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高中数学第一章算法初步1


1.3

算法案例

预习课本 P34~45, 思考并完成以下问题
(1)如何求 a,b,c 的最大公约数?

(2)如何求两个数的最小公倍数?

[新知初探] 1.辗转相除法 (1)辗转相除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效 的算法. (2)辗转相除法的算法步骤: 第一步,给定两个正整数 m,n. 第二步,计算 m 除以 n 所得的余数 r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若 r=0,则 m,n 的最大公约数等于 m;否则,返回第二步. 2.更相减损术 (1)更相减损术是我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公 约数的算法. (2)其基本过程是: 第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用 2 约简;若不是,执 行第二步. 第二步, 以较大的数减去较小的数, 接着把所得的差与较小的数比较, 并以大数减小数, 继续这个操作, 直到所得的数相等为止, 则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所 求的最大公约数. [点睛] 辗转相除法与更相减损术的区别与联系

两种方法 计算法则 终止条件 最大公约数的选取 计算特点 相同点

辗转相除法 除法 余数为 0 最后一步中的除数 步骤较少,运算复杂

更相减损术 减法 减数与差相等 最后一步中的减数 步骤较多,运算简单

同为求两个正整数最大公约数的方法,都是递归过程

3.秦九韶算法 把一个 n 次多项式 f(x)=anx +an-1x
n n-1

+…+a1x+a0 改写成如下形式: f(x)=(…((anx

+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值, 即 v1=anx+an-1, 然后由内向外逐层计算一次多项式的值, 即 v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, …,

vn=vn-1x+a0,这种求 n 次多项式 f(x)的值的方法叫秦九韶算法.
[小试身手] 1.用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数时,需做减法的次数为( A.4 C.6 B.5 D.7 )

解析:选 C (98,63)→(35,63)→(35,28)→(7,28)→(7,21)→(7,14)→(7,7),∴共进 行 6 次减法. 2.用“辗转相除法”求得 168 与 486 的最大公约数是( A.3 C.6 B.4 D.16 )

解析:选 C 486=168×2+150,168=150×1+18,150=18×8+6,18=3×6,故 168 与 486 的最大公约数为 6. 3.有关辗转相除法下列说法正确的是( )

A.它和更相减损之术一样是求多项式值的一种方法 B.基本步骤是用较大的数 m 除以较小的数 n 得到除式 m=nq+r,直至 r<n 为止 C.基本步骤是用较大的数 m 除以较小的数 n 得到除式 m=nq+r(0≤r<n),反复进行, 直到 r=0 为止 D.以上说法皆错 解析:选 C 辗转相除法和更相减损之术都是求最大公约数的方法,故 A 错,而 C 中 0≤r<n 且除到 r=0 为止,C 对.B 错,故选 C. 1 5 4 3 2 4.已知多项式 f(x)=4x +3x +2x -x -x- ,用秦九韶算法求 f(-2)等于( 2 )

197 A.- 2 C. 183 2

B.

197 2

183 D.- 2

1 197 解析:选 A ∵f(x)=((((4x+3)x+2)x-1)x-1)x- ,∴f(-2)=- . 2 2

求最大公约数 [典例] 求 228 与 1 995 的最大公约数. [解] 法一:(辗转相除法)1 995=8×228+171,228=1×171+57,171=3×57, 所以 228 与 1 995 的最大公约数为 57. 法二:(更相减损术)1 995-228=1 767,1 767-228=1 539, 1 539-228=1 311,1 311-228=1 083, 1 083-228=855,855-228=627, 627-228=399,399-228=171, 228-171=57,171-57=114, 114-57=57. 所以 228 与 1 995 的最大公约数为 57.

辗转相除法计算次数少,步骤简捷,更相减损术计算次数多,步骤复杂,但是更相减损 术每一步的计算都是减法, 比做除法运算要简单一些, 一般当数较小时可以考虑用更相减损 术,当数较大时可以考虑用辗转相除法. [活学活用] 用辗转相除法和更相减损术求 1 515 与 600 的最大公约数,需要运算的次数分别为 ( ) A.4,15 C.5,13 解析:选 B B.5,14 D.4,12 辗转相除法: 1 515=600×2+315;600=315×1+285,315=285×1+

30,285=30×9+15,30=15×2,故最大公约数为 15,且需计算 5 次.用更相减损术:1 515 -600=915,915-600=315,600-315=285,315-285=30,285-30=255,255-30=225, 225-30=195,195-30=165,165-30=135,135-30=105,105-30=75,75-30=45,45 -30=15,30-15=15.故最大公约数为 15,且需计算 14 次.

