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人教版高中数学选修(2-1)-3.1《空间向量的正交分解及其坐标表示》参考教案2

3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 一、教学目标 1、知识与技能:掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示,理解空间向 量的投影的定义,会求空间向量的投影。 2、过程与方法:从向量的几何表示到坐标表示,体会向量的几何和代数的 双重特点;通过向量的正交分解的相关运算提高学生的运算能力;通过例题与练 习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。 3、情感、态度与价值观:经历数学研究的过程,体验探索的乐趣,增强学 习数学的兴趣。 二、教学重点和难点 重点:空间向量的正交分解与坐标表示。 难点:空间向量的正交分解与坐标表示;空间向量的投影的定义及运算 三、教学设计 创设情境—感知概念 (一)问题情境 我们学习过平面向量的标准正交分解和坐标表示.在空间中,向量的坐标又 是怎样定义的?向量的投影又是怎样定义的? (二) 课前练习 1、在给定的空间直角坐标系中, i, j,k 分别为 x 轴,y 轴,z 轴正方向上的单位向量把 i, j,k 叫作 2、标准正交分解:若 i, j,k 是标准正交基,对空间任意向量 a ,存在三元 有序实数(x,y,z),使 a=xi ? y j ? zk 叫作 a 的 3、坐标的意义 (1)坐标的意义:向量的坐标等于 (2)投影的定义:一般地,若 b0 为 b 的单位向量,称 a b0 ? a cos a,b 为向 量 a 在向量 b 方向上的 (三)新课讲解 1、空间向量标准正交分解的过程 在给定的空间直角坐标系中, i, j,k 为 x 轴,y 轴,z 轴正方向上的单位向 量, a 是空间中的任意向量 z C k j iO A x P a By D 2、空间向量标准正交分解及坐标的定义 在给定的空间直角坐标系中, i, j,k 为 x 轴,y 轴,z 轴正方向上的单位向 量,对于空间中的任意向量 a ,存在唯一 一组三元有序实数(x,y,z),使得 a=xi ? y j ? zk 我们把 a=xi ? y j ? zk 叫作 a 的标准正交分解,把 i, j,k 叫作标准正交基 (x,y,z)叫作空间向量的坐标.记作 a ? (x, y, z) . a ? (x, y, z) 叫作向量 的坐标表示. 在空间直角坐标系中,点 p 的坐标为(x,y,z),向量的坐标也是(x,y, z) 注:当 a 的起点在坐标原点时, a 的终点的坐标为(x,y,z) ? a ? x i ? y j ? z k ? a ? (x, y, z) 例 1 在空间直角坐标系中有长方体 ABCD ? A1B1C1D1 AB ? 2, BC ? 3, AA1 ? 5. (1)写出 C1 的坐标,给出 AC1 关于 i, j,k 的分解式 (2)求 BD1 的坐标 解:(1)因为 AB ? 2,BC ? 3,AA1 ? 5 , 所以 AC1 ? (3, 2,5) ? 3i ? 2 j ? 5k (2)因为点 D1(3, 0,5), B(0, 2, 0) 所以 BD1 ? (3, ?2,5) 3、空间向量的坐标意义 A1 D1 C1 (A) O D By C 设 a ? xi ? y j ? zk ,那么 a ? i ? (xi ? y j ? zk) ?i ? xi ?i ? y j ?i ? zk ?i 由于 i ?i ?| i |2 ? 1 ,而 i ? j , i ? j ? 0 ,同理 k ?i ? 0 所以 a ?i ? x ,同理 a ? j ? y, a ? k ? z 我们把 a ?i ? x, a ? j ? y, a ? k ? z 分别称为向量 a 在 x 轴,y 轴,z 轴正方向上 的投影。向量的坐标等它在坐标轴正方向上的投影 4、向量投影的定义 一般地,若 b0 为 b 的单位向量,称 a b0 ? a cos a, b 为向量 a 在向量 b 方向 上的投影. 思考探究: 向量 a 在向量 b 方向上的投影一定是正数吗? 析:当夹角为锐角时,投影为正;当夹角为钝角时,投影为负;当夹角为直 角时,投影为 0 故向量 a 在向量 b 方向上的投影可正可负可为 0 例 2 如图,已知单位正方体,求(1)向量在上的投影;(2)向量在上的投影 解:(1)向量 CA1 在 CB 上的投影为: | CA1 | cos ?A1CB ?| CB | ?1 (2)向量 CA1 在 BC 上的投影为: CA1 | cos(? ? ?A1CB) ? ?1 ? ? | CB | (四)课时小结: 1、空间向量的坐标表示 2、向量 a 在向量 b 方向上的投影

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