? 1) x ? 6b ? 0 ,有两个不等实根,且不含零根
(13 分)

?9(b ? 1) 2 ? 48b ? 0 1 解得: b ? (??,0) ? (0, ) ? (3,??) ? 3 ?b ? 0
10 已知函数 f ?x ? ? ?

1 3 x ? 2ax2 ? 3a 2 x ? b , (a, b ? R) 3

(1)当 a ? 3 时, 若 f ? x ? 有 3 个零点, 求 b 的取值范围; (2)对任意 a ? [ ,1] , 当 x ? ?a ? 1, a ? m? 时恒有 ? a ? f ??x ? ? a , 求 m 的最大值, 并求

4 5

此时 f ? x ? 的最大值。 【答案】 (1)?0 ? b ? 36 (2) m 最大值为 2 ? f ?x ?max ? f ?3a ? ? b

【解析】本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。 (1) 先求解导数,a ? 3 , f ??x ? ? ??x ? 3??x ? 9? , f ? x ? 极小值 ? f (3) ? ?36 ? b , f ? x ? 极大值 ? f (9) ? b ,然后得到参数 b 的范围。 (2) a ? ? ,1? 时,有 2a ? a ? 1 ? 2 , 由 f ?? x ? 图示, f ?? x ? 在 ?a ? 1, a ? m? 上为减函数 5

?4 ? ? ?

? f ??a ? m? ? f ??a ? 1? 易知 f ??a ? 1? ? 2a ? 1 ? a 必成立;
只须 f ??a ? m? ? ?a 得到 m 的范围,进而求解函数的最值。 11 在 ?ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cosC. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 | BA ? BC |? 2, 求?ABC 的面积的最大值. 【答案】 (Ⅰ)? B ? (0, ? ),? B ?

?
3

.

(Ⅱ)当 a=b=c=2 时,△ABC 的面积的最大值为 3. 【解析】 (Ⅰ)利 用 正 弦 定 理 把 边 化 为 角 的 正 弦 , 结 合 三 角 形 中 的 条 件 可 求 出

cos B ?

??? ??? ? ? 1 ? ? , 得到 B ? .(Ⅱ)由 | BA ? BC |? 2, 根据向量的几何意义得 b ? 2. 因为 B ? . 3 3 2

利用余弦定理和不等式可得 ac ? 4, 由三角形的面积公式即求出 ?ABC 的面积的最大值
6

12 已知函数 f (x) 定义在区间 (?1,1) 上, f ( ) ? ?1 ,且当 x, y ? (?1,1) 时, 恒有 f ( x) ? f ( y ) ? f (

1 2

2a n x? y 1 ) .又数列 {a n } 满足 a1 ? , a n ?1 ? . 2 2 1 ? xy 1 ? an

(1)证明: f (x) 在 (?1,1) 上是奇函数; (2)求 f (a n ) 的表达式; (3) 设 bn ?

1 m , Tn 为 数 列 {bn } 的 前 n 项 和 ,若 T2 n ?1 ? Tn ? (m ? N *) 对 2 log 2 | f (a n ?1 ) | 15

n ? N * 恒成立,求 m 的最小值.
【答案】(Ⅰ)证明略 (Ⅱ) f (an ) ? ?1? 2n ?1 ? ?2n ?1. (III) m 的最小值为 7. 【解析】本试题主要是考查了函数与数列的综合运用 (1)通过赋值法得到函数奇偶性的判定。 (2)因为令 x=an,y=-an,于是,由已知得 2f (an)=f (an+1),从而求解得到解析式。 n (3)由(II)得 f(an+1)=-2 ,那么整体思想得到参数 m 的最值。

7


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