秦九韶算法的应用

[典例] 用秦九韶算法求多项式 f(x)=8x +5x +3x +2x+1,当 x=2 时的值. [解] 根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:

7

6

4

f(x) = 8x7 + 5x6 +0·x5 +3·x4 +0·x3 +0·x2 + 2x +1 = ((((((8x + 5)x + 0)x+ 3)x +
0)x+0)x+2)x+1. 而 x=2,所以有

v0=8, v1=8×2+5=21, v2=21×2+0=42, v3=42×2+3=87, v4=87×2+0=174, v5=174×2+0=348, v6=348×2+2=698, v7=698×2+1=1 397.
所以当 x=2 时,多项式的值为 1 397.

应用秦九韶算法计算多项式的值应注意的 3 个问题 (1)要正确将多项式的形式进行改写. (2)计算应由内向外依次计算. (3)当多项式函数中间出现空项时,要以系数为零的齐次项补充.

[活学活用] 用秦九韶算法写出当 x=3 时,f(x)=2x -4x +3x -5x+1 的值. 解:因为 f(x)=((((2x+0)x-4)x+3)x-5)x+1,
5 3 2

v0=2,v1=2×3+0=6,v2=6×3-4=14,v3=14×3+3=45,v4=45×3-5=130, v5=130×3+1=391,
所以 f(3)=391.

进位制 [典例] (1)把二进制数 101 101(2)化为十进制数为________. (2)将十进制数 458 转化为四进制数为________. (3)比较 85(9)和 210(6)的大小.

[解析] 45,

(1)101 101(2)=1×2 +0×2 +1×2 +1×2 +0×2 +1×2 =32+8+4+1=

5

4

3

2

1

0

所以二进制数 101 101(2)转化为十进制的数为 45. (2)

所以 458=13 022(4). 答案:(1)45 (2)13 022(4) (3)解:因为 85(9)=5+8×9=77, 210(6)=0+1×6+2×6 =78, 而 78>77,所以 210(6)>85(9).
2

十进制数转化为其他进制数的方法步骤

[活学活用] (1)将 101 111 011(2)转化为十进制的数; (2)将 235(7)转化为十进制的数; (3)将 137(10)转化为六进制的数; (4)将 53(8)转化为二进制的数. 解:(1)101 111 011(2) =1×2 +0×2 +1×2 +1×2 +1×2 +1×2 +0×2 +1×2 + 1×2 =379(10). (2)235(7)=2×7 +3×7 +5×7 =124(10). (3)
2 1 0 0 8 7 6 5 4 3 2 1

∴137(10)=345(6).

(4)53(8)=5×8 +3×8 =43(10).

1

0

∴53(8)=101 011(2).

[层级一 学业水平达标] 1.用辗转相除法求 294 和 84 的最大公约数时,需要做除法运算的次数是( A.1 C.3 B.2 D.4 )

解析:选 B 294=84×3+42,84=42×2,故需要做 2 次除法运算. 2.三位四进制数中的最大数等于十进制数的( A.63 C.189 B.83 D.252
2 1

)

解析:选 A 三位四进制数中的最大数为 333(4),则 333(4)=3×4 +3×4 +3=63. 3.把 389 化为四进制数,则该数的末位是( A.1 C.3 解析:选 A B.2 D.4 由 389=4×97+1,97=4×24+1,24=4×6+0,6=4×1+2,1=4×0+ )

1,389 化为四进制数的末位是第一个除法代数式中的余数 1. 4.在对 16 和 12 求最大公约数时,整个操作如下:16-12=4,12-4=8,8-4=4.由此 可以看出 12 和 16 的最大公约数是( A.4 C.16 ) B.12 D.8

解析:选 A 根据更相减损术的方法判断. [层级二 应试能力达标] 1.4 830 与 3 289 的最大公约数为( A.23 C.11 ) B.35 D.13

解析:选 A 4 830=1×3 289+1 541; 3 289=2×1 541+207;

1 541=7×207+92; 207=2×92+23;92=4×23; ∴23 是 4 830 与 3 289 的最大公约数. 2.用辗转相除法求 72 与 120 的最大公约数时,需要做除法次数为( A.4 C.5 解析:选 B 120=72×1+48, 72=48×1+24, 48=24×2. 3.用更相减损术求 459 与 357 的最大公约数,需要做减法的次数为( A.4 C.6 解析:选 B B.5 D.7 459-357=102,357-102=255,255-102=153,153-102=51,102-51= ) B.3 D.6 )

51,所以 459 与 357 的最大公约数为 51,共做减法 5 次. 4.下列各数,化为十进制后,最大的为( A.101 010(2) C.32(8)
5 4

)

B.111(5) D.54(6)
3 2 1 0 2

解析:选 A 101 010(2)=1×2 +0×2 +1×2 +0×2 +1×2 +0×2 =42,111(5)=1×5 +1×5 +1×5 =31,32(8)=3×8 +2×8 =26,54(6)=5×6 +4×6 =34. 故转化为十进制后,最大的是 101 010(2). 5.阅读程序框图,利用秦九韶算法计算多项式 f(x)=anx +an-1x
-1 1 0 1 0 1 0

n

n

+…+a1x+a0,当 x=x0 时,框图中 A 处应填入________. 解析:f(x)=anx +an-1x
n n-1

+…+a1x+a0,先用秦九韶算法改为

一次多项式,

f(x)=(…((anx+an -1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. f1=an;k=1,f2=f1x0+an-1; k=2,f3=f2x0+an-2;…;
归纳得第 k 次 fk+1=fkx0+an-k.故 A 处应填 an-k. 答案:an-k 6.三进制数 2 012(3)化为六进制数为 abc(6),则 a+b+c=________. 解析:

2 012(3)=2×3 +0×3 +1×3 +2×3 =59. 三进制数 2 012(3)化为六进制数为 135(6),∴a+b+c=9. 答案:9 7.三位七进制数表示的最大的十进制数是________. 解析: 最大的三位七进制数表示的十进制数最大, 最大的三位七进制数为 666(7), 则 666(7) =6×7 +6×7 +6×7 =342. 答案:342 8.10x1(2)=y02(3),求数字 x,y 的值. 解:∵10x1(2)=1×2 +x×2 +0×2 +1×2 =9+2x,
0 1 2 3 2 1 0

3

2

1

0

y02(3)=2×30+y×32=9y+2,∴9+2x=9y+2 且 x∈{0,1},y∈{0,1,2},所以 x
=1,y=1.

9.用秦九韶算法计算多项式 f(x)=x -12x +60x -160x +240x -192x+64,当 x=2 时的值. 解:将 f(x)改写为 f(x)=(((((x-12)x+60)x-160)x+240)x-192)x+64,v0=1,

6

5

4

3

2

v1=1×2-12=-10,v2=-10×2+60=40,v3=40×2-160=-80,v4=-80×2+240=
80,v5=80×2-192=-32,v6=-32×2+64=0.所以 f(2)=0,即 x=2 时,原多项式的 值为 0.

(时间 120 分钟,满分 150 分)

[对应配套卷P73] 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.下列关于赋值语句的说法错误的是( )

A.赋值语句先计算出赋值号右边的表达式的值 B.赋值语句是把左边变量的值赋给赋值号右边的表达式 C.赋值语句是把右边表达式的值赋给赋值号左边的变量 D.在算法语句中,赋值语句是最基本的语句 解析:选 B 赋值语句的一般格式是:变量名=表达式,其作用是把右边表达式的值赋 给赋值号左边的变量,故 B 错误. 2.阅读如图所示的程序框图,下列说法正确的是( )

A.该框图只含有顺序结构、条件结构 B.该框图只含有顺序结构、循环结构 C.该框图只含有条件结构、循环结构 D.该框图包含顺序结构、条件结构、循环结构 解析:选 D 阅读程序框图,可知该程序框图含有顺序结构、循环结构、条件结构,故 选 D. 3.求下列函数的函数值时,其程序框图中需要用到条件结构的是( A.f(x)=-2x +x C.f(x)=?
? ?
2

)

B.f(x)=-2x-5 , D.f(x)=1-5
x

x
2

?-2x +x ?

x

解析:选 C 只有选项 C 中函数 f(x)是分段函数,需分类讨论 x 的取值范围,要用条件 结构来设计程序框图,A、B、D 项均不需要用条件结构,故选 C. 4.如果输入 A=2 015,B=2 016,则下面一段程序的输出结果是( INPUT A,B A=B B=A PRINT A,B END A.2 016,2 015 C.2 015,2 016 B.2 015,2 015 D.2 016,2 016 )

解析:选 D 输入 A=2 015,B=2 016 后,经过两个赋值语句,使得 A,B 中的值都为 2 016.故选 D. 5.运行如图所示的程序,其结果为( n=8 s=1 WHILE n>=1 s=s*n n=n-2 WEND PRINT s END )

A.192 C.384

B.3 840 D.1 920

解析:选 C 程序的功能为计算 8×6×4×2 的值,易知为 384,故选 C. 6. 若运行如图所示的程序, 最后输出 y 的值是 7, 那么应该输入的 t 的值可以为( INPUT “t=”;t IF t<4 THEN y=t^2-2 ELSE y=t+2 END IF PRINT y END A.-3 C.3 或- 解析: 选 D
?t<4, ? ? 2 ?t -2=7 ?

)

B.3 3 D.3 或-3 或 5
? ?t -2,t<4, 程序中的函数为一 个分段函 数 y = ? ?t+2,t≥4, ?
2

若输 出 7 ,则

或?

?t≥4, ? ?t+2=7, ?

解得 t 的值为 3 或-3 或 5,故选 D. )

7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 n 的值为(

A.7 C.5
1

B.6 D.4

解析:选 B 第一次运行:S=0+(-1) ×1=-1<3;第二次运行:n=2,S=-1+(- 1) ×2=1<3;第三次运行:n=3,S=1+(-1) ×3=-2<3;第四次运行:n=4,S=-2 +(-1) ×4=2<3;第五次运行:n=5,S=2+(-1) ×5=-3<3;第六次运行:n=6,S =-3+(-1) ×6=3,满足 S≥3.故输出 n 的值为 6,故选 B. 8.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的结果是 4,则程序框图中的 处理框“①”处应填写的是( )
6 4 5 2 3

A.n=n-1 C.n=n+1

B.n=n-2 D.n=n+2

解析:选 C 因为起始 n=1,输出的 n=4,所以排除 A、B.若“①”处填 n=n+1.则 S = 1 1 =-1,n=2,判断-1≠2,继续循环;S= 1-2 1- - 1 1 = ,n=3,判断 ≠2,继续 2 2

1 循环;S= =2,n=4,判断 2=2,则输出 n 的值为 4,故选 C. 1 1- 2 4 9.执行如图所示的程序框图,若输出 S= ,则输入整数 n=( 9 )

A.8 C.10

B.9 D.8 或 9

1 解析:选 D 在条件成立的情况下,执行第一次循环后,S= ,i=4;执行第二次循环 3 2 3 4 后,S= ,i=6;执行第三次循环后,S= ,i=8;执行第四次循环后,S= ,i=10.若 n 5 7 9 4 =8 或 n=9,此时 10≤n 不成立,退出循环,输出 S= ,因此 n=8 或 n=9,故选 D. 9 10. 用秦九韶算法计算多项式 f(x)=3x +4x +5x +6x +7x +8x+1 当 x=0.4 时的值 时,需要做乘法和加法的次数分别是( A.6,6 C.5,5 ) B.5,6 D.6,5
6 5 4 3 2

解析:选 A 由 f(x)=(((((3x+4)x+5)x+6)x+7)x+8)x+1 可以得知答案选 A.

11.用秦九韶算法求多项式 f(x)=12+35x-8x +79x +6x +5x +3x 的值, 当 x=-4 时,v4 的值为( A.-57 C.-845 解析:选 D ) B.124 D.220 依据秦九韶算法有 v0=a6=3,v1=v0x+a5=3×(-4)+5=-7,v2=v1x

2

3

4

5

6

+a4=-7×(-4)+6=34,v3=v2x+a3=34×(-4)+79=-57,v4=v3x+a2=-57×(-4) +(-8)=220,故选 D. 12.下列各数中最小的数为( A.101 011(2) C.110(8)
5 3

) B.1 210(3) D.68(12)
3 2

解析:选 A 101 011(2)=1×2 +1×2 +1×2+1=43,1 210(3)=1×3 +2×3 +1×3= 48,110(8)=1×8 +1×8=72,68(12)=6×12+8=80,故选 A. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.如图程序中,要求从键盘输入 n,求 1+2+3+…+n 的和,则横线上缺的程序项 是①________,②________. INPUT ① S=0 i=1 WHILE ② S=S+i i=i+1 WEND PRINT “S=”;S END 解析:程序应先输入一个 n 的值, 确定要计算前多少项的和, ②处应确定计数变量 i 满足的条件, 即确定终止条件. 答案:n
2

i<=n

1 14.执行如图所示的框图所表达的算法,如果最后输出的 S 值为 ,那么判断框中 2 016 实数 a 的取值范围是________.

1 1 解析:当 1≤a<2 时,输出的 S 值为 = ; 1+1 2 1 当 2≤a<3 时,输出的 S 值为 = ; 1 3 1+ 2 1 当 3≤a<4 时,输出的 S 值为 = ;…; 1 4 1+ 3 当 2 015≤a<2 016 时, 1 输出的 S 值为 . 2 016 答案:[2 015,2 016) 1 1 1 15.如图是计算 1+2+ +3+ +…+2 014+ 的值的程序框图.图中空白的判断 2 3 2 014 框应填________,处理框应填________. 1 3 1 2

解析:读懂程序框图后,即可知判断框内要填“i≤2 014?”或“i<2 015?”,处理 1 框内要填“S=S+i+ ”.

i

答案:i≤2 014?(或 i<2 015?)

S=S+i+ i

1

16. 用更相减损术求 36 与 134 的最大公约数时, 第一步应为________________________. 解析:∵36 与 134 都是偶数, ∴第一步应为:先除以 2,得到 18 与 67. 答案:先除以 2,得到 18 与 67

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)写出用辗转相除法求下列两组数的最大公约数的过程: (1)8 251 与 6 105; (2)6 731 与 2 809. 解:(1)8 251=6 105×1+2 146; 6 105=2 146×2+1 813; 2 146=1 813×1+333; 1 813=333×5+148; 333=148×2+37; 148=37×4. ∴最后的除数 37 就是 8 251 和 6 105 的最大公约数. (2)6 731=2 809×2+1 113; 2 809=1 113×2+583; 1 113=583×1+530; 583=530×1+53; 530=53×10. ∴6 731 与 2 809 的最大公约数为 53. 18.(本小题满分 12 分)写出下面程序运行的过程,并写出运行结果. i=1 S=0 WHILE S<=20 S=S+i i=i+1 WEND PRINT i END 解:运行过程如下:

i=1,S=0 时,执行 S=0+1=1,i=2;
由于 S=1≤20,因此继续执行 S=1+2=3,i=3; 由于 S=3≤20,因此继续执行 S=3+3=6,i=4; 由于 S=6≤20,因此继续执行 S=6+4=10,i=5; 由于 S=10≤20,因此继续执行 S=10+5=15,i=6; 由于 S=15≤20,因此继续执行 S=15+6=21,i=7; 这时 S=21>20,结束循环,执行 WEND 后面的语句,因此程序的运行结果为 7. 19.(本小题满分 12 分)用秦九韶算法求 f(x)=3x +8x -3x +5x +12x-6 当 x=2 时 的值.
5 4 3 2

解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:

f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6, 按照从内到外的顺序, 依次计算一次多项式
当 x=2 时的值.

v0=3, v1=v0×2+8=3×2+8=14, v2=v1×2-3=14×2-3=25, v3=v2×2+5=25×2+5=55, v4=v3×2+12=55×2+12=122, v5=v4×2-6=122×2-6=238,
所以当 x=2 时,多项式的 f(x)值为 238. 20.(本小题满分 12 分)如图所示,在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有 一点 P,沿着边线 BCDA 由点 B(起点)向点 A(终点)运动.设点 P 运动的路程 为 x,△APB 的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数关系式并画出程序框图. 解:函数关系式为 2x,0≤x≤4, ? ? y=?8,4<x≤8, ? -x ,8<x≤12. ? 程序框图如图所示:

21. (本小题满分 12 分)用二分法求 f(x)=x -2(x>0)近似零点的程序框图如下图所示.

2

(1)请在图中判断框内填上合适的语句,使之能完成该题算法功能; (2)根据程序框图写出程序. 解:(1)判断框内应填循环终止的条件:|a-b|<d 或 f(m)=0?. (2)根据框图,设计程序如下: INPUT “a,b,d=”;a,b,d DO m= + g=a^2-2 f=m^2-2 IF g*f<0 THEN b=m ELSE a=m END IF LOOP UNTIL - OR f=0 PRINT m END 22.(本小题满分 12 分)某商场第一年销售计算机 6 000 台,如果以后每年销售比上一 年增加 12%,那么从第一年起,大约经过几年可使总销量达到 150 000 台?画出解决此问题 的程序框图,并写出程序. 解:程序框图如图所示:

程序如下: m=6 000 S=0 i=0 WHILE S<150 000 S=S+m m= + i=i+1 WEND PRINT i END


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